2) 数值计算方法

.

. 《数值计算方法》复习试题

一、填空题：

1、410141014A，则A的LU分解为 A。

答案：15561415014115401411A

3、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1， )2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL

4、近似值*0.231x关于真值229.0x有( 2 )位有效数字；

5、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是( )；

答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx

6、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f( 1 ),]4,3,2,1,0[f( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( 12nab )；

10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；

11、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。 .

. 12、 为了使计算 32)1(6)1(41310xxxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,))64(3(10xtttty ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为 199920012 。

13、 用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

数值计算方法期末模拟试题二

一、 填空（共20分，每题2分）

1、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.

2、设一阶差商 ，

则二阶差商

3、数值微分中，已知等距节点的函数值

则由三点的求导公式，有

4、求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值

，

那么

5、解初始值问题 近似解的梯形公式是

6、 ，则A的谱半径 ＝ ，A的 ＝

7、设 ，则 ＝

和 ＝

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____ 10、设 ，当 时，必有分解式 ，其中L为下三角阵，当其对角线元素 足条件 时，这种分解是唯一的。

二、计算题 （共60 分，每题15分）

1、设

（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项 的表达式

2、已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1…收敛？

3、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

4、 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：

三、证明题

1、 设

（1） 写出解 的Newton迭代格式

（2） 证明此迭代格式是线性收敛的

2、 设R=I－CA，如果 ，证明：

（1）A、C都是非奇异的矩阵

（2）

参考答案：

一、填空题

1、2.3150

2、

3、

4、1.5

5、

6、

7、

8、 收敛 9、O（h）

10、

二、计算题

1、1、（1）

（2）

数值计算方法期末总结

导言

数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。

一、数值逼近

数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。数值逼近可以分为插值和外推。插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。

在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

二、插值与外推

插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。

常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。

三、数值微积分

数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。

在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。

四、线性方程组解法

线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。 直接法是通过变换线性方程组的系数矩阵，将其化为一个三角矩阵，进而直接求解方程组。常用的直接法有高斯消元法、列主元高斯消元法、LU分解和Cholesky分解等。直接法的优点是精度高，但当方程组规模较大时，计算量较大。

数值分析

（p11页）

4 试证：对任给初值x0, 求开方值(0)aa的牛顿迭代公式

112(),0,1,2,......kakkxxxk

恒成立下列关系式：

2112(1)(),0,1,2,....(2),1,2,......kkkxkxaxakxak

证明：

（1）22112222kkkkkkkkxaaxaxaxaxaxxx

（2） 取初值00x，显然有0kx，对任意0k，

aaxaxxaxxkkkkk212121

6 证明：

若kx有n位有效数字，则nkx110218，

而kkkkkxxxxx288821821

nnkkxx2122110215.22104185.28

1kx必有2n位有效数字。

8 解：

此题的相对误差限通常有两种解法.

①根据本章中所给出的定理：

（设x的近似数*x可表示为mnaaax10......021*，如果*x具有l位有效数字，则其相对误差限为11**1021laxxx，其中1a为*x中第一个非零数） 则7.21x，有两位有效数字，相对误差限为

025.010221111xxe

71.22x，有两位有效数字，相对误差限为

025.010221122xxe

32.718x，有两位有效数字，其相对误差限为：

00025.010221333xex

②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解

对于7.21x，0183.01ex

其相对误差限为00678.07.20183.011xex

同理对于71.22x，有

003063.071.20083.022xex

对于718.23x，有

00012.0718.20003.033xex