2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2蝗制课时分层作业含解析新人教A版必修

5.1.1　任意角必备知识基础练1．下列命题中正确的是( )A．第一象限角小于第二象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角是钝角D．平角大于第二象限角2．440°角的终边落在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．终边在第四象限的角α的集合是( )A．{α|－90°<α<0°)B．{α|270°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}C．{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}D．{α|k·180°－90°<α<k·180°，k∈Z}4．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于( ) A．－60° B．－30°C．60° D．30°5．下列各角中，与－30°终边相同的角为( )A．210° B．－390°C．390° D．30°6．[2022·广东韶关田家炳中学高一期末](多选)下列四个角为第二象限角的是( ) A．－200° B．100° C．220° D．420°7．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌．在冬奥会的比赛中有一位滑雪运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于_ _______度(不考虑符号).8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是________(填序号).关键能力综合练1．已知角α为锐角，则下列各角中为第四象限角的是( )A．α＋90° B．α＋180°C．α－90° D．α－180°2．与－525°角的终边相同的角可表示为( )A．525°－k·360°(k∈Z)B．185°＋k·360°(k∈Z)C．195°＋k·360°(k∈Z)D．－195°＋k·360°(k∈Z)3．[2022·山东枣庄高一期末]与－390°角的终边相同的最小正角是( )A．－30° B．30° C．60° D．330°4．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上C．x轴上 D．y轴的非负半轴上5．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限6．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°7．自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________度．8．若角α＝2 022°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为___ _____．9．在区间[0°，360°)内找出与下列各角终边相同的角α，并判断它是第几象限角：(1)－165°；(2)1 390°；(3)－567°26′.10．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．核心素养升级练1．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}2．若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合为________．3．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上．5．1.1　任意角必备知识基础练1．答案：B解析：390°为第一象限角，120°为第二象限角，故A错误；因为0°<锐角<90°，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；因为90°<钝角<180°，平角＝180°，480°为第二象限角，故C、D错误．2．答案：A解析：因为440°＝360°＋80°，所以440°角的终边与80°角的终边相同，所以440°角的终边落在第一象限．3．答案：C解析：终边在第四象限的角α的集合是{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}或{α| k·360°＋270°<α<360°＋k·360°，k∈Z}．4．答案：A解析：∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°，∴2秒钟后，OP转过的角等于2×(－30°)＝－60°.5．答案：B解析：与－30°终边相同的角的集合为：{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－1时，得α＝－390°.6．答案：AB解析：对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；对于B选项，100°是第二象限角；对于C选项，220°是第三象限角；对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角．7．答案：1 800解析：“空中翻腾五周”等于5×360°＝1 800°.8．答案：③解析：当k＝0时，集合{α|45°≤α≤90°}，当k＝1时，集合{α|225°≤α≤270°}，则可得出角所表示的取值范围为③.关键能力综合练1．答案：C解析：因为角α为锐角，所以90°<α＋90°<180°，α＋90°为第二象限角；180°<α＋180°<270°，α＋180°为第三象限角；－90°<α－90°<0°，α－90°为第四象限角；－180°<α－180°<－90°，α－180°为第三象限角．2．答案：C解析：－525°＝195°－2×360°，所以－525°角的终边与195°角的终边相同，所以与－525°角的终边相同的角可表示为195°＋k·360°(k∈Z).3．答案：D解析：与－390°角终边相同角的集合为{α|α＝－390°＋k·360°，k∈Z}，当k＝2时，取得最小正角为330°.4．答案：A解析：因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x 轴的非负半轴上．5．答案：B解析：当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，则α＝225°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，则α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第一象限角．6．答案：AC解析：假设α，β为0°～180°内的角，如图所示：由α和β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，根据终边相同角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以满足条件的为A、C.7．答案：540解析：因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转＝周，一周为360°，故小链轮转过的角度为360°×＝540°.8．答案：222°　－138°解析：∵2 022°＝5×360°＋222°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝222°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是222°，最大负角是－138°.9．解析：(1)与－165°终边相同的角为－165°＋k·360°，k∈Z，当k＝1时，为195°，∴在[0°，360°)内，与－165°终边相同的角是195°，它是第三象限角；(2)与1 390°终边相同的角可以表示为1 390°＋k·360°，k∈Z，当k＝－3时，为310°，∴在[0°，360°)内，与1 390°终边相同的角是310°，它是第四象限角；(3)与－567°26′终边相同的角为－567°26′＋k·360°，k∈Z，当k＝2时，为152°34′，∴在[0°，360°)内，与－567°26′终边相同的角是152°34′，它是第二象限角．10．解析：(1)依题意，角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.核心素养升级练1．答案：B解析：终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}　①，终边为第三象限的平分线的角的集合是{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}　②，由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．2．答案：{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}解析：函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，在0°～360°范围内，以第二象限平分线为终边的角为135°，以第四象限平分线为终边的角为315°，∴α的集合为{α|α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．3．解析：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角为α＝30°＋k·360°或α＝210°＋k·360°，k∈Z，即α＝30°＋2k·180°或α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z，所以终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．。

