高二数学分层作业及答案

高二数学分层作业一、选择题1.282()x x +的展开式中4x 的系数是（）2.在(1－x 3)(1+x)10的展开式中，x 5的系数是()A.－297B.－252C.297D.2073.设S=(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)+1,它等于下式中的()A.(x－2)4B.(x－1)4C.x 4D.(x＋1)44.若在231(3)2n x x -的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时常数项为()A.1352- B.135- C.1352 D.135二、填空题－2x )6的展开式中的常数项是(用数字作答).6.10mx⎛ ⎝的展开式中4x 项的系数为210，则实数m 的值为______________7.若f(x)=(1+2x)m +(1+3x)n 的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为__________.三、解答题8.在(1－x 2)20展开式中，如果第4r 项和第r+2项的二项式系数相等，(1)求r 的值；(2)写出展开式中的第4r 项和第r+2项.9.m、n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.四、选做题10.设f(x)=(2x+1)5－5(2x+1)4+10(2x+1)3－10(2x+1)2+5(2x+1)－1,则f(x)等于()A.(2x+2)5B.32x5C.(2x－1)5D.2x511.若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后，它的项数为()A.11B.33C.55D.66。

高二数学分层作业一、选择题1.设函数f(x)=ax 3-3x+1(x∈R)，若对于任意的x∈(0，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围为()A.a>4 B.a≥4 C.a<4 D.a≤42.设函数f（x）=e 1+x−11+x 4，则使得f（2x）＜f（1-x）成立的x 的取值范围是（）A.(−1,13)B.(−∞,13)C.(−∞,−1)D.(−13,1)3.若函数f(x)=x-1sin 2x 3+asin x 在(-∞，+∞)上单调递增，则a 的取值范围是()A.[-1，1]B.1-13⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.D.1-1-3⎡⎤⎢⎣⎦，4.若函数f(x)＝13x 3－ax 2＋ax 在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是()0，43C．(－∞，0)∪(1，＋∞)二、填空题5.奇函数32()f x ax bx cx =++在1x =-处有极值，则3a b c ++的值为．6.若方程3296=02x x x a -+-有且仅有一个实根，则a 的取值范围为.7.已知函数f(x)＝lnx－mx (m∈R)在区间[1,e]上的最小值为4，则m＝．三、解答题8.已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R .(1)若a ＝0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；(2)根据a 的不同取值，讨论函数f (x )的极值点情况．9.已知函数2ln )(x x a x f +=(a 为实常数)．（1）当[]e x ,1∈时，讨论方程()0=x f 根的个数．（2）若0>a ，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()212111x x x f x f -≤-，求实数a 的取值范围．四、选做题10.函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1，1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-1)D.(-∞，+∞)11.已知函数f(x)＝ax －1＋ln x，若存在x 0>0，使得f(x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是()A．a>2B．a<3C．a≤1D．a≥3高二数学分层作业答案1.B2.A3.C4..A f′(x)＝x 2－2ax＋a，由题意知，f′(x)＝0在(0,1)，(1,2)内都有根，且f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，⇒1<a<43A.5.06.2a <或52a >7.－3e8.解(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x 2，其定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2x ＞0，所以f (x )在[1，e]上是增函数，当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1；故函数f (x )在[1，e]上的最小值是1.(2)f ′(x )＝2x 2－2ax ＋1x，g (x )＝2x 2－2ax ＋1，(ⅰ)当a ≤0时，在(0，＋∞)上g (x )＞0恒成立，此时f ′(x )＞0，函数f (x )无极值点；(ⅱ)当a ＞0时，若Δ＝4a 2－8≤0，即0＜a ≤2时，在(0，＋∞)上g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≥0，函数f (x )无极值点；若Δ＝4a 2－8＞0，即a ＞2时，易知当a －a 2－22＜x ＜a ＋a 2－22时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0；当0＜x ＜a －a 2－22或x ＞a ＋a 2－22时，g (x )＞0，此时f ′(x )＞0，所以当a ＞2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x ＝a ＋a 2－22是函数f (x )的极小值点，综上，当a ≤2时，函数f (x )无极值点；a ＞2时，x ＝a －a 2－22是函数f (x )的极大值点，x＝a ＋a 2－22是函数f (x )的极小值点．9.解;（1）易知1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时，方程x x a ln 2=-根的个数。

