高一数学集合与集合的表示方法

高一数学必修一集合知识点梳理一、集合的概念：1.集合：由一些确定的事物按照一定的规则组成的整体。

2.元素：构成集合的单个事物。

3.集合的表示方法：枚举法、描述法。

4.空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

5.集合的相等：两个集合的元素完全相同，则称两个集合相等。

二、集合的运算：1.并集：包含两个集合中的所有元素的集合，用符号∪表示。

2.交集：包含两个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示。

3.差集：包含第一个集合中有而第二个集合中没有的元素的集合，用符号\(A-B\)表示。

4.互斥集：两个集合没有相同的元素，即交集为空集。

5.补集：在一个全集中，除去一个集合的元素剩下的元素构成的集合，用符号A'表示。

三、集合的关系：1. 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，用符号\( A \subseteq B \)表示。

2. 真子集：如果集合A是集合B的子集且集合A不等于集合B，则称集合A是集合B的真子集，用符号\( A \subset B \)表示。

3. 幂集：由原集合的所有子集构成的集合，用符号\(\mathcal{P}(A)\)表示。

四、集合的拓展：1.有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数不限的集合称为无限集。

2.嵌套集：集合中的元素本身也是集合的集合。

3.无序对：是由两个元素组成的二元关系，其中元素的顺序是不重要的。

4.索引集：用一个集合的所有元素作为索引的集合。

五、集合的运用：1.列举集合的元素。

2.解集合间的元素关系问题。

3.使用集合运算解决实际问题。

4.使用文氏图表示集合的关系。

六、集合的应用：1. Venn图：用圆形表示集合，用图示的方式描述集合间的关系和运算。

2.元素的分类：将一组事物按其中一种特征分类，构建一个集合。

3.基数计数：通过挑选元素，建立元素与集合间的一一对应关系，测量集合中元素的个数。

4.群体角度问题：确定集合元素满足其中一种性质的条件，并找出集合中所满足不同性质条件的元素个数。

数学高一集合知识点笔记一、集合的定义与表示方法集合是由一些确定的对象组成的整体。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

集合的表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。

1. 列举法：在大括号内列出集合的元素，元素之间用逗号分隔。

“{ }”表示空集，即不含任何元素的集合。

例：集合A={1, 2, 3}，集合B={a, b, c}，空集记作∅。

2. 描述法：通过描述元素的特征或满足的条件来表示集合。

例：集合A={x|x是自然数且0<x<4}，表示A是由大于0小于4的自然数组成的集合。

3. 图示法：用Venn图等图形表示集合和元素之间的关系。

二、集合的运算集合之间可以进行并集、交集、差集、补集等运算。

1. 并集：若A和B为两个集合，它们的并集表示为A∪B，表示包含A 和B的所有元素的集合。

例：集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

2. 交集：若A和B为两个集合，它们的交集表示为A∩B，表示包含同时属于A和B的所有元素的集合。

例：集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

3. 差集：若A和B为两个集合，它们的差集表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。

例：集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

4. 补集：假设全集为U，A为U的一个子集，那么U-A即为A的补集，表示全集U中不属于A的元素组成的集合。

例：全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={2, 3}，则U-A={1, 4, 5}。

三、集合的性质与应用掌握集合的性质可以帮助我们更好地理解和运用集合知识。

1. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

2. 真子集：若集合A是集合B的子集且A和B不相等，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。

集合的概念与表示、集合间的关系知识梳理一、集合及其表示方法（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

（3）表示方法：1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

格式：{x| x 满足性质p}。

如：集合}1|),{(2+=x y y x（4）分类：1）有限集：含有有限个元素的集合。

2）无限集：含有无限个元素的集合。

3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。

注意：{0}和φ是不同的。

{0}是含有一个元素0的集合，φ是不含任何元素的集合。

（5）性质：1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

2）互异性：集合中的元素没有重复。

3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。

（6）常用数集及记法：1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N 3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,5）实数集：全体实数的集合记作R（7）元素对于集合的隶属关系1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉二、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。

