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数值计算方法

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1. 确定求积公式101()()(0)()hhfxdxAfhAfAh的待定参数，使其代数精度尽量高，并且指明所构造的求积公式所具有的代数精度。（10分）

解：求积公式中含有三个待定系数，1A0A1A，将1，x，2x分别代入求积公式，并令其左右相等，得到：

1011123112()0,2()3AAAhhAAhAAh解得；11014,33AAhAh，所求公式至少具有2次代数精度，又由于把3x，4x代入，方程左右不相等，所以，求积公式具有三次代数精度。

2.. 在某个低温过程中，函数y依赖于温度0QC的实验数据如下，

Q 1 2 3 4

y 0.8 1.5 1.8 2.0

而且已知的经验的公式是：2()gQaQbQ，试用最小二乘法求出a，b和经验公式。（10分）

解：按照最小二乘法来做，有44423111444342111iiiiiiiiiiiiiiaQbQyQaQbQyQ，

计算结果：44423411130,100,354iiiiiiQQQ

4421117.2,55iiiiiiyQyQ

解得：58.887,6262ab

所求的经验公式为：g(Q)=(0.9497-0.1129Q)Q

3．设有方程组1231231232211221xxxxxxxxx试考察此方程组的Gauss-Seidel迭代格式及收敛性。（10分） 解： A=122000100022111100010001221220001000=L+D+U

则 G-S迭代阵：

1100022022()110001023021000002GBLDU，

22203(2)000GIB，得到11,20,2，所以有()2GB所以方程组的G-S迭代不收敛。

sin11314.(),(0)1,()0.9973978,()0.98966158,()0.9767267,()0.9588510,8482xfxfffffx

,9361556.0)85(f8414709.0)1(,8771925.0)87(,9088516.0)43(fff，取步长h=1/4，试用复合simpson公式计算积分I=10sindxxx。（10分）

