广东省深圳市南山区2016届高三上学期期末考试数学(理)试卷 -完美编辑版

2015-2016学年广东省深圳市南山区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣|2|2．（3分）为了完成下列任务，你认为采用普查方式较为合适的是（）A．了解一批苹果是否甜B．调查深圳学生的“垃圾减量分类”的意识C．检测某种汽车的发动机性能D．测算某校某班学生平均身高3．（3分）为了打击信息诈骗和反信息骚扰，深圳移动公司从2015年9月到10月间，共拦截疑似诈骗电话呼叫1298万次，1298万用科学记数法可表示为（）A．1298×104B．12.98×106C．1.298×107D．1.298×1034．（3分）下列运算正确的是（）A．x﹣3y=﹣2xy B．x2+x3=x5C．5x2﹣2x2=3x2 D．2x2y﹣xy2=xy5．（3分）下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察看到都是长方形的是（）A．B．C．D．6．（3分）计算：（﹣12）+（+）+（﹣8）+（﹣）+（﹣）=（）A．﹣19 B．﹣18 C．﹣20 D．﹣177．（3分）下列结论中，正确的是（）A．﹣7＜﹣8 B．85.5°=85°30′ C．﹣|﹣9|=9 D．2a+a2=3a28．（3分）代数式5abc，﹣7x2+1，﹣x，21，中，单项式共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b、﹣a、|b|的大小关系正确的是（）A．|b|＞a＞﹣a＞b B．|b|＞b＞a＞﹣a C．a＞|b|＞b＞﹣a D．a＞|b|＞﹣a＞b 10．（3分）如图，下列不正确的几何语句是（）A．直线AB与直线BA是同一条直线B．射线OA与射线OB是同一条射线C．射线OA与射线AB是同一条射线D．线段AB与线段BA是同一条线段11．（3分）如图，一个直角三角板ABC绕其直角顶点C旋转到△DCE的位置，若∠BCD=30°，下列结论错误的是（）A．∠ACD=120°B．∠ACD=∠BCEC．∠ACE=120°D．∠ACE﹣∠BCD=120°12．（3分）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（）A．80元B．85元C．90元D．95元二、填空题：本题有4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡上．13．（3分）钟面上12点30分，时针与分针的夹角是度．14．（3分）若2a﹣b=1，则代数式4a﹣2b﹣1的值是．15．（3分）如图线段AB，C是线段AB的中点，点D在CB上，且AD=6.5cm，DB=1.5cm，则线段CD=．16．（3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是．三、解答题（本大题有7题，共52分）17．（12分）计算与化简：（1）12﹣（﹣6）+（﹣9）（2）（﹣1）2016+（﹣4）2÷（﹣）+|﹣1﹣2|（3）先化简，再求值：﹣（4a2+2a﹣2）+（a﹣1），其中a=（4）点P在数轴上的位置如图所示，化简：|p﹣1|+|p﹣2|18．（6分）解下列方程（1）10x﹣12=5x+13（2）．19．（6分）某校开展“人人会乐器”的活动，根据实际开设了四种乐器的相关课程．学校为了了解学生最喜欢哪一种乐器（每位学生只能选一类），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）总共随机抽查了多少位学生？请你把条形统计图补全．（2）样本中喜欢电子琴的人数比喜欢葫芦丝的多人．（3）该校一共有2000名学生，你认为全校喜欢哪种乐器的学生人最多？估计有多少人？20．（6分）按要求完成下列视图问题（1）如图（一），它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，哪一个视图没有发生改变？（2）如图（二），请你借助图四虚线网格画出该几何体的俯视图．（3）如图（三），它是由几个小立方块组成的俯视图，小正方形上的数字表示该位置上的正方体的个数，请你借助图四虚线网格画出该几何体的主视图．21．（6分）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．（2）结合（1）观察下列点阵图，并在横线后面写出相应的等式．（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式．22．（8分）23．（8分）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC 时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．2015-2016学年广东省深圳市南山区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣|2|【分析】利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．【解答】解：﹣2的绝对值为2．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2．（3分）为了完成下列任务，你认为采用普查方式较为合适的是（）A．了解一批苹果是否甜B．调查深圳学生的“垃圾减量分类”的意识C．检测某种汽车的发动机性能D．测算某校某班学生平均身高【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、了解一批苹果是否甜，宜采用抽样调查的方式，故此选项错误；B、调查深圳学生的“垃圾减量分类”的意识，调查对象范围广，宜采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、检测某种汽车的发动机性能，调查对象范围广，宜采用抽样调查的方式，故此选项错误；D、测算某校某班学生平均身高，宜采用全面调查的方式，故此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．（3分）为了打击信息诈骗和反信息骚扰，深圳移动公司从2015年9月到10月间，共拦截疑似诈骗电话呼叫1298万次，1298万用科学记数法可表示为（）A．1298×104B．12.98×106C．1.298×107D．1.298×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将1298万用科学记数法表示为：1.298×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列运算正确的是（）A．x﹣3y=﹣2xy B．x2+x3=x5C．5x2﹣2x2=3x2 D．2x2y﹣xy2=xy【分析】依据同类项的定义以及合并同类项的法则即可作出判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、不是同类项，不能合并，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选C．【点评】本题考查了合并同类项的法则，正确理解同类项的定义是关键．5．（3分）下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察看到都是长方形的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：A、从正面、左面、上面观察看到都是长方形，故A正确；B、从正面、左面观察看到都是长方形，从上面看是圆，故B错误；C、从正面、左面观察看到都是三角形，从上面看是圆，故C错误；D、从正面、左面观察看到都是三角形，从上面看是正方形，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．6．（3分）计算：（﹣12）+（+）+（﹣8）+（﹣）+（﹣）=（）A．﹣19 B．﹣18 C．﹣20 D．﹣17【分析】根据有理数的加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．求出算式（﹣12）+（+）+（﹣8）+（﹣）+（﹣）的值是多少即可．【解答】解：（﹣12）+（+）+（﹣8）+（﹣）+（﹣）=﹣（12+8+）+=﹣21.2+1.2=﹣20故选：C．【点评】此题主要考查了有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．7．（3分）下列结论中，正确的是（）A．﹣7＜﹣8 B．85.5°=85°30′ C．﹣|﹣9|=9 D．2a+a2=3a2【分析】A：两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．B：根据1°=60′，可得0.5°=30′，所以85.5°=85°30′，据此判断即可．C：负有理数的绝对值是它的相反数，据此判断即可．D：根据合并同类项的方法判断即可．【解答】解：∵|﹣7|=7，|﹣8|=8，7＜8，∴﹣7＞﹣8，∴选项A不正确；∵1°=60′，∴0.5°=30′，∴85.5°=85°30′，∴选项B正确；∵﹣|﹣9|=﹣9，∴选项C不正确；∵2a+a2≠3a2，∴选项D不正确．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．（3）此题还考查了度分秒的换算，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．8．（3分）代数式5abc，﹣7x2+1，﹣x，21，中，单项式共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．【解答】解：根据单项式的定义可选出代数式5abc，﹣x，21是单项式，共3个，故选C．【点评】此题主要考查了单项式的定义，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．9．（3分）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b、﹣a、|b|的大小关系正确的是（）A．|b|＞a＞﹣a＞b B．|b|＞b＞a＞﹣a C．a＞|b|＞b＞﹣a D．a＞|b|＞﹣a＞b 【分析】观察数轴，则a是大于1的数，b是负数，且|b|＞|a|，再进一步分析判断．【解答】解：∵a是大于1的数，b是负数，且|b|＞|a|，∴|b|＞a＞﹣a＞b．故选A．【点评】此题考查了有理数的大小比较，能够根据数轴确定数的大小，同时特别注意：两个负数，绝对值大的反而小．10．（3分）如图，下列不正确的几何语句是（）A．直线AB与直线BA是同一条直线B．射线OA与射线OB是同一条射线C．射线OA与射线AB是同一条射线D．线段AB与线段BA是同一条线段【分析】根据射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；所以，射线的端点不同，则射线不同．【解答】解：A正确，因为直线向两方无限延伸；B正确，射线的端点和方向都相同；C错误，因为射线的端点不相同；D正确．故选C．【点评】解答本题必须结合图形，否则易误选B．11．（3分）如图，一个直角三角板ABC绕其直角顶点C旋转到△DCE的位置，若∠BCD=30°，下列结论错误的是（）A．∠ACD=120°B．∠ACD=∠BCEC．∠ACE=120°D．∠ACE﹣∠BCD=120°【分析】依据题意题意可知∠ACB=∠DCE=90°，然后依据图形间角的和差关系求解即可．