普通高中课程标准实验教科书《数学1》(鄂教版)解读----函数及其基本性质(殷希群)

高中一年级数学教案学习函数的基本概念与性质高中一年级数学教案学习函数的基本概念与性质引言：函数是数学中非常重要的一个概念，也是高中数学的基础知识之一。

通过学习函数，可以帮助学生培养良好的数学思维能力和解决实际问题的能力。

本教案旨在引导高中一年级学生深入了解函数的基本概念与性质，建立起对函数的初步认识和应用。

一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个或多个自变量与一个或多个因变量之间的对应关系。

数学上用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

1.2 函数的图像与定义域函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，通常以坐标点的连接形式呈现。

函数的定义域是自变量的取值范围，用数学形式表示。

二、函数的性质2.1 奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性。

若对于任意x的取值，函数满足f(-x) = f(x)则为偶函数；若对于任意x的取值，函数满足f(-x) = -f(x)则为奇函数。

2.2 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

若对于任意x₁，x₂的取值，当x₁ < x₂时，有f(x₁) ≤ f(x₂)则函数为单调增函数；若对于任意x₁，x₂的取值，当x₁ < x₂时，有f(x₁) ≥ f(x₂)则函数为单调减函数。

2.3 周期性函数的周期性是指函数在指定区间内的重复性。

若存在正数T，使得对于任意x的取值，有f(x + T) = f(x)则函数为周期函数。

三、教学活动设计3.1 活动一：观察和推测通过观察给定函数的图像，学生能够初步了解函数的性质。

教师给出一些函数的图像，要求学生观察并推测其奇偶性、单调性和周期性。

3.2 活动二：函数图像的绘制学生根据给定的函数表达式，利用平面直角坐标系绘制函数的图像。

通过绘制函数图像，学生可以更深入地理解函数的性质。

3.3 活动三：函数性质的分析根据已绘制的函数图像，学生分析函数的奇偶性、单调性和周期性，并用数学语言描述。

教师引导学生讨论不同类型的函数在不同区间内的变化规律。

数学必修1函数概念及性质（知识点陈述总结）（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注重：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注重：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注重：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y= f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

高一数学必修一中的函数图像与性质总结在高一数学必修一中，函数是一个非常重要的概念，而函数的图像与性质则是理解和掌握函数的关键。

通过对函数图像的观察和分析，我们能够更直观地了解函数的特点和变化规律，从而更好地解决与函数相关的问题。

接下来，让我们一起对高一数学必修一中常见的函数图像与性质进行总结。

一、一次函数一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。

其图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，函数图像从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，函数图像从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。

b 的值决定了直线与 y 轴的交点坐标。

当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。

例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，图像从左到右上升，b ＝ 1 ＞ 0，与 y 轴交于点（0，1）。

