[小初高学习]2018年秋高中数学 课时分层作业1 命题 新人教A版选修2-1

课时分层作业(八) 复数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|D [①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确； ②由复数相等的条件z ＝0⇔{ a ＝b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．] 2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )【导学号：48662131】A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB [∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.] 3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4D ．－1和6C [由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.]4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．]5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )【导学号：48662132】A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.]二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.－2＋3i [∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.]7．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________.【导学号：48662133】－1－5i [因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.]8．复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为________． ±23 [由|z |＝a2＋－2＝40，得a ＝±23.]三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围.【导学号：48662134】[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2m >2或m <1，∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2.∴m ＝2.[能力提升练]1．在复平面内，复数z 1、z 2对应点分别为A 、B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325iD [设z 2＝x ＋y i(x 、y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325，故选D.]2．复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )【导学号：48662135】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y 轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.]3．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝__________. ±i [因为z 为纯虚数， 所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)， 则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1，所以a ＝±1，即z ＝±i.]4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．3 [∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x的最大值为 3.]5．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时 (1)z 1＝z 2；(2)z 1、z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2.【导学号：48662136】[解] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ，⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6k ∈Z ，2sin θcos θ＝－cos θ，⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z )．(3)|z 2|<2⇒3sin θ2＋cos 2θ< 2⇒3sin 2 θ＋cos 2 θ<2⇒sin 2θ<12⇒k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z).。

课时分层作业(四) 演绎推理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理A[大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A.]2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC<AC.因为∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠A<∠B.方框部分的证明是演绎推理的( )【导学号：48662062】A．大前提B．小前提C．结论D．三段论B[因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC<AC”．故选B.] 3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误C[不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．]4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )【导学号：48662063】A．①④ B．②④C．①③ D．②③A[根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．]5．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.]二、填空题6．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________________.【导学号：48662064】log 2x －2≥0 [由三段论方法知应为log 2x －2≥0.]图2­1­137. “如图2­1­13所示，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD ”． 证明：在△ABC 中 ， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ，①所以AD >BD ，② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)③ [由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．]8．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.【导学号：48662065】12 [因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义且f (0)＝0(大前提)，而奇函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R (小前提)，所以f (0)＝a －120＋1＝0(结论)．解得a ＝12.]三、解答题9．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .[证明] 如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB .AE ⊂平面SAB . ∴AE ⊥平面SBC ， 又BC ⊂平面SBC .∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC .10．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m.[证明] 因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提)所以b a ＋m a a ＋m <a b ＋m a a ＋m ，即b a ＜b ＋ma ＋m.(结论)[能力提升练]1．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故某奇数(S )是3的倍数(P )．”上述推理是( )【导学号：48662066】A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错C [由三段论推理概念知推理正确．] 2．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x是指数函数，所以函数y ＝2x经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1nn ＋(n ∈N *)C ．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2A [A 为演绎推理，这里省略了大前提，B 为归纳推理，C ，D 为类比推理．] 3．以下推理中，错误的序号为________.【导学号：48662067】①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ； ②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数； ④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥α.① [当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立．]4．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)给出以下三个结论： (1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论为________． (1)(2)(3) [由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9. 又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16， 所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝16＋10＝26. 故(1)(2)(3)均正确．]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明：数列{a n －n }是等比数列． (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立.【导学号：48662068】[解] (1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列． (2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n .所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n－13＋nn ＋12.(3)证明：对任意的n ∈N*,S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋n ＋n ＋2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n－13＋n n ＋2＝－12(3n 2＋n －4)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．。

课时分层作业(一) 命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 45°＝1C ．x 2＋2x －1>0D ．x 2＋y 2＝0B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于C ，D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是( )A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a⊥bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bD ．若α＝60°，则cos α＝12B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.]3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )【导学号：97792004】A ．两条直线B ．一个平面C ．垂直D ．两条直线垂直于同一个平面D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]4．下列四个命题中，真命题是( )A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bdB ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b⇒a ＞b D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A．4 B．2 C．0 D．－3C[由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0适合题意．]二、填空题6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________.【导学号：97792005】若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称[命题若p，则q 的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．] 8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体．(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除．(3)正弦值相等的两个角的终边相同.【导学号：97792006】[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[能力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )A．余弦值B．第二象限C．一个角是第二象限角D．没有条件C[原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.]3．下列命题是真命题的是________．①0是{0,1,2}的真子集；②关于x的方程x2＋|x|－6＝0有四个实数根；③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1.④[对于①，0是集合{0,1,2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|－6＝0得|x|＝2，所以x＝±2，方程有两个实数根，故②是假命题；对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；对于④，当a≠0得(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________.【导学号：97792007】(－∞，－4]∪[4，＋∞)[由题意知函数y＝x2－mx＋4的图象与x轴有交点，则Δ＝m2－4×4≥0，解得m≥4或m≤－4.]5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．[解] (1)命题可改写为：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根．因为当m >14时，Δ＝1－4m <0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.。

