2020版高考数学复习第八单元第43讲双曲线练习文含解析新人教A

考点测试49 双曲线一、基础小题1．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则双曲线C 的离心率为( )A ．52 B ． 5 C ．62D ． 6 答案 B解析 由题意可得a b ＝12，则离心率e ＝c a＝1＋b a2＝5，故选B ．2．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±54B ．±45C ．±53D ．±35答案 D解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±35，故选D ．3．已知平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1B ．x 216－y 29＝1(x ≥4)C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝16．∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D ．4．双曲线x 2m－y 2＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ． 2B ． 3C ．1D ．12答案 C解析 焦点F (m ＋1，0)到渐近线x ±my ＝0的距离d ＝|m ＋1±0|1＋(m )2＝1，故选C ． 5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C的方程为( )A ．x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1 C ．x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2．①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2，1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b ．②由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1．故选A ．6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 A解析 如图，设MN 的中点为C ，则由对称性知F 1，F 2分别为线段AM ，BM 的中点，所以|CF 1|＝12|AN |，|CF 2|＝12|BN |．由双曲线的定义，知|CF 1|－|CF 2|＝2a ＝12(|AN |－|BN |)＝6，所以a ＝3，故选A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1．8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝8．∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17．又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17．解法二：由题知，若P 在右支上，则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上．∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x 答案 A解析 ∵e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3－1＝2，∴ba＝2．因为该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 由题意分析知，∠FON ＝30°．所以∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是FN ＝OF ＝2，FM ＝12OF ＝1，所以|MN |＝3．故选B ．11．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2 答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a ． 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， ∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝3．故选C ．12．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1答案 C解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a ，3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9．∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C ．13．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． 答案 2解析 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c ，0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2， ∴e ＝c a＝2．14．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析 如图，由题意知点A (a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2． 又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ，∴△MAN 为等边三角形，∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝233． 三、模拟小题15．(2018·河北黄冈质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5 答案 A解析 连接OM ．由题意知OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |，∴|OP |＝|OF |，∴∠OFP ＝45°，∴|OM |＝|OF |·sin45°，即a ＝c ·22，∴e ＝ca＝2．故选A ． 16．(2018·河南洛阳尖子生联考)设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝12|PF 1|－3－12|PF 1|－4＝1，故选D ．17．(2018·哈尔滨调研)已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A ．y 23－x 2＝1 B ．x 23－y 2＝1C ．y 22－x 22＝1D ．x 22－y 22＝1 答案 D解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，即F (2，0)，∴4＝a 2＋b 2．又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2bb 2＋a2＝2，∴a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1．故选D ．18．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24－y 22＝1右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4＋ 2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6)D ．6＋3 2 答案 B解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B ．19．(2018·河南适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x 答案 D解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ．又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6．由余弦定理，可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32，c 2＝3a 2，b 2＝c 2－a2＝2a 2⇒ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D ．20．(2018·山西太原五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1B ．12C ．13D ．23答案 B解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a ．又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2．设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|．又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B ．21．(2018·广东六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1] 答案 D解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ．∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin2β，∴e 2＝11－sin2β，又∵β∈π12，π6，∴sin2β∈12，32，∴e 2＝11－sin2β∈[2，(3＋1)2]．又e >1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D ． 22．(2018·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|．由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形．∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22．∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·河北武邑中学月考)已知∀m ∈R ，直线l ：y ＝x ＋m 与双曲线C ：x 22－y 2b2＝1(b >0)恒有公共点．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P ，Q 两点，并且满足FP →＝15FQ →，求双曲线C 的方程．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22－y2b2＝1，消去y ，整理得(b 2－2)x 2－4mx －2(m 2＋b 2)＝0．当b 2＝2，m ＝0时，易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线，不满足题意，故b 2≠2，易得e ≠2．当b 2≠2时，由题意知Δ＝16m 2＋8(b 2－2)(m 2＋b 2)≥0，即b 2≥2－m 2，故b 2>2，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2＋b 22>2，e >2．综上可知，e 的取值范围为(2，＋∞)．(2)由题意知F (c ，0)，直线l ：y ＝x －c ，与双曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 22－y2b2＝1，消去x ，化简得(b 2－2)y 2＋2cb 2y ＋b 2c 2－2b 2＝0，当b 2＝2时，易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，与双曲线C 只有一个交点，不满足题意，故b 2≠2．