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第8讲 刚体绕定轴转动的动能定理

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力矩做功刚体绕定轴转动的动能定理ppt课件

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4
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
5
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒．
6
o'
圆 锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量支点O自由转动．一
23
m
v
mga(1 cos 30o ) mg l (1 cos30o )
解得：
2
v 1 g (2 3)(ml 2ma)(ml 2 3ma 2 ) ma 6
9
本章目录
选择进入下一节：
4-0 教学基本要求 4-1 刚体的定轴转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 4-3 角动量 角动量守恒定律 4-4 力矩作功 刚体定轴转动的
动能定理 *4-5 刚体的平面平行运动
10

1 2
J 2
比较
Ek

1 2
mv2
3
四 刚体绕定轴转动的动能定理
W 2 Md 1J d d 2 Jd
1
1 dt
1
W

2 Md
1

1 2
J
2 2

1 2
J12
合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量——刚体绕定 轴转动的动能定理.
o 30
质量为m、速率为v 的子弹射 a
入竿内距支点为a 处，使竿的 偏转角为30o . 问子弹的初速
m
v
率为多少?
解 子弹、竿组成一系统，应用角动量

刚体动能定理

刚体动能定理

人和杆：J = Jm+ JM， ω = 2.3 人和杆：
(1− cosθ )
人： J = JM
ω′ = 4.85 (1− cosθ )
∴ω′ ≈ 2ω
∆t ≈ 2∆t′
P17习题集： （一）5，7； （二）4，6
=θ时
m、L 、
θ
mg θ r2
M2 = r2mg sin θ L = mg sin θ ,⊗ 2
M2 3 g ∴α2 = = sin θ ,⊗ J 2L
杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。 杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。
θ = π/2 时 ，Ep1 =0，Ek1= 0 ， θ = θ 时， Ep2 = -mg（L/2）cos θ， （ ）
θ
mg
解：（1）水平位置 ：（ ）
∴M1 = r1mg sin
θ =π/2 π r r r r r M = r × mg M = Jα 1 1 π
2
m L
θ
mg
r1
L = r1mg = mg ⊗ 2
L M1 2 mg 3g ∴α1 = = = 1 2 2L J L 3
（2）当 θ ）
r r r M2 = r2 × mg
ri
刚体的 转动动能
1 2 2 Ek = ∑Eki = ∑( ∆mi ri ω ) 2 i i
1 1 2 2 = (∑∆mi ri )ω = Jω2 2 i 2
2.动能定理 动能定理
dω dW = Mdθ = J dθ = Jωdω dt
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
定理：刚体绕定轴转动时， 定理：刚体绕定轴转动时，合外力矩对刚体所 作的功，等于刚体转动动能的增量。 作的功，等于刚体转动动能的增量。

刚体转动的动能定理

刚体转动的动能定理

一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。

M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。

M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。

意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。

描述转动的惯性。

o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。

2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。

例1 求小球m 的转动惯量。

解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。

解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。

解：把盘分成无限多个环。

取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。

刚体绕定轴转动的动能定理

刚体绕定轴转动的动能定理

刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。

刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。

动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。

本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。

2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。

转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。

角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。

刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。

3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。

我们来考虑刚体上某一质点的动能T。

由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。

设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。

该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。

由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。

将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。

刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。

这就是刚体绕定轴转动的动能定理。

4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。

根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。

刚体定轴转动的动能定理 ppt课件

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dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12 v0 t)ຫໍສະໝຸດ dt 224 v0
7l
上页 下页 返回 结束
第七章 刚体力学 作业： P256 7.4.2 7.5.1
上页 下页 返回 结束
O
上页 下页 返回 结束
第七章 刚体力学
[解](1)由机械能守恒得
m ghc

1 2
I 2
hc

1 2
l
I 1 ml2 3
联立得
3g
l
O Ep=0 C
v l 3gl
上页 下页 返回 结束
(2)根据质心运动定理
FN W mac
分量式
FNn

m
g

m
vc2 rc
mvM
l 2

I

2mu
l 2

1 ml 2
12

1 2
ml 2
解得

mvMl 2
ml 2 12 ml 2 2
6m(2gh)1 2 (m 6m)l
M
N
C
B
l
h A
l/2
上页 下页 返回 结束
第七章 刚体力学 演员N以u起跳，达到的高度，由机械能守恒：
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
第七章 刚体力学
角动量守恒条件：
M 0
刚体所受的合外力矩为零
若I不变，ω不变； 若I变，ω也变，但 L I 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中，因内力矩远大于外力矩 ，此时， 角动量守恒。