课时分层作业(十一) 流程图(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列框图中，属于流程图的是( )A.整数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂B.随机事件→频率→概率C.平面向量→空间向量→几何向量D.插电源→放脏衣服→放水→洗衣→脱水D[根据流程图的定义分析知只有D选项中的框图为流程图．]2．如图4­1­8是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中应填入( )【导学号：48662186】图4­1­8A．整理数据、求函数表达式B．画散点图、进行模型修改C．画散点图、求函数表达式D．整理数据、进行模型修改C[由数据拟合的基本过程可知C正确．]3．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→eC[依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.]4．如图4­1­9，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )图4­1­9A ．26B ．24C ．20D ．19D [由A →B 有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.]5．阅读下边的程序框图4­1­10，运行相应的程序，则输出S 的值为( )【导学号：48662187】图4­1­10A ．2B ．4C ．6D ．8B [S ＝4不满足S ≥6，S ＝2S ＝2×4＝8，n ＝1＋1＝2；n ＝2不满足n >3，S ＝8满足S ≥6，则S ＝8－6＝2，n ＝2＋1＝3；n ＝3不满足n >3，S ＝2不满足S ≥6，则S ＝2S ＝2×2＝4，n ＝3＋1＝4；n ＝4满足n >3，输出S ＝4.故选B.]二、填空题6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积为S ＝πab ，当a ＝4，b ＝2时，计算椭圆面积的流程图如图4­1­11所示，则空白处应为________.【导学号：48662188】图4­1­11a＝4，b＝2[由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．]7．写出如图4­1­12所示程序框图的运行结果．若a＝64，则输出结果是________．图4­1­1264[∵64≥0，∴输出结果为64.]8．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．17[把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．]三、解答题9．某地残次木材系列资源开发利用的具体过程是：建立木材加工厂，利用残次木材加工各种小件木制用具(如打气筒手柄)，再把加工后的下脚料粉碎，用于培养袋栽食用菌．试画出此资源开发利用的工序流程图.【导学号：48662189】[解]确定工序及各工序之间的关系为：(1)建立木材加工厂；(2)加工各种小件木制用具；(3)粉碎加工后的下脚料；(4)培养袋栽食用菌．由此画出工序流程图如图所示．建立木材加工厂→加工各种小件木制用具→粉碎加工后的下脚料→培养袋栽食用菌10．如图4­1­13是2018年山东各类成人高考学校招生网上报名流程图．试叙述一名考生报名时所要做的工作．图4­1­13[解]要完成报名，需依次做好以下工作：(1)网上登记，阅读报名须知．(2)填写考生报名身份证号码，并查看该身份证号码是否已登记．(若未登记，则不允许报名，需重新填写身份证号码)(3)填写《山东省2018年各类成人高考学校招生网上报名登记表》，并检查信息是否有效．(若无效需重新填写登记表)(4)确定报名成功．[能力提升练]1．某商家准备投产某种产品，需要先进行市场调研，调研结束后才可投入生产．下面各流程图中，最合适的是( )D[商场如战场，调研是该项目的关键，需抓紧时间搞好调研，因此应多增派人手，齐头并进，尽快完成调研，早日安排投产，使产品占领市场．]2．两个形状一样的杯子A和B中分别装有红葡萄酒和白葡萄酒．现在利用空杯子C将A和B两个杯子里所装的酒对调，下面画出的流程图正确的是( )A B C DA[把A中的酒倒入空杯子C中，然后把B中的酒倒入A中，最后再把C中的酒倒入B 中，即A→C，B→A，C→B.]3．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：中判断框应填________，输出的s＝________.图4­1­14i≤6？a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6[初值s＝0，i＝1，当i≤6时，得到以下结果，s＝a1，i＝2，s＝a1＋a2，i＝3，s＝a1＋a2＋a3，i＝4，s＝a1＋a2＋a3＋a4，i＝5，s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，i＝6，s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，i＝7.∵7>6，∴输出s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6.]4．某工程由下列工序组成，则工程总时数最少为________天．(注：m的紧前工序为n，意思是当工序n完成时工序m才开始进行)②工序c需要在工序d，e之前完成，③工序d，e需要在工序f前完成，由此知此工程完成要分成四步，第一步先完成a，b工序，要用3天，第二步完成c工序，要用2天，第三步完成d，e 工序，要用5天，第四步完成f工序，要用1天，∴所有工序总时间为：3＋2＋5＋1＝11(天)．]5．王芳某天计划完成以下事情：A.去菜市场买菜(20分钟)；B.整理房间(10分钟)；C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)；D.洗衣机洗衣服(40分钟)；E.晾衣报(5分钟)．根据所讲内容回答第(1)(2)题．(1)分析上述各项工作之间的先后关系，写出四种工作流程．(2)指出上述哪条路径是关键路径，并确定完成该工作的最短时间.【导学号：48662190】[解](1)根据题意，计划完成以下事情，四种工作流程是：方法①：A.去菜市场买菜(20分钟)→B.整理房间(10分钟)→C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.冼衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)；方法②：B.整理房间(10分钟)→A.去市场买菜(20分钟)→C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)；方法③：C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)→A.去菜市场买菜(20分钟)→B.整理房间(10分钟)；方法④：C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)，同时进行A.到菜市场买菜(20分钟)和B.整理房间(10分钟)→E.晾衣服(5分钟)．(2)上述方法中买菜、洗衣、整理房间是关键路径，完成这些工作的最短时间是方法④，为3＋40＋5＝48(分钟).。