5.2.1 三角函数的概念必备知识基础练1．[2022·北京五中高一期末]在直角坐标系xOy 中，已知sin α＝－45，cos α＝35，那么角α的终边与单位圆⊙O 的交点坐标为( )A ．(35，－45)B ．(－45，35)C ．(－35，45)D ．(45，－35)2．已知角α的终边过点P (－2，3)，则tan α＝( ) A ．－32 B ．－23C ．－31313D ．313133．[2022·湖南衡阳高一期末]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点M (－3，4)是角θ终边上一点，则cos θ＝( )A ．35B ．－35C ．45D ．－45 4．sin (－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32 D ．325．下列各式的值为负的是( )A ．tan 288°cos 158°B ．sin 305°cos 460°C ．cos 378°sin 1100°D ．tan 400°tan 470°6．[2022·广东茂名高一期末](多选)若sin α·cos α<0，则α终边可能在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．[2022·山东济宁高一期末]在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P (－1，2)，则sin θ＝________．8．计算cos (－1 410°)＝________．关键能力综合练1．已知点P (x ，1)为角α终边上一点．若角α是第二象限角，sin α＝33，则x 的值为( )A ． 3B ．－ 3C ． 2D ．－ 22．已知α是第四象限角，P (3，y )是角α终边上的一个点，若cos α＝35，则y ＝( )A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定3．[2022·广东佛山高一期末]已知点P (tan θ，sin θ)是第三象限的点，则θ的终边位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知角α终边经过点(－1，m )，且sin α＝－35，则tan α＝( )A.±34 B ．34 C ．－34 D ．435．[2022·湖北武汉高一期末]已知角α的终边经过点(2a ＋1，a －2)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．211C ．－2或211D ．－16．[2022·河北秦皇岛高一期末](多选)已知点P (m ，－2m )(m ≠0)是角α终边上一点，则( )A ．tan α＝－2B ．cos α＝55C ．sin αcos α<0D ．sin αcos α>07．[2022·江苏南京高一期末]已知角θ的终边经过点P (x ，1)(x >0)，且tan θ＝x .则sin θ的值为________．8．已知角α终边上一点P 的坐标为(sin 4，cos 4)，则α是第________象限角，cos α＝________．9．求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan (－15π4)；(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.10．[2022·山东德州高一期末]已知角α的终边上一点P 的坐标是(5m ，12m )，其中m ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．核心素养升级练1．[2022·江苏常州高一期末]赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sin αcos α的值为( )A ．15B ．25 C ．55 D ．2552．点P 从圆心在原点O 的单位圆上点(1，0)出发，沿顺时针方向运动34π弧长，到达点Q ，则点Q 的坐标是________．3．(1)已知θ是第二象限角，试判断tan (sin θ)tan (cos θ)的符号； (2)若sin (cos θ)cos (sin θ)<0，求θ的终边的位置．5．2.1 三角函数的概念必备知识基础练1．答案：A解析：因为sin α＝－45，cos α＝35，所以角α的终边与单位圆⊙O 的交点坐标为(35，－45).2．答案：A解析：因为角α的终边过点P (－2，3)，所以tan α＝3－2＝－32.3．答案：B解析：因为点M (－3，4)是角θ终边上一点， 所以cos θ＝－39＋16＝－35.4．答案：D解析：由三角函数的诱导公式，可得sin (－1 380°)＝sin (－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32. 5．答案：D解析：对于A 选项，由tan 288°<0，cos 158°<0，可知A 选项不正确； 对于B 选项，由sin 305°<0，cos 460°<0，可知B 选项不正确；对于C 选项，由cos 378°>0，sin 1 100°>0，可知C 选项不正确； 对于D 选项，由tan 400°>0，tan 470°<0，可知D 选项正确． 6．答案：BD解析：因为sin α·cos α<0，若sin α>0，cos α<0，则α终边在第二象限； 若sin α<0，cos α>0，则α终边在第四象限． 7．答案：255解析：由题设，sin θ＝2（－1）2＋22＝255. 8．答案：32解析：由三角函数的诱导公式，可得cos (－1 410°)＝cos (－4×360°＋30°)＝cos 30°＝32. 关键能力综合练1．答案：D解析：利用三角函数的定义列方程，化简求得x 的值．因为sin α＝1x 2＋1＝33， 解得x ＝2(α是第二象限角，舍去)或x ＝－ 2. 2．答案：B解析：依题意α是第四象限角，所以y <0， ⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝332＋y 2＝35y <0⇒y ＝－4. 3．答案：D解析：因为点P (tan θ，sin θ)是第三象限的点，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan θ<0sin θ<0，故θ的终边位于第四象限．4．答案：B解析：因为角α终边经过点(－1，m )，且sin α＝－35，所以m1＋m2＝－35，所以m 21＋m 2＝925，且m <0，解得m ＝－34，所以tan α＝m －1＝－m ＝34.5．答案：A解析：r ＝（2a ＋1）2＋（a －2）2＝5（a 2＋1），cos α＝2a ＋15（a 2＋1）＝－35， ∴9(a 2＋1)＝5(2a ＋1)2且2a ＋1<0，解得a ＝－2. 6．答案：AC解析：因点P (m ，－2m )(m ≠0)是角α终边上一点， 则r ＝|OP |＝m 2＋（－2m ）2＝5|m |， 于是得tan α＝－2mm＝－2，A 正确；cos α＝m5|m |，当m >0时，cos α＝55，当m <0时，cos α＝－55，B 不正确； 又sin α＝－2m 5|m |，则sin αcos α＝－2m 5|m |·m5|m |＝－25<0，C 正确，D 不正确．7．答案：22解析：由于角θ的终边经过点P (x ，1)(x >0)，所以tan θ＝1x＝x ，得x ＝1，所以sin θ＝112＋12＝22. 8．答案：三 sin 4解析：由于π<4<3π2，所以sin 4<0，cos 4<0，故点P 在第三象限，也即α为第三象限角， 由三角函数的定义有cos α＝sin 4sin 24＋cos 24＝sin4. 9．解析：(1)cos 25π3＋tan (－15π4)＝cos (8π＋π3)＋tan (－4π＋π4)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°＝sin (2×360°＋90°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos (360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.10．解析：令x ＝5m ，y ＝12m ，则r ＝x 2＋y 2＝（5m ）2＋（12m ）2＝13|m |， ①当m >0时，r ＝13msin α＝y r ＝12m 13m ＝1213，cos α＝x r ＝5m 13m ＝513，tan α＝y x ＝125；②当m <0时，r ＝－13msin α＝y r ＝－12m 13m ＝－1213，cos α＝x r ＝－5m 13m ＝－513，tan α＝y x ＝125.核心素养升级练1．答案：B解析：设直角三角形的短边为x ，一个直角三角形的面积为100－204＝20，小正方形的面积为20，则边长为2 5.大正方形的面积为100，则边长为10. 直角三角形的面积为12·x (x ＋25)＝20⇒x ＝2 5.则直角三角形的较长边为4 5. 故sin α＝2510，cos α＝4510.即sin αcos α＝25.2．答案：(－22，－22)解析：因为点P 从圆心在原点O 的单位圆上点(1，0)出发， 沿顺时针方向运动34π弧长，到达点Q ，如图所示：由图象知∠AOQ ＝π4，OQ ＝1，AQ ＝OA ＝22，所以Q (－22，－22). 3．解析：(1)∵θ是第二象限角， ∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴tan (sin θ)>0，tan (cos θ)<0， ∴tan (sin θ)tan (cos θ)<0.(2)∵－π2<－1≤sin θ≤1<π2，∴cos (sin θ)>0.又sin (cos θ)cos (sin θ)<0，∴sin (cos θ)<0. ∵－π2<－1≤cos θ≤1<π2，∴cos θ<0，∴θ的终边在第二、三象限或在x 轴的负半轴上．。