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．数列－3，3，－33，9，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)C ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)D ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)B [把前四项统一形式为－3，9，－27，81，可知它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 3n .]2．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n 1n 2，…，则它的第5项为( ) A.15B ．－15 C.125 D ．－125D [易知，数列的通项公式为a n ＝(－1)n ·1n 2，当n ＝5时，该项为(－1)5·152＝－125.] 3．已知数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3等于( ) A ．20B ．28C ．0D ．12 A [a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，∴a 2a 3＝2×10＝20.]二、填空题4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．[解析] 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.[答案] 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项．[解析] 数列的通项为a n ＝3n －1. ∵25＝20＝3×7－1， ∴25是数列的第7项．[答案] 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)[解析] 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2， 故第n 个图形中的点数为n 2.[答案] n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. [解析] ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15. [答案] 3－22n 158．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.[解析] 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．[答案] ①三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．[解] (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．[解] (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项． (3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1.所以0<a n <1， 所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升练]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积为( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325B [a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.] 2．如图，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．[解析] 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C ，D ，E ，A ，故动点运动的周期为5，∵a 2 016＝a 2 015＋1＝a 5×403＋1＝a 1＝1，故应在A 处．[答案] A3．已知数列{a n }满足a m ·n ＝a m ·a n (m ，n ∈N *)，且a 2＝3，则a 8＝________. [解析] 由a m ·n ＝a m ·a n ，得a 4＝a 2·2＝a 2·a 2＝9， a 8＝a 2·4＝a 2·a 4＝3×9＝27.[答案] 274．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的单调性．[解] (1)由f (x )＝log 2x －log x 2，可得f (2a n )＝a n －1a n＝2n ， 所以a 2n －2na n －1＝0，解得a n ＝n ±n 2＋1.因为0<x <1，所以0<2a n <1，所以a n <0. 故a n ＝n －n 2＋1.(2)法一：(作商比较) a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1 ＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1<1. 因为a n <0，所以a n ＋1>a n .故数列{a n }是递增数列． 法二：(作差比较)a n ＋1－a n ＝n ＋1－(n ＋1)2＋1－n ＋n 2＋1 ＝n 2＋1＋1－n 2＋2n ＋2 ＝2(n 2＋1－n )n 2＋1＋1＋n 2＋2n ＋2>0. 所以数列{a n }是递增数列．。

高二数学分层作业一、选择题1.(3321x x -)10展开式中的有理项共有多少项()A.3B.4C.5D.62.(a+b)n 二项展开式中与第r 项系数相同的项是()A.第n－r 项B.第n－r－1项C.第n－r+1项D.第n－r+2项3.在(2n x 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A．7-B．7C．28-D．284.已知21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 系数为()5.A 10.B 20.C 40.D 二、填空题5.(1－x)6展开式中x 的奇次项系数和为_________.6.若(x+x1)n (n∈N )的展开式中各项系数的和大于8且小于32，则展开式中二项式系数最大的项应是_________.7.若500＜C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n ＜1000,则n 的值为_________.三、解答题8.设(x 2－x－1)50＝a 100x 100＋a 99x 99＋a 98x 98＋…＋a 0.(1)求a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1的值；(2)求a 100＋a 98＋a 96＋…＋a 2＋a 0的值．3x 2n 的展开式中的倒数第三项的系数为45.求:(1)含x 3的项;(2)二项式系数最大的项.四、选做题10.C 110+2C 210+4C 310+…+29C 1010的值为()A.3·210 B.310 C.21(29－1) D.21(310－1)11.若20192019012019(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则20191222019222a a a +++ 的值为（A）2（B）0（C）1-(D)2-高二数学分层作业答案1.【解析】T r +1=C 31010rr x -(－21)r 3rx -=C r 10(－21)r x 3210r -令3210r -=k (k ∈Z )则r =21(10－3k )=5－k －2k .∴k 为偶数，又0≤r ≤10,∴r 可取2，5，8，即有理项有3项.【答案】A2.【解析】与第r 项系数相同的项是倒数第r 项，又展开式中共有n +1项，倒数第r 项，即n +1－r +1=n －r +2项.【答案】D3.B4.B5.【解析】(1－x )6＝1－C 16x ＋C 26x 2－C 36x 3＋C 46x 4－C 56x 5＋C 66x6∴x 的奇次项系数和为－C 16－C 36－C 56＝－25＝－32【答案】－326.【解析】(x +x1)n 的展开式中各项系数的和为2n .由8＜2n ＜32，得3＜n ＜5，故n =4，展开式中系数最大的项为第3项，T 3＝C 24x 2·(x 1)2＝6x 【答案】6x7.【解析】C 0n +C 1n +…+C n n =2n 【答案】98.解：(1)令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1＋a 0＝1，所以a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1＝0.(2)令x ＝－1，得a 100－a 99＋a 98－…－a 1＋a 0＝1，①而a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1＋a 0＝1，②①＋②整理可得a 100＋a 98＋a 96＋…＋a 2＋a 0＝1.9.解:已知展开式中倒数第三项的系数为45,则C -2=45,即C 2=45,n 2-n-90=0.解得n=-9(舍去)或n=10.(1)T k+1=C ( -14)10-k ( 23)k =C -10− 4+23,令-10− 4+2 3=3,解得k=6.故含有x 3的项是第7项,且T 7=C 106x 3=210x 3.+3 210的展开式共11项,系数最大的项是第6项,∴T 6=C 105( -14)5·( 23)5=252 2512.【解析】C 110+2C 210+4C 310+…+29·C 1010=21(2C 110+22C 210+…+210C 1010)=21(C 010+2C 110+22C 210+…+210C 1010－1)=21［(1+2)10－1］=21(310－1).【答案】DC。