解：由复化simpson公式得到：

10sin[()4()()]62xbaabIdxfaffbx然后代入得到：

11102[()4()()]6nnkkkkhIfxfxfx=0.9456911

1.若近似值以227作为的近似值，则此近似值具有 3 位有效数字

2.设A=1041轾犏犏臌，则1A 5 ()A 1

3. N+1个节点的插值型求积公式至少具有 N 次代数精度

4．求100999998A则()condA 39601 2()condA 39206

5.设x>0，x的相对误差为，，则nx的相对误差为 n

6.若2()31,[0,1,2]fxxf则 3 [0,1,2,3]f 0

7.设x=1.38，y=-0.0312的绝对误差限都是0.005，则x与y分别具有 3

与 1 位有效数字

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数值计算方法马东升等第 版习题解答

数值计算方法马东升等第 版习题解答

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第1章 数值计算引论

1．1 内容提要

一、误差的来源

数值计算主要研究以下两类误差。

1． 截断误差

数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。这种误

差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。例如，要计算级数





1!1

!1

!31

!21

1

kkn

的值，当用计算机计算时，用前n项（有限项）的和

n

kkn

1!1

!1

!31

!21

1

来代替无穷项之和，即舍弃了n项后边的无穷多项，因而产生了截断误差



1!1

nkk

2． 舍入误差

由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍

入误差。例如，用3.141 59表示圆周率

时产生的误差0.000 002 6„,用0.333 33表示

1

3的运算结果时所产生的误差1

3-0.333 33 = 0.000 003 3„都是舍入误差。

二．近似数的误差表示

1． 绝对误差

设x*

是准值x的一个近似值，称

**

)(xxxe

为近似值x*

的绝对误差，简称误差。

令

|)(|*

xe的一个上界为*

，即

***

|||)(|

xxxe

把*

称为近似数*

x的绝对误差限，简称误差限。

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2． 相对误差

设*

x是精确值x的一个近似值，称

xxx

xxe**

)(

为近似值x*

的相对误差。在实际应用中常取

**

*

)(

xxx

xe

r

为*

x的相对误差。

令相对误差绝对值

|)(|*

xe

r的一个上界为*

r，即

*

**

*

||||

|)(|

rr

xxx

xe



把*

r称为近似数*

x的相对误差限。

3． 有效数字

对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差

不超过末位的半个单位。

设数x的近似值m

nxxxx10.0

21*

，其中，

ix是0~9之间的任一个数，但

ix0，

ni,2,1是正整数，m是整数，若

数值计算方法试题

数值计算方法试题

《数值计算方法数值计算方法》》考试试考试试题题及参考答案及参考答案

大题 一 二 三 四 总分

得分 24 18 10 48 100

注意注意：：时间120分钟

一、填空题（本大题共12个空格，每空2分，共计24分，请在

每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分分。）

（1）拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（0或1 ）。

（2）当112()034()xfxfx=−=−，，时，，，则

的二次插值多项

式为 （ 2527

633xx+− ）。

（3）3 f(x)2x5x10=−−=用二分法求方程在区间[1，3]内的根，

进行一步后根所在区间为（[1，2]），进行两步后根所在区间为

（ [1.5，2]）。

（4）求解线性代数方程组12

12351

1

40

5xx

xx+=

+=

的高斯－赛德尔

迭代

格式为（(1)()

12

(1)(1)

21(15)/3

1

()/4

5kk

k

kxx

xx+

++

=−

=−

）。

该迭代格式的迭代

矩阵的谱半径()Gρ=（ 1

12），

所以该迭代格式是（收敛的）

（5）()()

0

f

x

fx=设函数可微，则求方程的

根的牛顿迭代公式︵

︶

是(

1()

()k

kk

kfx

xx

fx+=−

′ ，k=0,1,… )。

（6）解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数ϕ(x)满足在有根区间

内(ϕ′(x)≤l<1 )，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代

解都收敛。

（7）用辛卜生公式1

01dx

x+∫

计算积分＝（ 0.6944 ）(保留4位小数)

（8）已知矩阵

221

A

22A−

=



，则＝（ 3 ）

A

∞，＝（ 4 ）

二、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分，

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。）

（9）试判断下面的函数哪一个为三次样条函数？（ C ）

2

3

32

3

3010

0

()B()01

sin0

(1)12

2110

()

22101x

数值计算方法大作业

数值计算方法大作业

题目

利用数值计算方法求取基尼系数

姓名与学号

指导教师

年级与专业

所在学院

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

1 一、问题综述：

基尼系数（Gini coefficient），是20世纪初意大利学者科拉多·吉尼根据劳

伦茨曲线所定义的判断收入分配公平程度的指标。是比例数值，在0和1之

间。基尼指数（Gini index）是指基尼系数乘100倍作百分比表示。在民众收入

中，如基尼系数最大为“1”，最小等于“0”。前者表示居民之间的收入分配绝

对不平均（即所有收入都集中在一个人手里，其余的国民没有收入），而后者则

表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入绝对平等，但这两种情

况只出现在理论上；因此，基尼系数的实际数值只能介于0～1之间，基尼系数

越小收入分配越平均，基尼系数越大收入分配越不平均。

设右图中的

实际收入分配曲线

（红线）和收入分

配绝对平等线（绿

线）之间的面积为

A，和收入分配绝

对不平等线（蓝

线）之间的面积为

B，则表示收入与

人口之间的比例的基尼系数为𝐴

𝐴+𝐵。

如果A为零，即基尼系数为0，表示收入分配完全平等（红线和绿线重

叠）；如果B为零，则系数为1，收入分配绝对不平等（红线和蓝线重叠）。该

系数可在0和1之间取任何值。实际上，一般国家的收入分配，既不是完全平

等，也不是完全不平等，而是在两者之间，劳伦茨曲线为一条凸向横轴的曲

线。收入分配越趋向平等，劳伦茨曲线的弧度越小（斜度越倾向45度），基尼

系数也越小；反之，收入分配越趋向不平等，劳伦茨曲线的弧度越大，那么基

尼系数也越大。

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

2 基尼系数的调节需要国家通过财政政策进行国民收入的二次分配，例如对

民众的财政公共服务支出和税收等，从而让收入均等化，令基尼系数缩小。

基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客

观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现

贫富两极分化。因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。

数值计算方法期末总结

数值计算方法期末总结

数值计算方法期末总结

导言

数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。

一、数值逼近

数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。数值逼近可以分为插值和外推。插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。

在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

二、插值与外推

插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。

常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。

三、数值微积分

数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。

在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。

四、线性方程组解法

线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。 直接法是通过变换线性方程组的系数矩阵，将其化为一个三角矩阵，进而直接求解方程组。常用的直接法有高斯消元法、列主元高斯消元法、LU分解和Cholesky分解等。直接法的优点是精度高，但当方程组规模较大时，计算量较大。