课时作业(二十七) 弧度制[练基础]1．1 920°的角化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.163π D.323π 2．已知α＝－2 rad ，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的值是( ) A ．－34π B．－2π C ．π D．－π4．若三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别是________．5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．6．如图，扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的圆心角及弦AB 的长．[提能力]7．若一个扇形的半径变为原来的12倍，弧长变为原来的32倍，则扇形的圆心角变为原来的( )A ．3倍B ．2倍C.12倍D.13倍8．密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad.9．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[战疑难]10．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角为________rad；如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16 cm，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为________cm.课时作业(二十七) 弧度制1．解析：∵1°＝π180rad ，∴1 920°＝1 920×π180rad ＝323π rad. 答案：D2．解析：∵1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴α＝－2 rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫360°π≈－114.6°.故角α的终边在第三象限．答案：C3．解析：∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π. ∴θ＝－34π. 答案：A4．解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k ，则由3k ＋4k ＋5k ＝π，得k ＝π12，所以3k ＝π4，4k ＝π3，5k ＝5π12. 答案：π4，π3，5π125．解析：135°＝135π180＝3π4，所以扇形的半径为3π3π4＝4， 面积为12×3π×4＝6π. 答案：4 6π6．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为R cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2R ＝8，①12l ·R ＝4，②由①②得R ＝2，l ＝4，∴θ＝l R＝2.过O 作OC ⊥AB ，则OC 平分∠BOA ，又∠BOA ＝2 rad ，∴∠BOC ＝1 rad ，∴BC ＝OB ·sin 1＝2sin 1(cm)，∴AB ＝2BC ＝4sin 1(cm)．故所求扇形的圆心角为2 rad ，弦AB 的长为4sin 1 cm.7．解析：设α1＝l r ，则α2＝32l 12r ＝3l r ＝3α1. 答案：A8．解析：∵圆周角等于2π，∴1密位＝2π6 000＝π3 000，∴60密位＝π3 000·60＝π50. 答案：π509．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×10×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32(cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216. 10．解析：设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为ω1、ω2，在转动时，两齿轮转过的齿轮数相等，当小轮转动两周时，转过的齿轮数为18×2＝36，则大齿轮转动的角为3632×2π＝94π(rad)． 由题意可知，ω1ω2＝2π322π18＝916， ∴ω1＝916ω2＝916×3＝2716(转/秒)， 所以，大轮周上一点每1秒转过的弧长为16×2716×2π＝54π(cm)．9π454π答案：。

第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。

(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。

A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。

(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（ ）。

A 。

—920B 。

920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。

∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。

∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。

故选B 。

3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。

A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。

4。

（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。

A 。

12B 。

-12 C.-√32 D 。

-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。

5。

（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。

A.—13 B 。

±13C 。

—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。

5．1.2 弧度制内 容 标 准学 科 素养1。

理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．数学运算 数学抽象2。

体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式。

授课提示：对应学生用书第79页［教材提炼］知识点一 角度制与弧度制错误!设 α＝n °，OP ＝r ，点P 所形成的圆弧错误!的长为l .由初中所学知识可知l ＝错误!，于是错误!＝n 错误!.如果n °确定，错误!的值变化吗？知识梳理 (1）度量角的单位制单位内容（2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是|α｜＝错误!.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式(4)角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二扇形的弧长、面积错误!初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？知识梳理扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝错误!，则度量单位类别弧度制角度制扇形的弧长l＝αR l＝错误!扇形的面积S＝错误!lR＝错误!αR2S＝错误! [自主检测]1．2 rad的角的终边在（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B2．若一扇形的圆心角为错误!π，半径为20 cm，则扇形的面积为（)A．40π cm2B．80π cm2C．40 cm2D．80 cm2解析:因为扇形的圆心角为错误!π，半径为20 cm，所以扇形的面积为S扇形＝错误!αR2＝80π cm2,故选B。

