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08-刚体定轴转动动能定理 刚体复合运动

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03-1刚体定轴转动的动能定理和转动定律 (2)

03-1刚体定轴转动的动能定理和转动定律 (2)
该直线称转轴。
定轴转动
非定轴转动
刚体的自由运动：
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
二．刚体定轴转动的运动学
角位置
(t )
>0 <0
0
z
(t )
p
{
逆时针转动 顺时针转动
x
转动平面
参考轴
d 角速度 dt
方向：右手螺旋定则
1 1 2 2 F R d R F d J J 0 0 T 0 T 2 2 1 1 1 1 2 2 2 mgh mv mv0 ( J J 02 ) 2 2 2 2

FN
FT FT
o P'
FT
m
FT
物体由静止开始下落
拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转 动的动能定理可得
1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2

FT



0
FT Rd R FT d
0

P
m
R
o
m' h m
FN
FT
m
1 2 1 2 J J 0 2 2
o P'
1 E k J 2 2
刚体 转动 动能
1 2 平动动能 Ek mv 2 比较： 1 转动动能 Ek J 2 2
d d d d d d dd J J J J J J M JJ 4 定轴转动的动能定理 d d dt d dt d dt dt 2 2 2 2 1 11 2 2 1 2 2 Md J d J J W Md J d J J 2 12 1 1 2 1 1 1 22 2

大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理

大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理

P M f 11 k k (2n1 ) 23.3(W ) 1
3 1 3
P2 M f 22 k k (2n2 ) 68.0(W )
3 2 3
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
(2) 由于吊扇的角速度由静止匀加速增大,故 角加速度

2 0
可见在 0 ~ 过程中唱片是作匀加速转动,故得所需时间
t t 3R 4g
(3) 驱动力矩的功 唱片转过的角度 2 02 2 2 2 3 2 R 8g 2 功: 2 3 R 1 或由转动动能定理得:
W Md M 0 d M Rmg mR 2 2 3 8g 4

ri
mi
O
vi
mi vi mi ri 2 2
整个刚体的动能
1 1 2 1 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) J 2 i 2 i 2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
四
刚体绕定轴转动的动能定理
2 2 1 1
W Md Jd
刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动速度加速度角速度角加速度转动惯量动量角动量刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律质点的平动刚体的定轴转动动量定理动量守恒定律角动量守恒定律恒量刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动刚体的定轴转动动能定理重力势能mgh机械能守恒恒量只有保守力作功时机械能守恒恒量刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动以子弹和杆为系统机械能不守恒

3、刚体定轴转动的动能定理dθd...

3、刚体定轴转动的动能定理dθd...
解: J r2dm R2dm R2 dm mR2
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
OR dm
例2.12 求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm dV 2rdr l
dJ r 2dm 2lr3dr
M
ri
Fi
i
2、质点系对轴的角动量定理
设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动
n
i 1
Miz
d dt
n i1
(ri mi vi
sini
)
因有：vi ri
i
2
n
i 1
Miz
d dt
n
[
i 1
(miri2 )]
vi O ri mi
转动惯量J
n
i 1
Miz
d dt
(Jω)
dLz dt
2L
3
因为 d d d d dt d dt d
所以 d 3g cos
d
2l
积分 d 3g cos d
0
0 2l
得 3g sin
l
四、定轴转动的动能定理
1、转动动能
Ek
n i1
1 2
mi ri 2 2
1n (
2 i1
miri2 )2
1 2
J 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量
2.6 刚体的定轴转动
一 刚体定轴转动的描述
1. 刚体--特殊的质点系
(1) 无限多的质点组成的有限大小的质点系（实际 上是物质连续分布的物体，其微分体积称为质元)； (2) 无论施加多大的力都不会改变形状和大小，即任 意两点间的距离不会因施力和运动而改变；