【解答】解：A、∵∠ACB=90°，∠BCD=30°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°，故A 与要求不符；B、∵∠DCE=90°，∠BCD=30°，∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=120°，∴∠ACD=∠BCE，故B与要求不符；C、∵∠ACE=360°﹣90°﹣90°﹣30°=150°，故C错误，与要求相符；D、∵∠ACE﹣∠BCD=150°﹣30°=120°，故D与要求不符．故选：C．【点评】本题主要考查的是角的计算，掌握图形间角的和差关系是解题的关键．12．（3分）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（）A．80元B．85元C．90元D．95元【分析】商品的实际售价是标价×90%=进货价+所得利润（20%•x）．设该商品的进货价为x元，根据题意列方程得x+20%•x=120×90%，解这个方程即可求出进货价．【解答】解：设该商品的进货价为x元，根据题意列方程得x+20%•x=120×90%，解得x=90．故选C．【点评】解决本题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．亦可根据利润=售价﹣进价列方程求解．二、填空题：本题有4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡上．13．（3分）钟面上12点30分，时针与分针的夹角是165度．【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【解答】解：12点半时，时针指向1和12中间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，半个格是15°，因此12点半时，分针与时针的夹角正好是30°×5+15°=165°．【点评】本题是一个钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．借助图形，更容易解决．14．（3分）若2a﹣b=1，则代数式4a﹣2b﹣1的值是1．【分析】首先把代数式4a﹣2b﹣1化为2（2a﹣b）﹣1，然后把2a﹣b=1代入2（2a﹣b）﹣1，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵2a﹣b=1，∴4a﹣2b﹣1=2（2a﹣b）﹣1=2×1﹣1=2﹣1=1．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意3种类型：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．15．（3分）如图线段AB，C是线段AB的中点，点D在CB上，且AD=6.5cm，DB=1.5cm，则线段CD= 2.5cm．【分析】根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由线段的和差，得AB=AD+DB=6.5+1.5=8cm，由C是线段AB的中点，得CB=AB=×8=4cm，由线段的和差，得CD=CB﹣BD=4﹣1.5=2.5cm．故答案为：2.5cm．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，又利用了线段中点的性质．16．（3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是74．【分析】观察四个正方形，可得到规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4．【解答】解：0+2=2 2+2=4 4+2=6，所以第四个正方形左下角的数为，6+2=8 0+4=4 2+4=6 4+4=8，所以第四个正方形右上角的数为，6+4=10．8=2×4﹣0 22=4×6﹣2 44=6×8﹣4 所以m=8×10﹣6=74．【点评】此题是一个寻找规律性的题目，注重培养学生观察、分析、归纳问题的能力．关键是观察四个正方形，得规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4．三、解答题（本大题有7题，共52分）17．（12分）计算与化简：（1）12﹣（﹣6）+（﹣9）（2）（﹣1）2016+（﹣4）2÷（﹣）+|﹣1﹣2|（3）先化简，再求值：﹣（4a2+2a﹣2）+（a﹣1），其中a=（4）点P在数轴上的位置如图所示，化简：|p﹣1|+|p﹣2|【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用乘方的意义及除法法则变形，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（3）原式去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值；（4）根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=12+6﹣9=18﹣9=9；（2）原式=1﹣12+3=4﹣12=﹣8；（3）原式=2a2﹣a+1+a﹣1=﹣2a2，当x=时，原式=﹣2×=﹣；（4）由图可知：p﹣1＞0，p﹣2＜0，则|p﹣1|+|p﹣2|=（p﹣1）﹣（p﹣2）=p﹣1﹣p+2=1．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）解下列方程（1）10x﹣12=5x+13（2）．【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）方程移项得：10x﹣5x=13+12，合并得：5x=25，解得：x=5；（2）去分母得：5x+1﹣2（2x﹣1）=6，去括号得：5x+1﹣4x+2=6，移项得：5x﹣4x=6﹣1﹣2，合并得：x=3．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（6分）某校开展“人人会乐器”的活动，根据实际开设了四种乐器的相关课程．学校为了了解学生最喜欢哪一种乐器（每位学生只能选一类），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）总共随机抽查了多少位学生？请你把条形统计图补全．（2）样本中喜欢电子琴的人数比喜欢葫芦丝的多20人．（3）该校一共有2000名学生，你认为全校喜欢哪种乐器的学生人最多？估计有多少人？【分析】（1）用最喜欢口风琴的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，然后计算出最喜欢电子琴的人数，再不全条形统计图；（2）利用条形统计图得到喜欢电子琴的人数为140人，喜欢葫芦丝的人数为80人，然后计算它们的差即可；（3）全校喜欢竖笛的学生人最多，用样本中所占的百分比35%乘以2000即可得到全校喜欢竖笛的人数．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为80÷20%=400（人），最喜欢电子琴的人数为400﹣80﹣140﹣80=100（人），条形统计图为：（2）100﹣80=20（人），所以样本中喜欢电子琴的人数比喜欢葫芦丝的多20人；故答案为20；（3）2000×35%=700（人）答：全校最喜欢竖笛的学生人数最多，估计有700人．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体．20．（6分）按要求完成下列视图问题（1）如图（一），它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，哪一个视图没有发生改变？（2）如图（二），请你借助图四虚线网格画出该几何体的俯视图．（3）如图（三），它是由几个小立方块组成的俯视图，小正方形上的数字表示该位置上的正方体的个数，请你借助图四虚线网格画出该几何体的主视图．【分析】（1）利用结合体的形状，结合三视图可得出左视图没有发生变化；（2）利用几何体的形状结合俯视图的得出得出答案；（3）利用小立方体的个数结合俯视图得出主视图即可．【解答】解：（1）如图（一），它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，左视图没有发生改变；（2）如图1所示，（3）如图2所示．【点评】此题主要考查了三视图的画法，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．21．（6分）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．（2）结合（1）观察下列点阵图，并在横线后面写出相应的等式．（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式．【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．【解答】解：（1）根据题中所给出的规律可知：；（2）由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52．（3）由（1）（2）可知．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．22．（8分）【分析】设1袋牛奶x元，则1盒饼干需要（7.9+x）元，等量关系是：1盒饼干的价钱×0.9+1袋牛奶的价钱=10﹣0.8，依此列出方程求解即可．【解答】解：设1袋牛奶x元，则1盒饼干需要（7.9+x）元，根据题意得，0.9（7.9+x）+x=10﹣0.8，解得：x=1.1，则1.1+7.9=9（元）．答：1盒饼干9元，1袋牛奶1.1元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．23．（8分）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为90度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC 时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）需要分类讨论：（ⅰ）当直角边ON在∠AOC外部时，旋转角是60°；（ⅱ）当直角边ON在∠AOC内部时，旋转角是240°．【解答】解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．故答案是：90；（2）如图3，∠AOM﹣∠NOC=30°．设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．∵∠AOC+∠BOC=180°，∴α+2α=180°．解得α=60°．即∠AOC=60°．∴∠AON+∠NOC=60°．①∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°．②由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）（ⅰ）如图4，当直角边ON在∠AOC外部时，由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．因此三角板绕点O逆时针旋转60°．此时三角板的运动时间为：t=60°÷15°=4（秒）．（ⅱ）如图5，当直角边ON在∠AOC内部时，由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．因此三角板绕点O逆时针旋转240°．此时三角板的运动时间为：t=240°÷15°=16（秒）．【点评】本题综合考查了旋转的性质，角的计算．解答（3）题时，需要分类讨论，以防漏解．数学期末考注意事项期末考试眼瞅着就要到了，同学们正紧张地进行复习，其实，考试也有考试的学问和技巧。

