05-3刚体绕定轴转动的动能定理

当力作用在质点上使它在力的方向发 生位移， 生位移，该力就对质点做功
v v dW = F ⋅ dr
z
刚体绕固定轴转动时， 刚体绕固定轴转动时，外力使刚体上 的质点都作圆周运动， 的质点都作圆周运动，外力也在做功 外力对刚体做功要用力矩和角位移 的乘积形式来表示， 的乘积形式来表示，称为力矩的功
ω
vi
mi
v o r
i
dW = M ⋅ dθ
二 力矩的功
转过d 的角度， 转过 θ 的角度，同时力的作用 v 点P的位移为dr 的位移为
v 的作用下， 刚体在外力 F 的作用下，绕Oz轴 轴
zω
O
v v v dW = F ⋅ dr = F cos β dr
v dr = ds = ri dθ
切向力 Ft
v P ri
2mgh J + mR 2
α
R T
滑轮获得的动能
T
1 2 1 2 mgh = Jω + mv 2 2 ω=
m
mg
2m
v = Rω 1 2 Ek = Jω = 21.8J 2
m
例3 如图所示系统由静止开始释放，释放时弹簧处于 如图所示系统由静止开始释放， 自然状态。如果物体与斜面、 自然状态。如果物体与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦 均可忽略不计，轻绳不可伸长，试求： 均可忽略不计，轻绳不可伸长，试求： 1）当物体沿斜面滑下x距 ）当物体沿斜面滑下 距 离时， 离时，它的速率有多大 取物体、滑轮、弹簧、斜 取物体、滑轮、弹簧、 面与地球作为研究对象 绳上张力所做的功相互抵消 重力和弹簧的弹性力是保守力， 重力和弹簧的弹性力是保守力，所以系统机械能守恒
mg
l 重力势能减少了下降了 mg sin θ 2
1 2 l Jω − mg sin θ = 0 2 2
3g ω= sin θ l
一轻绳绕于质量M=2.5kg、半径 例2 一轻绳绕于质量 、半径R=0.2m的滑轮边 的滑轮边 现以恒力F=98N拉绳的一端，使滑轮由静止开始 拉绳的一端， 缘。现以恒力 拉绳的一端 加速转动， 加速转动，忽略滑轮与轴承之间的摩擦 求：1）滑轮的角加速度 ） 根据转 动定律
M = FR = Jα
α
R
1 2 2 J = MR = 0.05kg ⋅ m 2
98 ⋅ 0.2 FR -2 -2 = rad ⋅ s = 392rad ⋅ s α= 0.05 J
F
2）绳子拉下2m时，滑轮的角速度和获得的动能 ）绳子拉下 时
W = Fs = 98N ⋅ 2m = 196J
1 2 W = Ek = Jω 2
当刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念， 当刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念， 例如在重力场中的刚体就具有一定的重力势能
四 刚体的重力势能
刚体的重力势能等于刚体上所有质点重力势能的代数和
E p = Σ∆mi gyi Σ∆mi yi = gΣ∆mi Σ∆mi 刚体质心在竖 y C
直方向的位置
1 2 2 = (∑ mi ri )ω 2
z
1 2 2 Ek = (∑ mi ri )ω 2 i =1
刚体对定轴 的转动惯量
n
ω
vi
mi
J = ∑ mi ri
i =1
n
2
v o ri
1 2 Ek = Jω 2
对比质点 的动能
——刚体的转动动能 刚体的转动动能
1 2 Ek = mv 2
v dr
v F
E = Ek + Ep = 恒 量
一质量为m，长度为l的均质细杆 的均质细杆， 例1 一质量为 ，长度为 的均质细杆，可绕通过其一 且与杆垂直的光滑水平轴转动。 端O且与杆垂直的光滑水平轴转动。若将此杆由水平 且与杆垂直的光滑水平轴转动 位置时开始静止释放，试求当杆转到与水平方向成30 位置时开始静止释放，试求当杆转到与水平方向成 o l 角时的角速度 解法一： 解法一：应用刚体绕定轴 转动定律求解
Ft
β
dθ
v dr β
v F
v F
dW = Ft ri dθ
v dr P dθ
o
v 对转轴的力矩M F 对转轴的力矩
v ri
力对转动刚体做的元功 也称为力矩的元功） （也称为力矩的元功） 力矩的瞬时功率 当刚体从θ1转到θ2 位置， 位置，力矩做的功
dt θ2 W = ∫ dW = ∫ M dθ
θ1
R

m
m
θ
x
k
系统所受轴承上的支持力和斜面上的支持力不做功
R
取物体初始位置为重力势能 零点， 零点，弹簧原长为弹性势能 零点， 零点，根据系统机械能守恒
