位似图形的性质

初中数学什么是位似位似是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个图形通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合而得到的相似图形。

在本文中，我们将详细介绍位似的定义、性质以及一些例子来帮助理解这个概念。

首先，让我们来定义位似。

如果有两个图形，它们的形状和大小是相似的，但位置可能不同，那么我们可以说这两个图形是位似的。

换句话说，位似是指通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合，将一个图形变换为另一个图形。

接下来，我们来讨论位似的性质。

位似具有以下性质：1. 形状相似：位似图形的形状是相似的，即它们的对应角相等，对应边的比例相等。

2. 大小相似：位似图形的大小是相似的，即它们的对应边的比例是相等的。

3. 位置可能不同：位似图形的位置可能不同，它们可以通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合来得到。

4. 变换保持相似性：位似图形之间的变换（如平移、旋转、翻转）保持它们的相似性，即变换前后仍然是位似图形。

让我们来看一些例子来帮助理解位似。

例子1：考虑两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

如果我们通过将三角形ABC沿顺时针方向旋转90度，并将它平移到DEF的位置，那么我们可以说三角形ABC和DEF是位似的。

它们具有相似的形状和大小，但位置可能不同。

例子2：考虑一个正方形和一个矩形，它们的边长比例是相等的，但是它们的形状和位置不同。

通过将正方形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正方形位似但位置不同的矩形。

例子3：考虑一个正三角形和一个等腰梯形，它们的形状和位置都不同，但是它们的对应边的比例相等。

通过将正三角形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正三角形位似但位置不同的等腰梯形。

通过这些例子，我们可以看到位似的性质和应用。

位似可以帮助我们在研究图形的形状和大小时，通过变换来得到相似的图形，从而简化问题的求解。

此外，位似也可以帮助我们理解和应用其他几何概念，如相似三角形、比例关系等。

第15讲位似图形目标导航课程标准1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。

2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。

3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。

知识精讲知识点01 位似多边形的有关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A 所在的直线都，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

注意：位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。

知识点02 位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比；（2) 位似图形上的每组和在同一条直线上；（3）位似图形的对应线段。

（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有。

知识点03 位似图形的画法1．位似变换利用位似图形的性质将一个图形进行或叫做位似变换。

2．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心。

（2）确定原图形的，通常是多边形的顶点。

（3）分别原图形中的和，并延长（或截取）。

（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形 的位置。

（5） 各点，得到放大或缩小后的图形。

3．实例知识点04 平面直角坐标系中的位似变换1．位似多边形对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数)0( k k ，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 。

2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律变换方式平移对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度全等变换轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。

旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。

位似当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。

位似图形的定义及性质什么是位似图形？位似图形（IsomorphicGraphs）是由同一类图形组成的图，它们的全部节点及边都相同，但是它们的外形可能不太一样。

位似图形的定义主要指的是一种同构的连通图，它们之间的节点和边都是相似的。

准确来说，这些图形之间的数量和结构是相同的，只是它们的外形不同。

位似图形的研究可以追溯到1890年，当时首先由荷兰数学家安德森威尔金斯提出。

它是一种独特的结构，可以通过某种形式从一个图中转换到另一个图，而且，只要这两个图是位似图形，它就能够完全保持它们之间的联系。

从数学上来看，位似图形可以被表示为一对有向图。

它们中可能包含一个或多个节点和一个或多个边，这些边可以有不同的方向。

两个位似图形的关系可以用一个分析函数来表示，这个函数的输入是一对图，而输出是一个布尔值，如果给定的两个图形是位似图形，它就会返回一个真值，反之亦然。

位似图形的性质是相当有用的，特别是在研究图论的早期，位似图形的研究有助于数学家们理解图论中的基本概念以及图结构之间的联系。

它也帮助人们发现更多有关任意给定图结构的细节，例如有关它的节点数量、边数量、节点之间的关系等等。

位似图形的研究也是一个重要的工具，它帮助数学家们研究不同图论结构之间的关系。

例如，研究人员可以比较两个不同的图形，看看它们之间有何不同，从而发现它们之间的联系，从而给出更深入的结论。

另外，位似图形在算法和机器学习方面也有很多应用，它们可以帮助计算机程序发现图形之间的关系，并找出有用的特征以及对它们进行分类。

有时，它们甚至可以帮助计算机解决复杂的问题，比如解决最短路径问题。

总的来说，位似图形的定义和性质有助于数学家们更好地理解图结构之间的联系，从而发现更多有用的信息。

它们也有许多应用，例如在计算机程序，机器学习，以及算法研究方面。

图形的位似要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.一、典型例题类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21 C.31 D.不知AB 的长度，无法判断2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．类型二、坐标系中的位似图形3.如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．4.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？二、巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。

第五节 位似图形要点精讲（1）位似图形的定义：如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（2）位似图形的性质：如果两图形F 与是位似图形，它们的位似中心是点O ，相似比为k ，那么：①设A 与是一双对应点，则直线过位似中心O 点，并且．②设A 与，B 与是任意两双对应点，则；若直线AB 、不通过位似中心O ，则．（3）位似图形是相似图形的一种特殊情况，利用位似，可以将一个图形放大或缩小。

（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或。

典型例题【例1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．【答案】解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O ．（图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）【解析】未似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．【例1】 把下图中的四边形ABCD 缩小到原来的21．【答案】（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如下图。

