集合及其表示方法

集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个结合的元素。

集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。

例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。

（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。

空集记作∅。

（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。

2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。

（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。

（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。

3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。

4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。

记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。

我们规定∅是任何集合的子集。

对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。

（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。

精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。

1.1.2集合的表示方法学习目标：1、掌握集合的表示方法，集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）2、用列举法、描述法表示一个集合.知识要点:集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）能不能表示无限集？（只能表示存在规律的集合）{0,2,4,6,8,}A n =3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.① {(,)x y y =中的元素是点。

满足条件的二元方程的解集，是成对出现的。

② {x y = {y y = {y 表示单元素集合，方程的解。

4、维恩(Venn)图（文氏图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.学习中应注意的问题：①注意a 与{}a 的区别，②注意Φ与{0}的区别， {0}是含有0一个元素的集合。

集合及其表示方法
集合是由一组独立的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。

集合的表示方法有以
下几种：
1. 列举法：将集合的元素逐一列举出来，并用花括号{}括起来。

例如，集合{1, 2, 3}
表示由元素1、2和3组成的集合。

2. 描述法：用一个条件来描述集合中的元素。

描述法的一般形式为{ x | P(x) }，其中
x是集合中的元素，P(x)是关于x的性质。

例如，集合{ x | x是正整数，且x小于10}表示小于10的正整数组成的集合。

3. 空集：没有任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。

5. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合为后一个
集合的子集。

用符号A ⊆ B表示集合A是集合B的子集。

6. 幂集：对于一个集合A，包含A的所有子集的集合称为A的幂集，用符号P(A)表示。

以上是集合的一些常见表示方法，不同的表示方法适用于不同的情况。

集合的概念与表示、集合间的关系知识梳理一、集合及其表示方法（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

（3）表示方法：1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

格式：{x| x 满足性质p}。

如：集合}1|),{(2+=x y y x（4）分类：1）有限集：含有有限个元素的集合。

2）无限集：含有无限个元素的集合。

3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。

注意：{0}和φ是不同的。

{0}是含有一个元素0的集合，φ是不含任何元素的集合。

（5）性质：1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

2）互异性：集合中的元素没有重复。

3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。

（6）常用数集及记法：1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{}Λ,3,2,1*=N 3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,5）实数集：全体实数的集合记作R（7）元素对于集合的隶属关系1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉二、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。

常见集合的字母表示方法常见集合的字母表示方法在数学中，集合是由一组具有共同性质的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。

为了方便表示和描述集合，人们使用了一种字母表示方法。

本文将介绍常见集合的字母表示方法，并探讨一些与之相关的概念和应用。

一、整数集合（Z）整数集合是所有整数的集合。

通常用大写字母Z表示整数集合，其中Z的定义如下：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}其中"..."表示整数集合的无穷延伸。

整数集合是一个无限集合，包括负整数、零和正整数。

二、自然数集合（N）自然数集合是所有正整数的集合。

通常用大写字母N表示自然数集合，其中N的定义如下：N = {1, 2, 3, ...}自然数集合是一个无穷集合，包括所有大于等于1的整数。

三、实数集合（R）实数集合是包括有理数和无理数的集合。

通常用大写字母R表示实数集合，其中R的定义如下：R = {x | x是一个实数}实数集合是一个连续的集合，包括所有实数，无论是有理数还是无理数。

四、有理数集合（Q）有理数集合是可以表示为两个整数之比的数的集合。

通常用大写字母Q表示有理数集合，其中Q的定义如下：Q = {p/q | p和q是整数，且q≠0}有理数集合包括所有整数和所有可以表示为两个整数之比的数，如分数等。