二、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。

其图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。

抛物线的对称轴为 x ＝ b ／（2a）。

顶点坐标为（b ／（2a），（4ac b²）／（4a））。

例如，函数 y ＝ x² 2x 3，其中 a ＝ 1 ＞ 0，抛物线开口向上。

对称轴为 x ＝（－2) ／（2×1）＝ 1，顶点坐标为（1，－4）。

三、幂函数幂函数的一般形式为 y ＝x^α（α 为常数）。

常见的幂函数有 y ＝ x，y ＝ x²，y ＝ x³，y ＝ x^（1/2) 等等。

当α ＞ 0 时，函数在第一象限内单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限内单调递减。

例如，y ＝ x²在（0，＋∞）上单调递增，y ＝ x^（－1) 在（0，＋∞）上单调递减。

鄂教版高一数学知识点鄂教版高一数学教材中包含了丰富多样的数学知识点，涵盖了数学的各个领域。

在本文中，将对鄂教版高一数学教材中的重要知识点进行介绍和阐述。

一、函数与方程1.函数的概念函数是一种特殊的关系，每一个自变量都对应唯一的一个因变量。

函数可以用各种不同的方式表示，比如通过图像、表格、公式等。

2.函数的性质函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、极值等。

通过对函数性质的研究，可以更好地理解函数的行为规律。

3.方程与不等式方程和不等式是数学中常见的问题求解形式。

通过建立方程或不等式来描述问题，然后找到解的方法，可以解决各种实际问题。

二、数列与数学归纳法1.数列的概念数列是按照规律排列的一组数，数列中的每一个数称为项。

数列可以是等差数列、等比数列、等差数列等不同类型。

2.数列的性质数列的性质包括通项公式、前n项和、前n项积等。

通过研究数列的性质，可以找到数列的规律并求解相关问题。

3.数学归纳法数学归纳法是证明命题关于正整数全体成立的一种方法。

通过证明当n=k时命题成立，并且当n=k+1时也成立，可以推断命题对于所有正整数都成立。

三、几何与向量1.平面几何平面几何研究平面上的点、线、面及其关系。

包括点、直线、平行线、垂直线、角度等概念，并探索平面几何中的一些基本性质和定理。

2.解析几何解析几何研究几何图形与坐标系之间的关系。

通过坐标表示点、线、面等几何图形，并利用解析几何的方法解决几何问题。

3.向量与坐标向量是具有大小和方向的量，可以用来表示几何图形和物理量。

向量的加法、减法、数量积和向量积等运算可以用于解决各种几何问题。

四、概率与数理统计1.概率的概念概率是描述事件发生可能性的数值。

通过概率的定义、性质和运算法则，可以计算事件发生的可能性，并用于解决随机事件相关的问题。

2.随机变量与概率分布随机变量是随机试验结果的数值描述。

概率分布则描述了随机变量取值的概率情况。

通过研究和计算概率分布，可以预测和分析随机事件的结果。

鄂教版高一数学知识点归纳高中数学作为一门重要的学科，对于学生的综合素质提升有着至关重要的作用。

鄂教版高一数学教材中包含了许多关键的知识点，本文将对这些知识点进行归纳总结，供同学们参考。

一、函数与方程1. 一次函数和二次函数的概念及性质2. 指数函数和对数函数的定义与基本性质3. 高中常用的三角函数及其相关公式4. 幂函数、反比例函数和多项式函数的特征与运算5. 求解一次方程和二次方程的方法与应用二、数列与数学归纳法1. 等差数列和等比数列的定义、性质和常见应用2. 数列的通项公式的推导和利用3. 数列求和公式及其应用4. 数学归纳法的原理及其在数学证明中的应用三、平面向量与解析几何1. 平面向量的基本概念和表示方法2. 平面向量的加法、减法与数量乘法3. 平面向量的数量积与向量积4. 线段的中点、向量共线与垂直的判定5. 解析几何中的直线方程及其相关性质6. 解析几何中的圆方程及其相关性质四、立体几何与空间向量1. 空间中点、线段和面的相关概念和性质2. 空间中直线和平面的方程及其相关性质3. 空间向量的数量积与向量积的运算及应用4. 空间中球的方程及其相关性质五、概率与统计1. 基本的概率计算方法和概念2. 用排列组合和二项式定理进行概率计算3. 统计分布的概念与性质4. 统计图表的绘制方法和解读六、数学推理与证明1. 数学推理的基本方法和思维方式2. 数学定理的证明与推广应用3. 数学问题的解决思路与策略以上是鄂教版高一数学教材中的重要知识点的归纳总结，相信同学们在学习过程中能够加深对这些知识点的理解和掌握。

同时，建议同学们在学习过程中注重拓展应用能力，多做相关的练习题和拓展性的知识阅读，以提高数学解决问题的能力。

版高中数学必修一函数及其性质基础知识点归纳总结函数及其性质基础知识点归纳总结如下：一、函数的概念及相关术语1.函数的定义：函数是一种具有特定关系的映射关系，每一个自变量对应唯一一个因变量。

2.函数的符号表示：通常用f(x)、y=f(x)、y=f(x,y)等形式表示。

3.定义域：函数的自变量的所有可能取值组成的集合。

4.值域：函数的因变量的所有可能取值组成的集合。

5.奇偶性：关于y轴对称的函数称为偶函数，关于原点对称的函数称为奇函数。

6.周期性：当存在一个正数T，使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。

二、函数的表示方法1.函数的显式表示：直接给出函数关系式，如y=2x+12.函数的隐式表示：通过方程来表示函数，如x^2+y^2=13.函数的参数表示：将函数看作参数方程的形式，如x=t,y=t^2三、函数的基本性质1.函数的单调性：若对于函数f(x)在定义域上的任意两个实数x1和x2，有x1<x2，则有f(x1)<f(x2)（单调增）或者f(x1)>f(x2)（单调减）。

2.函数的零点：若对于函数f(x)，有f(x)=0，则称x为函数f(x)的零点。

3.函数的最值：若在函数f(x)的定义域上，存在一点x0使得对于任意的x，都有f(x)≤f(x0)（称f(x0)为函数f(x)的极大值）或f(x)≥f(x0)（称f(x0)为函数f(x)的极小值）。

4.函数的奇偶性：当函数f(x)满足f(-x)=-f(x)时，称函数为奇函数；当函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，称函数为偶函数。