§7.4刚体定轴转动的动能定理

§7.4刚体定轴转动的动能定理

5mg 解得： N N n 2
小 结 刚体定轴转动
M I
质点直线运动
F ma
0
Mdt I I
功
Fdt mv mv
0
1 转动动能 Ek I 2 2 A Md 1 1 2 2 Md I I 0 2 2 重力势能 E p mghc
例2
解法二：刚体定轴转动的机械能守恒定律
[分析:以杆和地球为一系统,只有 mg 作功, 机械能守恒.] 选择水平位置为杆的势能零点，开始时 E0 0 1 2 l 至杆与水平线夹角为 时 E I mg sin 2 2 1 l 2 N I mg sin 0 2 2 O mg 3g sin 解得： l 1 mg vc 3 gl sin 2
mghc
决定于刚体重心距势能零点的高度。
五、刚体的机械能
1 2 E Ek E p I z mghc 2
刚体的机械能守恒定律：
若只有重力做功，则刚体机械能保持不变。
例1
已知：滑轮为匀质圆柱，质量为m1，半径为R质量 为m2的重物由静止下落h，求重物下落h后的速度。 解1：质点和刚体定轴转动的动能定理
外 k
k0
由于刚体内力作功的代数和为零
1 1 2 2 A外 2 I z 2 I z 0
内容: 刚体绕定轴转动时，转动动能的增量 等于刚体所受外力矩做功的代数和。
四、刚体的重力势能
E pi mi ghi mi gyi E p mi gyi
my mg m
i i i
m 2 gh v 2 m1 2m 2

例1
解2：质点系动能定理：

刚体绕定轴转动的动能定理

刚体绕定轴转动的动能定理

刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。

刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。

动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。

本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。

2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。

转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。

角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。

刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。

3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。

我们来考虑刚体上某一质点的动能T。

由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。

设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。

该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。

由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。

将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。

刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。

这就是刚体绕定轴转动的动能定理。

4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。

根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。

刚体的能量定轴转动的动能定理

刚体的能量定轴转动的动能定理

三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg

定轴转动的动能定理

定轴转动的动能定理

例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一
端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。
C
解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力G O
作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没
A
有摩擦力，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和 轴
的接触 面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力
的方向和大小是随时改变的。
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通
G
过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力
矩所作的元功是
dW mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是
度ω0=0,转动动能为0，重力势能为 mg（2l 选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖
直位置时角速度ω=ω,转动动能为
1 2
J重2 力势能为0。
mg l 1 J 2
22
由此得
3g l
mgl
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
J2
2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能
的增量。
注：
1. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
,则该质点的动能为

刚体定轴转动的转动定律

刚体定轴转动的转动定律

R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M

T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R

2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m

R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？

刚体运动的描述

刚体运动的描述

2.运动形式
平动 translation
刚体上任意线段空间方向始终保持不变
转动 rotation 定轴转动 非定轴转动 刚体各质点绕同一直线做圆周运动.
平行平面运动 plane parallel motion 如火车轮子
定点运动 如陀螺
一般运动 刚体非基本运动→平动+转动
DUT 奚 衍
2
斌
3.自由度：degree of freedom 确定一个物体空间位置所需的独立坐标的数目. 自由质点(x, y, z) i个自由度 i个微分方程 4. 描述刚体转动的物理量
. d d2
dt dt2
k
.
量纲：T-2
k . d
. k
dt
z ⑤角量与线量关系 设任意质元到转轴距离r
v r
⑥匀加速转动
at
dv dt
r
d
dt
r
an
v2 r
r 2
0 t
1
0t
t 2
2
2 02 2
DUT 奚 衍
4
斌
第3章 刚体力学
• 3.1 刚体的定轴转动 • 3.2 刚体定轴转动定律 • 3.3 刚体角动量定理与角动量守恒 • 3.4 刚体定轴转动的动能定理 • 3.5 刚体的复合运动
DUT 奚 衍
1
斌
§3.1 刚体的定轴转动
1.刚体的概念 理想模型. 绝对刚体不存在

大小和形状始终不变的物体. 各部分之间无相对运动
①角坐标 转动运动方程
(t) SI: rad 弧度
②角位移 2 1 无量纲
在Δt时间内，角坐标的变化量
③角速度 lim d
t

刚体定轴转动的动能定理

刚体定轴转动的动能定理

它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为

刚体定轴转动动能定理的表达式

刚体定轴转动动能定理的表达式

刚体定轴转动动能定理的表达式一、刚体定轴转动动能定理表达式的推导咱都知道，动能这个概念在平动里就挺重要的，那在刚体定轴转动里也有对应的动能定理呢。

想象一下，有个刚体在绕着一个固定的轴转动，就像那种老式的水车，围绕着中间的轴在那咕噜咕噜转。

那这个刚体的转动动能是怎么来的呢？首先得从最基本的概念开始，对于一个质点，动能是二分之一乘以质量乘以速度的平方。

那对于刚体，我们可以把它看作是由好多好多小质点组成的。

每个小质点到转轴的距离不一样，速度也不一样。

但是呢，我们有个关系，线速度v等于角速度ω乘以这个小质点到转轴的距离r。

那根据这个关系，再经过一系列复杂但有趣的数学推导（这里就不详细展开那堆公式推导啦，不然得把咱绕晕咯），我们就能得到刚体定轴转动动能的表达式是二分之一乘以转动惯量I乘以角速度ω的平方。