第1讲集合的概念和关系一．集合的概念集合没有确切定义，是一个基本概念。

对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。

符号表示为{}，表示的意思为全体。

这些对象我们称之为元素。

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述。

（2）集合是一个“整体。

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的。

例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数；（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

【典例分析】1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。

第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。

6.无限集：含有无限个元素的集合。

7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。

二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。

即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。

高一数学必修一知识点集合的含义与表示1.集合的概念一般地，把一些确定能够确定的多种不同的对象看成一个整体，就说生成元这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个叫做这个集合的元素(或成员)。

集合概念的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到各种各样的事物或者一些抽象符号。

2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道自同态元素有两大性质特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是恰当中的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。

设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。

⑵互异性特征：集合中的成分元素必须是互不相同的。

设集合给定，的元素是指含于其中的相互相同元素，相同的对象归于同一集合时只能更何况算集合的一个元素。

3.集合与元素之间的关系二元关系与元素之间只有“属于”或“不属于”。

例如：是集合的元素，记作，读作“属于”;不是集合的元素，记作，读作“不属于”。

4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和拆成无限集。

特殊地，不符合要求任何元素的集合叫做空集，记作。

5.集合的表示方法⑴例举法是把元素不重复、所获不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。

⑵特征顺磁性描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。

例如：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任一一个元素新元素都具有性质，而不属于集合的元素都一般性不具有性质。

除此之外,高二，给定还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部结构的点来表示集合的方法(有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素)【同步练习题】1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1，k∈Z，且k;5}C.{x|x=4t-3，t∈N，且t≤5}D.{x|x=4s-3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中给定的金属元素外，还有3,7,11,15;B中k取负数，多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素，只有D是正确的.2.集合P={x|x=2k，k∈Z}，M={x|x=2k+1，k∈Z}，S={x|x=4k+1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c=a+b，则有()A.c∈PB.c∈MC.c∈SD.以上都不对解析：选B.∵a∈P，b∈M，c=a+b，设a=2k1，k1∈Z，b=2k2+1，k2∈Z，∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1，又k1+k2∈Z，∴c∈M.3.定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A.0B.2C.3D.6解析：选D.∵z=xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有：1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4，故A*B={0,2,4}，∴集合A*B的绝大多数元素之和为：0+2+4=6.4.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，C={(x，y)|x∈A，y∈B}，则用罗列法表示集合C=____________.解析：∵C={(x，y)|x∈A，y∈B}，∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2).答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}。

数学集合高一知识点数学集合是高中数学中的基础知识点之一，本文将详细介绍高一数学集合的相关概念和运算规则。

一、集合的定义和表示方法在数学中，集合是由元素组成的整体。

用大写字母A、B、C 等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素。

集合中的元素用花括号{}括起来，并用逗号隔开。

例如，集合A={1,2,3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。

二、集合的分类根据集合中元素的性质，集合可以分为两种类型：数字集合和非数字集合。

1. 数字集合数字集合是由数字组成的集合，常见的数字集合有自然数集、整数集、有理数集和实数集。

- 自然数集：由正整数组成的集合，用N表示。

- 整数集：由正整数、负整数和零组成的集合，用Z表示。

- 有理数集：由可以表示为两个整数比值的数组成的集合，用Q表示。

- 实数集：包括有理数和无理数的集合，用R表示。

2. 非数字集合非数字集合是由除数字以外的元素组成的集合。

非数字集合的表示方法有两种：列举法和描述法。

- 列举法：直接列举出集合中的元素。

- 描述法：用某个条件来描述集合中的元素。

三、集合的运算在数学中，集合之间可以进行一些特定的运算，常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。

1. 并集对于给定的两个集合A和B，A和B的并集表示为A∪B，表示A和B中所有的元素的集合。

例如，若集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集对于给定的两个集合A和B，A和B的交集表示为A∩B，表示A和B中共有的元素的集合。

例如，若集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集对于给定的两个集合A和B，A和B的差集表示为A-B，表示属于集合A而不属于集合B的元素的集合。

例如，若集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集对于给定的集合A，A的补集表示为A'，表示不属于集合A的所有元素的集合。

