1.1 集合及其表示方法_图文.ppt

2．(1)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a 的值为________． (2)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 2∈A，则实数 a 的值为________． (3)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，则实数 a 的取值范围为________．
【解析】(1)若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1. 当 a＝1 时，集合 A 有重复元素，不符合集合中元素的互异性，所以 a≠1； 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合集合中元素的互异性， 所以 a＝－1. 答案：－1 (2)若 2∈A，则 a＝2 或 a2＝2，即 a＝2 或 a＝ 2 或 a＝－ 2 . 答案：2 或 2 或－ 2 (3)若 A 中有两个元素 a 和 a2，则由 a≠a2 解得 a≠0 且 a≠1. 答案：a≠0 且 a≠1
教材认知 掌握必备知识
一、集合与元素 1．集合：把一些能够_确__定__的__、_不__同__的__对象汇集在一起，这些对象组成一个集 合(简称为集). 2．元素：组成集合的每个_对__象__． 3．表示方法：集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常 用英文小写字母a，b，c，…表示．
3．区间及其表示 (1)一般区间的表示． 设 a，b∈R，且 a<b，规定如下：
[a,b] (a,b)[a,b)
(a,b]
(2)特殊区间的表示．
【批注】1.用数轴表示区间时要特别注意端点是实心点还是空心点； 2．无穷大是一个符号，不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则，出现 此符号的一端时，该端必须是小括号．
[诊断]
1．下列说法：
①集合{x∈Z|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；

2、集合元素的基本性质-----确定性、 互异性。
3、常用数集---- N，Z，Q，R， N*(或N+)
二、元素与集合的关系
集合的元素用小写拉丁字母表示(如a),集合用大 写的拉丁字母表示如(A)
如果a是集合A的元素，就记作a∈A ，记作“a
属于A”;如果a不是集合A的元素，就记作a A
读作“a不属于A”.
问题1：我们班中高个子的同学、年轻人、 接近0的数能否分别组成一个集合，为什么？
问题2：
“Book中的字母”元 素个数是多少？
例2 求方程 X 2 X 1 0 所有实数解 的集合
解：因为 X 2 X 1 0 没有实数解，所以 {x| X 2 X 1 0 ,x∈R}=
一、选择题
1.不能形成集合的是（C）
A.正三角形的全体 B.高一年级所有学生
C.高一年级所有高学生 D.所有无理数
2.设集合{a}用A表示，则下列各式中正确的是
三、集合中元素的基本性质：
1.元素的确定性
例如：“北京，天津，上海，重庆” 2.元素的互异性
元素的任何两个元素都是不同的对象，在同一集 合里不能重复 出现相同的元素 例如：“Book中的字母”{ B，o，k}
四、常用数集的表示方法：
非负整数集(或自然数集) N
正整数集 整数集
N*(或N+)
Z
有理数集
(1) 小于10的自然数0，1，2，3，…9; (2)高一七班全体同学; (3)所有三角形;一、集合的概念：集合：一的把一些能够确定的不同的对象看作
一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成
的集合(或集).
如（1）“中国的直辖市”
北京、天津、上海和重庆
❖ 集合中每一个对象称 为该集合的元素。

(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．

3．用符号表示下列集合，并写 出其元素： (1) 12的质因数集合A； (2) 大于 11且小于 29 的整数 集 B．
作
业
课本P11-习题1.1,2,
书面：3,4（题）.
注意集合中元素的表达

x + 2y = 4 方程组 的解集为（ ） 2x - y = 3
A、{2，1} B、{1 ，2} C、（2，1） D、{（2，1）} 下列说法正确的是 （ ） A、班上爱好足球的同学，可以组成集合 B、方程x(x−2)2=0的解集为{2，0，2} C、用描述法来表示一个集合，其表示形式可能 有多种 D、{x2+5x+6=0}与{x|x2+5x+6=0}是含有相同元素 的集合
小于1000的自然数组成的集合: {x∈N|x<1000}. 所有的奇数组成的集合: {x∈Z|x=2k+1，k∈Z }.
还可表示为 :
{x|x=2k+1，k∈Z }.
⑶ 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合． 图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
(2)互异性：集合中的元素必须
是互不相同的． (3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的． 集合中的任何两个 元素都可以交换位置．
5．例题讲解
例1 下面的各组对象能否 构成集合？
（1）本班高个子的人；
（2）小于2004的数；
（3）和2004非常接近的数.
判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程 x 2 x 的所有实数根组成的集合. 解: (1) 设小于10的所有自然数组成的集合为A, 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

