《图形的位似》课件

位似中心
进行位似变换的点，通常 选取原图形上的一个点作 为位似中心。
位似比
表示图形放大或缩小的比 例，通常用大于1的实数 表示放大，小于1的实数 表示缩小。
位似变换的性质
保持图形间的相对位置不变
位似变换只改变图形的大小，不改变图形上各点间的相对位置关系。
保持图形的形状不变
位似变换不会改变图形的形状，只是大小发生变化。
位似变换的应用习题
01 02
题目
在平面直角坐标系中，已知点A（$- 2$，$3$），以点A为位似中心， 相似比为$1:2$，把$bigtriangleup ABC$缩小，则缩小后B点对应点坐 标为____．
题目
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把矩形ABCD放大为原来的 两倍，则放大后点B对应点坐标为____．
03
题目
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段AB缩小为原来的
$frac{1}{2}$倍，则缩小后B点对应点坐标为____．
位似变换的难题解析
题目
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段AB缩小为原来的$frac{1}{2}$倍，若缩 小后A点对应点坐标为$(2sqrt{2}，2)$，则缩小后B点对应点坐标为____．
详细描述
选取一个固定点，将图形进行位 似变换，观察变换后的图形与原 图形的相似性和对应边、对应角 的变化规律。
绕任意点的位似变换实例
总结词
通过具体实例展示绕任意点的位似变 换过程，帮助学生理解位似变换的灵 活性和应用。
详细描述
选取一个任意点，将图形进行位似变 换，观察变换后的图形与原图形的相 似性和对应边、对应角的变化规律。
VS
详细描述
绕固定点的位似变换可以用矩阵表示，其 中矩阵元素描述了缩放和旋转的几何特性。 通过矩阵变换，可以将一个图形上的点映 射到另一个位置，实现图形的缩放和旋转。

作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点 A′、B′、C′、D′， 使得 OA OB OC OD 1
OA OB OC OD 2
（4）顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画 的四边形A′B′C′D′，如图2．
把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍。
练 A
一B
E
练 C
●
O D
D` ●
`E ●
`●
A
●
C`
●
B`
四、归纳小结
1、如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对 应点连线相交于 一点 ，对应边互相 平行 ，那么 这样的两个图形叫做__位__似__图_形__.这个点叫 做 位似中心 .
2、利用位似进行作图的关键是确定_位__似_中__心 _和 _关__键__点____.
第二十七章 相似 27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
一、新课引入 1、我们学过的图形变换形式有哪些？
平移、旋转、对称
2、什么叫相似？相似与全等有什么区别与联系？ 相似：形状相同。 全等：大小、形状相同，能够重合 区别：相似不一定全等，但全等一定相似。 联系：形状相同
二、学习目标
1 了解位似图形及其有关概念，了解 位似与相似的联系和区别，掌握位 似图形的性质；
解析：由题意得，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′ 是位似图形，所以五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′ 相似，所以它们的周长的比等于对应边的比，即等于
OA 10 1 . OA 20 2
答案：1
2
通过这节课的学习，你有哪些收获？ 1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点, 对应边平行，那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交 点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们 的位似比. 2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到 位似中心的距离之比等于位似比.