例如，若集合A={1,2,3}，则A'={4,5,6,...}。

高一数学《集合的概念及其表示方法》数学思想教案教案目标：1. 理解集合的基本概念及其符号表示方法。

2. 掌握集合的运算法则。

3. 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

教学重点：1. 集合的概念及其表示方法。

2. 集合的基本运算法则。

教学难点：1. 集合的复杂运算法则。

教学准备：教师准备：教案、黑板、彩色粉笔、PPT演示等。

学生准备：课本、笔记本等。

教学过程：一、导入（5分钟）教师可以通过一个例子引出集合的概念，如"小明班上的男生"。

教师：假设小明所在的班级有30个学生，其中有15个是男生，请问这个集合该如何表示呢？二、讲授（20分钟）1. 集合的定义及基本概念集合是由各种对象按照一定规律组成的整体，其中的对象称为元素。

用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素。

集合用花括号{}括起来表示，元素之间用逗号分隔。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示集合A由元素1、2、3、4、5组成。

2. 集合的符号表示方法a. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来。

如：B = {2, 4, 6}，表示集合B由元素2、4、6组成。

b. 描述法：用一个条件句描述集合中的元素。

如：C = {x | x是正整数，且x < 5}，表示集合C由小于5的正整数组成。

3. 集合的分类a. 空集：不包含任何元素的集合，用∅表示。

b. 单集：只包含一个元素的集合。

c. 有限集：元素个数有限的集合。

d. 无限集：元素个数无限的集合。

三、实践操作（25分钟）1. 通过示例引导学生理解集合的概念及表示方法。

例如：集合A表示所有年龄大于16岁的学生，用描述法表示为A = {x | x是学生，且x的年龄 > 16}。

集合B表示小明喜欢的水果，用列举法表示为B = {苹果, 香蕉, 草莓}。

2. 练习题演练学生通过课本提供的习题和练习题进行集合的练习，巩固概念和表示方法。

例如：1）用集合的描述法表示一个包含所有整数的集合。

高一数学集合知识点总结一、集合的基本概念1. 集合是由元素组成的整体，元素是集合的构成要素。

2. 集合的表示方法：列举法和描述法。

3. 集合的基本运算：并集、交集、差集和补集。

二、集合的性质及运算规律1. 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。

2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

3. 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。

4. 幂等律：A∪A = A，A∩A = A。

5. 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。

6. 对偶律：(A∪B)' = A'∩B'，(A∩B)' = A'∪B'。

三、集合的关系和判断1. 包含关系：子集和真子集。

- 子集：若集合A中的每个元素都属于集合B，则A是B的子集，记作A⊆B。

- 真子集：若A是B的子集且A≠B，则A是B的真子集，记作A⊂B。

2. 相等关系：两个集合A和B相等，当且仅当A是B的子集且B是A的子集，记作A=B。

3. 元素关系：属于和不属于。

- 属于：若元素a是集合A的元素，则记作a∈A。

- 不属于：若元素a不是集合A的元素，则记作a∉A。

4. 判断问题：- 空集：空集是任何集合的子集。

- 空集的子集：空集是任何集合的子集。

- 空集与非空集的关系：空集不是任何非空集的子集。

四、集合的应用1. 集合的应用于元素的归类和分类问题。

2. 集合的应用于概率问题，如事件的集合、样本空间等。

3. 集合的应用于数学推理和证明，如集合的运算规律的证明。

五、常见问题及解答1. 如何用集合表示一个范围？- 使用描述法：例如，表示大于1小于10的整数集合可以表示为{x | 1 < x < 10}。

2. 如何求两个集合的并集、交集、差集和补集？- 并集：将两个集合中的元素合并在一起，并去除重复的元素。

1.1 集合与集合的表示方法（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：∈N}；（1）A = {x∈N |9-9x∈N | x∈N }；（2）B = {99x-（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x ，p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *}. 【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x -也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x-，它必须满足条件x 也是自然数；集合C 中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = – x 2 + 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x 2 + 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =pq，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x-=1，3，9也是自然数. ∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}. （3）由y = – x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意. ∴ C = {2，5，6}.（4）点 {x ，y }满足条件y = – x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5,2.x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2, 1.p p p p p q q q q q =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩ x 要满足条件x =P q， ∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a 2 + 1}，求a 的值及对应的集合A . –3∈A ，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a ，再代入A ，求出集合A .【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a–1 = –3，当a–3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a– 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得a.11/ 11。