这里的转动惯量I就像是平动里的质量m一样，是描述刚体转动惯性的一个量。

不同形状的刚体，转动惯量的计算方法可不一样呢。

比如说，对于一个均匀的圆盘，它的转动惯量的计算就和一根细长的杆不一样。

二、转动动能定理表达式的意义这个表达式可太有用啦。

它就像是一把钥匙，可以帮我们解决好多关于刚体定轴转动的问题。

比如说，当有一个力矩作用在刚体上，让刚体转动起来，我们就可以用这个表达式来计算刚体的动能变化。

就好比你在推一个大磨盘，你使的劲儿就是力矩，磨盘开始转动，速度越来越快，它的转动动能就可以用这个定理来算。

而且，通过这个表达式，我们还能知道，在没有外力矩做功的时候，刚体的转动动能是守恒的，就像能量守恒定律在平动里一样，这在分析一些物理系统的时候可方便啦。

三、与平动动能定理的类比咱再把这个刚体定轴转动动能定理和平动动能定理来做个比较。

平动动能定理是合外力做的功等于动能的变化量，那在转动里呢，就是合外力矩做的功等于转动动能的变化量。

你看，虽然一个是平动一个是转动，但这两个定理在结构上是不是很相似呀？这也体现了物理规律的美妙之处，不管是哪种运动形式，都有类似的规律在背后起着作用呢。

刚体的能量,定轴转动的动能定理

刚体的能量,定轴转动的动能定理

yi
MgyC
M
g
mi
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的 质元 m , m m m
1 2 i
2 i i 2


ri M
vi m
i
1 2 2 2 E mi ri J /2 k E k i 1 2 n 1 2 2 1 Ek lim mi ri ( r 2 dm) 2 m 0 2 2 mghC mvC J 2 2
四、力矩的功、定轴转动的动能定理 设有一外力 F 作用在 + d ds 刚体上，绕 O轴作定轴 转动（ F 在垂直于轴 O 的平面内）。 M M 在时间 内刚体角位移为 dt d 力 F 作的功：
F
r
ds rd dA F ds F sin rd Md
故刚体的转动动能：
n
i
m v / 2 mi (ri ) / 2 mi ri / 2
2 2
任取一质元 mi 距转轴 ri ，则该质元动能：
n
对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又 如何呢？
势能零点
1 2 2 Ek 1 mvC J m、J C 2 2 C vC
其平动动能应为各质元动能和。

二、刚体的重力势能 任取一质元其势能为 m gy i i (以O为参考点）
Y
M
vC
C mi
E p mi gyi
m y M
i
i
yC
结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能 X 零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体 O 的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心 处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）

08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律

08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律

3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为 r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）
dm：质量元
dmdl ：线密度 dmdS ：面密度
dmdV ：体密度
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
刚体定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J12
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能 的增量.
注意
1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能
原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质
点组，它服从质点组的功能转换关系.
2. 刚体的定轴转动的动能应用 Ek
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
,
FT 2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点 并与棒垂直的两轴的转动惯量.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
M
1.力矩
动 点平P面刚, 且的体在交绕转点O动z，轴平力旋面F 转内作,,用Or 为在轴刚为与体由上转点
O 到力的作用点 P 的位矢.
O
M zr*
dP
F
F对转轴z的力矩 M Fsrin Fd

刚体

刚体

πR
2
2π rdr
2
dr
r O
J 与质量分布有关
2013/3/25 DUT 常葆荣 11
例题：求质量为M, 长为L的均匀细棒，对下面两种转轴的转 动惯量。（1）转轴通过棒的中心与棒垂直（2）转轴通过棒 z 的一端与棒垂直。
M dm dx dx L M 2 2 dJ x dm x dx L L/2 1 2 2 M J x dm x dx ML2 L/2 L 12
j r
i
d ri d i d zi dk i ri k zi dt dt dt dt
d Ri d vi ( ri i zi k ) dt dt
o
i

0
j 0
0 r j
i j=k
7
2013/3/25
DUT 常葆荣
作用在第i个质点的外力 力矩
F ( Fi r i Fi j Fi z k )
J R dm
2 0
L
2π R
0
3
R 2 dl
R l 2π R mR 2 2π R
同样质量做成半径为R的圆盘，对中心轴的转动惯量J=? R m ds 2π rdr dr m 2mr
dm ds
R m 2 R 2m 3 m 2 J r dm 2 r dr R 0 0 R 2
2
2 2 0
d d d d d dt d t d
2013/3/25
d d
DUT 常葆荣
......
4
例题 一飞轮以1500r/min的转速绕定轴做逆时针转动。制 动后，飞轮均匀的减速，经时间t=50s停止转动。求（1） 角加速度（2）从开始制动到静止，飞轮转过的转数N（3） 制动开始后t=25s时飞轮的角速度（4）设飞轮的半径为 R=1m，求t=25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度。

