南实集团麒麟中学2022-2023学年度第一学期期末诊断九年级数学学科试卷第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【详解】解：从上面看可得到一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两旁分别有一条纵向的虚线．故选：D ．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2.若关于x 的一元二次方程2(1)410k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A.5k ≤ B.5k ≤，且1k ≠ C.5k <，且1k ≠ D.5k <【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k -1≠0且△=42-4（k -1）×1＞0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．【详解】解：由题意得，k -1≠0且△=42-4（k -1）×1＞0，解得：k ＜5且k ≠1．故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：解题的关键是掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3.已知反比例函数2n y x -=的图象位于第一、三象限，则n 的取值可以是（）A.-2B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由反比例函数的性质得20n ->，解得2n >，即可做出判断．【详解】解：∵反比例函数2n y x-=的图象位于第一、三象限，∴20n ->，∴2n >，n 的取值可以是3，故选：D【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键．4.在四边形ABCD 中，AD BC ∥，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A.AD BC =且AC BD= B.AD BC =且A B ∠=∠C.AB CD =且A C∠=∠ D.AB CD 且AC BD =【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；【详解】解：A 、∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形，故选项A 不符合题意；B 、∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∠A +∠B ＝180°，∵∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故选项B 不符合题意；C 、∵AD ∥BC ，∴∠A +∠B ＝∠C +∠D ＝180°，∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D ，∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB CD∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC BD=，∴四边形ABCD是矩形，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键．5.在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）A.2B.12C.18D.24【答案】C【解析】【分析】根据用频率估计概率可知:摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数.【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)则红球的个数为:24－6=18(个)故选C.【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键.6.同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为l，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A B''高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏（）A.3lB.2lC.23l D.12l【答案】B【解析】【分析】利用蜡烛焰AB是像A′B′的一半，得出AB距离O与A′B′到O的距离比值为1：2，进而求出答案．【详解】解：设带“小孔”的纸板距离光屏x ，根据题意可得：12l x =，解得：x =2l ，则带“小孔”的纸板距离光屏2l ，故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．7.如图，有一面积为2600m 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m ），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m 的门，竹篱笆的总长为69m ．设鸡场垂直于墙的一边为m x ，则列方程正确的是()A.()6912600x x +-= B.()6912600x x --=C.()692600x x -= D.()3512600x x +-=【答案】A【解析】【详解】解：∵鸡场垂直于墙的一边为x m ，∴平行于墙的一边的长度为：()6912x +-m∴()6912600x x +-=故选：A【点睛】本题考查图形与一元二次方程．正确理解题意是解题关键．8.下列命题中，错误的是（）A.顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形B.反比例函数的图象是轴对称图形C.线段AB 的长度是2，点C 是线段AB 的黄金分割点且<AC BC ，则1AC =-D.对于任意的实数b ，方程230x bx --=有两个不相等的实数根【答案】C【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】A.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；B.