m
m
θ
x
k
1 2 1 1 2 2 mv + J ω + k x − mgx sin θ = 0 2 2 2
v = ωR
解得
2mgx sin θ − kx v= 2 m+ J /R
角速度
M d θ = Jω d ω
dW
1 d( Jω2) 2
1 2 dW = d( Jω ) 2 1 2 W = ∫ dW = ∫ d( Jω ) 2 θ2 1 1 2 2 W = ∫ Mdθ = Jω2 − Jω1 θ1 2 2
合外力矩对 刚体做的功 刚体转动动 能的增量
——刚体绕定轴转动的动能定理 刚体绕定轴转动的动能定理
4-4 刚体绕定轴转动的动能定理 -
力矩是改变刚体转动状态的原因
刚体定轴 转动定律
M = Jα
——力矩的瞬时作用效应 力矩的瞬时作用效应 还应该研究力矩的累积效应—— 还应该研究力矩的累积效应 力矩对时间累积效应 刚体的角动量定理 力矩对空间的累积 刚体定轴转动的动能定理 如何表示刚体的转动动能呢？ 如何表示刚体的转动动能呢？ 高速转动的砂轮具有 转动动能， 转动动能，它能通过 摩擦转化为热能
2
物体下滑的速率 是物体在斜面上 位置的函数
2）物体在斜面上能滑多远 ） 物体的速率
R
m
2
2mgx sin θ − kx v= 2 m+ J /R
2
m
θ
x
k
当v= 0 时物体在斜面上停止下滑
2mgx sin θ − kx = 0
2mg sin θ x= k
O
θ
m
l 1 2 mg cos θ = ( ml )α 3 2
mg
当杆绕O轴向下转动时，外力矩越来越小， 当杆绕 轴向下转动时，外力矩越来越小，角加速度 轴向下转动时 也越来越小，所以细杆的角速度虽然在不断增加， 也越来越小，所以细杆的角速度虽然在不断增加，但 增加得越来越慢
g l dω cos θ = 2 3 dt
y
∆ mi
yi
O
C
yC
E p = gmyC
刚体的重力势能相当于将 刚体的质量全部集中在刚 体质心时具有的重力势能
x
五 有刚体系统的功能原理和机械能守恒定律
功能原理
W外 + W非保内 = ∆E
W外 + W非保内 = 0
系统的动能应该包括系 统内各物体的平动动能 和转动动能 系统的势能也应该包括 系统内各物体的势能
dW = Mdθ Mdθ P= = Mω
如果同时有多个外力作用在刚体上， 如果同时有多个外力作用在刚体上，就要考虑所 有外力力矩的和—— 合外力矩 有外力力矩的和 合外力矩做功对刚体的转动状 态会产生什么样的影响呢？ 态会产生什么样的影响呢？
三 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体绕定轴转 动的转动定律
dω M = Jα = J dt dω dω dθ = Jω =J dθ dθ dt
2 Ek ω= = 88.5rad/s J
R
α
2m
F
3）如以重量P= 98N的物体挂在绳端，再计算滑轮的角 ）如以重量 的物体挂在绳端， 的物体挂在绳端 加速度和绳子拉下2m时滑轮获得的动能 加速度和绳子拉下 时滑轮获得的动能
mg − T = ma Tr = Jα
滑轮的角加速度
a = Rα
mgR α= 2 J + mR
l
O
dω dω dθ dω = =ω mg dt dθ dt dθ g l dω cos θ = ω 2 3 dθ 3g ω= sin θ ω 3g θ l ∫0 ωdω = 2l ∫0 cosθdθ 3g π
θ=
6
θ
m
ω=
2l
解法二： 解法二：应用刚体绕定轴转动的动能定理求解
l
∫
θ
0
1 l 2 mg cos θdθ = Jω 2 2 1 2 ml 3
一 刚体绕定轴转动的转动动能
刚体上每个质点都绕转轴做圆周运动 各质点到转轴的距离分别为 r1, r2, …, rn 刚体上所有质点的角速度ω 相同 各质点的速率分别为 r1ω, r2ω, …, rnω 刚体的 总动能
z
ω
vi
mi
v o r
i
1 1 1 2 2 2 Ek = m1v1 + m2 v2 + L + mn vn 2 2 2 1 1 1 2 2 2 = m1 (r1ω) + m2 (r2ω) + L + mn (rn ω) 2 2 2
O
θ
m
mg
3g ω= sin θ l
l 1 2 2 mg sin θ = ml ω 2 6
解法三： 解法三：应用系统机械能守恒定律求解 不考虑摩擦力， 不考虑摩擦力，轴承上支承力 不做功，所以只有重力做功， 不做功，所以只有重力做功， 系统机械能守恒 取杆的水平位置为重力势能零点
l
O