2023-2024学年深圳市南山区高二（上）期末考试数学试题注意事项：1本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟2答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．3．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑4非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液5考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1宜线x+y -1=0的倾斜角等于A.45B.60C.120D.1352圆C 1:X 2 + y 2 =9与C 2:x 2+y 2-4x+3=0的位置关系为（）A.外切B.内切C.相交D.外离3已知三棱锥0-ABC,点M,N 分别为AB,OC 的中点，且OA=ii,0B=b, OC =c,用a,b , c表示MN,则MN等千（）B）-C .b ＋万3（l -2AlB.-:-(b+c-a)2lc. -（c -a -b) 2ID.�(a-b+c)24若抛物线y 2=2px (p >0)上一点P(2,�。

)到其焦点的距离为3,则该抛物线的方程为（）A.沪＝4xB.y 2 =6xC. y 2 =8xD.y 2 =lOx2..2 y x5已知双曲线勹．一亏＝l(a>O,b > 0)的焦距为2c,若a,b,石—c 依次成等比数列，则该双曲线的渐近a b6 线方程为（）A.y＝土J云五B.y =土一一X2C.y＝士石x石D.y＝土一一X 36记公差不为零的等差数列{a,1}的前n项和为S,／，若S 15=3(a2 +3a9 +a k )，则k=( )A.13B. 12C.11D.10227过点M(2,l)作斜率为－1的宜线与椭圆C：王·+.;=1相交于A,B两点，若M 为线段AB的中点，则a 2.b 2C的离心率为（）1-3A 五3Bl-2c 五2D8已知EF是圆C:x 2 + y 2-2x -4y + 3 = 0的一条弦，且CE..lCF,P 是EF的中点，当弦EF在圆C上兀运动时，直线l:x -y-3=0上存在两点A,B,使得乙APB�一恒成立，则线段AB长度的最小值是（）2A .4五－2B.4✓2+2C.2扛－lD . 2扛＋l二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向费a =(1,2,0),b= (-2,0, 1)，则下列结论正确的为（）A.a+b=(-1,2,1) C a llbB .I补＝1月D. Cl·b =210已知圆M : x 2+ y 2 + 6x + 8y = 0,则下列结论正确为（）A.M的半径为l0B.M 关于直线x -y-l=O 对称C.宜线x-y+3=0被M 所截得的弦长为2f17D 若点P(a,b )在M 上，则J<a-3)2+(b-4)2的最大值为2511 已知数列{a,,}的首项为],且a n+1+a,，=（一l)”，凡是{a,,｝的前n项和，则下列结论正确的为（）A.S2,, =-n.B数列{a ll+(-1)"}为等比数列C.数列{(-1)"·a,，}为等差数列1 1D.＋＋…+ 1> －la1 · a2 a2 ·Cl:i a11 ·a,i+112已知F是抛物线C:y2 =4x的焦点，A,B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（） A.抛物线C的准线方程为x=-2B若lAFl=4，则AOF而积为石16C.若直线AB过焦点F,且AB=—，则0到直线AB的距离为－3D.若OA.lOB，则厄钊OB|232三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13已知归线l1:x-2y+I = 0,/2: x+my+2 = 0,若[1///2,则l1占的距离为14已知平面a的一个法向豐为n=(l,-1,2)，若点A(-1,0,1),8(2,3,c)均在a内，则IABI=15若数列{a,,}的前n项积为T,,=(✓句',2十＂，则{a,，｝的前n项和S"=16设点肝启的坐标分别为（－石，O）叫石，O），动点P满足乙F;PF2=60,设动煮P的轨迹为c,,以动点P到点E距离的最大值为长轴，以点F1、F2为左、右伟点的椭圆为C2，则曲线C，和曲线c2的交点到X轴的距离为四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17已知数列{a,,｝为等差数列，且a4= -9,a1 =-6(I)求{a,，}的通项公式；(2)记S,，为｛a,,}前n顶和，若S,,> 13,求，l的最小值18已知圆C:(x-1)2+(y+l)2=4.(I)过点P(3,2)作C的切线／，求l的方程；(2)若点Q 为直线I':3x -4 y + 13 = 0上的动点，过Q 作圆C 的切线，记切点为M,当IQMI 取最小值时，求乙C Q M 的大小19.如图，在平面四边形ABCP中，D为PA的中点，B,CD 1 AB ，且PA=CD=2AB=4将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二而角P-DC -B,连接PA,PB,BDDABCAB(I)证明：平面PBD..l平面PBC;(2)求直线AP与平面PBC所成角正弦值20记S,，为数列{a}的前n项和，已知a 1= 1,且劝nE N *'a n s -aS = a n a n+l n I1+l n+l “2. (I )证明：｛立｝为等差数列：a ” (2)求{a,，｝的通项公式；(3)若b,1=a,，2''，求数列｛丸｝的前，i项和T”21如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知AB !!CD,A D..LC D, B C= B P, C D= 2AB = 4, 边三角形，且E为DP的中点凶P是等B A,,� --p(l )证明：AEI／平面PBC:(2)当PA=6时，试判断在棱BC上是否存在点M,使得二面角M-PA-E的大小为60若存在，请BM求出——的值；否则，请说明理由．BC22在平面直角坐标系xOy中，动点P在双曲线C:王＿＿-?,= l(b > a> 0)的一条渐近线上，已知C的焦a2 b2石距为4,且F为C的一个焦点，当伊月最小时，POF的面积为—-2(I)求C的方程；(2)已知点Q(2,3)，宜线l:y=k(x-2)与C交于A,B两点当l k l<✓祚寸，l上存在点M使得k, +k2 = 2k3,其中k.,k2，女依次为四线QA,QB,Q M的斜率，证明：M在定臼线上．2023-2024学年深圳市南山区高二（上）期末考试数学试题注意事项：1本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟2答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑4非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液5考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1直线x+y-1=0的倾斜角等于A.45【答案】D【解析】B.60【详解】k=-l.'.tana=-l:.a=l35.故选D.C.1202.圆C1:X2 + y2 =9与C2:x2+/-4x+3=0的位置关系为（）A.外切B.内切C.相交【答案】B【解析】【分析】根据圆心距与半径和或半径差的大小关系即可判断【详解】圆C，的圆心为C l(0,0)，半径为'i=3,C2 :x2 + y2-4x+3=0,C2:(x-2)2+y2=1,圆c2的圆心为C2(2,0)，半径为Ii=),. 1c,c2I =2='i－归．圆C，与圆c2内切故选： B D.135 D.外离3已知三棱锥0-ABC,点M,N分别为AB.OC的中点，且OA= a, OB= b, OC = c,用a, b. c 表示MN,则MN等千（）。