课时作业(二十六) 任意角[练基础]1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45° B．90°C．180° D．270°2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120°C．240° D．－240°3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}4．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.5．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________________________________________________________________________．6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.[提能力]7．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )A．α＋β＝180°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)8．已知角α的终边与30°角的终边关于y 轴对称，则α＝________.9．已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角．[战疑难]10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．课时作业(二十六) 任意角1．解析：根据角的概念可知，90°角是以x 轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y 轴的非负半轴上．答案：B2．解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D. 答案：D3．解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k ·360°＋263°，k ∈Z .答案：C4．解析：由条件知，2α＝α＋k ·360°，所以α＝k ·360°(k ∈Z )，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°5．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }6．解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边． 7.解析：假设α、β为0°～180°内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝180°，所以A 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k ·360°＋180°＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )，所以D 满足条件，BC 都不满足条件．答案：AD8．解析：与30°角的终边关于y 轴对称的角可取150°，故α＝k ·360°＋150°，k ∈Z . 答案：k ·360°＋150°，k ∈Z9．解析：由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z .若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边相同，是第二象限角； 若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边相同，是第四象限角．所以，α2是第二象限角或第四象限角． 10．解析：(1)终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)由(1)得终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线OM 反向延长线上的角的集合为B ＝{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }，则终边落在直线OM 上的角的集合为 A ∪B ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．(3)终边落在直线ON 上的角的集合为C ＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S ＝{α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．课时作业(二十七) 弧度制[练基础]1．1 920°的角化为弧度数为( )A.163 B.323 C.163π D.323π 2．已知α＝－2 rad ，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的值是( ) A ．－34π B．－2π C ．π D．－π4．若三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别是________．5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．6．如图，扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的圆心角及弦AB 的长．[提能力]7．若一个扇形的半径变为原来的12倍，弧长变为原来的32倍，则扇形的圆心角变为原来的( )A ．3倍B ．2倍C.12倍D.13倍8．密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad.9．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[战疑难]10．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角为________rad；如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16 cm，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为________cm.课时作业(二十七) 弧度制1．解析：∵1°＝π180rad ，∴1 920°＝1 920×π180rad ＝323π rad. 答案：D2．解析：∵1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴α＝－2 rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫360°π≈－114.6°.故角α的终边在第三象限．答案：C3．解析：∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π. ∴θ＝－34π. 答案：A4．解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k ，则由3k ＋4k ＋5k ＝π，得k ＝π12，所以3k ＝π4，4k ＝π3，5k ＝5π12. 答案：π4，π3，5π125．解析：135°＝135π180＝3π4，所以扇形的半径为3π3π4＝4，面积为12×3π×4＝6π. 答案：4 6π6．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为R cm ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2R ＝8，①12l ·R ＝4，②由①②得R ＝2，l ＝4，∴θ＝l R＝2.过O 作OC ⊥AB ，则OC 平分∠BOA ，又∠BOA ＝2 rad ，∴∠BOC ＝1 rad ，∴BC ＝OB ·sin 1＝2sin 1(cm)，∴AB ＝2BC ＝4sin 1(cm)．故所求扇形的圆心角为2 rad ，弦AB 的长为4sin 1 cm.7．解析：设α1＝l r ，则α2＝32l 12r ＝3l r ＝3α1. 答案：A8．解析：∵圆周角等于2π，∴1密位＝2π6 000＝π3 000，∴60密位＝π3 000·60＝π50. 答案：π509．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×10×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32(cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －c 42＋c 216.当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216. 10．解析：设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为ω1、ω2，在转动时，两齿轮转过的齿轮数相等，当小轮转动两周时，转过的齿轮数为18×2＝36，则大齿轮转动的角为3632×2π＝94π(rad)．由题意可知，ω1ω2＝2π322π18＝916，∴ω1＝916ω2＝916×3＝2716(转/秒)，所以，大轮周上一点每1秒转过的弧长为16×2716×2π＝54π(cm)．答案：9π4 54π课时作业(二十八) 三角函数的概念[练基础]1．若角α的终边过点P (－4,3)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．－25 B.25C ．－25或25D ．12．sin(－140°)cos 740°的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定3．若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角4．若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，－2sin π6在角α的终边上，则sin α＝( )A.12 B ．－12C.32 D ．－325．sin(－1 380°)＝________.6．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.[提能力]7．(多选)已知x ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2，k ∈Z ，则函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |－tan x |tan x |的值可能为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－18．已知角α的终边经过点P (x ，－12)，且cos α＝－513，则tan(8π＋α)＝________. 9．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．[战疑难]10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转11π6弧度，则P，Q两点在第2 019次相遇时，点P的坐标为________．课时作业(二十八) 三角函数的概念1．解析：由题意知，sin α＝35，cos α＝－45，则2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.答案：B2．解析：因为－140°为第三象限角，故sin(－140°)<0. 因为740°＝2×360°＋20°，所以740°为第一象限角， 故cos 740°>0，所以sin(－140°)cos 740°<0.故选B. 答案：B3．解析：设角θ终边上一点的坐标为(x ，y )，该点到原点的距离为r (r >0)，则sin θcosθ＝y r ·xr<0，即xy <0，所以角θ终边上点的横、纵坐标异号，故角θ是第二或第四象限角．答案：D4．解析：∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，－2sin π6，即P (3，－1)， ∴sin α＝－132＋－12＝－12. 答案：B5．解析：sin(－1 380°)＝sin[60°＋(－4)×360°]＝sin 60°＝32. 答案：326．解析：(1)因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos 3<0，又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3>0，所以cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3<0.7．解析：∵x ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z，∴当x 在第一象限时，y ＝1＋1－1＝1.当x 在第二象限时：y ＝1－1＋1＝1.当x 在第三象限时：y ＝－1－1－1＝－3.当x 在第四象限时：y ＝－1＋1＋1＝1.故选BC.答案：BC8．解析：角α的终边经过点P (x ，－12)，∴r ＝|OP |＝x 2＋144，∴cos α＝x x 2＋144＝－513，解得x ＝－5，∴tan α＝－12－5＝125，∴tan(8π＋α)＝tan α＝125.答案：1259．解析：(1)∵1|sin α|＝－1sin α，∴sin α<0，①∵lg(cos α)有意义，∴cos α>0，② 由①②得角α的终边在第四象限．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，∴m <0，∴m ＝－45，∴sin α＝－45.10．解析：因为点P 按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π6弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2 019次时，共用了2 019秒，所以此时点P 所转过的弧度为2 019π6＝673π2＝π2＋336π，由终边相同的角的概念可知，2 019π6与π2的终边相同，所以此时点P 位于y 轴上，故点P 的坐标为(0,1)． 答案：(0,1)课时作业(二十九) 同角三角函数的基本关系[练基础]1．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是( )A.1213 B ．－1213 C.512 D ．－5122．化简：1－2sin 50°cos 50°的结果为( ) A ．sin 50°－cos 50° B．cos 50°－sin 50°C ．sin 50°＋cos 50° D．－sin 50°－cos 50° 3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35C.15D.354．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为________．5．已知tan α＝3，则sin 2α－2sin αcos α＝________. 6．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.[提能力]7．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论正确的是( )A ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB ．cos θ＝－35C ．tan θ＝－34D ．sin θ－cos θ＝758．若θ为第四象限角，则 1－cos θ1＋cos θ－1＋cos θ1－cos θ可化简为( )A ．2tan θB ．－2tan θC ．－2tan θ D.2tan θ9．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，求下列各式的值．(1)sin x －cos x ； (2)1cos 2x －sin 2x .[战疑难]10．设α是第三象限，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．课时作业(二十九) 同角三角函数的基本关系1．解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512. 答案：D 2．解析：原式＝sin 250°＋cos 250°－2sin 50°cos 50°＝sin 50°－cos 50°2＝|sin 50°－cos 50°|＝sin 50°－cos 50°.答案：A3．解析：∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝15－45＝－35.答案：B4．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.答案：－35．解析：sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝9－69＋1＝310.答案：3106．证明：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α ＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α ＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 7．解析：∵sin θ＋cos θ＝15 ①∴(sin θ＋cos θ)2＝125，即1＋2sin θcos θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75②由①②得sin θ＝45，cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.故选ABD. 答案：ABD8．解析：∵θ为第四象限角，则sin θ<0，且0<cos θ<1， ∴1±cos θ>0， ∴ 1－cos θ1＋cos θ－1＋cos θ1－cos θ＝1－cos θ21＋cos θ1－cos θ－1＋cos θ21－cos θ1＋cos θ＝1－cos θ2sin 2θ－1＋cos θ2sin 2θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos θsin θ－⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋cos θsin θ＝－1－cos θsin θ＋1＋cos θsin θ＝2tan θ.答案：D9．解析：(1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925，又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0，∴sin x －cos x ＝－75.(2)由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35cos x ＝45，∴1cos 2x －sin 2x ＝11625－925＝257. 10．解析：假设存在实数m 满足条件， 由题设得Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，①sin α＋cos α＝－34m <0(∵sin α<0，cos α<0)，②sin αcos α＝2m ＋18>0(∵sin α<0，cos α<0)，③又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin a ＋cos α)2－2sin αcos α＝1， 把②③代入上式得⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1.即9m 2－8m －20＝0， 解得m 1＝2，m 2＝－109，∵m 1＝2不满足条件①，舍去；m 2＝－109不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m 不存在．课时作业(三十) 诱导公式(一)[练基础]1．tan 3π4＝( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 22．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－323．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．求值：(1)cos 29π6＝____________；(2)tan(－225°)＝____________.5．若sin(－α)＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos(π＋α)＝________. 6．化简cos 180°＋αsin α＋360°tan －α－180°cos －180°＋α.[提能力]7．(多选)下列化简正确的是( ) A ．tan(π＋1)＝tan 1 B.sin －αtan 360°－α＝cos αC.sin π－αcos π＋α＝tan αD.cos π－αtan －π－αsin 2π－α＝18．若f (n )＝sinn π3(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________.9．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值．[战疑难]10．求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．课时作业(三十) 诱导公式(一)1．解析：tan 3π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－tan π4＝－1.答案：B2．解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 答案：D3．解析：由tan α＝－34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得sin α＝35.又∵sin(α＋π)＝－sin α，∴sin(α＋π)＝－35.答案：B4．解析：(1)cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135° ＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1. 答案：(1)－32(2)－1 5．解析：∵sin(－α)＝13，∴sin α＝－13.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 答案：－2236．解析：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)] ＝－tan(180°＋α)＝－tan α， cos(－180°＋α)＝cos [－(180°－α)] ＝cos(180°－α)＝－cos α， 所以原式＝－cos αsin α－tan α－cos α＝－cos α.7．解析：A 正确；sin －αtan 360°－α＝－sin α－tan α＝cos α，B 正确；sin π－αcos π＋α＝sin α－cos α＝－tan α，C 错误；cos π－αtan －π－αsin 2π－α＝－cos α·－tan α－sin α＝－1，D 错误．答案：AB8．解析：f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，……，∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＋336×0＝ 3.答案： 39．解析：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π ＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α1－cos αcos α－1＋cos α＝－sin αcos α＝52.10．解析：方法一 ①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·(－cos 4π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.②当n 为偶数时，原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.综上可知，原式＝(－1)n ＋134. 方法二 原式＝sin2π3·(－1)n cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·(－1)ncos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·(－1)n ·(－cos π3)＝(－1)n ×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(－1)n ＋134.课时作业(三十一) 诱导公式(二)[练基础]1．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A 等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.322．