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2cb 2b 2－2， ①y 1y 2＝b 2c 2－2b2b 2－2， ②因为FP →＝15FQ →，所以y 1＝15y 2， ③由①③可得y 1＝－cb 23(b 2－2)，y 2＝－5cb 23(b 2－2)，代入②整理得5c 2b 2＝9(b 2－2)(c 2－2)，又c 2＝b 2＋2，所以b 2＝7． 所以双曲线C 的方程为x 22－y 27＝1．2．(2018·惠州月考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32．(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1，0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1．(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴， ∵|MA |＝12|BD |，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．3．(2019·山西太原一中月考)已知直线l ：y ＝x ＋2与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1，3)．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设双曲线C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|BF |·|DF |＝17，试判断△ABD 是否为直角三角形，并说明理由．解 (1)设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．把y ＝x ＋2代入x 2a 2－y 2b2＝1，并整理得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0， 则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2＋a 2b2b 2－a 2． 由M (1，3)为BD 的中点，得x 1＋x 22＝2a2b 2－a2＝1， 即b 2＝3a 2，故c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝c a＝2．(2)由(1)得C 的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，A (a ，0)，F (2a ，0)，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4＋3a22<0，不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ，则|BF |＝(x 1－2a )2＋y 21＝(x 1－2a )2＋3x 21－3a 2 ＝a －2x 1，|DF |＝(x 2－2a )2＋y 22＝(x 2－2a )2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，所以|BF |·|DF |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝2a (x 1＋x 2)－4x 1x 2－a 2＝5a 2＋4a ＋8， 又|BF |·|DF |＝17，所以5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．所以A (1，0)，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72．所以AB →＝(x 1－1，y 1)＝(x 1－1，x 1＋2)， AD →＝(x 2－1，x 2＋2)，AB →·AD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋5＝0，所以AB →⊥AD →，即△ABD 为直角三角形．4．(2018·山东临沂月考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15．(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1．由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2． 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2．②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2．由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4．。

2020年高考数学总复习训练8.6 双曲线（含解析）一、填空题1．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析：可求得a ＝3，c ＝5.焦点的位置在x 轴上，所得的方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝12．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为()13，0，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：∵c ＝13， ∴c 2＝13，∴9＋a ＝13，∴a ＝4.又∵焦点在x 轴上，∴渐近线方程y ＝±23x .答案：y ＝±23x3．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率e 为________．解析：设m >0，n >0，∴n m ＝43，∴n m ＝169. ∴m ＋n m ＝259.∴e ＝53.设m <0，n <0.则y 2－n －x 2－m ＝1，∴ n m ＝43.∴n m ＝169.∴m n ＝916.∴m ＋n n ＝2516.∴e ＝54. ∴双曲线的离心率为53或54.答案：53或544．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是________．解析：由题意得：a ＝1，e ＝c a＝2，所以c ＝2，又由标准方程可得焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±2,0)．答案：(±2,0)5．若方程x 2|k |－2＋y 25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是________．解析：若方程表示双曲线，则有⎩⎨⎧|k |－2>05－k <0或⎩⎨⎧|k |－2<05－k >0，解得－2<k <2或k >5.答案：(－2,2)∪(5，＋∞)6．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．解析：双曲线的右准线为l ：x ＝46.离心率为62，从而|x P －46|＝26×2， ∴x P ＝86＝463(因右焦点为F 2(6，0)．P 点必在右支上，负根舍去)．故点P 到y 轴的距离为463. 答案：4637．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2则曲线C 的离心率为________．解析：设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k (k >0)．若圆锥曲线为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝12.若圆锥曲线为双曲线，则2a ＝4k －2k ＝2k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝32.答案：12或328．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为D ，点P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．解析：如图所示。

双曲线一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A. B. C. D.（正确答案）A解：双曲线两焦点间的距离为4，，当焦点在x轴上时，可得：，解得：，方程表示双曲线，，可得：，解得：，即n的取值范围是：．当焦点在y轴上时，可得：，解得：，无解．故选：A．由已知可得，利用，解得，又，从而可求n的取值范围．本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．2. 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A. 2B.C.D.（正确答案）A解：双曲线C：的一条渐近线不妨设为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得，即．故选：A．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．3. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A. B. C. D.（正确答案）B【分析】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．根据椭圆得，根据渐近线方程为，，结合，求得a，b，即可得到C的方程。

【解答】解：椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标为，可得，双曲线C：的一条渐近线方程为，可得，即，可得，解得，，所求的双曲线方程为：．故选B．4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. 3 C. 5 D.（正确答案）A解：抛物线的焦点坐标为，依题意，，．双曲线的方程为：，其渐近线方程为：，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离等于．故选A．由双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，先求出，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，由此能求出结果．本题考查双曲线的简单性质，求得的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．5. 双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是A. B. C. D.（正确答案）C解：由题意可得，，，，，，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D．由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或舍去．故选：A．由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6. 已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C的方程为A. B. C. D.（正确答案）B解：双曲线C：的渐近线方程为，可得；其右焦点为，可得，又，解得，，则双曲线C的方程为：．故选：B．利用已知条件列出方程，求解即可．本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，是基础题．7. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为A. B. C. D. 2（正确答案）A解：设，则，与x轴垂直，，，，，，，，．