数值计算方法

《数值计算方法数值计算方法》》考试试考试试题题及参考答案及参考答案

大题 一 二 三 四 总分

得分 24 18 10 48 100

注意注意：：时间120分钟

一、填空题（本大题共12个空格，每空2分，共计24分，请在

每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分分。）

（1）拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（0或1 ）。

（2）当112()034()xfxfx=−=−，，时，，，则

的二次插值多项

式为 （ 2527

633xx+− ）。

（3）3 f(x)2x5x10=−−=用二分法求方程在区间[1，3]内的根，

进行一步后根所在区间为（[1，2]），进行两步后根所在区间为

（ [1.5，2]）。

（4）求解线性代数方程组12

12351

1

40

5xx

xx+=





+=



的高斯－赛德尔

迭代

格式为（(1)()

12

(1)(1)

21(15)/3

1

()/4

5kk

k

kxx

xx+

++

=−





=−





）。

该迭代格式的迭代

矩阵的谱半径()Gρ=（ 1

12），

所以该迭代格式是（收敛的）

（5）()()

0

f

x

fx=设函数可微，则求方程的

根的牛顿迭代公式︵

︶

是(

1()

()k

kk

kfx

xx

fx+=−

′ ，k=0,1,… )。

（6）解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数ϕ(x)满足在有根区间

内(ϕ′(x)≤l<1 )，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代

解都收敛。

（7）用辛卜生公式1

01dx

x+∫

计算积分＝（ 0.6944 ）(保留4位小数)

（8）已知矩阵

221

A

22A−

=



，则＝（ 3 ）

A

∞，＝（ 4 ）

二、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分，

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。）

（9）试判断下面的函数哪一个为三次样条函数？（ C ）

2

3

32

3

3010

0

()B()01

sin0

(1)12

2110

()

22101x

题目

利用数值计算方法求取基尼系数

姓名与学号

指导教师

年级与专业

所在学院

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

1 一、问题综述：

基尼系数（Gini coefficient），是20世纪初意大利学者科拉多·吉尼根据劳

伦茨曲线所定义的判断收入分配公平程度的指标。是比例数值，在0和1之

间。基尼指数（Gini index）是指基尼系数乘100倍作百分比表示。在民众收入

中，如基尼系数最大为“1”，最小等于“0”。前者表示居民之间的收入分配绝

对不平均（即所有收入都集中在一个人手里，其余的国民没有收入），而后者则

表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入绝对平等，但这两种情

况只出现在理论上；因此，基尼系数的实际数值只能介于0～1之间，基尼系数

越小收入分配越平均，基尼系数越大收入分配越不平均。

设右图中的

实际收入分配曲线

（红线）和收入分

配绝对平等线（绿

线）之间的面积为

A，和收入分配绝

对不平等线（蓝

线）之间的面积为

B，则表示收入与

人口之间的比例的基尼系数为𝐴

𝐴+𝐵。

如果A为零，即基尼系数为0，表示收入分配完全平等（红线和绿线重

叠）；如果B为零，则系数为1，收入分配绝对不平等（红线和蓝线重叠）。该

系数可在0和1之间取任何值。实际上，一般国家的收入分配，既不是完全平

等，也不是完全不平等，而是在两者之间，劳伦茨曲线为一条凸向横轴的曲

线。收入分配越趋向平等，劳伦茨曲线的弧度越小（斜度越倾向45度），基尼

系数也越小；反之，收入分配越趋向不平等，劳伦茨曲线的弧度越大，那么基

尼系数也越大。

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

2 基尼系数的调节需要国家通过财政政策进行国民收入的二次分配，例如对

民众的财政公共服务支出和税收等，从而让收入均等化，令基尼系数缩小。

基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客

观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现

贫富两极分化。因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。

1 第七章 微积分的数值计算方法

7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念

1. 微分计算问题

求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。

2．定积分计算问题

计算函数f在],[ba上的定积分 dxxfIba)(

当被积函数f的原函数能用有限形式)(xF给出时，可用积分基本公式来计算：

)()()(aFbFdxxfIba

然而，问题在于：① f的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f可能给出一个函数表；③仅仅知道f是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。

3．数值积分的基本形式

数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式

nkkkbaxfAdxxf0)()( (7.1.1)

或记成 nknkkbafRxfAdxxf0][)()( (7.1.2)

nkkkxfAI0*)( 和 ][fRn 分别成为],[ba上的f的数值求积公式及其余项(截断误差)，kx和kA),,1,0(nk分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。

这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点kx及系数kA),,1,0(nk，估计余项][fRn以及讨论*I的算法设计及其数值稳定性。

4．插值型求积公式

如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f的Lagrange插值多项式)(xLn近似代替f，也即对],[ba上指定的1n个节点 2 bxn10xxa及相应的函数值)(,),(),(10nxfxfxf，作

习题一

1．设x>0相对误差为2%，求x，4x的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx得

（1）()fxx时

11()()'()()*2%1%22xxxxxx；

（2）4()fxx时

444()()'()4()4*2%8%xxxxxx

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x；（2）12.10x；（3）12.100x。

解：由教材9P关于1212.mnxaaabbb型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算

（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352

21((0.3197100.245610)0.1352)flfl

=2(0.3443100.1352)fl

=0.3457210

（2）31.97+（2.456+0.1352）

21(0.319710(0.245610))flfl

= 21(0.3197100.259110)fl

=0.3456210

易见31.97+2.456+0.1352=0.210，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

解：设该正方形的边长为x，面积为2()fxx，由(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx

解得(())()()'()fxfxxxfx=2(())(())22fxxfxxx=0.5%

5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？