下列式子与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2相等的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ B ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θD ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ3．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin π－θ等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.234．若cos α＝－513，且α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π2＝________. 5．求tan2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos 6π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝________.6．已知4cos α－sin α3sin α＋2cos α＝14.(1)求tan α的值； (2)求sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α的值．[提能力]7．(多选)若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中不成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sinB ＋C2＝cos A28．若sin θ＋cos θ＝15，且θ∈(0，π)，则sin(π＋θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝________.9．化简：(1)cos α－πsin π－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(2)sin(－α－5π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos(α－2π)．[战疑难]10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝________.课时作业(三十一) 诱导公式(二)1．解析：cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 答案：B2．解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos θ， 对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ； 对于B ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－sin θ； 对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－cos θ.答案：D3．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：B4．解析：因为cos α＝－513，且α是第三象限角，所以sin α＝－1213，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝1213. 答案：12135．解析：原式＝tan －α－sin αcos －α－cos α·sin α＝－tan α－sin αcos α－cos α·sin α＝－tan α.答案：－tan α6．解析：(1)∵4cos α－sin α3sin α＋2cos α＝14，∴16cos α－4sin α＝3sin α＋2cos α， ∴14cos α＝7sin α ∴tan α＝2. (2)sin(π－α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin αcos α＝－sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝－tan αtan 2α＋1＝－222＋1＝－25.7．解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，故A 、B 错误． 又A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 错误． 又∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 正确．故选ABC.答案：ABC8．解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225<0，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin(π＋θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ－sin θ<0， ∴(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925，∴cos θ－sin θ＝－75.答案：－759．解析：(1)原式＝cos[－π－α]sin α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)＝cos π－αsin α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)＝－cos αsin α·(－cos α)(－sin α)＝－cos 2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos αcos[－(2π－α)]＝sin[－(α＋π)]cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos αcos(2π－α) ＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sin 2α＋cos 2α ＝1.10．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14.∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝14＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1916. 答案：1916课时作业(三十二) 正弦函数、余弦函数的图象[练基础]1．用“五点法”作y ＝2cos x －1在[0,2π]的图象时，应取的五点为( ) A ．(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)B ．(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，－1，(π，－3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，1)C ．(0,1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1)D ．(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫π6，3－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－22．函数y ＝cos(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．24．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π5．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．6．用“五点法”作出函数y ＝1－13cos x 的简图．[提能力]7．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x >sin x 成立的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫5π4，2π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π48．函数y ＝sin x ＋cos x 的定义域是________．9．方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π时有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．[战疑难]10．方程sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝m2在[0，π]上有两实根，求实数m 的取值范围及两个实根之和．课时作业(三十二) 正弦函数、余弦函数的图象1．答案：B2．解析：由y ＝cos(－x )＝cos x 知，其图象和y ＝cos x 的图象相同．故选B. 答案：B3．解析：由题意知－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.答案：C4．解析：画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.所以在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3和x ＝5π3. 所以不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.答案：C5．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，126．解析：(1)列表：x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－13cos x 23143123(2)描点，连线可得函数在[0,2π]上的图象，将函数图象向左、向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y ＝1－13cos x 的图象，如图所示．7．解析：在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cos x ＝sin x 时，x ＝π4或x ＝5π4，结合图象可知满足cos x >sin x 的是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，2π，故选AC.答案：AC8．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤π＋2k π，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝sin x ＋cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )9．解析：首先作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象，然后再作出y ＝1－a 2的图象，如图所示．由图象知，如果y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π与y ＝1－a 2的图象有两个交点， 那么方程sin x ＝1－a 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π就有两个不相等的实数根．由图象可知，当32≤1－a 2<1，即－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π时有两个不相等的实数根．10．解析：作出y 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y 2＝m 2的图象如图．由图象可知，要使y 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y 2＝m 2在区间[0，π]上有两个不同的交点应满足：32≤m2<1，即3≤m <2.设方程两实根分别为x 1，x 2，则由图象可知x 1与x 2关于直线x ＝π6对称，∴x 1＋x 2＝2×π6＝π3.课时作业(三十三) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性[练基础]1．下列函数中，最小正周期为4π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos 2x2．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．函数y ＝4cos(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线x ＝π4对称4．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π6 B ．x ＝5π12C ．x ＝2π3D ．x ＝－2π35．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．6．已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值．[提能力]7．(多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝cos ()2x ＋π D ．y ＝x cos 2x8．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，当φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，φ的值为________．9．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[战疑难]10．已知函数y ＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3)上要使函数值54出现的次数不小于4且不大于8，求k 的值．课时作业(三十三) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性1．解析：函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的最小正周期为2π；函数y ＝sin x2的最小正周期T ＝2π12＝4π；y ＝cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：C2．解析：①③④是奇函数，故选C. 答案：C3．解析：因为y ＝4cos(2x ＋π)＝－4cos 2x ，所以y ＝4cos(2x ＋π)为偶函数，其图象关于y 轴对称．答案：C4．解析：令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π12，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝5π12.答案：B5．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇6．解析：∵函数f (x )＝cos π3x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6，又∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos2π3＝－12， f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12， f (5)＝cos5π3＝12， f (6)＝cos 2π＝1.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020) ＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020) ＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 7．解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝cos 2x ＋1知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1为偶函数，且周期为π，故A 满足条件；由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 知，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2为奇函数，故B不满足条件；由y ＝cos(2x ＋π)＝－cos 2x ，故C 满足条件；由y ＝x cos 2x 是奇函数，故D 不满足条件．答案：AC8．解析：由题意知π4＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )．又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴当k ＝0时，φ＝－π4.答案：－π49．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z ，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.10．解析：由5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝14.因为函数y ＝cos x 在每个周期内有2次出现函数值14，而区间[a ，a ＋3)的长度为3，所以要使长度为3的区间内出现函数值14的次数不小于4且不大于8，必须使3不小于2个周期长度，且不大于4个周期长度，所以2×2π2k ＋13π≤3且4×2π2k ＋13π≥3，解得32≤k ≤72，又k ∈N ，故k ＝2或3.课时作业(三十四) 正弦、余弦函数的单调性与最值[练基础]1．符合以下三个条件：①⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝－cos x 2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25πD ．sin 2>cos 13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2x4．已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数ω的取值范围是________．5．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4的值域为________． 6．求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .[提能力]7．(多选)已知函数f (x )＝|sin x |，下列说法中正确的是( ) A ．f (x )既是偶函数，又是周期函数 B ．f (x )的最大值为32C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称8．函数y ＝a sin x ＋1的最大值是3, 则它的最小值是( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．与a 有关9．已知函数f (x )＝12sin(ωx －φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14.(1)求f (x )；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π6上的最大值和最小值．[战疑难]10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．课时作业(三十四) 正弦、余弦函数的单调性与最值1．解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D.答案：B2．解析：因为sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2>cos1，即sin 2>cos 1.答案：D3．解析：A 中，函数y ＝sin x 的最小正周期为2π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减；B 中，函数y ＝sin 2x 的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，2x ∈(2π，3π)，则该函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上不单调；C 中，函数y ＝cos x 的最小正周期为2π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递增；D 中，函数y ＝cos 2x 的最小正周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，2x ∈(2π，3π)，则该函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减．答案：D4．解析：由题意知：ω×π2≤π2，即0<ω≤1.答案：(0,1]5．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的值域为[－1,2]．答案：[－1,2]6．解析：(1)函数y ＝cos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝cos 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z .(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增、递减区间分别是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递减、递增区间．令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z .即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z ，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z .令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z .即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z .即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z .7.解析：f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数．f (x ＋π)＝f (x )，所以f (x )是周期函数，A 选项正确；f (x )的最大值为1，B 选项错误；作出函数f (x )的图象，如图所示．观察图象，可知C 、D 选项正确．答案：ACD8．解析：设sin x ＝t ∈[－1,1]，当a ＝0时，不满足条件．当a >0时，y ＝at ＋1，当t ＝1时，y max ＝3，即a ＋1＝3，则a ＝2，则当t ＝－1时，y min ＝－1.当a <0时，y ＝at ＋1，当t ＝－1时，y max ＝3，即－a ＋1＝3，则a ＝－2，则当t ＝1时，y min ＝－1，综上，y ＝a sin x ＋1的最小值是－1.答案：C9．解析：(1)∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝12sin(2x －φ)．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－φ＝14，即cos φ＝12，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)∵π12≤x ≤5π6，∴－π6≤2x －π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－34≤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤12.∴y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π6上的最大值为12，最小值为－34.10．解析：由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0. ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3ωπ4＋π2＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又∵ω>0，∴3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ，即ω＝23＋43k ，k ∈N .当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是单调函数． 综上，φ＝π2，ω＝23或ω＝2.。