高一数学集合与集合的表示法【本讲主要内容】集合与集合的表示法集合的概念，常用数集的概念及其记法，有限集、无限集、空集的意义，集合的表示方法。

【知识掌握】【知识点精析】1. 集合的概念（1）集合：一般地，某些指定的对象集合在一起就成为一个集合；（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c……2. 元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A3. 集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了（2）互异性：集合中的元素一定是不同的（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序4. 集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5. 常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N＋（3）整数集：全体整数的集合，记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q（5）实数集：全体实数的集合，记作R6. 集合的表示方法（1）大写的字母表示集合；（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；（3）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内；（4）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合。

注意：①描述法表示集合应注意集合的代表元素，如：{(x，y)|y＝x2＋3x＋2}与{y|y＝x2＋3x＋2}不同，一个是点集，一个是数集。

②列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。

【解题方法指导】例1. 用符号∈或∉填空：1N ，0N ，－3N ， 0.5N ，2N ； 1Z ，0Z ，－3Z ， 0.5Z ，2Z ； 1Q ， 0Q ，－3Q ， 0.5Q ，2Q分析：元素在集合内用∈，元素不在集合内用或∉答案：1∈N ，0∈N ，－3∉N ， 0.5∉N ，2∉N ； 1∈Z ，0∈Z ，－3∈Z ， 0.5∉Z ，2∉Z ； 1∈Q ，0∈Q ，－3∈Q ， 0.5∈Q ，2∉Q 注意：符号的规X 书写。

高一数学集合的知识点归纳总结一、集合的概念和表示集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

集合的表示方法有三种：描述法、列举法和等价关系法。

二、集合的运算1. 并集：表示由两个或多个集合中所有的元素组成的集合，记作A∪B。

2. 交集：表示两个或多个集合中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

3. 差集：表示一个集合中除去与另一个集合共有的元素之外的元素组成的集合，记作A-B。

4. 互补集：表示对于给定的全集U，与某个给定集合A中的元素不相同的元素所组成的集合，记作A'。

三、集合的性质1. 互斥性：两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。

2. 全集性：某个给定集合A的所有元素都是全集U的元素，即A⊆U。

3. 空集性：一个集合中没有任何元素，记作∅。

4. 幂集性：一个集合的所有子集所组成的集合称为幂集，记作P(A)。

四、集合的关系和判定1. 包含关系：若A中的每一个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。

2. 相等关系：若A是B的子集且B是A的子集，则称A和B相等，记作A=B。

3. 真包含关系：若A是B的真子集（A不等于B），则称A真包含于B，记作A⊂B。

4. 子集数量关系：若集合A和集合B都是有限集合，且A的元素个数小于B的元素个数，则称A的元素个数少于B的元素个数，记作|A|<|B|。

五、常见的数学符号和概念1. 自然数集：{1, 2, 3, 4, ...}，用符号N表示。

2. 整数集：{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}，用符号Z表示。

3. 有理数集：用两个整数的比表示的数的集合，用符号Q表示。

4. 实数集：包含有理数和无理数的集合，用符号R表示。

5. 空集：没有任何元素的集合，用符号∅表示。

六、集合的应用1. 排列组合：通过对集合的操作和排列组合的方法，可以解决一些计数问题。

2. 概率论：集合论是概率论的重要基础，通过集合的运算和性质，可以推导出概率计算的公式。

一、集合的概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

2. 集合的表示方法：集合通常用大写字母表示，如A、B、C等，元素用小写字母表示，如a、b、c等。

3. 集合的分类：有限集和无限集。

有限集中元素的个数是有限的，无限集中元素的个数是无限的。

二、集合的基本运算1. 并集：两个集合A和B的并集是指包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