高二数学分层作业一、选择题1.方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．32.函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)3.函数f(x)＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)4.若函数f(x)＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，则实数m＝()A．1B．2C．3D．4二、填空题5.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．6.关于x 的方程x 3－3x 2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________.7.已知函数(0)()2(0)x xe x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则m 的取值范围是．三、解答题【规范演练】8.（1）已知函数f(x)=e x +x 2-x-4(a,b ∈R ,a>1),e 是自然对数的底数.求函数f(x)零点个数;（2）设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．9.若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[1e，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．四、选做题10.函数f(x)=12e x(sin x+cos x)在区间0上的值域为.11.若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为高二数学分层作业答案1.B 解析设f(x)＝2x 3－6x 2＋7，则f′(x)＝6x 2－12x＝6x(x－2)．∵x∈(0,2)，∴f′(x)<0.∴f(x)在(0,2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1，∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点，即方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内只有一个根．2.解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋1>0，∴f (x )＝e x ＋x －2在R 上是增函数．而f (－2)＝e －2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，∴f (0)·f (1)<0.故(0,1)为函数f (x )的零点所在的一个区间.3.解析：选C由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.4.C [∵函数f(x)＝x 3－mx 2＋4，∴f′(x)＝3x 2－2mx，3x 2－2mx＝0解得x＝0或x＝23m，可知x＝0或x＝23m 是函数的两个极值点，函数f(x)＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，可知一个极值为0，因为f(0)＝4＞0，所以x＝23m 是函数的极小值点，f(0)是函数的极大值．可得：23m＞0，并且f ＋4＝0，解得m＝3.5.(－∞，2ln 2－2]6.(－4，0)．7.(-1e,0)8.解(1)由题意f (x )=e x +x 2-x-4,∴f'(x )=e x +2x-1,∴f'(0)=0,当x>0时,e x >1,∴f'(x )>0,故f (x )是(0,+∞)上的增函数;当x<0时,e x <1,∴f'(x )<0,故f (x )是(-∞,0)上的减函数.f (1)=e -4<0,f (2)=e 2-2>0,∴存在x 1∈(1,2)是f (x )在(0,+∞)上的唯一零点;f (-2)=1e 2+2>0,f (-1)=1e -2<0,∴存在x 2∈(-2,-1)是f (x )在(-∞,0)上的唯一零点.所以f (x )的零点个数为2.(2)'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为当1x <时,'()0f x >;当12x <<时,'()0f x <;当2x >时,'()0f x >;所以当1x =时,()f x 取极大值5(1)2f a =-;当2x =时,()f x 取极小值(2)2f a =-;故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根.解得2a <或52a >.9.解：方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[1e ，e]内恰有两个相异的实数根，推得方程102x lnx m x -+-＝在区间[1e，e]内恰有两个相异的实数根，10.解析:∵f'(x)=12e x (sin x+cos x)+12e x (cos x-sin x)=e x cos x,当x∈xcos x≥0,∴f(x)在0,上单调递增.∴f(x)min =f(0)=12,f(x)max =12e π2.1211.[解析]令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<1e ；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>1e ，所以，当0<x<1e 时，函数g(x)单调递减；当x>1e时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝1e时，g(x)min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－1e <a<0.[答案]－1e。