高三数学(文)第 1 页 共 11 页深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数 学 (理科) 2013.01.16一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、已知全集 U={x ∈N*|x<6}，A={1，3}，B={3，5}，则∁U (A ∪B)等于A. {1，4}B. {1，5}C.{2，4}D.{2，5} 2、复数41(1)i --的值是A. 4B.－4iC.4iD.－43、如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 A.4π B. 2π C.3πD.32π4、如右图所示为函数f(x)=2sin(ωx +Φ)(ω>0，π<<π2φ)的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f(－1)=A.2C. D.－2 5、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则处应填写的数字为 A.5 B.4 C.6 D.76、点P(2，－1)为圆(x －1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 A. x+y －1=0 B. 2x+y －3=0 C.2x －y －5=0 D. x －y －3=07、将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和m ，则函数32y =m x n x +13-在[1，+∞)上为增函数的概率是A.12B.23C.34D.568、定义运算a b =⊕，a b =⊗2x f(x)=(x 2)2⊕⊗-为A.奇函数B.偶函数C.常函数D.非奇非偶函数第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． 9、251(x )x-展开式中x 4的系数是 (用数字作答).10、已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比 数列的公比是 . 11、已知双曲线2222x y 1ab-= (a>0，b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，则双曲线的离心率e 的值为_____.第3题图主视图 左视图高三数学(文)第 2 页 共 11 页则f[g(1)]的值为；满足的f[g(x)]>g[f(x)]的值是____.13、若实数x ，y 满足约束条件x 2y 32x y 3+≥⎧⎨+≤⎩，且x ≥0，则x －y 的最大值是_______.14、(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是x 1y t 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)上，则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为_______. 15、(几何证明选讲选做题)如右图，O 是半圆的圆心，直径AB =PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，AC=4，则PB=____.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 16、(本小题满分12分) 已知函数2x f(x)=sinx +acos2，a 为常数，a ∈R ，且x =2π是方程f(x)=0的解.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]，求函数f(x)的值域.17、(本小题满分12分)(1)求该运动员两次都命中7环的概率；(2)求ξ的分布列；(3)求的数学期望E ξ.第15题图高三数学(文)第 3 页 共 11 页如图，已知四棱柱P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，∠ABC=450， DC=1，A B=2，PA ⊥平面ABCD ，PA=1.(1) 求证：AB//平面PCD ； (2)求证：BC ⊥平面PAC ；(3)求二面角A-PC-D 的平面角α的正弦值.19、(本小题满分14分) 设函数1f(x)=x lnx⋅(x>0且x≠1).(1)若f′(x 0)=0，求x 0的值； (2)求函数f(x)的单调区间；(3)已知1αx 2x >对任意x ∈(0，1)成立，求实数x 的取值范围.20、(本小题满分14分) 已知椭圆C ：2222xy1a b+= (a>b>0)3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 2，求△AOB 面积的最大值.A BC D P高三数学(文)第 4 页 共 11 页数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n －n 2+3n ，(n ∈N*). (1)求a 2，a 3的值；(2)试求λ，μ的值，使得数列{a n +λn 2+μn}为等比数列； (3)设数列{b n }满足：n n 1n 1b =a n 2-+-，S n 为数列{b n }的前n 项和， 证明：n≥2时，n 6n 5<S <(n +1)(2n +1)3.高三数学(文)第 5 页 共 11 页高三数学(理)参考答案及评分标准2013.01.16一、选择题：(10×5′=50′)1、解：U={x ∈N*|x<6}={1，2，3，4，5}，若A={1，3}，B={3，5}， 则A ∪B={1，3，5}，所以∁U (A ∪B)= {2，4}，故选择B.2、解：复数4421(1)(1i)(2i)4i --=-+=-=，故选择A.3、解：一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体是底面直径为1， 高为1的圆柱，其全面积为132(1222⨯)π+π⨯=π，故选择D. 4、解：如右图所示为函数f(x)=2sin(ωx+Φ)(ω>0，π<<π2φ)的部分图像，其中|AB|=5，|AC|=4，则|BC|=3，所以A(－1，2)，f(x)的最小正周期为6， 则2ππ63ω==，所以πf (x )=2s i n (x )3+φ，把点A(－1，2)代入上式，得πsin()13-+φ=，ππ32-+φ=(π<<π2φ)，5π6φ=，所以π5πf(x)=sin(x )36+，那么π5ππf(1)=2sin()2sin2362--+==，故选择C.5、解：阅读右侧程序框图，S=1，i=1→S=3，i=2→ S=7，i=3→S=15，i=4→S=31，i=5.为使输出的数据 为31，则①处应填写的数字为5，故选择C.6、解：由题意知，点P (2，－1)，圆心C(1，0)，则k PC =－1，所以k AB =1， 故直线AB 的方程为y ―(―1)=1×(x －2)，即x －y －3=0，故选择C.7、解：函数32y =m x nx +13-，则y ′=2mx 2－n ，而函数32y =m x nx +13-在[1，+∞)上为增函数，等价于在[1，+∞)上y ′=2mx 2－n≥0恒成立，等价于2m≥n(1≤m ，n≤6，m ，n ∈N*). 将一枚骰子抛掷两次，所有事件的基本情况(m ，n)：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)， (4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36种.其中2m≥n 有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)， (3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)， (6，5)，(6，6)，共有30种，设事件“函数32y =m x nx +13-在[1，+∞)上为增函数”为M，则满足条件的第4题图高三数学(文)第 6 页 共 11 页概率是305P (M )366==，故选择D.8、解：由题意知，则f(x)=f(x)的定义域为24x 02⎧-≥⎪≠，2x 2x 04-≤≤⎧⎨≠⎩，， 所以{x|－2≤x ≤2且x ≠0}，即定义域关于原点成中心对称.而f(x)==|x 2|22x 2x==-----，所以f(x)f(x)(x)x-==-=----，所以f(x)为奇函数，故选择A.二、填空题：(4×5′=20′) 9、解：251(x )x-展开式中的通项公式：5rr 2r 5r 5r r 3r 5r +1551T (1)C (x )()(1)C xx----=-⋅⋅=-⋅， 令3r －5=4，则r=3，所以251(x )x-展开式中x 4的系数是(－1)2C 53=10.10、解：已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则a 52=a 1·a 16，即(a 1+4d)2=a 1·(a 1+16d)，整理得a 1=2d ， 而这个等比数列的公比是5111a a 4d 2d 4d q 3a a 2d++====.11、解：由题意知，双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0，即b 1a2=，则双曲线的离心率为：e 2===.当x=1时，f[g(1)]=3，g[f(1)]=3，f[g(x)]>g[f(x)]不成立； 当x=2时，f[g(2)]=3，g[f(2)]=1，f[g(x)]>g[f(x)]成立； 当x=3时，f[g(3)]=1，g[f(3)]=1，f[g(x)]>g[f(x)]不成立. 故f[g(1)]的值为1；满足的f[g(x)]>g[f(x)]的值是2. 13、解：实数x ，y 满足约束条件x 2y 32x y 3+≥⎧⎨+≤⎩，且x ≥0，其平面区域如图所示，设目标函数z=x －y ，当目标函数线经过点A(1，1)时， 则x －y 的最大值是1－1=0.14、解：把曲线C 的极坐标方程ρ=6sinθ，化为普通方程为：x 2+ y 2=6y ，即x 2+ (y －3)2=9，其圆心为(0，3)，半径r=3.高三数学(文)第 7 页 共 11 页直线l的参数方程是x 1y t 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为：x －2y+1=0， 圆心(0，3)到直线l的距离为d ==，则直线l 与曲线C相交所得的弦的弦长为4=. 