练习
1.用符号“ ”或“ ”填空
(1) 3.14 Q
(2) Q
(3) 0 N+ (5) 2 3 Q
(4) (-2)0 N+ (6) 2 3 R
6．集合的表示方式 ①列举法：把集合的元素一一列出来，并用“{ }”括起 来表示集合. 例：用列举法表示下列集合：
（1）方程x2 =x的所有实数根组成的集合； （2）小于10的所有自然数组成的集合； ②描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集
课堂小结
1．集合的定义; 2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性； 3．数集及有关符号表示； 4. 集合的表示方式； 5. 集合的分类.。
例3 已知集合 A={x ax2+4x+4=0, x∈R,a∈R} 只有一个元素，求a的值和这个元素.
思考 1．集合{x|x-6<7}与集合{y|y-6<7}是否相同？ 2．集合{y|y=x2-1}与{y|y≥－1}是否相同？ 3．集合{x|y=x2-1}与{y|y=x2-1}是否相同? 4．集合{x|y=x2-1}与{(x,y)|y=x2-1}是否相同？
人教版A版 高中数学必修1 第一章《集合与函数概念》
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
观察下列对象:
（1）1~20以内的所有质数 ； （2）我国古代四大发明； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）所有的正方形 ； （5）抛物线y=x2上的点．
思考：上面的对象有何共同特征？
1. 定义 一般地, 指定的某些对象的全体称为集合（简称为集）. 集合中每个对象叫做这个集合的元素. 2. 集合的表示法
集合常用大写字母表示，如集合A，集合B... 元素则常用小写字母表示，如a，b...

【解析】因为f(x)-x=0,即x2-(a+1)x+b=0. 又因为A={1,-3},
所以由根与系数的关系,得 1＋3 a＋1， 所以 a 所3，以f(x)=x2+3x-31. 3 b,
f(x)-axb=0,3亦，即x2+6x-3=0.
所以B={x∈R|x2+6x-3=0}={-3-2 ,-3+2 }.
【补偿训练】用另一种方法表示下列集合. (1){x|x是绝对值不大于2的整数}. (2){x|x=|x|,x<5且x∈Z}. (3){-3,-1,1,3,5}.
【解析】(1)绝对值不大于2的整数为-2,-1,0,1,2,可用列举法表示为 {-2,-1,0,1,2}. (2)因为x=|x|,所以x≥0,又因为x∈Z且x<5, 所以x=0或1或2或3或4. 所以集合可以用列举法表示为{0,1,2,3,4}. (3)-3,-1,1,3,5每相邻的两个数相差2,可用描述法表示为{x|x=2k-1,1≤k≤3,k∈Z}.
类型一 列举法表示集合
【典例】1.用列举法表示下列集合:
(1)我国的直辖市组成的集合为
.
(2)联合国安理会五大常任理事国组成的集合为
.
2.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于1且小于6的整数组成的集合A. (2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B. (3)小于8的质数组成的集合C. (4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
【延伸探究】 1.(变换条件)本例(2)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第 四象限的点的集合”. 【解析】位于第四象限的点(x,y)的横坐标为正,纵坐标为负,即 x>0,y<0,故第四象限的点的集合为{(x,y)|x>0,y<0}.

由此能总结出集合元素有什么特性？
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.

D. M={1,2}
N={(1,2)}
(3)直角坐标系内,第二象限内的点组成的集合 __{_(x_,_y_)_|x_<__0_,_且__y_>_0__}_____;
3.韦恩(Venn)图： 用封闭的曲线内部表示集合。
（形象直观）
例如，图1-1表示任意一个集合A；
图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
A 图1-1
1,2,3,
5, 4. 图1-2
答案：- 3 2
归纳升华 1．对于集合的元素中含有参数的问题，要根据集合 中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据 集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验． 2．当集合中的元素含有字母时，要注意分类讨论思 想的应用．
补充：集合的分类
有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合
里的任何两个元素可以交换位置 。
例1 下面各组对象能否构成集合？并说明理由．
（1）所有的好人； （2）小于2018的数； （3）和2018非常接近加数学比赛的年龄较小的同学；
（5）亚洲所有的国家；
√ 不确定性
（6）立方根等于自身的数；
√
（7）西湖里的漂亮的鱼；
__{__4_, _5_,_6_,_7__,_8_,_9_}___;
(3)方程x2-16=0的实数解组成的集合
__{__-4_,__4_}_;
练习：请用列举法表示下列集合
（1）由中国的首都组成的集合； { 北京 } （2）15的所有正约数组成的集合； { 1，3，5，15 }
{ （0，0），（1，１） }
5
为___ 72_,_23___；用描述法表示为
x,.y
|