课时分层作业(六) 曲线与方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的必要不充分条件，故选B.]2．方程y＝－3－x2表示的曲线是( )A．一个圆B．一条射线C．半个圆D．一条直线C[方程y＝－3－x2可化为x2＋y2＝3(y≤0)，故选C.]3．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－13，则动点P的轨迹方程为( )A．x2－3y2＝4B．x2＋3y2＝4C．x2－3y2＝4(x≠±1)D．x2＋3y2＝4(x≠±1)D[由点B与点A(－1,1)关于原点对称，得点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得k AP·k BP＝y－1x＋1·y＋1x－1＝－13(x≠±1)，化简得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．]4．已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )【导学号：46342056】A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y－5＝0C．x－2y－7＝0 D．x－2y＋7＝0D [设P (x 0，y 0)，则x 0－2y 0＋3＝0 (*)．又设Q (x ，y )，由|PM |＝|MQ |，知点M 是线段PQ 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x 0＋x 22＝y 0＋y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2－xy 0＝4－y (**)．将(**)代入(*)，得(－2－x )－2(4－y )＋3＝0，即x －2y ＋7＝0.故选D.]5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1， ∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2. 即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2.] 二、填空题6．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________． 点(1,2) [由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0y －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2.所以方程(x －1)2＋y －2＝0表示点(1,2)．]7．设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要条件 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁，但丁D ⇒/丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________.【导学号：46342057】y 2＝4x [由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .]三、解答题9．已知A (0,4)，点B 是曲线2x 2＋1－y ＝0上任意一点，且M 是线段AB 的中点，求动点M 的轨迹方程．[解] 设B (x 1，y 1)，M (x ，y )，由M 是线段AB的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x12y ＝y 1＋42，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y －4.又点B 在曲线2x 2＋1－y ＝0上，∴2x 21＋1－y 1＝0，∴2×(2x )2＋1－(2y －4)＝0， 即8x 2－2y ＋5＝0，∴动点M 的轨迹方程是8x 2－2y ＋5＝0.10．如图2­1­1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2­1­1[解] 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连结PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N .由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt△PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt△PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.[能力提升练]1．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( ) A ．前后两者都是一条直线和一个圆 B ．前后两者都是两个点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆C [x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1，表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝±1，表示点(0,1)，(0，－1)．]2．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )【导学号：46342058】A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．]3．已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 [作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM |＝12|AB |＝3.所以M 的轨迹是以原点O 为圆心，以3为半径的圆， 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9.]4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．4π [设动点P (x ，y )， 依题意|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 化简得(x －2)2＋y 2＝4， 方程表示半径为2的圆， 因此图形的面积S ＝π·22＝4π.]5．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【导学号：46342059】[解] 法一：如图，设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1， 而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM(如图)．∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝(x－2)2＋(y－4)2，|AB|＝(2x)2＋(2y)2，∴2(x－2)2＋(y－4)2＝4x2＋4y2，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程．。