夯实基础·逐点练
2．用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中 心的位置可选在( D ) A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
夯实基础·逐点练
3．如图所示的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是 ( D)
A．点 M
B．点 N C．点 O D．点 P
夯实基础·逐点练
探究培优·拓展练
13．【2018·安徽】如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形 组成的 10×10 网格中，已知点 O，A，B 均为网格线的交点．
探究培优·拓展练
(1)在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原 来的 2 倍，得到线段 A1B1(点 A，B 的对应点分别为 A1，B1)， 画出线段 A1B1； 解：如图所示，线段 A1B1 即为所求．
探究培优·拓展练
∴△AFD∽△CFE.∴CAFF＝ACDE. 又∵AD＝BC，∴CAFF＝CBEC. ∵∠ABC＝90°，OE⊥BC，∴OE∥AB. 又∵OA＝OC，∴CE＝12BC， ∴CAFF＝12.∴CAFC＝13，即△ABC 与△FGC 的相似比为 3∶1.
探究培优·拓展练
(2)连接 DG 交 OC 于点 H，作 HI⊥BC 于点 I，试确定 CI BC 的值(直接写出结果)． 解：CI∶BC＝1∶4.
整合方法·提升练
10．如图所示，在△ABC 中，已知 DE∥B C. (1)△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由． 解：△ADE 与△ABC 相似．理由：因为 DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.又∠A 为公 共角，所以△ADE∽△ABC.
整合方法·提升练
(2)它们是位似图形吗？如果是，指出位似中心． 解：是．△ADE 与△ABC 是位似图形，位似中心是点 A.

3.位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连结 两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连结两个对 应点的线段之外.
当堂练习
1.如图，△OAB 和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？
为什么？ C
解：AB∥CD.
∵△OAB与△OCD是位似图形， A
D ∴△OAB ∽△OCD，
O
B
∴∠OAB=∠C，
讲授新课
一 位似图形的概念及性质
问题引导 图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
O O
O
概念形成： 图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶
点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心．
探究归纳
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA' B'，
则 OA OB AB . 右图呢？你得到了什么？ OA' OB' A'B'
相似比； （4）对应线段平行或者在一条直线上．
OA OB OC OD 2
3) 顺次连结点 A' 、B' 、C' 、D' ，
所得四边形A' B' C' D' 就是所要求
C' O
的图形．
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点
O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A ' ，B ' 、C ' 、
问题2 什么叫相似？相似图形有哪些性质？
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形， 例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到 屏幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师 通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．

在位似图形中，位似中心可能有几种情况呢？
可以在图形内部，也可以中图形外部，还可以 在图形的某个顶点上。
定义：如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应
点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形
叫做 ，位这似个中点心叫做
位似图形
学会作图
E’ E
D’ D
C C’
A
B
A’
B’
（1）相似五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
是
不是
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
是
3、判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是 △ABC与△ADE
①DE∥BC 是
②∠AED＝∠B 不是
4、判断下列图形是否为位似图形？
（4）反比例函数 y＝6x （x>0）的图像与 y＝6x （x<0）的图像
是
5、如图，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边 形AEF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似 图形，说出位似中心和位似比
四边形AEF与四边形ABCD是位似图形
位似中心是: 点A
位似比是:
1 2
看一看
C’ A
B
A’
C
C’ D’
D
C
A’
A
B
B’
D’
D
B’ E’ E
C C’
A
B
A’
B’
想一想
B’ A
O
B
A’
做一做 如图，已知△ABC，求作△A’B’C’，使得△ABC的 边长缩小到原来的一半
B’ A’
连AO,并延长至A’，使 OA' 1
OA 2 C‘
连BO,并延长至B’，使 OB' 1

位似比
知识点2 位似图形的性质
明 相似 确 对应顶点的连线相交于一点
位似中心
O
辨析 位似的特征：
1．位似图形一定是相似图形，反之相 似图形不一定是位似图形 .
2．判断位似图形时，要注意首先它们 必须是相似图形，其次每一对对应点所在 直线都经过同一点 .
判断
下面哪些相似图形是位似图形？
√
√
× √×
3.如图, △ABC与△DEF是位似图形, 相似
比为2∶3, 已知AB=4, 则DE的长等于( A )
A.6
B.5
C.9
D. 8
3
综合应用
4.如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位
似图形，点P是位似中心.
正方形IJKL
（1）哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？
（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似 图形吗？如果是，求相似比；是 3∶2
A B A′ B′ O
解：（1）AC∥A′C′.
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠A=∠B′A′C′，
∴AC∥A′C′. (2)∵△ABC∽△A′B′C′,
C C′
∴ AB AC 2，
AB AC
A B A′ B′ O
又∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴ OC AC 2，∴OC=10，∴CC′=OC-OC′=5.
OC AC
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
（3）正方形EFGH与正方形ABCD的
相似比是多少？
2∶1
课堂小结
自由讨论 本节课你学习了哪些知识？
1 位似图形的概念:
B′