课时分层作业(五十) 函数y ＝A sin(x ＋φ)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )A [当x ＝π时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32排除B 、D.当x ＝π6时y ＝sin 0＝0，排除C ，故选A.]2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数B.偶函数C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数A [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数．]3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C [由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．]4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，若A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )A ．B ＝4 B ．φ＝π6C ．ω＝1D ．A ＝4B [由函数图象可知f (x )min ＝0，f (x )max ＝4. 所以A ＝4－02＝2，B ＝4＋02＝2.由周期T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6知ω＝2.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＋2＝4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，故φ＝π6.] 5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( )A ．向右平移π12个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位A [由已知得2πω＝2×π2，故ω＝2.y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．]二、填空题6．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向右平移 个单位．π2 [由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，故要得到y ＝sin 12x 的图象，只要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向右平移π2个单位．]7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是 ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π8 [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π8―――――――――――――――――→各点的横坐标扩大到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π8， 故所得的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π8.]8．某同学利用描点法画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(其中0<A ≤2,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：x 0 1 2 3 4y 1 0 1 －1 －2y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式应是 ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6 [在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势， 可知点(1,0)不符合题意；又因为0<A ≤2，函数图象过(4，－2)， 所以A ＝2.因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1， 又∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，由(0,1)，(2,1)关于直线x ＝1对称，知x ＝1时函数取得最大值2， 因此函数的最小正周期为6. ∴ω＝π3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．[解] (1)由图象知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图象上的―――――――――――――――――→所有点的横坐标缩小为原来1/2倍纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象，再把y ＝sin 2x的图象,向左平移π12个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． [解] (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12 ＝43－310.11．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的部分图象不可能是( )D [当a ＝0时，f (x )＝1，是选项C ，当a ≠0时， 函数f (x )＝1＋a sin ax 的周期T ＝2π|a |，振幅为|a |，所以当|a |＜1时，T ＞2π.当|a |＞1时，T ＜2π，由此可知A ，B 有可能出现，D 不可能．]12．为了得到函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R的图象上的所有点( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变A [函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象．]13．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是 ．5π12 [函数y ＝sin 2x 的图象向右平移后得到y ＝sin[2(x －φ)]的图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝⎛⎭⎪⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z )．又φ＞0当k ＝－1时，φ取得最小值5π12.] 14．(一题两空)函数y ＝2sin πx －11－x (－2≤x ≤4)的零点个数为 ，所有零点之和为 ．8 8 [函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的零点即 方程2sin πx ＝11－x的根，作函数y ＝2sin πx 与y ＝11－x 的图象如下：由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个零点．y ＝2sin πx －11－x ＝2sin π(1－x )－11－x， 令t ＝1－x ，则y ＝2sin πt －1t，t ∈[－3,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一系列对应值如下表：x －π6π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6y －1 131－113(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(答案不唯一)(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，且k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x－π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，如图所示，当sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的实数解时，s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，由方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解得m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。

