数值计算方法简介

《数值计算方法》课程简介

“数值计算方法”是计算数学的一个主要部分。伴随着计算机技术的飞速发展和计算数学方法与理论的日益成熟，科学计算已成为第三种科学研究的方法和手段。数值计算方法是研究怎样利用计算工具来求出数学问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算的全过程。数值计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。本课程只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括插值与逼近及最小二乘拟合、数值积分与数值微分、矩阵的特征值与特征向量求解、线性方程组与非线性方程求根、以及常微分方程数值解法等。

现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，可以互相补充又都不可缺少。由于计算机技术的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法。本课程既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征，其理论性和实践性都较强。

《数值计算方法数值计算方法》》考试试考试试题题及参考答案及参考答案

大题 一 二 三 四 总分

得分 24 18 10 48 100

注意注意：：时间120分钟

一、填空题（本大题共12个空格，每空2分，共计24分，请在

每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分分。）

（1）拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（0或1 ）。

（2）当112()034()xfxfx=−=−，，时，，，则

的二次插值多项

式为 （ 2527

633xx+− ）。

（3）3 f(x)2x5x10=−−=用二分法求方程在区间[1，3]内的根，

进行一步后根所在区间为（[1，2]），进行两步后根所在区间为

（ [1.5，2]）。

（4）求解线性代数方程组12

12351

1

40

5xx

xx+=





+=



的高斯－赛德尔

迭代

格式为（(1)()

12

(1)(1)

21(15)/3

1

()/4

5kk

k

kxx

xx+

++

=−





=−





）。

该迭代格式的迭代

矩阵的谱半径()Gρ=（ 1

12），

所以该迭代格式是（收敛的）

（5）()()

0

f

x

fx=设函数可微，则求方程的

根的牛顿迭代公式︵

︶

是(

1()

()k

kk

kfx

xx

fx+=−

′ ，k=0,1,… )。

（6）解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数ϕ(x)满足在有根区间

内(ϕ′(x)≤l<1 )，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代

解都收敛。

（7）用辛卜生公式1

01dx

x+∫

计算积分＝（ 0.6944 ）(保留4位小数)

（8）已知矩阵

221

A

22A−

=



，则＝（ 3 ）

A

∞，＝（ 4 ）

二、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分，

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。）

（9）试判断下面的函数哪一个为三次样条函数？（ C ）

2

3

32

3

3010

0

()B()01

sin0

(1)12

2110

()

22101x

数值计算方法作业

专业：测控1002

学号：10540226

姓名：崔 海 雪

拉格朗日插值的算法及应用

【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。

【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab算法程序；

一、绪论

约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,„n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。

二、正文

1、基本概念

已知函数y=f(x)在若干点ix的函数值iy=ixf（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(ix)=iy,i=0,1,,n, (1)

则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x，1x，2x，...,nx为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点x求f(x)数值解，我们称x为一个插值节点，f(x)p(x)称为x点的插值，当x[min(0x，1x，2x，...,nx)，max(0x，1x，2x，...,nx)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。

2、Lagrange插值公式

（1）线性插值)1(1L

题目

利用数值计算方法求取基尼系数

姓名与学号

指导教师

年级与专业

所在学院

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

1 一、问题综述：

基尼系数（Gini coefficient），是20世纪初意大利学者科拉多·吉尼根据劳

伦茨曲线所定义的判断收入分配公平程度的指标。是比例数值，在0和1之

间。基尼指数（Gini index）是指基尼系数乘100倍作百分比表示。在民众收入

中，如基尼系数最大为“1”，最小等于“0”。前者表示居民之间的收入分配绝

对不平均（即所有收入都集中在一个人手里，其余的国民没有收入），而后者则

表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入绝对平等，但这两种情

况只出现在理论上；因此，基尼系数的实际数值只能介于0～1之间，基尼系数

越小收入分配越平均，基尼系数越大收入分配越不平均。

设右图中的

实际收入分配曲线

（红线）和收入分

配绝对平等线（绿

线）之间的面积为

A，和收入分配绝

对不平等线（蓝

线）之间的面积为

B，则表示收入与

人口之间的比例的基尼系数为𝐴

𝐴+𝐵。

如果A为零，即基尼系数为0，表示收入分配完全平等（红线和绿线重

叠）；如果B为零，则系数为1，收入分配绝对不平等（红线和蓝线重叠）。该

系数可在0和1之间取任何值。实际上，一般国家的收入分配，既不是完全平

等，也不是完全不平等，而是在两者之间，劳伦茨曲线为一条凸向横轴的曲

线。收入分配越趋向平等，劳伦茨曲线的弧度越小（斜度越倾向45度），基尼

系数也越小；反之，收入分配越趋向不平等，劳伦茨曲线的弧度越大，那么基

尼系数也越大。

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

2 基尼系数的调节需要国家通过财政政策进行国民收入的二次分配，例如对

民众的财政公共服务支出和税收等，从而让收入均等化，令基尼系数缩小。

基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客

观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现

贫富两极分化。因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。