15、解：连结BC ，在Rt △ABC中，AB = AC=4，由勾股定理得，BC =由射影定理BC 2=AC·CP ，得CP=2，再由切割线定理PB 2=PC·PA=2×6=12，即PB =. 三、解答题：(80′) 16、解：(1) 2f()sin+acos0224πππ==，则11+a 02=，解得a=－2. ……3分所以2x f(x)=sinx 2cossinx cosx 12-=--，则f(x)=(x )14π--， ……5分所以函数f(x)的最小正周期为2π. ……6分 (2)由x ∈[0，π]，得x []444ππ3π-∈-，，则sin (x )[1]42π-∈-， ……10分(x )[14π-∈-(x )1[21]4π--∈-，则函数f(x)的值域为[21]-. ……12分(2)ξ可能取值为7，8，9，10， ……4分 P(ξ=7)= 0.04；P(ξ=8)= 2×0.2×0.3+0.32= 0.21； ……5分 P(ξ=9)= 2×0.2×0.3+ 2×0.3×0.3+0.32= 0.39； ……7分 P(ξ=10)= 2×0.2×0.2+ 2×0.3×0.2+ 2×0.3×0.2+0.22= 0.36；……9分 10分(3)ξ的数学期望E ξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07. ……12分18、解：(1)证明：∵AB//CD ，CD ⊂平面PDC，AB ⊄平面PDC ，∴AB//平面PDC.……3分(2)证明：在是直角梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1， 在Rt △BEC 中，∠ABC=450，∴CE=BE=1，CB =，第15题图ABCDP E高三数学(文)第 8 页 共 11 页……4分∴AD=CE=1，则AC ==∴AC 2+BC 2=AB 2，∴BC ⊥AC. ……6分又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ， ……7分而PA ∩AC=A ，∴BC ⊥平面PAC ； ……8分 (3)方法1 PA ⊥平面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，又CD ⊥AD ， 而PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD. 又PA=AD=1，AC =PC =，PD = ……10分∴点D 到PC的距离PC D S h'1PC2==V ……11分在三棱锥P-ACD 中，A D C 11S C D A D 22=⋅⋅=V，PAC 1S AC PA 22=⋅⋅=V ，V P-ACD =V D-PAC ，∴点D 到PAC的距离AD C P AC D PACPAC1S PA V 3h 11S S 33-⋅===V V V ……13分∴h sin h'2α==……14分方法2如图，分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知，A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，……9分∴AP (001)=uur ，，，PC (111)=-uu r ，，，设m (a b c)=u r ，，为平面PAC 的一个法向量，则m AP 0m PC 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uu r，即c 0a b c 0=⎧⎨+-=⎩， 设a=1，则b=－1，∴m (110)=-u r，，， ……10分 同理设n (x y z)=r ，，为平面PCD 的一个法向量，求得∴n (101)=r，，，……11分 ∴m n 1cos =2|m ||n |⋅α==⋅u r ru r u ur -， ……13分 ∴sin 2α= ……14分高三数学(文)第 9 页 共 11 页19、解：(1)函数1f(x)=x lnx ⋅(x>0且x≠1)，则22ln x 1f'(x)=x ln x +-⋅， ……2分若f′(x 0)=0，可求得01x =e. ……4分故单调递增区间是1(0)e，，单调递减区间是1(1)e，和(1，+∞).(3)在1αx 2x >两边取对数，得1ln 2alnx x>， ……10分由于0<x<1，所以a 1ln 2xlnx>(*)，……11分由(*)的结果可知，当x ∈(0，1)时，1f(x)f()=e e≤-， ……13分 为使(1)式对所有x ∈(0，1)成立，当且仅当ae ln 2>-，即a>－eln2. ……14分20、解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意22b 1()(a 3a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， ……2分 解得a =b=1， ……3分 ∴c = ……4分∴所求椭圆C 的方程为：22xy 13+=.……5分(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，①当AB ⊥x 轴时，|AB |=； ……6分 ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m ， ……7分 由已知=2223m =(k +1)4， ……8分把y=kx+m 代入椭圆方程，整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2－3=0，∴1226km x +x =3k +1-，21223(m 1)x x =3k +1-⋅， ……9分22222221222236k m12(m 1)|AB |(1+k )(x x )(1+k )[](3k +1)3k +1-=--22222222224212(k 1)(3k +1m )3(k 1)(9k 1)12k3(3k +1)(3k +1)9k +6k 1+-++===++2212319k 6k=+++(k ≠0) 1234236≤+=⨯+， ……11分高三数学(文)第 10 页 共 11 页当且仅当2219k k=，即k 3=±时等号成立. ……12分当k=0时，|AB |=，综上可知，|AB|max =2， ……13分∴当|AB|最大时，△AOB面积的最大值为max 1S |AB |222=⨯=.21、解：(1)数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n －n 2+3n ，(n ∈N*)，所以a 2=2a 1－12+3×1=4，a 3=2a 2－22+3×2=10. ……2分 (2)若数列{a n +λn 2+μn}为等比数列，则存在q ≠0，使a n+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=q(a n +λn 2+μn ) 对∀n ∈N*成立. ……3分 由已知a n+1=2a n －n 2+3n ，代入上式得，2a n －n 2+3n +λ(n+1)2+μ(n+1)= q(a n +λn 2+μn )， 整理得 (q －2)a n +(λq －λ+1) n 2+(μq －2λ－μ－3)n －λ－μ=0，① ……5分 因为①式对∀n ∈N*成立，所以q 20q 10q 2300-=⎧⎪λ-λ+=⎪⎨μ-λ-μ-=⎪⎪-λ-μ=⎩，解得q=2，λ=－1，μ=1，此时，a n +λn 2+μn = a n －n 2+ n ， ……7分当λ=－1，μ=1时，数列{a n +λn 2+μn}是公比为2的等比数列. ……8分 (3)证明：由(2)得，a n －n 2+ n=(a 1－12+ 1)2n-1=2n-1，即a n =n 2－n+2n-1， 所以n n 12n 11b =a n 2n-=+-， ……9分因为n 2221111b 111nn n n 422=<=---+， ……10分当n ≥2时，S n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n1111112151()()...()1355711133n n n 2222222<+-+-++-=+-<-++， ……11分现证n 6n S >(n 2)(n +1)(2n +1)≥.证法1：当n=2时，21215S =b b 144+=+=， 而6n 62124(n +1)(2n +1)(2+1)(22+1)355⨯===⨯⨯，5445>，当n=2时成立，……12分当n≥3时，由n 21111b =nn (n 1)nn 1>=-++，S n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n 11111111n (1)()()...()122334n n 1n 1n 1>-+-+-++-=-=+++，且2n+1>6得，612n 1>+，∴n n6n S >n 1(n +1)(2n +1)>+. ……14分证法2：当n≥2时，2222n 222211111n (n 1)(2n 1)S (123...n )(...)6123n++=++++++++>(1+1+1+…+1)2=n 2，∴n 6n S >(n +1)(2n +1). ……14分高三数学(文)第 11 页 共 11 页证法3：(数学归纳法)①当n=2时，21215S =b b 144+=+=，而6n62124(n +1)(2n +1)(2+1)(22+1)355⨯===⨯⨯，5445>，故当n=2时不等式成立， ……12分②假设n=k(n ≤k)时不等式成立，即k 6kS >(k +1)(2k +1)成立，则当n=k+1时，2k 1k k 1226k 16k 8k 1S =S b >(k +1)(2k +1)(k +1)(k +1)(2k +1)++++++=，因为226k 8k 16(k +1)(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++-222(6k 8k 1)(k +2)(2k +3)6(k +1)(2k +1)(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++-=32216k 40k 25k 0(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++=>，所以k +16(k +1)S >(k +2)(2k +3)成立， 根据①②可知，n 6nS >(n +1)(2n +1)对于n≥2，n ∈N*都成立. ……14分。