5.1.2 弧度制[目标] 1.知道弧度制；2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式；3.能进行弧度与角度的互化．[重点] 弧度与角度的互化． [难点] 1弧度角的概念的理解．知识点一 角的单位制[填一填](1)角度制⎩⎪⎨⎪⎧1度的角：规定周角的1360为1度的角.定义：用度作为单位来度量角的单位制.(2)弧度制⎩⎪⎨⎪⎧1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的 圆心角.记作：1 rad 或1弧度.定义：用弧度作为单位来度量角的单位制.[答一答]1．扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化,弧长也在变化,但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径的大小无关．2．在半径不同的圆中,1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？ 提示：1度的角等于周角的1360,该角的大小与圆的半径的大小没有关系,所以在不同的圆中,1度的角都是相等的．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系,所以在不同的圆中,1弧度的角都是相等的．知识点二 任意角的弧度数与实数的对应关系[填一填](1)正角：正角的弧度数是一个正数． (2)负角：负角的弧度数是一个负数． (3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.[答一答]3．判断下列说法是否正确：(1)在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系．(×) (2)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应．(√) (3)用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,量数也不同．(×) 4．角α＝6这种表达方式正确吗？提示：正确．角α＝6表示6弧度的角,这里将“弧度”省去了． 知识点三 角度与弧度的互化[填一填][答一答]5．在同一个式子中,角度制与弧度制能否混用？为什么？提示：不能．因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用,如α＝2k π＋30°,k ∈Z 是不正确的写法,应写成α＝2k π＋π6,k ∈Z 或k ·360°＋30°,k ∈Z .知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式[填一填]扇形的半径为R ,弧长为l ,α(0<α<2π)为圆心角,则扇形弧长为l ＝αR ,周长为l ＋2R ,扇形面积S ＝12lR ＝12αR 2. [答一答]6．角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么？与弧度制下的公式相比哪个更优化一些？提示：角度制下：弧长公式l ＝n πR 180,扇形面积公式S ＝n πR 2360.运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的公式简单,但要注意它的前提是α为弧度制．类型一 弧度制的概念 [例1] 有关角的度量给出以下说法： ①1°的角是周角的1360,1 rad 的角是周角的12π； ②1 rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是________．[解析] 由弧度制的定义、弧度与角度的关系知,①③④均正确；因为 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°≠1°,故②不正确． [答案] ①③④解决概念辨析问题的关键是准确理解概念,如本题中要准确理解1弧度角的概念,知道角度制与弧度制的关系．[变式训练1] 下列说法中,错误的是( D ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 解析：由弧度制的定义知D 说法错误．故选D.类型二 角度制与弧度制的互化 命题视角1：角度制与弧度制的换算 [例2] 将下列角度与弧度进行互化： (1)36°；(2)－112°30′；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)36°＝36×π180 rad ＝π5rad ；(2)－112°30′＝－112.5°＝－112.5×π180 rad ＝－5π8 rad ；(3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°； (4)－11π5＝⎝⎛⎭⎫－11π5×180π°＝⎝⎛⎭⎫－115×180°＝－396°.将角度转化为弧度时,在把带有分、秒的部分化为度之后,牢记π rad ＝180°即可求解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可.[变式训练2] (1)－630°化为弧度为－72π；(2)－78π＝－157°30′；(3)α＝－3 rad,它是第三象限角． 解析：(1)－630°＝－630×π180＝－72π.(2)－78π＝－78π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－157°30′.(3)根据角度制与弧度制的换算,1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°,则α＝－3 rad ＝－⎝⎛⎭⎫540π°≈－171.9°.分析可得,α是第三象限角．命题视角2：用弧度制表示终边相同的角[例3] (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式,其中0≤α<2π； (2)在[0,4π]中找出与2π5角终边相同的角．[解] (1)因为－1 480°＝－1 480×π180 rad ＝－749π rad,所以－749π＝－10 π＋169 π,其中α＝169π. (2)因为25π＝25×180°＝72°,所以终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z ),当k ＝0时,θ＝72°＝2π5；当k ＝1时,θ＝432°＝12π5. 所以在[0,4π]中与2π5角终边相同的角为2π5,12π5.用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋2k π(k ∈Z ),这些角所组成的集合为{β|β＝α＋2k π,k ∈Z }.[变式训练3] 将下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π,k ∈Z )的形式,并指出它们是第几象限角． (1)－1 725°；(2)870°.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°,所以－1 725°＝－10π＋5π12⎝⎛⎭⎫其中α＝512π. 所以－1 725°与5π12的终边相同,故－1 725°是第一象限角． (2)870°＝296π＝5π6＋4π⎝⎛⎭⎫其中α＝56π, 角870°与5π6终边相同,故870°是第二象限角．类型三 弧长公式与扇形面积公式[例4] (1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1(2)①已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数． ②已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积． [分析] (1)求弧长⇒圆心角和弦长⇒构造三角形⇒利用三角函数． (2)扇形圆心角的弧度数或扇形的面积⇒l ＝αR 或S ＝12lR .[解析] (1)如图,过点O 作OC ⊥AB 于C ,延长OC ,交于D ,则∠AOC ＝∠BOC ＝1 rad,且AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中,OA ＝1sin ∠AOC ＝1sin1.∴圆心角所对的弧长l ＝α·OA ＝2sin1,故选C.(2)解：①设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l ,半径为r ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4.②①代入②得r 2－5r ＋4＝0,解得r 1＝1,r 2＝4. 当r ＝1时,l ＝8(cm), 此时,θ＝8 rad>2π rad(舍去)． 当r ＝4时,l ＝2(cm),此时,θ＝24＝12 rad.②设扇形弧长为l ,因为72°＝72×π180＝2π5(rad),所以l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)．所以S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．[答案] (1)C (2)见解析涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.[变式训练4] 已知一扇形的周长为8 cm,当它的半径和圆心角 取什么值时,扇形的面积最大？并求出最大面积．解：设扇形的半径为r ,弧长为l ,则2r ＋l ＝8,l ＝8－2r , S ＝12lr ＝12r (8－2r )＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4(0<r <4)．当r ＝2时,S max ＝4 cm 2,此时l ＝4 cm,α＝2.所以当半径长为2 cm,圆心角为2 rad 时,扇形的面积最大,最大值为4 cm 2.1．2 100°化成弧度是( A )A.35π3 B ．10π C.28π3 D.25π3 解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3.2．角－2912π的终边所在的象限是( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－2912π＝－4π＋1912π,1912π的终边位于第四象限,故选D.3．与角－π6终边相同的角是( C )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3解析：与角－π6终边相同的角的集合为{α|α＝－π6＋2k π,k ∈Z },当k ＝1时,α＝－π6＋2π＝11π6,故选C.4．在半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角的大小是2rad. 解析：根据弧度制的定义,知所求圆心角的大小为42＝2 rad.5．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α的终边在第几象限； (2)求 γ角,使γ与α角的终边相同,且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°,280°＝14π9,∴α＝14π9＋(－3)×2π,α角与14π9的终边相同,∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α,k ∈Z ,α与14π9终边相同,∴γ＝2k π＋14π9,k ∈Z . 又∵γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2,∴－π2<2k π＋14π9<π2, 当k ＝－1时,不等式成立,∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.——本课须掌握的三大问题1．角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数,弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度．。