刚体的能量定轴转动的动能定理

刚体的能量定轴转动的动能定理

/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL
1 mL2
3g L
3
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
力 F 作的功：
ds rd
dA F ds F sin rd Md
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。

绕定轴转动刚体的动能 动能定理

绕定轴转动刚体的动能 动能定理

三. 转动动能定理 —— 力矩功的效果 dω 1 2 d dA= M θ = (J )dθ = Jω ω = d( Jω ) d dt 2
对于一有限过程
1 2 1 2 1 2 A = ∫ dA = ∫ d( Jω ) = Jω2 − Jω = ∆Ek 1 θ1 ω 2 2 1 2
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量， 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的—— ——动能定理 轴转动刚体的——动能定理
dh =v， = a dv dt dt m 2 gr a= 2 =常 量 m + JZ r
m 2 2 1at2 = 1 gr t h= 2 2m 2 + JZ r
若滑轮质量不可忽略，怎样？ 若滑轮质量不可忽略，怎样？
gt2 JZ = m 2( −1 r ) 2h
λ1 =30cm
λ2 =10cm
1 2 JO1 = ml 3
1 2 1 1 2 1 kλ 1 = mgl + kλ 2+ Jω 2 2 2 2 2
ω = 5.72 rad / s
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体 装在转 动架上，转轴 上装一半径为 的轻鼓轮， 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上， 的重物。 在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时， 轴转动。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 物体A对 轴的转动惯量Jz。 求 物体 对Z 轴的转动惯量 。设绳子 不可伸缩，绳子、 不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。 处的摩擦力矩忽略不计。 解 分析 机械能) 分析(机械能 机械能

刚体定轴转动的动能定理

刚体定轴转动的动能定理

dm 积分遍及刚体体积V，
分几种情况：
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；
2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部 分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心 形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )
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x
ri
O
r i rC
O
二、柯尼希定理 vi vC vi
Ek
1 m v2 2 i i
Σ m i ri rC m
y
2 2 1 1 Ek 2 mvC 2 mi vi
1 m (v 2 i C
v i ) (vC v i )
o
dA M d
力F 的功 力矩的功
0
r
P

A
2014年3月21日

M d
3
刚体内力的功？
2. 力矩的功率
dA d P M M dt dt
力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。 3. 刚体定轴转动动能：
1 1 2 Ek i mi vi mi ri2 2 2 2 1 1 2 E k m i v i ( m i ri 2 ) 2 2 2 1 1 2 J z J 2 2 2
2014年3月21日
1
例7：质量为M的均匀直杆长为l，垂直挂在光滑的 水平轴上，质量为m的子弹以v0水平射入杆底。 求：木杆与子弹启动时的角速度。 解：设子弹入射并嵌入瞬间完成。 对于子弹和木棒组成的系统，选择 悬挂点为参考点，则所有外力矩的 和恒为零。故此过程角动量守恒。
M,l
m, v0
1 1 2 2 2 mlv ( Ml ) ( ml Ml ) mlv 0 0 3 3 1 3 mv 0 2 2 J ml Ml ( M 3 m )l 3
O A
R
B
B. 小球对OO轴的角动量守恒 C. 地球、环管和小球组成的系统的机械能不守恒 分析：A. 正确. 小球下滑过程始终受管壁压力和重力作用, 而两力方向不同, 合力不为零. B. 不正确. 重力始终与OO 轴平行, 重力矩为零, 但管 壁对小球的压力方向不通过OO 轴, 力矩不为零. C. 不正确. 在此系统中, 当球下滑时, 只有重力作功. 小球和环组成的系统的角动量是否守恒？
M J
F
l, m
x
l 1 F J m l 2 2 12

6F l m
设距质心右侧 x 处在运动开始的瞬间加速度为零。 l F 6F at ( x ) aC x x 0 x 击打中心问题 m lm 6
2014年3月21日
8
例2：一个质量为m、半径为R的球壳在长为L的斜 面的顶端由静止无滑动地下滚。 求：①下滚加速度②落底速度。 解：①以质心为转轴，列方程： N mg cos 0 mgsin f maC
2014年3月21日
角动量守恒定律 条 件，M 0 L 常矢量
13
平动与转动的主要内容对照 平 动
b a
转
F dr
动