真
位似图形可以 应用于服装、 家居、建筑等 领域，为设计 增添创意和个
性
位似图形可以 应用于平面设 计、插画、动 画等领域，为 作品增加趣味
性和艺术感
证明两个三角形 全等或相似
证明两个四边形 全等或相似
证明两个多边形 全等或相似
证明两个圆全等 或相似
相似图形：两个图形形状相同， 大小不同，对应边成比例
相似图形与位似 图形都是几何图 形的一种，它们 都有一定的相似
性。
相似图形是指两 个图形的形状、 大小、位置都相 同，而位似图形 是指两个图形的 形状、大小、位 置都相同，但比
例不同。
相似图形与位似 图形都可以通过 平移、旋转、缩 放等变换得到。
相似图形与位似 图形都可以用来 描述物体的形状、 大小、位置等特
,
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 位 似 图 形 的 定 义 03 位 似 图 形 的 性 质 04 位 似 图 形 的 应 用 05 位 似 图 形 与 相 似 图 形 的 区 别 与 联 系
位似图形是指两个图形在平移、旋转、缩放等变换后，能够完全重合的图 形。
位似图形的定义包括两个部分：位似中心和位似比。
位似图形的种类：根 据位似图形的性质， 可以分为全等位似图 形、相似位似图形和 位似图形
位似图形的应用：位 似图形在几何学、物 理学、工程学等领域 有着广泛的应用
相似图形：形状相同，大小不同 同位图形：形状相同，大小相同，位置不同 反位图形：形状相同，大小相同，位置相同，方向相反 旋转图形：形状相同，大小相同，位置相同，方向相同，旋转角度不同
建筑设计：利用位似图形进行 空间布局和规划
建筑风格：利用位似图形进行 建筑风格的创新和设计

(3)在(2)的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？说明理由． 【思路点拨】紧扣定义来说明． 解：印刷部分的长为 A′B′＝8 dm，宽为 A′D′＝382＝4(dm)， 则AA′BB′＝AA′DD′＝180＝54，故内外两个矩形相似，由题图可知四对 对应点(A 与 A′，B 与 B′，C 与 C′，D 与 D′)的连线都过点 O， 故它们是以点 O 为位似中心的位似图形．
(1)在原地将花坛扩建，使各边的对应边为原来的3倍；
解：取矩形 ABCD 的对角线的交点 O 为位似中心，①作射线 OA， OB，OC，OD； ②分别在射线 OA，OB，OC，OD 上取点 E，F，G，H，使得OOEA＝OOFB＝OOGC＝OOHD＝3； ③连接 EF，FG，GH，HE，四边形 EFGH 即为所求作的图形， 如图所示． (答案不唯一)
(1)求S关于x的表达式．
【思路点拨】观察图形，可得矩形的总面积＝印刷面积＋空 白部分面积； 解：由题意得印刷部分的宽为3x2 dm，则矩形 ABCD 的长和宽分 别为(x＋2) dm，3x2＋1 dm， 则 S＝(x＋2)·3x2＋1－32＝x＋2＋6x4.
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷广告 的纸张的长和宽各是多少．
1965年，被授予博士学位。他的研究表明：用 来解释黑洞崩溃的数学方程式，也可以解释从一个 点开始膨涨的宇宙。1970年，霍金研究黑洞的特性。 他预言，来自黑洞(现在叫霍金辐射)的射线辐射及 黑洞的表面积永远也不会减少。1974年，被选为皇 家学会会员。他继续证明，黑洞有温度，黑洞发出 热辐射，以及气化导致质量减少。1980年，任剑桥 大学数学鲁卡斯教授(艾萨克·牛顿曾任此职)。1988
【思路点拨】令S＝18得出方程即可求得印刷部分的长，进 而就能求出用来印刷广告的纸张的长和宽；