第8讲 刚体绕定轴转动的动能定理

第8讲 刚体绕定轴转动的动能定理

M c J c 1 TR mR 2 2
绳索相对于圆盘质心的加速度为 且
a R
a ac
ac 2 g / 3 T mg / 3
求解上述方程，可得
2.6－6 经典力学的成就和局限性
一、经典力学的成就
•是理论严密、体系完整、应用广泛的一门科学 •是经典电磁学和经典统计力学的基础 •促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力技术奠定了基础 •是现代科学技术的基础
小结 •力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理 •力矩作功 dW Md
1 2 E ＝ J •刚体的转动动能 k 2 •刚体绕定轴转动的动能定理 1 1 2 2 W＝ J － J 0 2 2 •刚体的平面运动
•经典力学的成就和局限性
•力矩的功率
P dW / dt
作业：
思考题：
P148 11，12
习
题：
P153 27，28，29，30
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 E k＝ J 2 2
刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体绕定轴转动的动能定理
设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为 dθ，合外力矩对刚体所作的元功为
dW Md
d M J J dt
R
1 2 1 TR ＝ J J 2 2 1 J＝ MR2 2
2
0
T’
N’
h
对于物体来说，由质点动能定理，得
P’
1 1 2 2 mgh T ' h mv mv0 2 2
T
P
由牛顿第三定律
T T'
由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有

刚体定轴转动的动能定理


1
积累效应)
力矩作功的功率(power 作功的快慢):
P
dA dt
Md
dt
M
力矩的功： work done by torque
dA Mzd
2
A Mzd
1
A、 所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力
矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移
的积来表示功更为方便而己。
B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程 中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩 的的功代数dA和为F零2 ；dr∴ 内相力对矩位的移功为总零和.）为零。另一角度，内力
m'l 2 3ma2
a m v m
3mva m'l 2 3ma2
o 30
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
a m
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
v m
2
3 mga(1
cos30)
mg
l 2
(1
cos30)
v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2) 6 ma
dt d dt
d
2 Md
1
2 Id
1
1 2
I22
1 2
I12
Ek
1 2
I2
称为刚体的转动动能
A
Ek 2
Ek1
1 2
I22
1 2
I12
合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功 = 刚体转动动能的增量
—— 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体的重力势能：
刚体受保守力作用也有势能概念.
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
h

刚体定轴转动动能定理公式

刚体定轴转动动能定理公式刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的物理定理。

在物理学中，刚体定轴转动动能定理是非常重要的定理之一，它能够帮助我们更好地理解物体在转动时的能量变化规律。

我们需要了解一下刚体的概念。

刚体是指在运动或者受力作用下不会发生形变的物体，也就是说，在运动或者受力作用下，刚体的形状和大小都不会发生任何改变。

我们可以将刚体分为两种类型，一种是平面刚体，另一种是空间刚体。

平面刚体指的是只有面积，没有厚度的物体，空间刚体指的是有一定大小和形状的物体。

接下来，我们来了解一下刚体定轴转动动能定理。

刚体定轴转动动能定理的表达式是：E = 1/2 * I * ω²，其中E表示刚体定轴转动的动能，I表示刚体对于轴的转动惯量，ω表示刚体绕轴的角速度。

从这个公式中，我们可以看出，刚体定轴转动动能与刚体的转动惯量和角速度的平方成正比。

那么，什么是转动惯量呢？转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，它表示物体绕着某一轴旋转时所具有的旋转惯性。

不同形状的刚体，其转动惯量也是不同的。

例如，对于一个质量均匀分布的球体，其转动惯量为2/5 * m * r²，其中m表示球体的质量，r表示球体的半径。

刚体定轴转动动能定理的应用非常广泛。

例如，在机械制造和工程设计中，我们可以通过刚体定轴转动动能定理来计算物体旋转时所需要的能量和功率。

同时，在运动学和动力学研究中，刚体定轴转动动能定理也是非常重要的工具。

刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的重要定理。

通过刚体定轴转动动能定理，我们可以更好地理解物体在转动时的能量变化规律，这对于物理学的研究和应用都具有非常重要的意义。

刚体的能量定轴转动的动能定理


三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg

刚体定轴转动的动能定理


它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为
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dW Md
•力矩的功率 •刚体的转动动能
P dW / dt
Ek＝
1 2
J
2
•刚体绕定轴转动的动能定理 •刚体的平面运动
W＝
1 2
J
2－
1 2
J
2 0
•经典力学的成就和局限性
作业：
思考题：
P148 11，12
习 题：
P153 27，28，29，30
2
dW Md 说明：