那么，一般的集合，我们如何来描述呢？
列举法
把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号内，这种方法叫做列举法。 例如：由1，3，5，7，9所组成的集合，可以表示为{1，3，5，7，9}。
x y 5 例如：x y 1 的解，可以表示为{(2,3)}。注意，不是{2,3}!
例如：正偶数构成的集合：{2，4，6，8，10，…，2n，…，n是正整数} 在应用列举法描述集合时，我们要注意：
集合中的元素都是互异的，也就是说，集合所描述 的对象，都是互不相同的；或者说，集合中没有重 复出现的元素。
讨论：1,3,5,7,9所组成的集合，与9,7,5,3,1所组成的集合一样吗？
（3）无序性 集合中的元素地位相等，与顺序无关。
注意
一个集合中的元素可以是任何事物，甚至可以是集合！ 例如：一个点P，一个数5，一张桌子和空集所构成的集合。
▪ 1，3，5，7，9； ▪ 坐标平面上第二象限内所有的点； ▪ 中原中学图书馆内的所有图书； ▪ 与零相乘等于1的实数全体。
集合的概念
一般地，我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做 集合，简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
那么，有了以上的描述性定义，请同学们思考：在集合 的定义中，哪些地方是值得注意的？
练习A
1. 分别举出一个有限集和一个无限集的例子。
√ 2. 把下列对象看作一个整体，判断它们是否为集合。
1) 非常接近 3 的数。
× 2) 直线 y x 5上的点。
集合的表示法
用大写字母A、B、C、D…来表示集合。 用小写字母a、b、c、d…来表示集合中的元素。 如果a是集合A中的元素，则记作a A，读作“a属于A”。 如果a不是集合A中的元素，则记作 a A，读作“a不属于A”。

D.2, 4 用集合可表示为{x | 2 x 4}
解析：{x | x 1} 用区间表示应该为 (1, ) ；{x | 3 x 2} 用区间表示应该为 (3,2] ； (,3]用集合表示应该为{x | x 3} ；故选 D.
D 5.将集合{1,5,9,13,17} 用描述法表示，其中正确的是 ( )
上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的 长度．区间可以用数轴形象地表示．例如，区间[-2，1）可用下图表 示，注意图中-2处的点是实心点，而1处的点是空心点．
在用数轴表示区间时，实心点代表取得到，空心点代表取不到．
如果用“ ”表示“正无穷大”，用“ ”表示“负无穷大”，则： 实数集 R 可表示为区间 (， ) ； 集合{x | x a}可表示为区间[a， ) ；集合{x | x a} 可表示为区间(a， ) ； 集合{x | x a}可表示为区间 (，a] ；集合{x | x a} 可表示为区间(，a) .
类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示.例如，区间[7,+∞)可以用下图表示.
例 2 用区间表示不等式 2x 1 x 的所有解组成的集合 A. 2
解：由
2x
1 2
x
可知
x
1 2
，所以
A
1 2
，
.
A 1.下列命题中，正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；
②集合 y | y x2 1 与集合{(x, y) | y x2 1} 是同一个集合；
（1）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作 N.
值得注意的是， 0N ，即 0 是自然数集 N 中的一个元素.
如果
a
N
，
b
N
，则一定有

核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况， 集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0， 解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ； 当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个相等的实数根， 所以Δa≠＝04，－4a＝0， 解得 a＝1，此时 A＝{－1}． 综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素， 所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3， 得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．

a∉A.
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？ 提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R； －3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾 故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
的、 确定 的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？ 提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？ 提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一

2. 集合中的元素具有的特性：
× （1）确定性：我们班的高个子同学 × （2）互异性：{张三，李四，张三}
（3）无序性：{黄河，长江}
2. 集合中的元素具有的特性：
× （1）确定性：我们班的高个子同学 × （2）互异性：{张三，李四，张三}
（3）无序性：{黄河，长江} {长江，黄河}
2. 集合中的元素具有的特性：
记作N．
记作N*或N+ ． 记作Z ． 记作Q．
4.常用数集及其记法：
（1）非负整数集 （自然数集）：
（2）正整数集： （3）整数集： （4）有理数集： （5）实数集：
记作N．Nature
记作N*或N+ ． 记作Z ．zheng数 记作Q． 记作R．Real
探究4：下列关系中正确的个数为（ ）
A. 1
拓展3：
已知 a∈R, x∈R, 集合 A 是方程 ax2+2x+1=0 的解集。 1) 若A中只有一个元素，求 a 的值； 2) 若A中有两个元素，求 a 的取值范围。
拓展4：
已知由实数组成的集合A满足： 若x∈A， ，则 ∈A。 1）若2∈A,试确定集合A； 2）试讨论集合A能否为单元素集合？
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素通常用小写拉丁字母表示：
1. 元素、集合的概念及其表示：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素通常用小写拉丁字母表示： a, b, c
1. 元素、集合的概念及其表示：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
探究2：
已知集合 S 中有三个元素 a, b, c 是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）