课时分层作业(八) 复数的几何意义(建议用时：分钟)[基础达标练]一、选择题．下列命题中，假命题是( )．复数的模是非负实数．复数等于零的充要条件是它的模等于零．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件．复数>的充要条件是＞[①任意复数＝＋(、∈)的模＝≥总成立．∴正确；②由复数相等的条件＝⇔(\\(＝＝))⇔＝，故正确；③若＝＋，＝＋(、、、∈)，若＝，则有＝，＝，∴＝.反之由＝，推不出＝，如＝＋，＝－时＝，故正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴错．]．在复平面内，为原点，向量对应的复数为－＋，若点关于直线＝－的对称点为，则向量对应的复数为( )【导学号：】．－－．－＋．＋．－＋[∵(－)关于直线＝－的对称点(－)，∴向量对应的复数为－＋.] ．若复数(－－)＋(－－)对应的点在虚轴上，则实数的值是( )．－．．－和．－和[由－－＝得＝或－，故选.]．当＜＜时，复数＝(－)＋(－)在复平面上对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[∵<<，∴－>，－<，∴点(－，－)在第四象限．]．如果复数满足条件＋＝＋，那么＝( )【导学号：】．－＋－．－－＋[设＝＋(，∈)，由复数相等的充要条件，得(\\(＋(＋)＝，＝，))解得(\\(＝()，＝，))即＝＋.]二、填空题．为虚数单位，设复数、在复平面内对应的点关于原点对称，若＝－，则＝.－＋[∵＝－，∴对应的点为(，－)，关于原点的对称点为(－)．∴＝－＋.]．已知在△中，，对应的复数分别为－＋，－－，则对应的复数为.【导学号：】－－[因为，对应的复数分别为－＋，－－，所以＝(－)，＝(－，－)，又＝－＝(－，－)－(－)＝(－，－)，所以对应的复数为－－.]．复数＝－的模为，则实数的值为．±[由＝＝，得＝±.]三、解答题．已知复数＝＋(∈)在复平面内对应的点位于第二象限，且＝，求复数.[解]因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以<，由＝知，＝，解得＝±，故＝－，所以＝－＋.．在复平面内，若复数＝(－－)＋(－＋)对应的点()在虚轴上；()在第二象限；()在直线＝上．分别求实数的取值范围.【导学号：】[解]复数＝(－－)＋(－＋)的实部为－－，虚部为－＋.()由题意得－－＝.解得＝或＝－.()由题意得(\\(－－<－＋>))，∴(\\(－<<>或<))，∴－＜＜.()由已知得－－＝－＋.∴＝.[能力提升练]．在复平面内，复数、对应点分别为、.已知()，＝，＝，则＝( )．＋．＋．＋．＋或＋[设＝＋(、∈)，由条件得，(\\(－＋－＝，＋＝.))∴(\\(＝，＝.))或(\\(＝()，＝()，))故选.]．复数＝(＋)－(＋)(∈，为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )【导学号：】．第一象限．第二象限。

课时分层作业(四) 演绎推理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理A[大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A.]2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC<AC.因为∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠A<∠B.方框部分的证明是演绎推理的( )【导学号：48662062】A．大前提B．小前提C．结论D．三段论B[因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC<AC”．故选B.] 3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误C[不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．]4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )【导学号：48662063】A．①④ B．②④C．①③ D．②③A[根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．]5．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.]二、填空题6．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________________.【导学号：48662064】log 2x －2≥0 [由三段论方法知应为log 2x －2≥0.]图2­1­137. “如图2­1­13所示，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD ”． 证明：在△ABC 中 ， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ，①所以AD >BD ，② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)③ [由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．]8．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.【导学号：48662065】12 [因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义且f (0)＝0(大前提)，而奇函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R (小前提)，所以f (0)＝a －120＋1＝0(结论)．解得a ＝12.]三、解答题9．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .[证明] 如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB .AE ⊂平面SAB . ∴AE ⊥平面SBC ， 又BC ⊂平面SBC .∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC .10．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m.[证明] 因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提)所以b a ＋m a a ＋m <a b ＋m a a ＋m ，即b a ＜b ＋ma ＋m.(结论)[能力提升练]1．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故某奇数(S )是3的倍数(P )．”上述推理是( )【导学号：48662066】A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错C [由三段论推理概念知推理正确．] 2．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x是指数函数，所以函数y ＝2x经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1nn ＋(n ∈N *)C ．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2A [A 为演绎推理，这里省略了大前提，B 为归纳推理，C ，D 为类比推理．] 3．以下推理中，错误的序号为________.【导学号：48662067】①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ； ②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数； ④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥α.① [当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立．]4．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)给出以下三个结论： (1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论为________． (1)(2)(3) [由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9. 又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16， 所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝16＋10＝26. 故(1)(2)(3)均正确．]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明：数列{a n －n }是等比数列． (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立.【导学号：48662068】[解] (1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列． (2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n .所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n－13＋nn ＋12.(3)证明：对任意的n ∈N*,S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋n ＋n ＋2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n－13＋n n ＋2＝－12(3n 2＋n －4)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．。