2023-2024学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x +y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°2．圆C 1：x 2+y 2＝9与C 2：x 2+y 2﹣4x +3＝0的位置关系为（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离3．已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（ ）A ．12(b →+c →−a →)B ．12(a →+b →−c →)C ．12(a →−b →+c →)D ．12(c →−a →−b →)4．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点P （2，y 0）到其焦点的距离为3，则该抛物线的方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x5．已知双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2c ，若a ，b ，√36c 依次成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y =±√22x C ．y =±√3x D ．y =±√33x6．记公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15＝3（a 2+3a 9+a k ），则k ＝（ ） A ．13B ．12C ．11D ．107．过点M （2，1）作斜率为﹣1的直线与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1相交于A ，B 两点，若M 为线段AB 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．√23 C ．12D ．√228．已知EF 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．4√2−2B ．4√2+2C ．2√2−1D ．2√2+1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南山区高 三 期 末 考 试文 科 数 学 2014.01.08本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点．2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．5、考试不可以使用计算器．参考公式：独立性检验中的随机变量：22n(ad bc)K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)-，其中n=a+b+c+d 为样本容量；第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、已知全集U=R ，集合P={x|x 2≤1}，那么∁U P=A 、(－∞，－1)B 、(1，+∞)C 、(－1，1)D 、(－∞，－1)∪(1，+∞)2、计算：2(2i)(1i)12i+-=-A 、2B 、－2C 、2iD 、－2i 3、下列函数中是偶函数，且又在区间(－∞，0)上是增函数的是A 、y=x 2B 、y=x -2C 、|x|1y ()4-= D 、653y log x =4、下列命题中的假命题是A 、∃x ∈R ，x 3<0B 、“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件C 、∀x ∈R ，2x >0D 、“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件5、已知a (12)= ，，b (x 1)= ，，且(a 2b)//(2a b)+-，则x 的值为 A 、1 B 、2 C 、13 D 、126、已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且A=60o ，c=3b ，则ac的值为A、35BCD7、已知x，y满足x32y x3x2y63y x9≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则z=2x－y的最大值是A、152B、92C、94D、28、点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x=－1的距离和的最小值是ABC、2 D9、若对任意a，b∈A，均有a+b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，下面正确的是A、集合{－4，－2，0，2，4}为闭集合B、集合{n|n=3k，k∈Z}为闭集合C、若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合D、闭集合A至少有两个元素10、双曲线2222x y1a b-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线的右支与M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为ABC、53D第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．．(一)必做题：(11～13题)：11、已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n，(n∈N*)，则a n=______.12、如果执行右图程序框图，那么输出的S=______.13、命题“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”，学生小夏这样证明：设a，b与平面α相交于A，B，连结A、B，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，……①∴a⊥AB，b⊥AB，……②∴a∥b. ……③这里的证明有两个推理，即①⇒②和②⇒③，老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_________.(二)选做题：(14～15题，考生只能从中选做一题)：14、(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x cos y 1sin =α⎧⎨=+α⎩(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________________.15、(几何证明选讲选做题)如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF FGBC AD +=__________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 16、(本小题满分12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样方法(层内采用不放回的简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3人进行考核. (1)求甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有又1名女工的概率；(3)令X 表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X 的分布列及数学期望.17、(本小题满分12分)如图所示，设A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、第二象限. C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△ABC 为等边三角形.记以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ.(1)若点A 的坐标为34()55，，求22sin sin 2cos cos 2θ+θθ+θ的值； (2)设2f ()|BC |θ= ，求函数f(θ)的解析式和值域.18、(本小题满分14分)如图所示，已知斜三棱柱(侧棱不垂直底面)A 1ACC与底面ABC 垂直， BC=2，AC =AB =11AA A C ==(1)求侧棱B 1B 在平面A 1ACC 1上的正投影的长度；(2)设AC 的中点为D ，证明：A 1D ⊥底面ABC ； (3)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的余弦值. A19、(本小题满分14分)已知椭圆C ：2222x y 1a b+=(a>b>0)，其左焦点为F(0). (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点D(1，0)，直线l ：y=kx+m(k≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，若 △DAB 是以AB 为底边的等腰三角形，试求k 的取值范围.20、(本小题满分14分) 已知函数xf (x)1x=+(x>0)，数列{a n }满足a 1=0.5，a n+1=f(a n )(n ∈N*). (1)求a 2，a 3的值； (2)证明数列n1{}a 是等差数列并求出数列{a n }的通项公式； (3)设n n n 1b 1(1)(2)a a 4=11--+(n ∈N*)，求证：b 1+b 2+……+ b n <5.=21、(本小题满分14分)已知函数xf(x)kln x=+(k为常数，e=2.71828是自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)探究函数ln xg(x)f(x)x=-)在x∈(1，+∞)上的零点个数(只要求写出结果)；(3)若函数22kf(x)eh(x)f(x)+=(k>2，x>1)，求函数h(x)的最小值.高三数学(文)参考答案及评分标准2014.1.89、2n ； 10、94； 11、②⇒③； 12、0.5 ；1314、ρ=2sin θ； 15、1. 三、解答题：(80′) 16、(本题满分12分) 解：(1)310=215⨯ ，3×5=115， 答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名. ……2分(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为11146521105C C C 8=C C 15. ……6分(3)X 可取值：0，1，2，3，214321105C C 2P(X =0)==C C 25， 111126432421105C C C +C C 28P(X =1)==C C 75， 211116326421105C C +C C C 31P(X =2)==C C 75，216221105C C 2P(X =3)==C C 15，……10分2283128E(X)0123257575155=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……12分17、(本题满分12分)解：(1)因为点A 的坐标为34()55，，故4sin 5θ=，3cos 5θ=，……3分 所以22222sin θ+sin2θsin θ+2sin θcos θ==20cos θ+cos2θ2cos θsin θ-． ……6分 (2)因为以OA 为终边的角是θ，且△AOB 为等边三角形，所以以OB 为终边的角为πθ+3，所以点B 的坐标是ππ(cos(θ+)sin(θ+))33，.……8分而C(1，0)．所以222ππf(θ)=|BC |=[cos(θ+)1]+sin (θ+)33-π=22cos(θ+)3-. ……10分因为点A 、B 分别在第一、二象限，所以ππθ(2k π+2k π+)62∈，，k ∈z ，所以ππ5π(θ+)(2k π+2k π+)326∈，，k ∈z ． ……11分 所以πcos(θ+)3的值域为(0)，所以2|BC |(22∈，. ……13分因此函数πf(θ)=22cos(θ+)3=-，f(θ)的值域是(22+，. ……14分 18、(本题满分14分)解：(方法一)(1)∵ABC-A 1B 1C 1是斜三棱柱，∴BB 1∥平面A 1ACC 1，故侧棱B 1B 在平面A 1ACC 1上的正投影的长度等于侧棱B 1B 的长度．