数值计算方法

《数值计算方法数值计算方法》》考试试考试试题题及参考答案及参考答案

大题 一 二 三 四 总分

得分 24 18 10 48 100

注意注意：：时间120分钟

一、填空题（本大题共12个空格，每空2分，共计24分，请在

每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分分。）

（1）拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（0或1 ）。

（2）当112()034()xfxfx=−=−，，时，，，则

的二次插值多项

式为 （ 2527

633xx+− ）。

（3）3 f(x)2x5x10=−−=用二分法求方程在区间[1，3]内的根，

进行一步后根所在区间为（[1，2]），进行两步后根所在区间为

（ [1.5，2]）。

（4）求解线性代数方程组12

12351

1

40

5xx

xx+=





+=



的高斯－赛德尔

迭代

格式为（(1)()

12

(1)(1)

21(15)/3

1

()/4

5kk

k

kxx

xx+

++

=−





=−





）。

该迭代格式的迭代

矩阵的谱半径()Gρ=（ 1

12），

所以该迭代格式是（收敛的）

（5）()()

0

f

x

fx=设函数可微，则求方程的

根的牛顿迭代公式︵

︶

是(

1()

()k

kk

kfx

xx

fx+=−

′ ，k=0,1,… )。

（6）解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数ϕ(x)满足在有根区间

内(ϕ′(x)≤l<1 )，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代

解都收敛。

（7）用辛卜生公式1

01dx

x+∫

计算积分＝（ 0.6944 ）(保留4位小数)

（8）已知矩阵

221

A

22A−

=



，则＝（ 3 ）

A

∞，＝（ 4 ）

二、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分，

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。）

（9）试判断下面的函数哪一个为三次样条函数？（ C ）

2

3

32

3

3010

0

()B()01

sin0

(1)12

2110

()

22101x

题目

利用数值计算方法求取基尼系数

姓名与学号

指导教师

年级与专业

所在学院

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

1 一、问题综述：

基尼系数（Gini coefficient），是20世纪初意大利学者科拉多·吉尼根据劳

伦茨曲线所定义的判断收入分配公平程度的指标。是比例数值，在0和1之

间。基尼指数（Gini index）是指基尼系数乘100倍作百分比表示。在民众收入

中，如基尼系数最大为“1”，最小等于“0”。前者表示居民之间的收入分配绝

对不平均（即所有收入都集中在一个人手里，其余的国民没有收入），而后者则

表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入绝对平等，但这两种情

况只出现在理论上；因此，基尼系数的实际数值只能介于0～1之间，基尼系数

越小收入分配越平均，基尼系数越大收入分配越不平均。

设右图中的

实际收入分配曲线

（红线）和收入分

配绝对平等线（绿

线）之间的面积为

A，和收入分配绝

对不平等线（蓝

线）之间的面积为

B，则表示收入与

人口之间的比例的基尼系数为𝐴

𝐴+𝐵。

如果A为零，即基尼系数为0，表示收入分配完全平等（红线和绿线重

叠）；如果B为零，则系数为1，收入分配绝对不平等（红线和蓝线重叠）。该

系数可在0和1之间取任何值。实际上，一般国家的收入分配，既不是完全平

等，也不是完全不平等，而是在两者之间，劳伦茨曲线为一条凸向横轴的曲

线。收入分配越趋向平等，劳伦茨曲线的弧度越小（斜度越倾向45度），基尼

系数也越小；反之，收入分配越趋向不平等，劳伦茨曲线的弧度越大，那么基

尼系数也越大。

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

2 基尼系数的调节需要国家通过财政政策进行国民收入的二次分配，例如对

民众的财政公共服务支出和税收等，从而让收入均等化，令基尼系数缩小。

基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客

观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现

贫富两极分化。因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。

1 第七章 微积分的数值计算方法

7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念

1. 微分计算问题

求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。

2．定积分计算问题

计算函数f在],[ba上的定积分 dxxfIba)(

当被积函数f的原函数能用有限形式)(xF给出时，可用积分基本公式来计算：

)()()(aFbFdxxfIba

然而，问题在于：① f的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f可能给出一个函数表；③仅仅知道f是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。

3．数值积分的基本形式

数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式

nkkkbaxfAdxxf0)()( (7.1.1)

或记成 nknkkbafRxfAdxxf0][)()( (7.1.2)

nkkkxfAI0*)( 和 ][fRn 分别成为],[ba上的f的数值求积公式及其余项(截断误差)，kx和kA),,1,0(nk分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。