反比例函数的图象是轴对称图形，故此命题正确；C.线段AB 的长度是2，点C 是线段AB 的黄金分割点且<AC BC ，则51212BC =⨯=，则，故此选项错误；D.对于任意的实数b ，方程230x bx --=有两个不相等的实数根,因为△=b²-4ac=b²+12＞0，故此命题正确．故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉掌握性质定理．9.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低()元．A .0.2或0.3 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】C【解析】【详解】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x ），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x 元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．根据题意，得（3﹣2﹣x ）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x 1=0.2，x 2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选C ．10.如图，正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交AD ，BC 及AB 的延长线于点F ，G ，H ，连接HE ，HC ，OD ，连接CO 并延长交AD 于点M ．则下列结论中：①FG=2AO ；②OD ∥HE ；③BH AM EC MD=；④2OE 2=AH•DE ；⑤GO+BH=HC 正确结论的个数有（）A .2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】建立以B 点位坐标原点的平面直角坐标系，分别求出相应直线的解析式和点的坐标，求出各线段的距离，可得出结论.【详解】解：如图，建立以B 点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2，可分别得各点坐标，A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2),E 为CD 的中点,可得E 点坐标（2，1），可得AE 的直线方程，122y x =-+，由OF 为直线AE 的中垂线可得O 点为02213(,)(1,222++=，设直线OF 的斜率为K ，得1()12k ⨯-=-，可得k=2,同时经过点O(31,2),可得OF 的直线方程：122y x =-，可得OF 与x 轴、y 轴的交点坐标G(14,0),H(0,12-),及F(54,2),同理可得：直线CO 的方程为：332y x =-+，可得M 点坐标（23，2），可得：①=,AO=1122AE =,故FG=2AO ，故①正确；②：由O 点坐标3(1,)2，D 点坐标（2，2），可得OD 的方程：112y x =+，由H 点坐标(0,12-)，E 点坐标（2，1），可得HE 方程：3142y x =-，由两方程的斜率不相等，可得OD 不平行于HE ，故②错误；③由A(0,2)，M （23，2），H(0,12-)，E （2，1），可得：BH=12,EC=1,AM=23,MD=24233-=,故BH AM EC MD==12，故③正确；④：由O 点坐标3(1,)2，E （2，1），H(0,12-)，D(2,2),可得：222315(12)(1)1244OE =-+-=+=,AH=15222+=,DE=1,∴有2OE 2=AH•DE ，故④正确；⑤：由G(14,0)，O 点坐标3(1,)2，H(0,12-)，C(2,0),可得：4GO ==,BH=12172=,可得：GO≠BH+HC,故正确的有①③④，故选B ．【点睛】本题主要考查一次函数与矩形的综合，及点与点之间的距离公式，难度较大，灵活建立直角坐标系是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11.已知a 、b 、c 满足235a b c ==，a 、b 、c 都不为0，则a b c a +=-______．【答案】53##213【解析】【分析】设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =，代入a b c a +-求解即可．【详解】解：设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =，∴23555233a b k k k c a k k k ++===--．故答案为：53．【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．12.若实数a ，b 是一元二次方程2310x x --=的两根，则221a b ab +-+=______．【答案】8【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵实数a ，b 是一元二次方程2310x x --=的两根，∴31a b ab +==-，，∴()221216118a b ab a b ab +-+=+-+=++=，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若12x x ，是该方程的两个实数根，则1212b c a x x x x a+=-=，．13.如图，直线123l l l ∥∥，另两条直线分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C 及点D 、E 、F ，且=3AB ，4DE =，2=EF ，则=AC ___________.【答案】4.5【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得=AB DE BC EF，即可求得BC 的长，据此即可求得．【详解】解：123l l l ∥∥ ，=AB DE BC EF ∴，得34=2BC ，解得3= 1.52BC =，3 1.5 4.5AC AB BC ∴=+=+=，故答案为：4.5．【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14.