……2分又11BB =AA =故侧棱B 1B 在平面A 1ACC 1. ……3分 (2)证明：∵AC =11AA =A C∴AC 2= A 1A 2+ C 1A 2， ∴三角形AA 1C 是等腰直角三角形，……5分又D 是斜边AC 的中点，∴A 1D ⊥AC ……6分∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥底面ABC ， ……7分 (3)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，∵A 1D ⊥面ABC ，得A 1D ⊥AB ．∴AB ⊥平面A 1ED ， ……8分 从而有A 1E ⊥AB ，∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． ……9分 ∵BC=2，AC =AB =AC 2=BC 2+AB 2，∴三角形ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ， ……10分 ∴ED ∥BC ，又D 是AC 的中点，BC=2，AC = ……11分 ∴DE=1，1A D =AD =，1A E ==2， ……12分∴11DE 1cos A ED ==A E 2∠， ……13分 即侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的余弦值为0.5. ……14分 (方法二)(1)同方法一 ；(2)同方法一.(3)∵BC=2，AC =AB =AC 2=BC 2+AB 2， ∴三角形ABC 是直角三角形，过B 作AC 的垂线BE ，垂足为E ，1则AB BCBE===AC⋅EC=∴DE=CD EC==33-，……8分以D为原点，A1D所在的直线为的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(00)，，1A(00，1A A(0=-，，1A B=-，设平面A1ABB1的法向量为n=(x y z)，，，则11n A A=0n A B=0⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即=0x+=0⎧-⎩，化简得z=y+y3z=0-⎧⎪⎨-⎪⎩令x=y=－1，z=1，所以p=11)-，是平面A1ABB1的一个法向量.……11分由(1)得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为q=(001)，，，……12分设向量p和q所成角为θ，则p q1cosθ===p q2⋅， (13)分即侧面A1 ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值为0.5. ……14分19、(本题满分14分)解：(1)由题意知，c=a，c=，∴a=2，b=1，……1分1所以，椭圆C 的方程为22x +y =14. ……4分(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，由22y =kx +m x +y =14⎧⎪⎨⎪⎩，得(4k 2+1)x 2+8kmx+4(m 2－1)=0， ……6分 据△>0，得4k 2+1>m 2 (※)， ……7分有128km x =2(4k +1)-，228km x =2(4k +1)-，∴1228kmx +x =4k +1-， ∴024km x =4k +1-，02my =4k +1， ……10分 又由题意知，DM 垂直平分AB ，则DM 的方程为：x=－ky+1，……11分将点M 的坐标代入，得24k +1m =3k -， (☆) ……12分由(※)，(☆)得，222(4k +1)4k +1>9k，解得k (U (+)55∈-∞-∞，所求. ……14分 20、(本题满分14分)解：(1)易求得21a =3，31a =4. ……2分 (2)∵xf(x)=(x 0)1+x>，则n n+1n n a a =f(a )=1+a ， ……3分得n+1n 11=1a a +， ……5分 即n+1n11=1a a -， ……6分 ∴数列n1{}a 是首项为2，公差为1的等差数列， ……7分 ∴n 1=n +1a ， 即n 1a =n +1. ……9分 (3)由(2)知，b 1=4， ……10分n 1111b ==1n(n 1)n 1nn(n 1)+4≤----(n≥2)， ……12分则 123n 11111b +b +b ++b <4+(1)+()+...+()223n 1n---- (1)=5<5n-，故b 1+b 2+b 3+…+b n <5. ……14分 21、(本题满分14分)解：(1)已知f(x)的定义域为(0，1)∪(1，+∞)，2lnx 1f(x) =(lnx)-. ……2分 令f′ (x)>0，得x ∈(e ，+∞)，f′ (x)<0，得x ∈(0，1)、(1，e)， ……3分 ∴f(x)的单调增区间为(e ，+∞)；单调减区间为(0，1)、(1，e). ……5分 (2)①当1k >e e -时，g(x)没有零点；②当1k =e e-时，g(x)有一个零点； ③当1k <e e-时，g(x)有两个零点. ……8分 (3)设F(k)=e k －e －k(k ≥2)，则F ′(k)=e k －1>0，∴F(k)在[2，+∞]上单调递增，∴当k>2时，F(k)= F(2)= e 2－e －2>0，即当k>2时，e k >e+k ，……10分由(1)知，当x>1时，f(x)≥f(e)=e+k ， ……11分22k 2kk f (x)+e e h(x)==f(x)+=2e f(x)f(x)≥， ……13分当且仅当f(x)= e k 时取等号，∴h(x)最小值为2e k . 三、解答题：(80′)16、(本题满分12分)解：(1)依题意得2π2π1==T 6π3ω=，∴x πf(x)=Asin(+)36， ……2分由f(2π)=2，得2ππAsin(+)=236，即5πAsin =26，∴A=4， ……4分∴x πf(x)=4sin(+)36. ……5分(2)由16f(3α+π)=5，得1π164sin[(3α+π)+)]=365，即π164sin(α+)=25，∴4cos 5α=， ……6分又∵πα[0]2∈，，∴3sin 5α=， ……7分由5π20f(3+)=213β-，得15ππ204sin[(3+)+)]=32613β-，即5sin(+π)=13β-，∴5sin β13=， ……9分又∵πβ[0]2∈，，∴12cos β13=， ……10分cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ412356351351365=⨯+⨯=. ……12分17、(本题满分12分)(2)根据列联表中的数据，得到2105(10302045)k = 6.109 3.84155503075⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， ……5分 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”. ……6分(3)设“抽到6或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y).所有的基本事件有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)、(4，5)、(4，6)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(5，5)、(5，6)、(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(6，6)，共36个. ……8分事件A 包含的基本事件有：(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(4，6)、(5，1)、(5，5)、(6，4)，共8个， ……10分∴82P(A)399==， ……11分 故抽到6或10号的概率是29. ……12分 18、(本题满分12分) 解：(1)取线段A 1B 1中点M ，连结C 1M ，∵C 1A 1=C 1B 1，点M 为线段A 1B 1中点，∴C 1M ⊥A 1B.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，∴A 1A ⊥平面C 1A 1B 1，∴A 1A ⊥C 1M ， ∵A 1A ∩A 1B 1= A 1，∴C 1M ⊥平面ADB 1A 1，……2分∴1113C -ADB A 1(2a +a)2a V ==32⨯⨯. ……5分 (2)连结BC 1，B 1C 交于点E ，则点E 是B 1C 的中点，连结DE ， 因为D 点为AB 的中点，所以DE 是△ABC 1的中位线，所以AC 1∥DE ， ……7分因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1 ⊄平面CDB 1， 所以AC 1∥平面CDB 1. ……9分(3)因为AC 1∥DE ，所以∠EDB 1是异面直线AC 1与DB 1所成的角， ……10分因为棱长为2a ，所以1DE =EB =，1DB =，1 C A B C D A 1 B 1C 1 M取DB 1的中点F ，连接EF ，则EF ⊥DB 1，且DE =， ……12分所以1DF cos EDB ==DE 4∠， 即异面直线AC 1与DB 1所成的角的余弦值为4 ……14分 19、(本题满分14分)解：(1)由题意知，c =a，c =，∴a=2，b=1， ……1分 所以，椭圆C 的方程为22x +y =14. ……4分 (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)， 由22y =kx +m x +y =14⎧⎪⎨⎪⎩，得(4k 2+1)x 2+8kmx+4(m 2－1)=0， ……6分 据△>0，得4k 2+1>m 2 (※)， ……7分有128km x =2(4k +1)-，228km x =2(4k +1)-，∴1228km x +x =4k +1-， ∴024km x =4k +1-，02m y =4k +1， ……10分 又由题意知，DM 垂直平分AB ，则DM 的方程为：x=－ky+1，……11分将点M 的坐标代入，得24k +1m =3k-， (☆) ……12分 由(※)，(☆)得，222(4k +1)4k +1>9k ，解得k (U +)∈-∞∞，所求. ……14分 20、(本题满分14分)解：(1)易求得21a =3，31a =4. ……2分(2)∵x f(x)=(x 0)1+x>，则n n+1n n a a =f(a )=1+a ， ……3分 得n+1n 11=1a a +， ……5分 即n+1n11=1a a -， ……6分 ∴数列n1{}a 是首项为2，公差为1的等差数列， ……7分 ∴n 1=n +1a ， 即n 1a =n +1. ……9分 (3) ∵21[f(x)]'=(1+x)， ……10分 ∴函数f(x)在点(n ，f(n))(n ∈N*)处的切线方程为：2n 1y =(x n)1+n (1+x)--， ……11分 令x=0，得2n 22n n n b ==1+n (1+n)(1+n)-. ……12分 ∴222n 2n n b λλn +λ(n +1)=(n +)+λa a 24λ+=-， 仅当n=5时取得最小值，只需9λ11222<-<，解得－11<λ<－9， 故λ的取值范围为(－11，－9)． ……14分21、(本题满分12分)解：(1)当1a =2时，f(x)的定义域为1()2，+∞， ……1分 又'12(x +)(x 1)12f (x)=2x =11x x 22----- ……2分 ∴1x (1)2，∈时，f′(x)>0；x ∈(1，+∞)时，f′(x)<0. ……3分 所以f(x)的递增区间为1(1)2，，递减区间为(1，+∞). ……4分 (2)当x ∈[1，2]时，x －a>0恒成立，即a<1； ……5分 当x ∈[1，2]时，'1f (x)=2x 0x a -≤-恒成立，即1a x 2x≤-恒成立，……6分 又x ∈[1，2]时，min 110(x )2x 2≤-=， ……8分 所以1a 2≤. ……9分 (3)设切点为(x 0，y 0)，则00'000y =x f (x )=1y =f(x )⎧⎪⎨⎪⎩， ……10分所以ln(x 0－a)－x 02=x 0，且001=1+2x x a -，即001x a 1x -=+. 所以20001ln x =x 1+2x -，所以2000x +x +ln(1+2x )=0 ……11分 设g(x)=x 2+x+ln(1+2x)，1x >2-，则2'(1+2x)+1g (x)=>01+2x ， 所以g(x)在1()2，-+∞上为增函数，又g(0)=0， ……13分 所以g(x)=0有唯一解x=0，故x 0=0，于是a=－1. ……14分。