故选：A．设，则，利用勾股定理，求出，利用，求得，可得，求出，即可得出结论．本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为A. 2B.C.D.（正确答案）D【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键．【解答】解：与x轴垂直，，设，则，由双曲线的定义得，即，在直角三角形中，，即，即，则，故选D．9. 设双曲线的离心率是3，则其渐近线的方程为A. B. C. D.（正确答案）A解：双曲线的离心率是3，可得，则．双曲线的离心率是3，则其渐近线的方程为：．故选：A．利用双曲线的离心率，这求出a，b的关系式，然后求渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上一点，且若直线与圆相切，则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 3（正确答案）B解：解：设与圆相切于点M，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，所以又，由可得，即为，即，解得．故选：B．先设与圆相切于点M，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．11. 已知抛物线的焦点为双曲线的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.（正确答案）D解：由题意可知：抛物线的焦点，准线，将代入双曲线方程，解得：，则准线被该双曲线截得的弦长为，，，双曲线的离心率，则双曲线的离心率，故选D．由题意可知：抛物线的焦点，准线，将代入双曲线方程，解得：，即可求得，，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率公式，考查计算能力，属于基础题．12. 设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，抛物线的方程为，则其焦点为，又由双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则有而，且；双曲线的离心率为，则有，解可得，又由；则；故双曲线的方程为：；故选：A．根据题意，由抛物线的方程计算可得其焦点坐标，结合题意可得双曲线中有，结合离心率公式可得，解可得n的值，由双曲线的几何性质计算可得m的值，将m、n的值代入双曲线的方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若，则C的离心率为______ ．（正确答案）解：双曲线C：的右顶点为，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若，可得A到渐近线的距离为：，可得：，即，可得离心率为：．故答案为：．利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．14. 双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为______．（正确答案）【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a、b关系，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：，圆的圆心，半径为1，双曲线的渐近线与圆相切，可得：，．故答案为．15. 双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率______．（正确答案）解：双曲线的右焦点为，左顶点为，右焦点到双曲线渐近线的距离为：，右焦点到左顶点为的距离为：，由题意可得，，即有，即，即，由，则有，解得，．故答案为：．求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．16. 已知双曲线的离心率为，则______．（正确答案）2或解：双曲线，当焦点在x轴时，，，可得，双曲线的离心率为，，当焦点在y轴时，，，可得，双曲线的离心率为，，可得，即，可得．故答案为：2或．直接利用双曲线的方程，求出a，b，c利用离心率求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知双曲线C：及直线l：．若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．（正确答案）解：双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，分整理得分，解得且分双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是分设交点，，由得，即，解得：．且分．分联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．设交点，，利用韦达定理以及弦长公式区间即可．本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18. 已知双曲线C以、为焦点，且过点．求双曲线C与其渐近线的方程；若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且为坐标原点求直线l的方程．（正确答案）解：设双曲线C的方程为，半焦距为c，则，，，所以，故双曲线C的方程为双曲线C的渐近线方程为设直线l的方程为，将其代入方程，可得，若设，，则，是方程的两个根，所以，又由，可知，即，可得，故，解得，所以直线l方程为设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；设直线l的方程为，将其代入方程，通过，求出t的范围，设，，利用韦达定理，通过，求解t即可得到直线方程．本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程．（正确答案）解：椭圆的焦点为，，设双曲线方程为，过点，则，得或36，而，，双曲线方程为．根据已知中双曲线与椭圆有相同焦点，我们可以设出双曲线的标准方程含参数，然后根据经过点，得到一个关于a的方程，解方程，即可得到的值，进而得到双曲线的方程．本题考查的知识点是双曲线的标准方程，其中根据已知条件设出双曲线的标准方程含参数，并构造一个关于a 的方程，是解答本题的关键．。

第六节双曲线[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[常用结论]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为2b2 a.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0. ()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．双曲线x23－y22＝1的焦距为()A．5 B.5C．25D．1C[由双曲线x23－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线x23－y22＝1的焦距为2 5.]3．(教材题改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝() A．2 B.62 C.52D．1D[依题意，e＝ca＝a2＋3a＝2，∴a2＋3＝2a，则a2＝1，a＝1.] 4．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.17[由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．x24－y2＝1[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝12，a2＋b2＝5，a＞0，b＞0，解得a＝2，则b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.]双曲线的定义及应用12|PF1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45C [∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.选C.]2．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12B [由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．][规律方法] 双曲线定义的两个应用一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.双曲线的标准方程【例1】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．y 24－x 25＝1 [法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，①又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b 2＝1，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.] [规律方法] 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.与双曲线＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1(2)(2019·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1D.y 224－x 212＝1(1)D (2)B [(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，所以|2b |a 2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F (2,0)可得a 2＋b 2＝4，所以|b |＝3，即b 2＝3，所以a 2＝1，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)∵x 2＝24y ，∴焦点为(0,6)，∴可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵渐近线方程为y ＝±ab x ， 其中一条渐近线的倾斜角为30°， ∴a b ＝33，c ＝6，∴a 2＝9，b 2＝27. 其方程为y 29－x 227＝1.]双曲线的几何性质►【例2】(1)(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)(2)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2 C.3 D. 2(1)C(2)C[(1)由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1 a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.(2)不妨设一条渐近线的方程为y＝ba x，则F2到y＝ba x的距离d＝|bc|a2＋b2＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a.又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝a2＋c2－(6a)22ac＝－cos∠POF2＝－ac，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝ca＝ 3.]►考法2双曲线的渐近线问题【例3】(1)(2019·合肥质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．(2)已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是________．