数值计算方法

复习：

1.数值计算方法的含义

2．误差及误差限

3.误差与有效数字

4.数值计算中应注意的问题

第二章 插值方法

一．插值的含义

问题提出：

已知函数yfx在n+1个点01,,,nxxx上的函数值01,,,nyyy，求任意一点x的函数值fx。

说明：函数yfx可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值fx。

解决方法：

构造一个简单函数Px来替代未知（或复杂）函数yfx，则用Px作为函数值fx的近似值。

二、泰勒（Taylor）插值

1.问题提出：

已知复杂函数yfx在0x点的函数值0fx，求0x附近另一点0xh的函数值0fxh。

2.解决方法：

构造一个代数多项式函数nPx，使得nPx与fx在0xx点充分逼近。

泰勒多项式为：

200000002!!nnnfxfxPxfxfxxxxxxxn

显然，nPx与fx在0xx点，具有相同的i阶导数值（i=0,1,…,n）。

3.几何意义为：

nPx与fx都过点00,xfx；

nPx与fx在点00,xfx处的切线重合；

nPx与fx在点00,xfx处具有相同的凹凸性；

其几何意义可以由下图描述，显然函数3fx能相对较好地在0x点逼近fx。 x0f(x)f1(x)f3(x)f2(x)

4.误差分析（泰勒余项定理）：

1101!nnnfPxfxxxn，其中在0x与x之间。

5.举例：

已知函数fxx，求115f。

分析：本题理解为，已知“复杂”函数fxx在0x=100点的函数值为010fx，求0x的附近一点0x+15的函数值015fx。

解：

（1）构造1次泰勒多项式函数1Px：1000Pxfxfxxx。

- 1 - 数值计算方法

在数学中，数值计算是解决实际问题常用的重要方法。解决这类问题时，只要按照由简单到复杂、由特殊到一般的思维顺序进行逐步分析和研究，总能得到正确的结果。下面，就有关数值计算方法和运算的规则及要求，进行分析讨论，并举例说明。

当数列或函数的各项中，如果出现加减乘除以外的运算，一定要首先考虑通过“分解”、“凑整”等数值运算的办法来解决，而不能直接运算。具体来说，可采用以下方法：

在运算过程中，为了省略乘方或开方运算，需将原式写成分子、分母都是较大数字的形式；为了使相乘的积尽量不变号，也可以把分母化成整数，再相乘；为了使被除数尽可能多地乘上除数所以位数较多的数，应把除数扩大成被除数的许多倍，然后用乘法分配律进行简便运算；为了把小数化成整数，需将小数点向右移动若干位，使小数的小数部分全部转换成整数的形式；为了保证每一位乘得的结果不变号，还可以对乘法和除法同时进行一次因式分解，使分子、分母同时除以较大的数字，从而在计算时，把小数化成整数，最后按照前面说的分配律，用简便方法进行简便运算。对于分数值的计算，要先根据分数的意义计算出结果，再将得到的整数写成分数的形式，最后按照分数的运算法则进行运算。计算方法不但要考虑数字本身的特征，而且还要注意分数与整数之间的互化问题。

一般地，分数的分子和分母都乘以同一个整数后，分数值发生了变化，所以必须进行同分母分数的加减运算；一般地，分数的分子和 - 2 - 分母同时乘以较大的整数时，其值仍然不变，故不需要进行同分子分数的加减运算。例如： 12*10=12(10)=2×3= 6(后一步不需要进行运算)； 2*4=8(后一步不需要进行运算)； 15*5=45(后一步不需要进行运算)。关于约分，不仅要看被分数的整数部分和分数部分是否互质，而且要考虑两部分的大小是否适合分子、分母互质，是否有公因数等情况。例如： 6*2/3=2/3(大小合适)； 14/18=4/9(大小不合适)。分数的分母与整数互质的情况下，要先约分，然后再计算。例如：

数值计算方法期末总结

导言

数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。

一、数值逼近

数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。数值逼近可以分为插值和外推。插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。

在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

二、插值与外推

插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。

常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。

三、数值微积分

数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。

在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。

四、线性方程组解法

线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。 直接法是通过变换线性方程组的系数矩阵，将其化为一个三角矩阵，进而直接求解方程组。常用的直接法有高斯消元法、列主元高斯消元法、LU分解和Cholesky分解等。直接法的优点是精度高，但当方程组规模较大时，计算量较大。

习题一

1．设x>0相对误差为2%，求x，4x的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx得

（1）()fxx时

11()()'()()*2%1%22xxxxxx；

（2）4()fxx时

444()()'()4()4*2%8%xxxxxx

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x；（2）12.10x；（3）12.100x。

解：由教材9P关于1212.mnxaaabbb型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算

（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352

21((0.3197100.245610)0.1352)flfl

=2(0.3443100.1352)fl

=0.3457210

（2）31.97+（2.456+0.1352）

21(0.319710(0.245610))flfl

= 21(0.3197100.259110)fl

=0.3456210

易见31.97+2.456+0.1352=0.210，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

解：设该正方形的边长为x，面积为2()fxx，由(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx

解得(())()()'()fxfxxxfx=2(())(())22fxxfxxx=0.5%

5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？