这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点kx及系数kA),,1,0(nk，估计余项][fRn以及讨论*I的算法设计及其数值稳定性。

4．插值型求积公式

如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f的Lagrange插值多项式)(xLn近似代替f，也即对],[ba上指定的1n个节点 2 bxn10xxa及相应的函数值)(,),(),(10nxfxfxf，作

ｌｌ　００囊　｜　。　。　。。；　＿　０　上海计量测袁弋　无功的数值计算方法　曹瑞基张勤／山东省计量科学研究院　本文从无功的物理意义出发，提出一种精确计算有功和无功的计算方法。提出　了在无功计算中常存在的一些错误概念。　关键词　无功：有功：计算方法　１　问题的提出　在市电应用中，由于存在大量的谐波使得交流电　的电压与电流偏离了正弦特性，在电能数字量采集或　电子电能表中，使计算无功变得非常复杂，目前有两　种较为流行的计算无功的方法：　１．１傅立叶分析法　该方法是通过傅立叶变换把电压和电流换算为不　同频率不同幅度和相位的正弦迭加的形式，在同频率　的电流与电压中利用公式Ｑ＝Ｕ・Ｉ・ｓｉｎ　计算无功，然　后把各个频率的无功相加从而获得总的无功。　１．２采用把电流序列推迟Ｔ／４，然后重新进行乘积和求　和　该方法显然没有考虑谐波的存在，因此很难实现　高精度计算。　这两个方法的共同特点是：采用Ｔ￣ＩｌＭ的计算公　式：Ｑ＝Ｕ・Ｉ・ｓｉｎ　ｑｂ，设计者努力向这个公式靠的结果　是：要么采用复杂的傅立叶变换获得高精度，要么采　用电流序列推迟Ｔ／４牺牲精度。但实际上完全可以抛开　电工学的公式而从有功和无功的物理意义出发得到简　单的无功计算方法。　２解决办法　在电磁学中只给出了电功率的计算公式：Ｐ＝Ｕ。Ｉ，　而没有给出无功的概念和计算公式。但Ｐ＝Ｕ。Ｉ是一个　完备公式，即可以用于直流也可以用于交流，因此可　以通过数学推导的方法得到电工学中的有功和无功功　率的计算公式。首先我们从Ｐ＝Ｕ・Ｉ出发分析有功和无　功的含义，在公式中Ｕ和Ｉ存在正、负，因此电功率Ｐ也　存在正、负，其中正功率表示：表电源向负载做功；　负功率表示：负载向电源回馈能量。在交流电中之所　以存在无功分量是因为负载存在电感或电容分量，众　所周知，电感或电容在交流线路中不消耗任何电能，　但存在与电源之间周期性的吸收和释放能量的过程，　交换能量的能力就称为无功功率；然后，我们根据　Ｐ＝Ｕ・Ｉ用图解方法实现一个含有谐波的电压和电流的　瞬时值乘法，从而得到Ｐ的曲线，见图１：　Ｐ为ｉＦ－的区间　／　／、　／、＼　：　＼　ｐ　伟的＿ｘ问　奎Ｐ　压Ｕ　流Ｉ　图１　由于Ｐ＝ｕ・Ｉ是一个完备公式，由此得到的Ｐ的曲线　完整的描述了电源与负载之间能量传递的过程，所以　Ｐ中包含有功和无功两个分量。从图中可以看出Ｐ存在　正功率区间和负功率区间，我们把所有正功率区间的　积分称为ｗ＋，Ｗ＋＝ｆ　Ｐ＋・ｄｔ，把所有负功率区间的积　分称为ｗ．，Ｗ．＝ｆ尸Ｊ・ｄｔ，Ｗ＋和ｗ一就分别代表了负载　从电源吸收能量和向电源回馈能量的多少。一个纯电　阻负载在任意时刻不会向电源回馈能量，因此，可以　断定对Ｗ＿的贡献全部来自感性／容性分量，而ｗ＋部分是　电阻消耗电能分量和感性／容性吸收电源能量分量贡献　之和，由此，我们得到无功和有功得两个公式：　无功＝２　１　Ｗ—Ｉ　有功＝（ｗ＋）一１　Ｗ．１　这两个公式有明确的物理概念：无功＝２　ｌ　Ｗ—ｌ表　＿＿＿＿Ｉ目目＿田国内统一刊号ｃ　－－　ｚ　ｅ　２５