如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．【答案】245##4.8【解析】【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH ∥BC ，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM EH AD BC=，再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴AEH ABC ∽，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴,AM EH DM EF AD BC==，∴6AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵=2EH EF ，代入可得：6268EF EF -=，解得12=5EF ，∴1224=255EH ⨯=，故答案为：245．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．15.如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠ABC +2∠BCD ＝180°，分别连接AC 、BD ，且∠BCD ＝2∠ADB ，若AD ＝3，BC ＝5，则AC 的长度为_____．【答案】1255【解析】【分析】延长CD ，交BA 的延长线于点E ，分别过B ，A 作DE 的垂线，垂足分别为F ，H ，推出BC ＝BE ＝5，设∠ADB ＝α，则∠BCD ＝∠E ＝2α，推出△EDB 为等腰三角形，则DE ＝BE ＝5，△ADE 为“345”直角三角形，通过∠E 的正弦函数可分别把AH ，BF 的长求出来，再利用勾股定理把EH ，EF 的长度求出来，推出AH 的长，在Rt △ACH 中利用勾股定理即可求出AC 的长．【详解】解：如图，延长CD ，交BA 的延长线于点E ，分别过B ，A 作DE 的垂线，垂足分别为F ，H ，∵∠ABC +2∠BCD ＝180°，∠ABC +∠BCD +∠E ＝180°，∴∠BCD ＝∠E ，∴BC ＝BE ＝5，设∠ADB ＝α，则∠BCD ＝∠E ＝2α，在Rt △BAD 中，∠ABD ＝90°﹣α，∴在△BDE 中，∠BDE ＝180°﹣∠ABD ﹣∠E＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠BDE，∴EB＝ED＝5，∴在Rt△EDA中，AE4==∵sin∠E＝35 AH BF ADAE BE DE===，∴AH＝125，BF＝3，在Rt△BEF中，EF4==∴CF＝EF＝4，EC＝8，在Rt△EHA中，EH165 ==∴CH＝EC﹣EH＝24 5，在Rt△ACH中，AC1255 ==故答案为：125 5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题关键是由已知条件中的2倍角作辅助线构造等腰三角形等．三、解答题（共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题9分，第21题8分，第22题9分，共55分）16.按照指定方法解下列方程：（1）22415x x ++=（配方法）（2）23410x x --=（公式法）【答案】（1）1211x x =-+=--（2）1222,33x x +==【解析】【分析】（1）先把1移到方程的右边，并合并，再把二次项系数化为1，然后配方求解即可；（2）先求出∆的值，再利用求根公式求解即可．【详解】解：（1）∵22415x x ++=，∴2244x x +=，∴222x x +=，∴22121x x ++=+，∴2(1)3x +=，∴1x +=，∴1211x x =-+=--（2）∵23410x x --=，∴∆=16+12＝28，∴423±=⨯x 273±=，∴122727,33x x +==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握配方法、求根公式法是解答本题的关键．17.为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A “健美操”、B “跳绳”、C “剪纸”、D “书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C 组所对应的扇形圆心角为_______度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．【答案】（1）40，图见解析（2）72（3）560（4）12【解析】【分析】（1）由A 组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A 、B 、D 人数求出C 组人数即可补全图形；（2）用360°乘以C 组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中B 组人数所占比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】本次调查总人数为410%40÷=（名），C 组人数为40416128---=（名），补全图形如下：故答案为：40；【小问2详解】83607240⨯︒=︒，故答案为：72；【小问3详解】16140056040⨯=（人），故答案为：560；【小问4详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为61122=．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数1(0,0)k y k x x=≠>与一次函数2()0y ax b a =+≠的图象相交于点()1,8A 和()4,B m ．（1）分别求反比例函数和一次函数的表达式；（2）请直接写出当0x >时，k ax b x>+的解集（3）横纵坐标均为整数的点叫整点，我们把A ，B 之间的双曲线和线段AB 围成的封闭图形（不含边界）记作区域G ，直接写出区域G 整点的坐标．