弧度制A 组 学考过关一、选择题 1．-25π6的角是 （ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 [解析] 因为-25π6=-π6-4π，所以-25π6与-π6的终边相同，为第四象限的角．[答案] D2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 （ ） A ．{β|β=-5π6+2k π，k ∈Z }B ．{β|β=2π6+k ·360°，k ∈Z }C ．{β|β=2π3+2k π，k ∈Z }D ．{β|β=5π6+2k π，k ∈Z }[解析] 150°=150×π180=5π6，故与150°角终边相同的角的集合为{β|β=5π6+2k π，k ∈Z}．[答案] D3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 （ ） A ．π2B ．π3C ．√2D ．√3[解析] 设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为√2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α=l r=√22a=√2，故选C ．[答案] C4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2=12lr =12|α|r 2=12×4×r 2，解得r =1，l =αr =4，所以所求扇形的周长为2r +l =6．[答案] C5．把-114π表示成θ+2k π（k ∈Z ）的形式，使|θ|最小的值是 （ ）A ．-34π B ．-2π C ．π D ．-π[解析] ∵-114π=-2π+（-34π）=2×（-1）π+（-34π）．∴θ=-34π． [答案] A 二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为 ． [解析] 若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π+π（k ∈Z ）． [答案] {α|2k π<α<2k π+π，k ∈Z}7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是 弧度，扇形面积是 ． [解析] |α|=l r =128=32rad ，S =12lr =12×12×8=48． [答案] 32 488．如图所示，用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为 ．[解析] 由题图知，终边落在射线OA 上的角为2k π+π4（k ∈Z ），终边落在射线OB 上的角为-π3+2k π（k ∈Z ），即5π3+2k π（k ∈Z ），所以终边落在题图中阴影部分的角α的集合为{α|2k π+π4≤α≤2k π+5π3，k ∈Z}．[答案] {α|2k π+π4≤α≤2k π+5π3，k ∈Z}三、解答题9．把下列角化为2k π+α（0≤α<2π，k ∈Z ）的形式： （1）16π3；（2）-315°．[解析] （1）16π3=4π+4π3．因为0≤4π3<2π，所以16π3=4π+4π3．（2）因为-315°=-315×π180=-7π4=-2π+π4．因为0≤π4<2π，所以-315°=-2π+π4． 10．已知一个扇形的周长是40，（1）若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； （2）求扇形面积S 的最大值．[解析] （1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则由题意得{l +2r =40,12lr =100,解得{l =20,r =10,则α=lr =2（rad ）．故扇形的圆心角为2rad ． （2）由l +2r =40得l =40-2r ，故S =12lr =12（40-2r ）·r =20r -r 2=-（r -10）2+100，故r =10时，扇形面积S 取最大值100．B 组 等级测评一、选择题1．若角α与角x +π4有相同的终边，角β与角x -π4有相同的终边，那么α与β间的关系为（ ）A ．α+β=0B ．α-β=0C ．α+β=2k π（k ∈Z ）D ．α-β=π2+2k π（k ∈Z ）[解析] ∵α=2k 1π+x +π4，β=2k 2π+x -π4（k 1，k 2∈Z ），∴α-β=2（k 1-k 2）π+π2，也即α-β=π2+2k π（k ∈Z ）．[答案] D2．集合{α|k π+π4≤α≤k π+π2，k ∈Z }中角的终边所在的范围（阴影部分）是（ ）[解析] 当k =2m ，m ∈Z 时，2m π+π4≤α≤2m π+π2，m ∈Z ；当k =2m +1，m ∈Z 时，2m π+5π4≤α≤2m π+3π2，m ∈Z ，所以选C ．[答案] C3．如图是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形（阴影区域）的面积是 （ ）A ．12（2-sin 1cos 1）R 2B ．12R 2sin 1cos 1 C ．12R 2 D ．（1-sin 1cos 1）R 2[解析] ∵l =4R -2R =2R ，∴α=lR =2．∵S 弓形=S 扇形-S △=12|α|R 2-12（2R sin α2）·（R cos α2） =12×2×R 2-R 2sin1·cos1=R 2（1-sin1cos1）． [答案] D4．下列表示中不正确的是 （ ）A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α=k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是{α|α=π2+k π，k ∈Z } C ．终边在坐标轴上角的集合是{α|α=k π2，k ∈Z}D ．终边在直线y =x 上角的集合是{α|α=π4+2k π，k ∈Z }[解析] 对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|α=k π，k ∈Z}，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是{α|α=π2+k π，k ∈Z}，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k π，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=π2+k π，k ∈Z}，故合在一起即为{α|α=k π，k ∈Z}∪{α|α=π2+k π，k ∈Z}={α|α=kπ2，k ∈Z}，故C 正确；对于D ，终边在直线y =x 上的角的集合是{α|α=π4+k π，k ∈Z}，故D 不正确． [答案] D 二、填空题5．已知集合A ={x |2k π≤x ≤2k π+π，k ∈Z }，集合B ={x |-4≤x ≤4}，则A ∩B = ． [解析] 如图所示，∴A ∩B =[-4，-π]∪[0，π]．[答案] [-4，-π]∪[0，π]6．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是 ．[解析] 设圆的半径为r ，外切正三角形边长为a ，则√32a ×13=r ，则r =√36a ，又弧长为a ，所以圆心角为：a r =√36a=√3=2√3．[答案] 2√3 三、解答题7．已知角α的终边与-253π的终边关于x 轴对称，求角k3在（-π，π）内的值． [解析] ∵253π与-253π的终边关于x 轴对称，且253π=8π+π3， ∴α与π3的终边相同．∴α=2k π+π3（k ∈Z ），α3=2kπ3+π9（k ∈Z ）．∵-π<α3<π，∴-π<2kπ3+π9<π．当k =-1时，α3=-5π9∈（-π，π）；当k =0时，α3=π9∈（-π，π）； 当k =1时，α3=7π9∈（-π，π）．∴在（-π，π）内α3的值有三个，它们分别是-5π9，π9和7π9．8．已知扇形AOB 的周长为8 cm ．（1）若这个扇形的面积为3 cm 2，求该扇形的圆心角的大小； （2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度． [解析] （1）设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l ． 由题意，得{l +2r =8,12lr =3,解得{r =1,l =6或{r =3,l =2.所以圆心角θ=l r =61=6或θ=l r =23，所以该扇形的圆心角的大小为23rad 或6rad ．（2）θ=8-2r r，所以S =12·r 2·8-2r r=4r -r 2=-（r -2）2+4，所以当r =2，即θ=8-42=2时，S max =4cm 2．此时弦长AB =2×2sin1=4sin1（cm ）．所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2rad ，弦AB 的长度为4sin1cm ．。