课时分层作业(八) 复数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|D [①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确； ②由复数相等的条件z ＝0⇔{ a ＝b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．] 2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )【导学号：48662131】A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB [∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.] 3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4D ．－1和6C [由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.]4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．]5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )【导学号：48662132】A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.]二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.－2＋3i [∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.]7．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________.【导学号：48662133】－1－5i [因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.]8．复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为________． ±23 [由|z |＝a2＋－2＝40，得a ＝±23.]三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围.【导学号：48662134】[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2m >2或m <1，∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2.∴m ＝2.[能力提升练]1．在复平面内，复数z 1、z 2对应点分别为A 、B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325iD [设z 2＝x ＋y i(x 、y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325，故选D.]2．复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )【导学号：48662135】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y 轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.]3．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝__________. ±i [因为z 为纯虚数， 所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)， 则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1，所以a ＝±1，即z ＝±i.]4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．3 [∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x的最大值为 3.]5．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时 (1)z 1＝z 2；(2)z 1、z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2.【导学号：48662136】[解] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ，⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6k ∈Z ，2sin θcos θ＝－cos θ，⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z )．(3)|z 2|<2⇒3sin θ2＋cos 2θ< 2⇒3sin 2 θ＋cos 2 θ<2⇒sin 2θ<12⇒k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z).。

课时分层作业(六) 反证法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )【导学号：48662087】A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.] 3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为( )【导学号：48662088】A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D[反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数．]4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C [假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线，故选C.]5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )【导学号：48662089】A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2C [若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6 ①， 而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C 正确．] 二、填空题6．用反证法证明“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，假设内容是__________．|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12 [“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”．]7．用反证法证明命题“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设_______________________________________________________________．x ≠－1且x ≠1 [反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x ≠－1且x ≠1.]8．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7) [由假设p 为奇数可知a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．]三、解答题9．已知x ，y >0，且x ＋y >2.【导学号：48662090】求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.[证明] 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2.∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾．∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．[证明] 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．[能力提升练]1．已知a 、b 、c ∈(0,1)．则在(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 中， ( ) A ．不能同时大于14B ．都大于14C ．至少一个大于14D ．至多有一个大于14A [证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.－a ＋b2≥－a b ＞14＝12， 同理－b ＋c 2＞12，－c ＋a 2＞12. 三式相加，得 －a ＋b2＋－b ＋c 2＋－c ＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得 (1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝ ⎛⎭⎪⎫143① 因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.]2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )【导学号：48662091】A ．必在圆x 2＋y 2＝2上 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．以上三种情形都有可能C [∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆x 2＋y 2＝2内，则x 21＋x 22≥2，，但x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋2c a ＝3c 24c 2＋2c 2c ＝74<2，矛盾．∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.]3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．丙 [若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．]4．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2<2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).【导学号：48662092】③ [假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③.]5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． [解] (1)设公差为d ，由已知得{ a 1＝2＋1，a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴{ q 2－pr ＝0，q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.。

课时分层作业(三) 合情推理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1. 下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇B [由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故选B.]2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac ＝a ”类比得到“a·c ＝a”．)【导学号：48662051】B ．2 D ．4B.] a n ＋2，则猜想a n 是( ) B ．2n －2D ．2n ＋1－4A [∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2，a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想a n ＝2n－2.故选A.]4．用火柴棒摆“金鱼”，如图2­1­7所示：图2­1­7按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )【导学号：48662052】A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [归纳“金鱼”图形的构成规律知，巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝6n ＋2.]5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S ­ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ­ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C [设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A ­BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.]二、填空题6．观察分析下表中的数据： 多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812【导学号：48662053】F ＋V －E ＝2 [观察分析、归纳推理．观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.] 7．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n 行等式左边的数依次是n ，n ＋1，n ＋2，…，(3n －2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.]8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 [结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.]三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式.【导学号：48662054】[解] 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋. 10．如图2­1­8所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．图2­1­8[解] 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝g 2l 2＝l 2l 2＝1.[能力提升练]1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )【导学号：48662055】A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④B [根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．] 2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．]3．可以运用下面的原理解决一些相关图形(如图2­1­9)的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．图2­1­9πab [由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a ，即k ＝b a，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab .]4．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.【导学号：48662056】n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.]5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2­1­10(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2­1­10(1)求出f (5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的表达式．[解] (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，…f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.。