【答案】（1）()180y x x=>，2210y x =-+（2）01x <<或>4x（3）()2,5和()3,3【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式（2）根据两个函数的图象的交点即可求得k ax b x>+的解集（3）先由()1,8A 、()4,2B ，确定区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是14x <<，即确定x 的取值为2x =或3x =，然后再确定纵坐标的值，即可求得区域内的点的坐标【小问1详解】将点()1,8A 代入反比例函数1k y x =得：81k =，解得：8k =，∴18y x=，将点()4,B m 代入反比例函数18y x=得：824m ==，∴()4,2B ，将点()1,8A 、()4,2B 分别代入一次函数2y ax b =+得：842a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：210a b =-⎧⎨=⎩，∴反比例函数的表达式是：()180y x x =>，一次函数的表达式是2210y x =-+【小问2详解】∵由（1）知点()1,8A 、点()4,2B ，∴观察图象，当k ax b x >+时，01x <<或>4x 【小问3详解】∵()1,8A 、()4,2B ，∴反比例函数与一次函数的图象围成的区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是14x <<，∴x 的取值为整数时，2x =或3x =，当2x =时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于222106y =-⨯+=，最小值不能小于1842y ==，∴横、纵坐标均为整数的点只能是()2,5；当3x =时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于223104y =-⨯+=，最小值不能小于183y =，∴横、纵坐标均为整数的点只能是()3,3；∴区域G 整点的坐标为()2,5和()3,3【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握两个函数的性质是解决问题的关键19.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．（1）在图①中以线段AD 为边画一个三角形，使它与ABC 相似．（2）在图②中画一个三角形，使它与ABC 相似（不全等）．（3）在图③中的线段AB 上画一个点P ，使23AP PB =．【答案】（1）见解析；（23）见解析【解析】【分析】（1）连接DE ，则DE//BC ，由相似三角形的判定方法可知△ADE ∽△ABC ；（2）如图②，根据勾股定理和相似三角形的判定方法可知△DEF ∽△ABC ；（3）连接DE ，BE ，DE 交AB 于点P ，则DE//BC ，根据平行线分线段成比例定理可知23AP AD PB DC ==．【详解】解：（1）如图①；（2）如图②；（3）如图③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的管家．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．20.如图，四边形ABCD 是菱形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，分别交BD 、CD 于点E 、F ，连接CE ．（1）求证：DAE DCE ∠=∠；（2）求证：ECF EGC ∽；（3）当2AE EF =时，判断FG 与EF 有何等量关系？并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）3FG EF =，证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，可得到ADB CDE ∠=∠，AD CD =，证明两三角形全等，可得到对应角相等，进而得到答案；（2）根据已知条件可以找到两个三角形的三个对应角相等，因此可证明出相似；（3）根据（1）（2）中的已知条件可以找到相等的边，再根据相似三角形对应边成比例可得出最终结果．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ADB CDE ∠=∠，AD CD =，在ADE CDE △和△中，AD CD ADB CDE ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CDE ≌△△（SAS ），∴DAE DCE ∠=∠；【小问2详解】证明：由（1）可得DAE DCE ∠=∠，∵四边形ABCD 是菱形，点G 是BC 延长线上一点，∴AD BG ∥，∴DAE G ∠=∠，∴DCE G ∠=∠，又CEF GEC ∠=∠，∴EFC ECG ∠=∠，在ECF EGC ∆和△中，DAE G CEF GEC EFC ECG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ECF EGC ∽；【小问3详解】解：当2AE EF =时，3FG EF =，证明如下：由（2）可得ECF EGC ∽，∴EF CE EC EG=，∵ADE CDE ≌△△，∴EC AE =，∴EF AE AE EG=，又2AE EF =，EG EF FG =+，∴122EF EF FG =+，整理可得3FG EF =．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形、相似三角形，解题的关键是找到各个角度、各个边长之间的关系．21.阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．（1）问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2=，x 3=；（2）拓展：用“转化”x =的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m ，宽AB=3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求AP 的长．【答案】(1)-2，1；（2）x=3；【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP 的长为xm ，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【详解】解：（1）3220x x x +-=，()220x x x +-=，()()210x x x +-=所以0x =或20x +=或10x -=10x ∴=，22x =-，31x =；故答案为2-，1；（2x =，方程的两边平方，得223x x +=即2230x x --=()()310x x -+=30x ∴-=或10x +=13x ∴=，21x =-，当1x =-时，11==≠-，所以1-不是原方程的解．