(1)y＝±2x(2)2x±y＝0[(1)因为e＝ca＝3，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝2a，则此双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±2x.(2)由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4a cos 30°，得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±2x，即2x±y＝0.]►考法3求双曲线的方程【例4】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1 B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1 D.x28－y24＝1B[由离心率为2，可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a,0)，由题意知k PF＝4－00－(－2a)＝42a＝1，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.]比值，进而得出双曲线的渐近线方程.(1)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(1)A (2)2 [(1)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.(2)由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2.]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32xA [因为双曲线的离心率为3，所以ca ＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以y ＝±2x .故选A]2．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A.2 B ．2 C.322 D ．2 2D [法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]。

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1 D ．x 26－y 210＝1解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线方程为x 24－y212＝1，故选A.2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m ＜0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B ．12C.23 D ．32解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＞|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3 C. 6D ． 3解析：选A.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a |PF 1|－|PF 2|＝2a ′，2a ＝2a ′＋4c ，所以2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A.5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B ．x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D ．x 24－y 26＝1解析：选D.不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝32，①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， 所以a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.6．已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233B ．153C ．2D ．102解析：选A.根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x ，y )，所以x 21a 2－y 21b 2＝1，x 2a 2－y 2b2＝1，两式相减得x 21－x2a 2＝y 21－y 2b 2，即y 21－y 2x 21－x 2＝b 2a 2，因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB ＝y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x ＝y 21－y2x 21－x 2＝b 2a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a2＝1＋13＝233.故选A.7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n ＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：58．(2018·四川绵阳模拟)设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为12c 2，则该双曲线的离心率为________． 解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，根据矩形的性质， 得|MO |＝|OF 1|＝|OF 2|＝c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＝c 2，则x ＝a ，所以M (a ，b )．因为△AMN 的面积为12c 2，所以2×12×a ×b ＝12c 2，所以4a 2(c 2－a 2)＝c 4，所以e 4－4e 2＋4＝0，所以e ＝ 2. 答案： 29．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213.设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为12×213|y 0|＝12.故y 20＝12213，将P 点坐标代入双曲线方程得x 20＝2513，不妨设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫51313，121313，则PF 1→＝(－181313，－121313)，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫81313，－121313，可得PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝π2.答案：π210．(2018·河北石家庄质检)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF →·NF →＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF →·NF →＝0，所以MF →⊥NF →.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF |·|NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a ＝1，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.答案： 2B 级 能力提升练11．(2018·江西宜春调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2xD ．y ＝±4x解析：选B.由题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，设垂直于直线l 的渐近线方程为y ＝b a x ，则直线l 的斜率k 1＝－ab ，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得，ax ＋by －23a 2＝0，焦点(c ，0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则|MN |＝2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c2＝432c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－9e 2＋12e －4＝0，即(e －1)(e －2)(e 2＋3e －2)＝0，又双曲线的离心率e ＞1，所以e ＝ca ＝2，所以b ＝3a ，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，故选B.12．(2018·甘肃兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D ．52解析：选A.如图，连接PF2，QF 2.由|PQ |＝2|QF 1|，可设|QF 1|＝m ，则|PQ |＝2m ，|PF 1|＝3m ；由|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝3m －2a ；由|QF 2|－|QF 1|＝2a ，得|QF 2|＝|QF 1|＋2a ＝m ＋2a .∵点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2.由|PQ |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2，得(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝43a ，∴|PF 1|＝3m ＝4a ，|PF 2|＝3m －2a ＝2a .∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|F 1F 2|＝2c ，∴(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，化简得c 2＝5a 2，∴双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝5，故选A. 13．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是双曲线E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与AF 2相切于点Q .若|AQ |＝3，则双曲线E 的离心率是()A．2 3 B． 5C. 3 D． 2解析：选C.如图，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AO|＝23，即a＝ 3.因为|F1F2|＝6，所以c＝3，所以双曲线E的离心率是e＝ca＝33＝3，故选C.14．(2018·江西吉安一模)已知抛物线C1：y2＝8ax(a＞0)，直线l 的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是()A．2 B． 3C. 2 D．1解析：选 D.抛物线C1的焦点为(2a，0)，由弦长计算公式有8asin2 45°＝16a＝16，a＝1，所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x，准线方程为x＝－2，故双曲线C2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c＝2，所以b＝c2－a2＝22－12＝3，渐近线方程为y＝±3x，直线l的方程为y＝x－2，所以点P(0，－2)，点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为|－2|3＋1＝1，选D.15．已知双曲线y 225－x 2144＝1，过双曲线的上焦点F 1作圆O ：x 2＋y 2＝25的一条切线，切点为M ，交双曲线的下支于点N ，T 为NF 1的中点，则△MOT 的外接圆的周长为________．解析：如图，∵F1M 为圆的切线，∴OM ⊥F 1M ，在直角三角形OMF 1中，|OM |＝5.设双曲线的下焦点为F 2，连接NF 2，∴OT 为△F 1F 2N 的中位线，∴2|OT |＝|NF 2|.设|OT |＝x ，则|NF 2|＝2x ，又|NF 1|－|NF 2|＝10，∴|NF 1|＝|NF 2|＋10＝2x ＋10，∴|TF 1|＝x ＋5.由勾股定理得|F 1M |2＝|OF 1|2－|OM |2＝132－52＝144，|F 1M |＝12，∴|MT |＝|x －7|，在直角三角形OMT 中，|OT |2－|MT |2＝|OM |2，即x 2－(x －7)2＝52，∴x ＝377.又△OMT 是直角三角形，故其外接圆的直径为|OT |＝377，∴△MOT 的外接圆的周长为377π.答案：377π 16．(2018·江西上饶质检)如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由e ＝ca ＝2知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，故b ＝3a ，所以A (0，3a )，C (0，－3a )，B (－a ，0)，F (－2a ，0)，则BA →＝(a ，3a )，CF →＝(－2a ，3a )，结合题图可知，cos ∠BDF ＝cos 〈BA →，CF →〉＝BA →·CF →|BA →|·|CF →|＝－2a 2＋3a 22a ·7a＝714.答案：714。