2. 交集：两个集合A和B的交集是指既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。

3. 差集：两个集合A和B的差集是指属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B。

4. 补集：一个集合A的补集是指不属于A的所有元素的集合，记作A'或A^c。

5. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集，记作P(A)。

三、集合的性质1. 互异性：一个集合中的元素都是不同的。

2. 无序性：一个集合中的元素没有固定的顺序。

3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于该集合。

4. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

5. 全集：包含所有元素的集合称为全集，记作U。

6. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。

7. 真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，但这个集合本身不是另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的真子集。

8. 相等集：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合称为相等集。

9. 空集是任意集合的子集。

10. 空集是任意非空集合的真子集。

四、集合的关系1. 包含关系：一个集合A包含另一个集合B，记作A⊆B。

2. 相等关系：两个集合A和B的元素完全相同，记作A=B。

3. 不相等关系：两个集合A和B的元素不完全相同，记作A≠B。

4. 子集关系：一个集合A是另一个集合B的子集，记作A⊆B。

5. 真子集关系：一个集合A是另一个集合B的真子集，记作A⊆B且A≠B。

6. 相等关系与包含关系的关系：如果两个集合相等，那么它们一定相互包含；如果两个集合相互包含，那么它们不一定相等。

高一上数学集合的概念【实用版】目录1.集合的定义与表示方法2.集合的元素特性3.集合的分类4.集合的运算5.集合的应用正文1.集合的定义与表示方法集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的元素所组成的整体。

集合可以用大写字母表示，例如 A、B 等。

集合的元素则用小写字母表示，例如 a、b 等。

集合的定义可以表述为：{a, b, c,...} 或者写作 A = {a, b, c,...}。

2.集合的元素特性集合的元素具有以下特性：（1）确定性：集合中的元素是确定的，不会随意改变。

（2）互异性：集合中的元素互不相同，没有重复的元素。

（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序。

3.集合的分类集合可以按照元素的性质进行分类，常见的分类有：（1）自然数集合：由 0 和正整数组成的集合，表示为 N。

（2）整数集合：由 0、正整数、负整数组成的集合，表示为 Z。

（3）有理数集合：由所有可以表示为两个整数比的数组成的集合，表示为 Q。

（4）实数集合：由所有有理数和无理数组成的集合，表示为 R。

4.集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集、子集等。

（1）并集：两个集合的所有元素组成的集合，表示为 A ∪ B。

（2）交集：两个集合共有的元素组成的集合，表示为 A ∩ B。

（3）补集：一个集合的所有元素不属于另一个集合，表示为 A" 或C(A)。

（4）子集：一个集合的所有元素都属于另一个集合，表示为 A B。

5.集合的应用集合在数学中有广泛的应用，例如在数论、代数、几何等领域。

同时，集合的概念也被广泛应用到计算机科学、信息理论等领域。

高一数学集合知识点一、集合的概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素组成的整体。

集合的元素可以是任意事物，如数字、字母、几何图形等。

集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，元素用花括号括起来并用逗号分隔。

二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合的所有元素列举出来。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示集合A由元素1, 2, 3, 4, 5组成。

2. 描述法：通过描述集合元素的特征或性质来表示。

例如：B = {x | x是偶数}，表示集合B由所有偶数构成。

三、集合的关系1. 相等关系：两个集合的元素完全相同。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 1}，则A与B相等。

2. 包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {1, 2, 3}，则B是A的子集。

3. 交集：两个集合中共有的元素构成的集合。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}，则A与B的交集为{4, 5}。

4. 并集：两个集合中所有元素构成的集合。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}，则A与B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。

5. 差集：一个集合中除去与另一个集合相同的元素所得到的集合。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}，则A与B的差集为{1, 2, 3}。

四、常用集合1. 空集：不含任何元素的集合，用符号∅表示。

2. 自然数集：正整数的集合，用符号N表示。

3. 整数集：正整数、负整数和0的集合，用符号Z表示。

4. 有理数集：可以表示为两个整数之商的数的集合，用符号Q表示。

5. 实数集：包括有理数和无理数的集合，用符号R表示。

五、集合的运算1. 交运算：两个集合中共有的元素构成的集合。

2. 并运算：两个集合中所有元素构成的集合。