数值计算方法及算法

数值计算中的龙格库塔算法

龙格库塔算法，又称龙格-库塔算法，是一种数值计算方法，主要用于求解微分方程。它的好处是通过迭代得到更加精确的数值解，对于很多科学和工程问题，如天体力学、化学反应动力学、电路分析等，都有广泛的应用。

一、初识龙格库塔算法

最早提出龙格库塔算法的是瑞士数学家卡尔·龙格和德国数学家马丁·库塔，他们在20世纪初期分别提出了一种求解常微分方程组的方法，后来又被合并为一种更为完善的算法，即现在我们所说的龙格库塔算法。它的基本思想是将微分方程分解成一系列递推的步骤，通过不断迭代，逐渐逼近准确的解。

龙格库塔算法的核心是求出微分方程在某个时刻的斜率。一般而言，我们可以使用欧拉法或者梯形法来求解，但这些方法往往会出现舍入误差，导致数值解偏离实际解。相比之下，龙格库塔算法则将微分方程的初始值向前推进一个尽可能小的步长，通过不断缩小步长的大小进行迭代，在保证精度的同时大大提高了计算效率。

在实际应用中，我们通常会使用四阶龙格库塔算法（RK4）来求解微分方程。具体做法是先求出微分方程在 $t$ 时刻的斜率

$k_1$，然后将 $t$ 向前推进一半的步长，求出此时的斜率 $k_2$，再用 $k_2$ 推进一半的步长，求出此时的斜率 $k_3$，最后以

$k_3$ 推进一个步长，求出微分方程在 $t+h$ 时刻的斜率 $k_4$。最终的数值解为：

$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)h$$

其中 $y_{n+1}$ 表示下一个时刻的函数值，$y_n$ 表示当前时刻的函数值，$h$ 表示步长。这个公式看起来比较复杂，但实际上只是对斜率的加权平均。通过不断迭代，我们就可以得到越来越精确的解。

二、优缺点及应用

与其他数值计算方法相比，龙格库塔算法具有以下优点：

1. 高精度：通过四阶跑格库塔公式，可达到高精度计算。

2. 稳定可靠： 在每一步均会进行收敛性检验，确保计算结果准确无误。

《数值计算方法数值计算方法》》考试试考试试题题及参考答案及参考答案

大题 一 二 三 四 总分

得分 24 18 10 48 100

注意注意：：时间120分钟

一、填空题（本大题共12个空格，每空2分，共计24分，请在

每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分分。）

（1）拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（0或1 ）。

（2）当112()034()xfxfx=−=−，，时，，，则

的二次插值多项

式为 （ 2527

633xx+− ）。

（3）3 f(x)2x5x10=−−=用二分法求方程在区间[1，3]内的根，

进行一步后根所在区间为（[1，2]），进行两步后根所在区间为

（ [1.5，2]）。

（4）求解线性代数方程组12

12351

1

40

5xx

xx+=





+=



的高斯－赛德尔

迭代

格式为（(1)()

12

(1)(1)

21(15)/3

1

()/4

5kk

k

kxx

xx+

++

=−





=−





）。

该迭代格式的迭代

矩阵的谱半径()Gρ=（ 1

12），

所以该迭代格式是（收敛的）

（5）()()

0

f

x

fx=设函数可微，则求方程的

根的牛顿迭代公式︵

︶

是(

1()

()k

kk

kfx

xx

fx+=−

′ ，k=0,1,… )。

（6）解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数ϕ(x)满足在有根区间

内(ϕ′(x)≤l<1 )，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代

解都收敛。

（7）用辛卜生公式1

01dx

x+∫

计算积分＝（ 0.6944 ）(保留4位小数)

（8）已知矩阵

221

A

22A−

=



，则＝（ 3 ）

A

∞，＝（ 4 ）

二、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分，

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。）

（9）试判断下面的函数哪一个为三次样条函数？（ C ）

2

3

32

3

3010

0

()B()01

sin0

(1)12

2110

()

22101x

二分法：

#include

#include

float f(float x)

{

float y;

y=sin(x)-(x*x/4);

return y;

}

void main()

{

double e,E;

float a,b;

float y1,y2;

float x0,y0;

cout<<"输入区间上下限a,b"<<'\n';

cin>>a;

cin>>b;

cout<<"输入误差限e和充分小的正数E"<<'\n';

cin>>e;

cin>>E;

y1=f(a);

y2=f(b);

x0=(a+b)/2;y0=f(x0);

while(fabs(b-a)>e){

x0=(a+b)/2;

y0=f(x0);

if(fabs(y0)

cout<

}

else if((y0*y1)<0) {b=x0;y2=y0;}

else {a=x0;y1=y0;}

}

cout<

}

牛顿迭代法：

#include

#include

float f(float x)

{

double result;

result=x-exp(-x);

return result;

}

float fd(float p)

{

float t,x,y;

float m=y-f(p);

float n=x-p;

t=m/n;

return t;

}

void main()

{

float x0,e,p,x;

int k=0;

cout<<"输入初始近似值 ";

cin>>x0;

cout<<"输入允许的误差限";

cin>>e;

k=k+1;

p=x0;

x=x0-(f(x0)/fd(x0));

x0=x;

cout<

while(fabs(x-p)>=e){

题目

利用数值计算方法求取基尼系数

姓名与学号

指导教师

年级与专业

所在学院

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

1 一、问题综述：

基尼系数（Gini coefficient），是20世纪初意大利学者科拉多·吉尼根据劳

伦茨曲线所定义的判断收入分配公平程度的指标。是比例数值，在0和1之

间。基尼指数（Gini index）是指基尼系数乘100倍作百分比表示。在民众收入

中，如基尼系数最大为“1”，最小等于“0”。前者表示居民之间的收入分配绝

对不平均（即所有收入都集中在一个人手里，其余的国民没有收入），而后者则

表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入绝对平等，但这两种情

况只出现在理论上；因此，基尼系数的实际数值只能介于0～1之间，基尼系数

越小收入分配越平均，基尼系数越大收入分配越不平均。

设右图中的

实际收入分配曲线

（红线）和收入分

配绝对平等线（绿

线）之间的面积为

A，和收入分配绝

对不平等线（蓝

线）之间的面积为

B，则表示收入与

人口之间的比例的基尼系数为𝐴

𝐴+𝐵。

如果A为零，即基尼系数为0，表示收入分配完全平等（红线和绿线重

叠）；如果B为零，则系数为1，收入分配绝对不平等（红线和蓝线重叠）。该

系数可在0和1之间取任何值。实际上，一般国家的收入分配，既不是完全平

等，也不是完全不平等，而是在两者之间，劳伦茨曲线为一条凸向横轴的曲

线。收入分配越趋向平等，劳伦茨曲线的弧度越小（斜度越倾向45度），基尼

系数也越小；反之，收入分配越趋向不平等，劳伦茨曲线的弧度越大，那么基

尼系数也越大。

数值计算方法 xx xxxxxxxxxx

2 基尼系数的调节需要国家通过财政政策进行国民收入的二次分配，例如对

民众的财政公共服务支出和税收等，从而让收入均等化，令基尼系数缩小。

基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客

观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现

贫富两极分化。因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。