位似图形课件（PPT优秀课件）
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总结
知3－讲
(1)位似中心的选取要使画图方便且符合要求,一般以多 边形的一个顶点为位似中心画图最简便．
(2)画位似图形时,要弄清相似比,即分清是已知图形与新 图形的相似比,还是新图形与已知图形的相似比．
(3)一般情况下,画已知图形的位似图形的结果不唯一．
位似图形课件（PPT优秀课件）
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知3－导
例如，要把四边形ABCD缩小到原来的
1 2
，
我们可
以在四边形ABCD外任取一点O（如图），分别在线段
OA，OB，OC，OD上取点A′ ，B′ ，C′ ，D′ ，使得 O O A A O O B B O O C CO O D D 1 2， 顺次连接点A′ ，B′ ，C′ ， D′， 所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形 .
位似图形课件（PPT优秀课件）
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知3－讲
画位似多边形的一般步骤： (1)确定位似中心； (2)分别连接位似中心和能代
表原多边形的关键点； (3)根据位似比，利用截取的方法，找出所作的位似
多边形的对应点； (4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的多边形．
位似图形课件（PPT优秀课件）
4 9
，则
AB∶DE＝________．
位似图形课件（PPT优秀课件）
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知2－练
2 (2016•十堰)如图，以点O为位似中心，将△ABC缩 小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′ 与△ABC的面积比为( ) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶9

4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为 2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为__6___．
5. 如图，以 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来的 2 倍．
解：①作射线OA 、OB 、 OC；
②分别在OA、OB 、OC 上取 点A' 、B' 、C' 使得
B'
OA' OB' OC' 1；
OA OB OC 2
B
③顺次连接 A' 、B' 、C'
A
就是所要求图形. C
O
A' C'
6. 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且
AB∥CD∥EF，
(1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加 以证明；
答案：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC， △AEB 与 △DEC 都是位似图形；证明略.
3．5的相反数是_-_5__；a的相反数是_-_a_；
4．若a=-13，则-a=_1_3__;若-a=-6，则a=_6__ ．
5．若a是负数，则-a是__正___数；若-a是负数,则 a是__正___数．
6.
x 2
的相反数是__ _2x__，-3x的相反数是_3_x_.
能力拓展
7.（1）若a=3.2，则-a=-3.2 ; (2)若-a= 2,则a= -2 ; (3)若-（-a）=3，则-a= -3 ; (4)-（a-b）= b-a .
则 OA OB AB ，AB∥A′B′. 右图呢？你得
OA' OB' A' B' 到了什么？
E′ E
A A′
D′
D
C′

一般地，位似图形有以下性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似
比.
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12
作位似图形
例： 如图，请以坐标原点O为位似中心，作位似图形， 并把对应的边长放大3倍.
完整版点坐标变化的规律
想一想：
1．所画的两个四边形具有怎样的对称性？ 2．怎样运用原图形与位似图形对应点的坐标关系，画出以 原点为位似中心的位似图形？
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4
如图，D，E分别AB，AC上的点.
A
（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 D E
∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
C
解：（1） ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理由是：
因为DE∥BC，所以∆ADE∽ ∆ABC.
又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，点D和
点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD
与CE交于点A，所以∆ADE和 ∆ABC是位似图
形.
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5
如图，D，E分别AB，AC上的点. （1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
A DE
C
（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么 DE∥BC吗？为什么？
解：（2） DE∥BC.理由是：
∆ADE和 ∆ABC是位似图形
（7）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）
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10
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边 形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图 形，说出位似中心和位似比.
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11
位似图形的性质
（1）从上面练习第 1(1)(4)题图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′, 则OOAA′ ＝OBO′B ＝A′ABB′ .从第 2 题的图中同样可以看到AAFD ＝AACP ＝AAEB ＝EBPC ＝DFCP