【解析】：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．。

位似图形的定义及性质
位似图形是一种强大的几何图形，由它可以刻画出许多几何概念，从而使得几何知识更加容易理解和运用。

它已经被广泛应用于许多领域，如研究物理学，以及一些工程领域。

那么，位似图形究竟是什么？以及位似图形的性质有哪些？
一、位似图形的定义
位似图形是一种可以用来描述几何形状的图形。

它被称为位似图形，是因为它由一系列的位置感知的图案组成，它们几乎可以完全重叠，而不会改变它们的形状，大小以及位置。

例如，圆形是一个最常见的位似图形，它是一个由很多小的圆点组成，而这些小圆点几乎可以重叠并且完全相同。

二、位似图形的性质
1、符号化：位似图形能将复杂的空间状态用简单的符号来表示，从而使得几何知识更加容易理解和运用。

2、视觉感知：位似图形的形状和大小可以在视觉上进行感知，
可以更加直观地感受几何状态。

3、精确度高：位似图形可以很好地反映几何形状的精确度，它
可以准确地反映几何的形状和大小，使得几何知识更加有效。

4、信息量大：位似图形能够精确表达出几何形状的详细信息，
能够体现出几何形状的复杂性并反映出它在特定空间位置的信息。

由以上性质可知，位似图形是一种获取几何信息的有效工具，能够较为准确地描述出几何形状的精细细节。

它既适用于描述几何图形，
也可以用来描述物理、空间等属性。

位似图形性质的学习，可以帮助我们更好地理解几何知识，更好地应用几何知识。

综上所述，位似图形是一种具有符号化、视觉感知、精确度高、信息量大等性质的一种几何图形。

它为学习和应用几何知识提供了一个良好的视角，可以让我们更加清晰地感受到几何形状的变化，辅助我们更好地理解和应用几何知识。

九年级位似图形知识点归纳九年级位似图形是数学中的一个重要内容，它涉及到平面几何中的相似性质以及相似图形的相关知识。

在这篇文章中，我将对九年级位似图形的知识点进行归纳总结。

1. 什么是位似图形位似图形指的是具有相同形状但是大小不同的图形。

在位似图形中，图形的内部角度是相等的，各边的对应长度按比例关系成立。

2. 相似比位似图形中，相似比是一个重要的概念。

相似比指的是两个位似图形的相应边长度之比。

在位似图形中，相似比相等，即对应边长度的比例相等。

3. 判断位似图形判断位似图形时，需要考虑以下几个条件：- 内部角度相等：对应角度相等，即对应顶点的角度相等。

- 对应边按比例关系成立：对应边之间的比例相等。

4. 位似图形的性质位似图形具有一些特点和性质，主要包括：- 边比相等：在位似图形中，对应边的长度比例相等。

- 面积比相等：在位似图形中，对应面积之比等于边比的平方。

- 周长比相等：在位似图形中，对应边长之比等于周长比。

5. 图形变换对位似图形进行变换是学习位似图形的重要环节之一。

常见的图形变换包括：- 平移：图形在平面上的位置保持不变，只改变其位置。

- 旋转：图形按照一定的角度绕着某个固定点进行旋转。

- 缩放：图形按照一定的比例进行放大或缩小。

6. 练习题为了加深对位似图形知识点的理解和掌握，我们可以进行一些练习题。

以下是一些例题：例题1：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，AB:DE=3:5，BC:EF=4:7，AC:DF=2:3。

判断两个三角形是否位似，并说明理由。

解答：根据给定条件，可以发现两个三角形的内部角度相等，且对应边的比例关系成立。

因此，根据位似图形的判断条件，可以判断两个三角形是位似的。

例题2：已知两个矩形ABCD和EFGH，且AB:EF=2:3，BC:FG=3:5，CD:GH=4:7。

计算两个矩形的面积比。

解答：根据给定的边比关系，可以算出两个矩形的边长比例分别为2:3和3:5。

位似图形的定义及性质
位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

位似图形的性质：
1、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。

2、位似多边形的对应边平行或共线。

3、位似的作用利用：位似可以将一个图形放大或缩小。

4、位似中心的落点：位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。

如何学好位似图形如何学好位似图形如何学好位似图形位似图形是以相似形为基础，是研究图形的放大或缩小的重要理论，那么如何才能学好位似图形呢？笔者以为应从以下几个方面入手：一、正确理解位似图形的概念及其性质位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比叫做位似比.由此，我们要判断两个图形是位似图形可以从以下两个方面进行：一是这两个图形是相似的；二是这两个图形对应点的连线交于一点.同时符合这两个条件的两个图形才是是位似图形，否则就不是位似图形.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 由此，我们可以知道，位似与相似既有联系又有区别，即相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点；如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况；利用图形位似，可以把一个图形放大或缩小.二、注意掌握位似变换中对应点的坐标变化规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.由此可知，以坐标原点为位似中心的两个位似图形存在两种情况，若在同一象限，那么它们横坐标的比、纵坐标的比分别为k；若不在同一象限，则它的横坐标的比、纵坐标的比分别为－k.三、注意位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别我们知道，常见的图形变换有：位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式.这些图形的变换有着本质的区别，即平移、轴对称、旋转三种变换是全等变换，而位似变换则是相似变换.由此我们知道，在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：①平移变换是横坐标或纵坐标加上（或减去）平移单位；②轴对称变换，以_轴为对称轴则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180__176;，则旋转前后两个图形的横坐标与纵坐标都互为相反数；④位似变换时，当以原点为位似中心时变换前后两个图形的同名坐标之比等于相似比.四、注意典型习题的训练与巩固例1（淮安市中考试题）如图1，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1）、（2，1）.（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新三角形与原三角形的相似比为2），画出图形.（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标.（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（_，y），写出M的对应点M′的坐标.分析由于所画新三角形与原三角形的相似比为2，就是说新三角形是放大的图形，即顶点的横坐标之比和纵坐标之比都应该是－2∶1，于是以下两个问题京可以进一步解决了. 解（1）因为所画新三角形与原三角形的相似比为2，所以新三角形与原三角形的对应顶点的横坐标之比和纵坐标之比都是－2∶1.由此可画出图形，如图1所示.（2）由（1）可得，B、C两点的对应点B′、C′的坐标分别为（－6，2）、（－4，－2）.（3）由（1）可得，点M（_，y）的对应点M′的坐标（－2_，－2y）.说明两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做。