课下层级训练(四十七) 双曲线[A 级 基础强化训练]1．(2019·江西新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2xA [根据双曲线的渐近线方程知，y ＝±2aax ＝±2x .]2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 210－y 26＝1 D ．x 26－y 210＝1A [已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1 .]3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A ． 2B ．2C ．322D ．2 2D [由题意，得e ＝c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝2 2.]4．(2019·河南开封月考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( )A ．233B ． 2C ． 2D ．263C [由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2 .]5．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1C [如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b2＝2bcc ＝2b ＝6，∴b ＝3．又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝3． ∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.]6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝__________；b ＝__________．1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2． 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]7．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为__________． 2 [双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a 2＝b .∴b ＝32c ，∴a ＝c 2－b 2＝12c ，∴e ＝ca＝2.] 8．设双曲线x 24－y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为__________．10 [由双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1，得a ＝2，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝4，|BF 2|－|BF 1|＝4，所以|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝8.因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，当|AB |是双曲线的通径时，|AB |最小，所以(|AF 2|＋|BF 2|)min ＝|AB |min ＋8＝2b2a＋8＝10.]9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3． ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1．10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF →1·MF →2＝0．(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明 证法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23．∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，即MF →1·MF →2＝0． 证法二：由证法一知MF →1＝(－3－23，－m )，MF →2＝(23－3，－m )，∴MF →1·MF →2＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF →1·MF →2＝0．[B 级 能力提升训练]11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x ．设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°． 所以∠MON ＝2α＝60°．又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3．则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.]12．(2019·湖北武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)A [∵直线y ＝3x 与y ＝－3x 的夹角为60°，且3x 2－y 2>0，∴PA 与PB 的夹角为120°，|PA ||PB |＝|3x －y |2·|3x ＋y |2＝3x 2－y 24，S △PAB ＝12|PA ||PB |·sin 120°＝316(3x 2－y 2)＝3316，即P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1，半焦距为c ＝2，∴焦点坐标可以为(2,0)．]13．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为__________．233 [如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2． 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233.] 14．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→＝__________．2 [由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝4， 由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.]15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |．解 (1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1．(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275．所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635． 16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为23． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1．(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1． 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1． (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2．所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2．设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2．因为33<k <1，所以－2<1－3k 2<0，所以m <－22． 所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。

第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。

课下层级训练(四十七) 双曲线[级基础强化训练]．(·江西新余摸底)双曲线－＝(≠)的渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±[根据双曲线的渐近线方程知，＝±＝± .]．已知双曲线的离心率为，焦点是(－)，()，则双曲线的方程为( )．－＝．－＝．－＝．－＝[已知双曲线的离心率为，焦点是(－)，()，则＝，＝，＝，双曲线方程为－＝ .] ．(·全国卷Ⅲ)已知双曲线：－＝(>，>)的离心率为，则点()到的渐近线的距离为( ) ．．．．[由题意，得＝＝，＝＋，得＝.又因为>，>，所以＝，渐近线方程为±＝，点()到渐近线的距离为＝.]．(·河南开封月考)已知是双曲线：－＝的一条渐近线，是上的一点，，是的两个焦点，若·＝，则到轴的距离为( )．．．．[由题意知(－，)，(，)，不妨设的方程为＝，则可设(，)．由·＝(－－，－)·(－，－)＝－＝，得＝±，故到轴的距离为＝ .]．(·天津卷)已知双曲线－＝(>，>)的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且＋＝，则双曲线的方程为( ) ．－＝．－＝．－＝．－＝[如图，不妨设在的上方，则，.其中的一条渐近线为－＝，则＋＝＝＝＝，∴＝．又由＝＝，知＋＝，∴＝．∴双曲线的方程为－＝.]．已知双曲线－＝(＞，＞)的一条渐近线为＋＝，一个焦点为(，)，则＝；＝．[由＋＝，得＝－，所以＝．又＝，＋＝，解得＝，＝.]．(·江苏卷)在平面直角坐标系中，若双曲线－＝(＞，＞)的右焦点()到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为．[双曲线的渐近线方程为±＝，焦点()到渐近线的距离＝＝.∴＝，∴＝＝，∴＝＝.]．设双曲线－＝的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则＋的最小值为．