人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(原卷版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋42．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)23.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋35.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．13.(5分)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．14.(5分)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m的最大值为________．15.(15分)已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝S nn(2n－1)且a1＝1 3.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(解析版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4D解析：当n＝1时，n＋3＝4，故左边应为1＋2＋3＋4.2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2D解析：当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.故选D．3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析：当n＝k＋1时，目标不等式为122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.5.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2k k＋1＋1k＋1<(k)2＋(k＋1)2＋1k＋1＝2(k＋1)k＋1＝2k＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(B)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对C解析：当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比可知，C正确．10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确B解析：∵n为正奇数，∴在证明时，应假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法()A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确D解析：n ＝1的验证及假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D ．12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．(k ＋1)2＋k 2解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以等式左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.13.(5分)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．2(2k ＋1)解析：令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1).14.(5分)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m 的最大值为________．36解析：f (1)＝36，f (2)＝36×3，f (3)＝36×10，…，猜想m 的最大值为36.15.(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．解：(1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立．②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1.因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k 2k ＋1.所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立．由①②可知命题对任意n ∈N *都成立．。

学业分层测评（二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1【解析】 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴f (x )max ＝12.【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b【解析】 取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .故选B.【答案】 B3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值为54 B ．最小值为54C．最大值为1 D.最小值为1【解析】∵x≥52，∴x－2≥12，∴f(x)＝(x－2)2＋12(x－2)＝12(x－2)＋12(x－2)≥2x－22·12(x－2)＝1，当且仅当x－22＝12(x－2)，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】 D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2 cd的最小值是()A．0 B．1C．2 D.4【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴(a＋b)2cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】 D5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是()A．x>y B．y>x C．x>2y D.y>2x【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b2＋ab<a＋b2＋a＋b2＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.【答案】 B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【导学号：32750010】【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(x＋y)24＝34(x＋y)2，∴(x＋y )2≤43，∴|x ＋y |≤233，即x ＋y 的最大值为23 3. 【答案】 23 37．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】 因为x ＞0，y ＞0，所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝xy 3，即xy 3≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3.【答案】 38．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab )＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”，∴所求最小值为2.【答案】 2三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ay x 时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10，② 由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝2. 10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 【证明】 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. [能力提升]1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4 D.2【解析】 因为x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y 2， ∴xy ≤x ＋4y 4＝10，∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.【答案】 D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D.2千米处【解析】 由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8. 当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．【答案】 A3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________． 【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1. 当且仅当x ＋1＝3时取等号．【答案】 23－14．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围. 【导学号：32750011】【解】 由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立．又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。

高中数学分层训练参考答案高中数学分层训练参考答案在高中阶段，数学是一门重要的学科，对于学生的发展和未来的职业选择都起着重要的作用。

为了更好地帮助学生掌握数学知识和提高解题能力，许多学校采取了分层训练的方式。

分层训练根据学生的能力和水平将他们分成不同的组别，提供相应难度的题目和训练材料。

下面是一些高中数学分层训练的参考答案，供学生参考。

第一层：基础巩固这一层主要针对数学基础薄弱的学生，旨在帮助他们夯实基础知识，提高解题能力。

以下是一些常见题目及其参考答案：1. 计算下列各式的值：a) 2 + 3 × 4 = 14b) (5 - 2) × 3 = 9c) 8 ÷ (2 + 3) = 1.62. 求下列方程的解：a) 2x + 5 = 13解：x = 4b) 3(x - 2) = 12解：x = 6c) 4x ÷ 2 = 10解：x = 5第二层：提高应用能力这一层主要针对数学基础较好的学生，旨在培养他们的应用能力和解决实际问题的能力。

以下是一些常见题目及其参考答案：1. 已知一个长方形的长是5cm，宽是3cm，求其面积和周长。

解：面积 = 长× 宽= 5cm × 3cm= 15cm²周长= 2 × (长 + 宽) = 2 × (5cm + 3cm) = 16cm2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了4小时后停下来，求汽车行驶的总路程。

解：总路程 = 速度× 时间 = 60公里/小时× 4小时 = 240公里第三层：拓展应用与创新这一层主要针对数学基础扎实，对数学有较强兴趣和理解能力的学生，旨在培养他们的创新思维和问题解决能力。

以下是一些常见题目及其参考答案：1. 一辆火车以每小时80公里的速度行驶，行驶了2小时后，停下来加油，然后以每小时60公里的速度行驶，最终到达目的地。

求火车行驶的总路程。