0
力的功：A
力矩的功： A Md 刚体定轴转动的动能定理： 1 1 2 A J 2 － J 12 2 2 重力势能
质点的动能定理：
3g cos 2l l (2) A Md 2 l mg cos d mg 0 2 2
(3) 90 0 杆机械能守恒
2 l 1 2 cos mg ml 2 3
M J

mg
l 1 1 1 2 2 2 mg J ( ml ) 2 2 2 3
E p mi ghi g mi hi
刚体重力势能 E p mghc 根据质心定义
1 1 2 2 E E E mgh J mv 刚体机械能 p k c C 2 2
2014年3月21日
5
例1：一刚性均匀细棒可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴 转动。棒长l 质量为m，令棒由水平位置自由下摆，求：(1) 棒在任意位置 时的角加速度; (2) 棒从开始摆至垂直位置 时重力矩做的功；(3) 垂直时的角速度。 解： (1) M l cos mg
1 1 2 A mv 2 m v12 2 2
重力势能
E P mgh
E p mghc
机械能守恒 A外 A非保 E Ek E p


求解刚体及与质点构成系统的有关问题
2014年3月21日
14
2 2 m r ii
2 1 Ek 1 mv C 2 2
刚体的总动能＝质心的平动动能＋绕质心的转动动能
2014年3月21日
7
J
例1：在光滑的水平桌面上有一静止的匀质细棒， 现在棒的一端施一垂直于棒的水平力 F。 求：①棒的质心加速度。②棒上何处加速度为零。 解：①由质心运动定律： ac F / m ②由刚体转动定律：
2014年3月21日
6

3g l
0
§3.3 刚体的复合运动
质心平动 + 绕通过质心轴转动 复合运动 = 平动 + 转动
一、质心系的动量 ri rC ri mi ri mi rC mi ri
z
m m r m r m r ii i C ii m i ri 0 mi vi 0 , mi ai 0
动量守恒？
2
2014年3月21日
四、刚体转动的动能定理 1. 力矩的功 在外力 F 作用下，刚体移过d 角，外力功为
dA F dr F cos ds cos sin ds r d
z
d dr F
dA F sin r d
三、刚体对定轴的角动量守恒定律 dL M 0 , J 22 J11 M dt 角动量守恒： a) 一个刚体，J 不变： 不变 b) 一个刚体，J ↑(↓)： ↓ (↑) 茹可夫斯基凳，滑冰, 跳水… c) 刚体系统：
m m
r2

r1
J 11 J 2 2 恒量
dt
2 J r 转动惯量 dm
角动量 L J dL M J 转动定律dtFra bibliotek动量定理
F d t m v 2 m v1
角动量定理

M dt J 2 J 1
动量守恒定律 F外 0 条 件， P 常矢量

M

L J , L ( J ) t M J M J M L
M 进动角速度： L
2014年3月21日
12
l
mg
L
t
L
平动与转动的主要内容对照 平 动 转 动 质量m 动 量 p mv dp ma 牛顿定律 F
M J f R J
f
N
mg

2 2 3 mR 2 mRa C a C R g sin 3 3 5 2 5 5 M J mgR sin ( mR 2 mR 2 ) mRR mRaC 3 3 3
②因摩擦力不做功，可用机械能守恒定律。
mgL sin mgh
2014年3月21日
1 12 5 mv 2 m R 2 2 mv 2 2 23 6
9
v
6 gh 5
例3：内壁光滑的圆环形细管绕竖直光滑固 定轴OO’自由转动。环半径为R。一质量为 m的小球静止于管内最高点A处。由于微小 扰动，小球向下滑动，判断在下滑过程中 下列说法是否正确。 A. 小球的动量不守恒.
2014年3月21日
4
k
oj o oi
mj
mi

4. 刚体定轴转动的动能定理
A Md
1
2
2
1
d J d dt

2
1
J d
1 1 合外力矩对刚体所做的功 2 2 A J 2－ J 1 2 2 等于刚体转动动能的增量。
5. 刚体的重力势能 刚体重力势能等于组成刚体各个质点的重力势能之和。
O’
2014年3月21日
10
C
三、刚体的进动
dL M dt
M
M dt d L
L
M
r mg 不旋转的陀螺
倒了！
2014年3月21日
r mg
旋转的陀螺 转轴进动！
11
L L
dL
M
俯视图
回转仪的进动 刚体的角动量在水平面之内。 | M || rC mg | mgrC sin mgl