[由双曲线的标准方程为－＝，得＝，由双曲线的定义可得－＝，－＝，所以－＋－＝.因为＋＝，当是双曲线的通径时，最小，所以(＋)＝＋＝＋＝.]．已知椭圆：＋＝与圆：＋(－)＝，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程．解椭圆的两个焦点为(－)，()，因而双曲线中心在原点，焦点在轴上，且＝．设双曲线的方程为－＝(>，>)，∴渐近线方程为±＝且＋＝，又圆心()到两条渐近线的距离为＝．∴＝，得＝，＝，∴双曲线的方程为－＝．．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点(，－)．()求双曲线的方程；()若点(，)在双曲线上，求证：·＝．()解∵＝，∴可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠)．∵双曲线过点(，－)，∴－＝λ，即λ＝，∴双曲线的方程为－＝．()证明证法一：由()可知，双曲线中＝＝，∴＝，∴(－，)，(，)，∴＝，＝，∴·＝＝－．∵点(，)在双曲线上，∴－＝，＝，故·＝－，∴⊥，即·＝．证法二：由证法一知＝(－－，－)，＝(－，－)，∴·＝(＋)×(－)＋＝－＋，∵点在双曲线上，∴－＝，即－＝，∴·＝．[级能力提升训练]．(·全国卷Ⅰ)已知双曲线：－＝，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若△为直角三角形，则＝( )．．．．[由已知得双曲线的两条渐近线方程为＝±．设两渐近线夹角为α，则有α＝＝，所以α＝°．所以∠＝α＝°．又△为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设⊥，如图所示．在△中，＝，则＝．则在△中，＝· α＝· °＝.]．(·湖北武汉调研)已知不等式－>所表示的平面区域内一点(，)到直线＝和直线＝－的垂线段分别为，，若△的面积为，则点轨迹的一个焦点坐标可以是( )．()．()．()．()[∵直线＝与＝－的夹角为°，且－>，∴与的夹角为°，＝·＝，△＝· °＝(－)＝，即点的轨迹方程为－＝，半焦距为＝，∴焦点坐标可以为()．]．(·全国卷Ⅰ)已知双曲线：－＝(>，>)的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若∠＝°，则的离心率为．[如图，由题意知点()，双曲线的一条渐近线的方程为＝，即－＝，∴点到的距离＝．又∠＝°，＝＝，∴△为等边三角形，∴＝＝，即＝，∴＝，∴＝＝＝.]．已知双曲线－＝的左、右焦点分别为，，双曲线的离心率为，若双曲线上存在一点使＝，则·＝．[由题意及正弦定理得＝＝＝，∴＝，由双曲线的定义知－＝，∴＝，＝.又＝，由余弦定理可知∠＝＝＝，∴·＝·∠＝××＝.]．已知双曲线：－＝(>，>)的离心率为，点(，)是双曲线的一个顶点．()求双曲线的方程；()经过双曲线右焦点作倾斜角为°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．解()∵双曲线：－＝(>，>)的离心率为，点(，)是双曲线的一个顶点，∴(\\(()＝()，＝()，))解得＝，＝，∴双曲线的方程为－＝．()双曲线－＝的右焦点为()，∴经过双曲线右焦点且倾斜角为°的直线的方程为＝(－)．联立(\\(()－()＝，＝(())－，))得＋－＝．设(，)，(，)，则＋＝－，＝－．所以＝×＝．．已知中心在原点的双曲线的右焦点为()，实轴长为．()求双曲线的方程；()若直线：＝＋与双曲线的左支交于，两点，求的取值范围；()在()的条件下，线段的垂直平分线与轴交于(，)，求的取值范围．解()设双曲线的方程为－＝(>，>)．由已知得＝，＝，再由＋＝，得＝，所以双曲线的方程为－＝．()设(，)，(，)，将＝＋代入－＝，得(－)－－＝．由题意知解得<<．所以当与双曲线左支有两个交点时，的取值范围为．()由()得＋＝，所以＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋＝．所以的中点的坐标为．设直线的方程为＝－＋，将点坐标代入直线的方程，得＝．因为<<，所以－<－<，所以<－．所以的取值范围为(－∞，－)．。

"【走向高考】2020年高考数学总复习 8-5 双曲线课后作业 新人教A 版 "1.(2020·巢湖质检)设双曲线y 2m －x 22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 2[答案] A[解析] 由条件知m ＋2＝4，∴m ＝2， ∴离心率e ＝22＝ 2.2．(2020·烟台调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D.x 2－y 22＝1[答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝2＋32＋1－2－32＋1＝8＋43－8－43＝22， ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．(文)(2020·青岛一检)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] ∵F 1、F 2为双曲线的左右焦点，∴F 1(－10，0)，F 2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝210，故选B.(理)(2020·湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16. 据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.4．(文)(2020·新课标全国文)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52[答案] D[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2可得，c 2－a 2a 2＝14，化为e 2＝54，故e ＝52，故选D. (理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c .由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1.5．(2020·广东揭阳市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±32x C ．y ＝±33x D ．y ＝±3x[答案] D[解析] 依题意得双曲线的半焦距c ＝4，由e ＝c a＝2⇒a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝23， ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选D.6．如图，F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 1、A 2是双曲线的两个顶点，P 是双曲线上不同于A 1、A 2的点，则分别以A 1A 2、F 1P 为直径的两个圆( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能[答案] B[解析] 取PF 1的中点M ，连接OM ，PF 2， ∴|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，12|PF 1|－12|PF 2|＝±a ，即12|PF 1|－|OM |＝±a ， ∴|OM |＝12|PF 1|±a ＝R ±a ，∴两圆相切．7．(文)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[答案]3215[解析] 如图，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，F (5,0)，∴直线BF ：y ＝43(x －5)，解⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1y ＝43x －5得y ＝－3215，又|AF |＝5－3＝2，∴S △AFB ＝12×2×3215＝3215.(理)(2020·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e ≤2[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a|PF 2|＝a ，∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝c a≤2，∴1<e ≤2. 线x 2－y 2b2＝1的右焦8．(2020·浙江杭州月考)双曲点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．[答案]5[解析] 双曲线x 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)到渐近线bx ＋y ＝0的距离：|bc |b 2＋1＝b ＝2，又a ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，c ＝ 5. ∴双曲线的离心率e ＝c a＝ 5.1.(文)(2020·天津理)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上．则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [答案] B[解析] 由题易知b a＝ 3 ① 且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，则有a 2＋b 2＝36 ② 由①②知：a ＝3，b ＝33， ∴双曲线方程为x 29－y 227＝1，故选B.(理)(2020·天津文，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5[答案] B[解析] 由交点(－2，－1)得－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴F (2,0)， 又a ＋p2＝a ＋2＝4，∴a ＝2，双曲线的一条渐近线为y ＝b ax ，且过点(－2，－1)， ∴a －2b ＝0，∴b ＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，2c ＝2 5.故选B.2．(2020·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2 B.2或 3 C.3或 D.233或62[答案] A[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e ＝c a ＝233，同理，焦点在y 轴上时，ba＝3，此时e ＝2.3．(文)(2020·山东临沂一模)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C[解析] 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c . 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，所以a ＝35c .代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±43.因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0.(理)(2020·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y2m 2－16x23m 2＝1 B.x 216－y 2163＝1C.16x2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4) D.16x2m 2－16y23m2＝1[答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m2<|BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m 4，c ＝m2，∴b 2＝c 2－a 2＝3m216∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)4．