2025届深圳市南山区数学三上期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、填空题。

（20 分）1．的个数是的_____倍；的个数是的_____倍．2．3分＝（________）秒1吨－700千克＝（________）千克40毫米＝（________）厘米1米－2分米＝（________）分米500厘米＝（________）米6000米＋4000米＝（________）千米3．3600是由（________）个千、6个（________）组成的。

4．超市上午9：00开门，小亮8：35就到了，她还要再等_____分钟。

5．小红在做一道加法题目时，把个位上的5看作9，把十位上的8看成3，结果得到“和”是1．正确的结果是_____．6．李明每天上午7：50到校，11：30离校；下午2：00到校，下午4：40放学。

李明一天在校的时间是（_____）小时（_____）分。

7．7×46的积在（______）和（______）之间，更接近（______）。

8．口算400×5，可以把400看成（________）个百，乘5得（________）个百。

9．6个边长1厘米的正方形拼成一个长方形，它的周长是（________）或（________）。

10．把一张长18厘米、宽9厘米的长方形纸，平均分成两个正方形，每个正方形的周长是________厘米。

二、选择题。

（把正确答案序号填在括号里。

每题 2 分，共 10 分）11．在下面的算式中，运算顺序：先加法后除法的是（）。

A．8×（56－6）B．56－6×8 C．21＋56÷7 D．（21＋56）÷712．一条鱼重2( )A．克B．千克C．米D．厘米13．东南方的后面是（）。

2023-2024学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |y ＝lg （1﹣x ）}，B ＝{﹣1，0，1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0}B ．{0，1}C ．（0，1]D ．（﹣∞，1）2．下列所给的等式中正确的为（ ） A ．2π3=135° B ．tanπ6=√3 C ．sin3π4=√22D ．cos(−π3)=−123．已知命题p ：“∀x ≤0，x ﹣cos x ＜0”，则p 的否定为（ ） A ．∃x ≤0，x ﹣cos x ≥0 B ．∃x ＞0，x ﹣cos x ≥0 C ．∀x ≤0，x ﹣cos x ≥0D ．∀x ＞0，x ﹣cos x ≥04．设函数f （x ）＝3x +2x ﹣4的零点为x 0，则x 0∈（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）5．要得到y =sin x 2的图象，只需将函数y =cos(x 2−π4)的图象（ ）A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度6．已知函数f （x ）={2x ，x ＜1，x 2，x ≥1，若f （f （sin θ））＝2，则θ的值可以为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67．设函数f （x ）＝x 2ln1+x1−x，则函数f （x ）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知a ＝sin1+cos1，b ＝log cos1sin1，c ＝2cos1，则（ ） A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。