W Md
0
力矩作功的实质仍然是力作功。对 于刚体转动的情况，用力矩的角位 移来表示。
二、力矩的功率
1、定义：
单位时间内力矩对刚体所作的功。
2、公式
P dW ＝M d M
dt
dt
功率一定时，转速越大，力矩越小； 转速越小，力矩越大。
3、意义
表示力矩对刚体作功的快慢
塔里木大学教学课件
大学物理电子教案
第8讲 刚体绕定轴转动的动能定理
2.6-4 力矩作功 刚体绕定轴转 动的动能定理
2.6-5 刚体的平面运动 2.6-8 经典力学的成就和局限性
2.6－4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
一、力矩作功

W Md
0
二、力矩的功率
P dW ＝M d M
ux

ux v
1
v c2
ux
m m0 1 v 2 c
P m0v 1 v 2 c
动能


Ek

m0c
2



1 1 v 2
c
1
质能关系 E m c2
小结
•力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
•力矩作功
解上述方程，可得
v
M
m
/ 2
m
2
gh
2.6－5 刚体的平面运动
一、基本概念
刚体的运动=质心的平动 +刚体绕质心的转动
如果质心被限制在同一平面上运动，则刚体的运动就
被称为平面运动。
二、基本方程
质心的运动方程
刚体绕质心的转动 刚体的动能
F
mac

m
dvc dt
Mcz

J c

Jc
d
dt
dt

W＝ dW J d
刚体绕定轴转动的动能 定理：合外力矩对绕定
0轴转动的刚体所作的功 NhomakorabeaW＝
1 2
J
2－
1 2
J
2 0
等于刚体的转动动能的 增量。
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦 的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问 物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽 略不计。
Mc Jc
TR 1 mR 2
2
绳索相对于圆盘质心的加速度为 a R
且
a ac
求解上述方程，可得
ac 2g / 3 T mg/3
2.6－6 经典力学的成就和局限性
一、经典力学的成就
•是理论严密、体系完整、应用广泛的一门科学 •是经典电磁学和经典统计力学的基础 •促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力技术奠定了基础 •是现代科学技术的基础
dt
Ek

1 2
m
vc2

1 2
Jc 2
刚体的势能
E p mghc
三、例题
一绳索绕在半径为R、质量为m 的均匀圆盘的圆周上，绳的另 一端悬挂在天花板上，如图所示。绳的质量忽略不计，求(1)圆 盘质心的角速度；(2)绳的张力。
解：对于质心的平动，由质心的运动方程得
P T mac
对于圆盘的转动
dt
dt
三、刚体的转动动能
Ek＝
1 2
J
2
四、刚体绕定轴转动的动能定理
合外力矩M，刚体绕定轴转过的角位移为dθ 合外力矩对刚体所作的元功为
dW Md
M J J d
dt
dW J d d＝J d d＝J d
dt
dt

W＝ dW J d
0
刚体绕定轴转动的动能定理：
二、经典力学受到的三次严重挑战
1905年爱因斯坦建立的狭义相对论 1925年前后建立的量子力学 20世纪60年代发现的混沌现象
三、经典力学适用范围
•经典力学只适用于解决物体的低速运动问题，而不能用 来处理高速运动问题
•经典力学只适用于宏观物体，而一般不适用于微观粒子
四、狭义相对论的几个结论


速度 质量 动量
三、刚体的转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动
质元——Δmi，距转轴—— ri，速度为——vi=riω
动能为
Eki

1 2
mi v i2

1 2
mi ri2 2
整个刚体的动能就是各个质元的动能之和
Ek＝ Eki
1 2
mi
ri2
2＝
1 2
mi ri2 2
用转动惯量表示
W＝
1 2
J
2－
1 2
J
2 0
合外力矩对绕定轴转动的刚 体所作的功等于刚体的转动 动能的增量。
2.6－4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
一、力矩作功
外力——F 角位移——dθ 力F 位移的大小——ds=rdθ 作功为——
dW Fds Frd cos Frd sin
解：圆盘和物体的受力如图，对于
R
圆盘，根据转动动能定律
TR ＝ 1 J
2
2
1 J
2
2
0
J＝ 1 MR2 2
对于物体来说，由质点动能定理，得
T’
N’
h
P’
m gh
T'h

1 2
m v2

1 2
m v02
T
P
由牛顿第三定律
T T'
由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有
h R v R
Ek＝
1 2
J
2
刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与 角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体绕定轴转动的动能定理
设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为 dθ，合外力矩对刚体所作的元功为
dW Md
M J J d
dt
dW J d d＝J d d＝J d