(2020·福建理)若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] ∵a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74.又∵x ≥3(右支上任意一点) ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.5．(2020·江西文)点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝__________.[答案] 2[解析] 右焦点F (6,0)，A 点在双曲线上，有x 204－y2032＝1⇒y 20＝8x 20－32，|AF |＝x 0－62＋y 20＝x 0－62＋8x 20－32＝9x 20－12x 0＋4＝2x 0⇒5x 20－12x 0＋4＝0⇒x 0＝2或x 0＝25，又由双曲线的几何性质，x 0≥2，∴x 0＝2为所求．6．(文)设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2，∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960，∵a >0，∴a ＝1713. (理)(2020·江西理，20)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．[解析] (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y20b2＝1由题意又有y 0x 0－a·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24，设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2y 3＝λy 1＋y 2 ①又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， ② 又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c)(x 2－c)＝－4x 1x 2＋5c(x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.7．(文)(2020·江苏苏州)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m<n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9－k>04－k>0，即k<4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线． (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 29－k ＋y24－k＝1化简得，(13－2k)x 2＋2(9－k)x ＋(9－k)(k －3)＝0 ∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长， 此时双曲线方程为x 23－y22＝1.解法二：若C k 表示双曲线，则k∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y25－a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2a 2－y25－a2＝1消去y 得，(5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4－4(5－2a 2)(a 4－6a 2)≥0，即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y22＝1.解法三：双曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1中c 2＝(9－k)＋(k －4)＝5，∴c＝5，∴F 1(－5，0)，不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F(－1,1－5)，设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF|≤|FF 2| ＝－1－52＋1－52＝2 3∴a≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y22＝1.(3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有⎩⎨⎧d 1＋d 2＝29－m |d 1－d 2|＝29－nd 21＋d 22＝20，所以m ＋n ＝8.所以这样的C m 、C n 存在，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.(理)(2020·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M(1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．[解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b2b 2－a 2 ①由M(1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a2b 2－a 2＝1即b 2＝3a2②故c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a ＝2.(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A(a,0)，F(2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a， |BF|＝x 1－2a 2＋y 21＝x 1－2a 2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1， |FD|＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF|·|FD|＝(a －2x 1)(2x 2－a)＝－4x 1x 2＋2a(x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF|·|FD|＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1，或a ＝－95.故|BD|＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1·x 2＝6连结MA ，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．1．(2020·深圳市调研)若双曲线过点(m ，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y ＝±x，则双曲线的焦点( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上 [答案] A[解析] 由双曲线的渐近线方程为y ＝±x，可设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ，将(m ，n)代入x 2－y 2＝λ得：m 2－n 2＝λ>0，从而该双曲线的焦点在x 轴上．2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54B.52C.32D.54[答案] B[解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y＝±b2a.∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a 2＋14a 2a 2＝54， ∴e＝52，故选B. 3．(2020·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y26＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 26－y23＝1 D.x 25－y24＝1[答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b2x 1＋x 2a2y 1＋y 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y25＝1，故选B. 4.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有：D 1A ＝D 1M ，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是( )上的一段弧．( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以D 1D 为轴线，以D 1A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．故选A.5．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分[答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR|. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR|＝2a ＝|RF 2|， 又|OP|＝12|RF 2|，∴|OP|＝a.6．(2020·广东四校)设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为( )A.14 B ．1 C. 2 D ．2 2[答案] C[解析] ∵P 是曲线C 1与C 2的交点，∴联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1x23－y 2＝1解之得，|y|＝22，∴S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|y|＝12×4×22＝ 2.故选C.7．已知P 是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右支上的一点，F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是其左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为________．[答案] a[解析] 令内切圆与F 1F 2的切点为G ，与PF 1的切点为H ，与PF 2的切点为K ，则(|PH|＋|HF 1|)－(|PK|＋|KF 2|)＝|F 1G|－|GF 2|＝2a ，又|F 1G|＋|GF 2|＝2c ，则|F 1G|＝a ＋c ，∴切点为右顶点，易知圆心的横坐标为a.。