五、正整数集合（Z+）正整数集合是所有大于零的整数的集合。

通常用大写字母Z+表示正整数集合，其中Z+的定义如下：Z+ = {1, 2, 3, ...}正整数集合是一个无穷集合，只包括大于零的整数。

在数学中，集合的字母表示方法不仅能够方便地表示和描述集合，还能够帮助我们更好地理解和应用集合的概念。

通过对常见集合的字母表示方法的介绍，我们可以更清楚地了解整数、自然数、实数、有理数和正整数等集合之间的关系和特点。

总结回顾：- 整数集合Z是包括负整数、零和正整数的集合。

- 自然数集合N是所有大于等于1的整数的集合。

集合的两种表示方法
集合是数学中一个重要概念，它可以表示为一组数据或对象的集合。

确定性一致的元素构成的集合，称为集合。

集合的表示方法有两种：一种是列表法，另一种是集合论的元素法。

列表法
列表法是最常见的集合表示方法，即把集合的所有元素按照一定的顺序写在一起，用英文逗号分隔，用方括号括起来。

例如，集合M={a,b,c,d}可以用列表法表示为：M={a,b,c,d}。

通过列表法，可以把集合中的元素一一列出，从而可以很清楚地表示集合中包含哪些元素。

集合论的元素法
原子模型在1838至1842年间，德国数学家欧十四普集合论的元素法是描述集合的另一种表示方法，即用一句简短的话把集合的元素全部描述出来。

例如，集合M={a,b,c,d}可以使用集合论的元素法表示为“M是a、b、c和d的集合”。

相比列表法，集合论的元素法可以把集合比较简单地描述出来，而不需要一一列出所有的元素，因此被认为更加简洁、简单。

集合的其他表示方法
除了上文介绍的列表法和集合论的元素法外，还有其他表示集合的方法。

例如，用特殊的符号来表示集合，用二维的花式表示法来描述集合，或者把集合的特征用数学公式描述出来。

不过，列表法和集合论的元素法是最常用的表示集合的方法，而其他表示法则一般不常
见。

总结
列表法和集合论的元素法是表示集合最常用的两种表示方法，列表法可以把集合中的元素一一列出，而集合论的元素法可以把集合的特征简短地描述出来。

除此之外，还有其他表示集合的方法，但是这些方法很少被使用。

集合与集合的表⽰⽅法第1章集合1.1 集合与集合的表⽰⽅法1.1.1 集合的概念⼀、概念与能⼒聚焦1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在⼀起就成为⼀个集合。

组成集合的对象叫元素，集合通常⽤⼤写字母A 、B 、C 、…来表⽰。

元素常⽤⼩写字母a 、b 、c 、…来表⽰。

集合是⼀个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的⼀个集合。

例题1：考察下列每组对象能否组成⼀个集合？（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；（2）2010年辽宁⾼考数学试卷中所有的难题；（3）清华⼤学2010级的新⽣；（4）平⾯直⾓坐标系中，第⼀象限内的⼀些点；（5）2的近似值的全体.2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ?。

例题 2：已知321-=a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？3、集合中元素的特性（1）确定性：设A 是⼀个给定的集合，x 是某⼀具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有⼀种且只有⼀种成⽴。

例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ?∈6,0。

（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于⼀个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。

如⽅程0)4(2=-x 的解集记为}{4，⽽不能记为}{4,4。

（3）⽆序性：集合与其中元素的排列次序⽆关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同⼀个集合。

例题3：已知集合A 中含有两个元素3-a 和12-a ，若A ∈-3，试求实数a 的值。

4、集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。

如“⽅程013=+x 的解组成的集合”，由“8,6,4,2组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。

集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

列举法描述法集合的表示方法
一。

集合是数学中一个非常重要的概念，它就像是一个装着各种元素的“大口袋”。

咱们先来说说列举法。

1.1 列举法那可真是简单直接，一目了然。

比如说一个集合里有数字 1、2、3，那就直接写成{1, 2, 3}，清清楚楚，明明白白。

就像咱把兜里的东西一股脑儿倒出来给人看，一点儿不藏着掖着。

1.2 再比如集合里有字母 a、b、c，那就是{a, b, c}。

这种方法简单粗暴，谁都能看懂。

二。

接下来是描述法。

2.1 描述法呢，就像是给集合画了一幅“画像”。

比如说{x x 是大于 5 的整数}，这就告诉咱，这个集合里装的都是大于 5 的整数。

2.2 再比如{y y = 2x + 1，x 是自然数}，这就像是给了个“配方”，按照这个“配方”能找到集合里的元素。

2.3 描述法能更准确地表达集合的特征，让咱一下子就明白这个集合里的元素是咋来的。

三。

这两种表示方法各有各的妙处。

3.1 列举法在元素比较少，而且容易写清楚的时候，那是相当好用，一眼就能看明白。

3.2 描述法在元素比较多，或者规律比较明显的时候，那就是“大显身手”啦，能把集合的特点说得清清楚楚。

集合的表示方法就像是我们手里的工具，得根据具体情况来选择，用对了才能事半功倍。

不管是列举法还是描述法，都是为了让我们更清楚地理解和处理集合这个数学概念。

就像俗话说的，“不管白猫黑猫，能抓住老鼠的就是好猫”，能把集合表示清楚的方法，就是好方法！。