所以方程x =的解是3x =；（3）因为四边形ABCD 是矩形，所以90A D ∠=∠=︒，3AB CD m==设AP xm =，则()8PD x m=-因为10BP CP +=，BP =CP =∴10=∴10=-两边平方，得()22891009x x -+=-++整理，得49x =+两边平方并整理，得28160x x -+=即()240x -=所以4x =．经检验，4x =是方程的解．答：AP 的长为4m ．【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABOC 为矩形，点A 坐标为()6,3，反比例函数3y x =的图象分别与AB ，AC 交于点D ，E ，点F 为线段DA 上的动点，反比例函数()0k y k x=≠的图象经过点F ，交AC 于点G ，连接FG．（1）求直线DE 的函数表达式；（2）将AFG 沿FG 所在直线翻折得到HFG ，当点H 恰好落在直线DE 上时，求k 的值；（3）当点F 为线段AD 中点时，将AFG 绕点F 旋转得到MFN △，其中A ，G 的对应点分别为M ，N ，当MN DE ∥时，求点N 的坐标．【答案】（1）1722y x =-+（2）212（3）点N 的坐标为725123524⎛⎫ ⎪ ⎪⎝+⎭+，或725123524⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，【解析】【分析】（1）根据反比例函数y =3x 的图象分别与AB ，AC 交于点D ，E ，求得,D E 的坐标，然后待定系数法求解析式即可；（2）连接AH 交FG 于点K ，求得直线FG 的解析式为y =12-x +6k 3+，则FG ∥DE ，根据翻折的性质可得，AH FG ⊥，AK HK =，根据点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，建立方程，解方程求解即可；（3）①如图2，过点M 作MT AB ⊥于点T ，过点N 作NR MT ⊥于点R ，证明MFT FGA ∽，MNR FMT ∽，根据相似三角形的性质求得MR =54，NR=，根据RT MT M =+即可求得N 的坐标，②如图3，过点M 作MT AB ⊥于点T ，过点N 作NR MT ⊥于点R ，方法同①，根据RT MT MR =-即可求得N 的坐标．【小问1详解】解： 反比例函数y =3x的图象分别与AB ，AC 交于点D ，E ，(1D ∴，3)，(6E ，12)，设直线DE 的函数表达式为y ax b =+，则3162a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：1272a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线DE 的函数表达式为y =12-x +72；【小问2详解】如图1，连接AH 交FG 于点K， 反比例函数y =k x ()0k ≠的图象交AB 于点F ，交AC 于点G ，(F ∴3k ，3)，(6G ，6k )，6AF ∴=-3k ，3AG =-6k ，设直线FG 的解析式为y a x b ='+'，则3366k a b k a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+='''⎩'⎪，解得：1236a k b ⎧=-⎪'='⎪⎨⎪+⎪⎩，∴直线FG 的解析式为y =12-x +6k 3+，FG ∴∥DE ，将AFG 沿FG 所在直线翻折得到HFG ，AH FG ∴⊥，AK HK =，∴12AF AG AK AD AE AH ===，∴点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，∴3k =162+，解得：k =212；【小问3详解】①如图2，过点M 作MT AB ⊥于点T ，过点N 作NR MT ⊥于点R，MN ∥DE ，FG ∥DE ，点F 为线段AD 中点MN ∴∥FG ，AF =52，AG =54，在Rt FGA 中，FG===，由旋转得：FMN FAG ≌，90FMN FAG ∴∠=∠=︒，MFN AFG ∠=∠，FM AF ==52，MN AG ==54，FN FG ==4，90MFA AFG ∴∠+∠=︒，90FGA AFG ∠+∠=︒ ，MFA FGA ∴∠=∠，90MTF FAG ∠=︒=∠ ，MFT FGA ∴ ∽，∴MT AF =FT AG =FM FG ，即52MT =54FT =52，MT ∴=，FT=，90MRN FMN ∠=︒=∠ ，90NMR FMT NMR MNR ∴∠+∠=∠+∠=︒，MNR FMT ∴∠=∠，MNR FMT ∴ ∽，∴MR MN =MR FM =MN FN ，即54MR =52NR =54554，MR ∴=4，NR=2，RT MT MR ∴=-=-54=354，∴点N 的横坐标为：72++=7252+，纵坐标为：3+=12354+，N ∴725123524⎛⎫ ⎪ ⎪⎝+⎭+，；②如图3，过点M 作MT AB ⊥于点T ，过点N 作NR MT ⊥于点R，DE ∥FG ，MN ∥DE ，MN ∴∥FG ，90MFG FMN ∴∠=∠=︒，90MFT AFG ∴∠+∠=︒，90AGF AFG ∠+∠=︒ ，MFT AGF ∴∠=∠，MFT FGA ∴ ∽，∴MT AF =FT AG =FM FG ，即52MT =54FT =52554，MT ∴=，FT =52，90MRN FMN ∠=︒=∠ ，90NMR FMT NMR MNR ∴∠+∠=∠+∠=︒，MNR FMT ∴∠=∠，MNR FMT ∴ ∽，∴MR MN =NR FM =MN FN ，即54MR =52NR =54，MR ∴=54，NR=，RT MT MR ∴=-=-4=4，∴点N 的横坐标为：72-52-52=72-，纵坐标为：3-354=124-，N ∴725123524⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，；综上，点N 的坐标为725123524⎛⎫ ⎪ ⎪⎝+⎭+，或725123524⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，)．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．。