课时规范练 A 组基础对点练C : x 2— my 2= 3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为2 23m -3=1，焦点F 到一条渐近线的距离为.3.选A.( ) A. 3 C. 3mD . 3m答案：A22.已知双曲线汁y =1(a >0)的离心率为2，则a =()2 2解析：因为双曲线的方程为务花=1，所以e2="?=4, 因此 a 2 = 1, a = 1.选 D.答案：D 3. (2018邢台摸底)双曲线x 2— 4y 2=- 1的渐近线方程为( x ±y = 0 B . yi2x = 0 xd4y = 0 D . y ±4x = 0 解析: 2 依题意，题中的双曲线即 y — x 2= 1，因此其渐近线方程是1 42 片—x 2 = 0，即 x ±y = 0,选 4A. 答案：A 、2 y 2 、 、 4 4.设F 1, F 2是双曲线x — 24= 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|= 4IPF 2I ,则厶 PF 1F 2的面积等于( ) A . 4 2 C . 24 D . 48 解析：由双曲线定义|PF 1|— |PF 2||= 2, 4 又 |PF1| = ?|PF 2|,-|PF 1|= 8, |PF 2|= 6, 又 |F 1F 2|= 2c = 10, •••|PF 1|2+ |PF 2|2 = |F 1F 2|2, △ PF 1F 2为直角三角形.1已知F 为双曲线解析：双曲线方程为1△卄2 的面积 S = =2 X 6X8= 24. 答案：C2 2拿一y 2= 1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为 （ ）B. 3D.|即 a 2= b 2,即卩 c 2= 2a 2,即卩 c = 2a , 所以e = 2. 答案：C6.下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y = i2x 的是（）22A . x 2— 4 = 1B.^ — y 2=1 442C L — x 2= 1 4解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在2戈x ,令 y 2— X = 0,得 y = gx ,故选 C. 答案：C2 2 A< — = 1 A. 4 3答案:2 2&已知双曲线 * —器=1（a>0, b>0）的焦距为2 .5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x + y = 0垂直，则双曲线的方程为（ ）2 丄 2“A. 4 - y =13x 2疋C — — = 1 20 52 2x yC — — = 1 16 97.已知双曲线 2XC: v —a y 25 、 話=1的离心率e = 4，且其右焦点为F 2（5,0），则双曲线 C 的方程为（）解析: 双曲线 1+ b = * 又右焦点为 F 2(5,0), a 2 + b 2 = c 2，所以 a 2 2 C 的方程为16—t = 1. 由题意得2= 16, b 2 = 9,故5•双曲线C. ,2解析：由渐近线互相垂直可知-a •=-1,2y 轴上，又令^4x 2= 0，得 y = 2 2 B.x— L = 1 9 162 2x y 丿 D. _ — = 13 42B . x 2—y =14 2 23x 3y_ d D. — = 1解析：由题意得C=. 5, b = 1贝y a = 2, b = 1,所以双曲线的方程为 X — y 2= 1.v a 2 4 答案： A2 2 9.双曲线C: a — y 2= 1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为 y = 2x,则双曲线C 的离心率是( )A. ,5 C. 22 2X y解析：由双曲线C :孑—話=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为 ',1+ b 2= , 5•故选 A. 答案：A2 2 2 210. (2017合肥质检)若双曲线C i :专—y = 1与C 2：予—b^= 1(a>0, b>0)的渐近线相同，且 双曲线C 2的焦距为4,5,则b =( )A . 2B . 4C . 6D . 8解析：G 的渐近线为y = ^x ,即b =2.a又• • • 2c = 4--J 5, c = 2\；5. 由 c 2 = a 2 + b 2 得，答案：B答案：AB. 2 D.y = 2x ,可得 b = 2 ,二 e =-=a a•••20=4『+『b = 4.11.已知双曲线 C ： 2X- a 2jb^= 1(a>0, b>0)的焦距为 10，点P(2,1)在C 的一条渐近线上，则 C的方程为()2 2 A£20 2 XC.80 = 1B.X— y= 155 20222= 1 X D.—- -y = 1 202080 解析：依题意$C 2a = 20，解得’ 2b = 52•••双曲线C 的方程为202y-= 1.512.已知双曲线过点(4, .3)，且渐近线方程为1 一y = ±^x ,则该双曲线的标准方程为2 2a 2 +b 2= 252答案：x -y 2=1离为3,则r 的实轴长等于a = 4,2a = 8. 答案：8近线方程为y=i2x ,则双曲线C 的方程为 解析：易得椭圆的焦点为(一.5, 0), (.5, 0),2 x 2— y -= 1.4答案：x 22 15. (2018西安质检)已知抛物线y 2= 8x 与双曲线 弓—y 2= 1(a>0)的一个交点为 M , F 为抛物a 线的焦点，若|MF|= 5,则该双曲线的渐近线方程为 _____________ .解析：抛物线y 2= 8x 的焦点F(2,0)，准线方程为x =— 2,设M(m , n),则由抛物线的定义2 可得|MF|= m + 2= 5,解得m = 3,故n 2= 24,可得n = ±2 6•将M(3, ±2.6)代入双曲线 弓— a y 2= 1，可得事—24= 1,解得a =所以双曲线的渐近线方程为y=gx.解析：法一：因为双曲线过点 (4, 3)且渐近线方程为y = ±x ，故点(4,3)在直线y = *的F 方•设该双曲线的标准方程为2 2 I 2— b 2 = 1(a>0 , b>0)，所以1 2,=1,，解得a = —2b = 1,故双曲线方程为「y2= 1.法二：因为双曲线的渐近线方程为42(4, , 3)，所以玄—(.3)2=人所以y = ±2x ,故可设双曲线为* — y~= 2X= 1,故双曲线方程为 x — y 2= 1.4X 入工0)，又双曲线过点13. (2017武汉武昌区调研)双曲线卞=1(a>0, b>0)的焦距为 10,焦点到渐近线的距解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y = bx , 即ax — by = 0的距离为寸"2 J 匕2 = ； = b = 3,所以 14.已知双曲线C ；2 2 x 2 a 2 2b 亠1(a>0 , b>0)与椭圆9 +冷=1有相同的焦点，且双曲线 C 的渐a 2+b 2= 5, • b= 2,2 2 • a 2= 1, b 2= 4,•••双曲线 C 的方程为 42 2 a答案：y =B 组能力提升练1.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2= 16x 的准线交于A , B 两点, AB|= 4 3，则C 的实轴长为（ ）A 「2 C . 4解析：抛物线y 2=16x 的准线方程是x =-4,所以点A （-4,23）在等轴双曲线 C : x 2— y 2 =a 2（a>0）上，将点A 的坐标代入得a = 2,所以C 的实轴长为4. 答案：C2 22•已知双曲线^ —詁=1与直线y = 2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）A . (1 , 5) C . ( .5,+^ )则由题意得b >2,a ‘答案：C2 X3 •若实数k 满足0<k<9，则曲线— A •离心率相等 B •虚半轴长相等 C .实半轴长相等D .焦距相等解析：由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上，由.25 + 9— k = 25— k + 9,得两双曲线的焦距相等. 答案：D2 24•设F 1, F 2分别是双曲线* —器=1的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使/ F 1AF 2= 90°且|AF 1|= 3|AF 2|,则双曲线的离心率为( .5A .~2" .15 C. 2 )B 伍B.2 D. . 5解析：因为/ F J AF 2= 90° 故 AF 『+ |AF 2|2= |F 1F 2|2= 4c 2，又 |AF 1|= 3AF 2I ，且 |AF 1|— |AF 2| =2a ，所以 AF 1|= 3a , AF 2|= a ，则 10a 2 = 4c 2，即 C 2= 5，故 e = C =p°(负值舍去).B . (1 , 5] D . [ . 5,+^)解析：：•双曲线的一条渐近线方程为+ 4=』5.225 9—k = 1 与曲线 25 —ka 2 a 2F2分别是C的左、右焦点，若P F i P F2= 0,则点P到x轴的距离为()B. .2C. 2解析：由题意知F i( —6, 0),F2( 6,0)，不妨设I的方程为y= px,点P(x o, 2x o),由PF i PF2 =(—看6 —X0,—2x0) ( 6 —X0,—2x0) = 3x0 —6= 0,得x°= ±. 2,故点P 到x 轴的距离为.2|X0|= 2，故选C.答案：Cx,圆的方程为x2+ y2= 4,不妨设交点A在第一象限，由y = ^x, x2y A= r2^^,故四边形ABCD的面积为4x A y A= _32吗=2b,解得b2= 12,故所求的双曲线方乂4 + b24+ b2 2程为x- A1，选D.答案：D2 27. (2018甘肃两市六校联考)已知双曲线拿一j^= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为以IF1F2I为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(2 2 2 2x y x y_ *A—— = 1 B._ —= 116 9 3 42 2 2 2x v x y_ *C_—= 1 D~— = 19 16 4 3解析：b 4 2因为以F1F2I为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c= 5,=-,又ca 35. (2018 •南十校联考)已知I是双曲线C:2 2x2—y4 = i的一条渐近线, P是I上的一点，F"A.D.2 2x y6.已知双曲线4 —b^ = 1(b>0)，以原点为圆心, 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A, B, C, D四点，四边形x23yf 1A.?— 4 =12 2C x-—y-= 14 4 ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为2 . 2 业=1B.4 — 3 = 12 2x y 丿D. ——= 14 12解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形•双曲线的渐近线方程为±b+ y2= 4得X A=-4：b2,F1、F2,=a2+ b2,所以a = 3, b= 4，所以此双曲线的方程为£ —毛=1.2 2&过双曲线 合一b 2= 1(a>0, b>0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A ，与另条渐近线交于点 B ,若FB = 2FA ，则此双曲线的离心率为 ( )「 ah h he _ o k\BF 的中点，所以 A(—, 2)，又点A 在直线y = ax 上，则a =2，c= 2a ,e = 2.答案：C解之得A. 2 C . 2解析：不妨设B(x ,B. .3 D. 5ax), OB| = 、J x 2 3+( — ^x 2 = c ,可取 B(-a , b)，由题意可知点2 29. 设双曲线 拿一汁=1(b>a>0)的半焦距为c , 且直线I 过(a,0)和(0, b)两点.已知原点到直线l 的距离为子,则双曲线的离心率为(B. 2C. ,3解析: 由题意得i 22/ 2 J 、 3c ，…a (c — a)= 16整理得 3e 4— 16e 2 +16= 0.••• M 为线段F i P 的中点，0为F 1F 2的中点,答案：A2 211. 过双曲线x 2-y 2= l(a>0, b>0)的左焦点F i 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条a b 渐近线的交点分别为 A , B ,若F ^A = AB ,则双曲线的渐近线方程为 y = x + c ,i b |y 一 a x y =x + c , 由］by =a x ,u a解得乂=严，不妨设X A = —%, x B =-a ^，由Fk = AB 可得—一^+。