5.函数的周期性：若存在一个正数T使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。

6.反函数：若对于函数f(x)的定义域上的任意两个实数x1和x2，有f(x1)=f(x2)，则称函数f(x)是可逆的。

函数f(x)的反函数记作f^(-1)(x)。

高中数学函数的概念和性质数学是一门抽象的学科，而函数是其中一个最基本、最重要的概念之一。

函数在高中数学中占据着非常重要的地位，它不仅是数学的基础，也是理解其他数学分支的关键。

本文将介绍高中数学函数的概念和性质。

一、概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在函数中，输入的值被称为自变量，输出的值被称为因变量。

函数可以用各种符号表示，例如f(x)、g(x)等。

高中数学中主要研究的是实函数，即自变量和因变量都是实数。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，定义域是所有实数集合R，而值域是非负实数集合[0，+∞)。

二、性质1. 定义域与值域：函数的定义域和值域是函数的基本性质。

在确定定义域和值域时，我们需要注意函数的特殊情况，例如有理函数的分母不能为零等。

2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴的对称性。

如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数随着自变量增大或减小而变化的趋势。

如果对于定义域内的任意两个数a和b（a < b），有f(a) ≤f(b)，则函数为递增函数；如果对于定义域内的任意两个数a和b（a < b），有f(a) ≥ f(b)，则函数为递减函数。

4. 极值与最值：函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

我们可以通过求导数或研究函数的图像来确定函数的极值和最值。

5. 对称轴与顶点：对于二次函数，它们的图像通常是一个抛物线。

抛物线的对称轴是垂直于底边并通过顶点的直线，而顶点是抛物线的最低点或最高点。

6. 图像的平移和伸缩：通过对函数进行平移和伸缩，我们可以改变函数的图像。

例如，对于函数f(x)，f(x + a)表示将函数图像向左平移a 个单位，而f(kx)（k>1）表示将函数图像在x轴方向上压缩，函数图像变窄。

高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。

因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。

本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。

一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。

二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。

函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。

在定义函数时，需要指定函数的定义域。

2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。

它是由定义域和函数的性质决定的。

3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。

如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。

4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。

如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。

5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。

三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。

2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。

4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。

第二章 函 数2、1 函数的概念2、1、1函数及其表示法 第一部分 走进预习【预习】教材第29～43页，了解： 1、函数的定义 2、函数的表示法。

第二部分 走进课堂 2、1、1函数及其表示【复 习】1、初中函数的定义2、在初中我们学习了哪些具体函数？指出：现在，我们学习了集合的概念，我们想从两集合间的关系的角度来研究函数及其表示法。

【探索新知】函数及其表示法例子1、一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m 。

炮弹距地面的高度h （单位m ）随时间t (单位s)变化的规律是：25130t t h -=。

炮弹飞行时间t 的变化范围是数集{0|t A =≤t ≤}26。

炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0|h B =≤h ≤}845。

例子2、如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况。

时间t 的变化范围是数集{1979|t A =≤t ≤}2001。

臭氧层空洞的面积S 的变化范围是数集{0|S B =≤S ≤}26。

例子3、下表是“1991年～2001年”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况：总支出金额食物支出金额恩格尔系数={}2001,2000,1999,1998,1997,1996,1995,1994,1993,1992,1991=A{}9.37,2.39,9.41,5.44,4.46,6.48,9.49,9.49,1.50,9.52,8.53=B问题：例子1、2、3有什么共同的特征？函数的定义：函数的表示法：再看例子：1、下列对应关系是否是函数？2、下列曲线表示函数吗？f:（2）3、用函数的定义解释下列函数，并求出其定义域和值域。

(1)32+-=x y ,xy 4= , 5322++-=x x y(2))21(32≤<-+-=x x y ,)1(4>=x xy , )21(5322<≤-++-=x x x y问题：函数有几个要素？例子：下列两函数是否相同？ 1、2、)(12)(R x x x f ∈+=与)10(12)(<<+=x x x g3、4)(2-=x x f 与22)(+⋅-=x x x g4、1)(=x f 与xx x g =)(， 5、x x f =)(与2)(x x g =6、x x h =)(与33)(x x e =反思总结：(2)B2、1、2 画函数的图像 第一部分 走进预习【预习】教材第38～43页，了解一些函数图象的画法：1、和函数一次函数、反比例函数和二次函数相关函数的图象。

普通高中课程标准实验教科书《数学1》（鄂教版）解读——函数的应用华中师大一附中殷希群1 编写理念本章把知识内容定位在“函数的应用”，主要内容是两部分：一是介绍函数与方程的一些关系，另一是函数模型的应用举例。

试图通过本章的学习，让学生初步领略到用函数模型及函数思想去解决问题的方法，从而进一步加深对函数重要性的认识。

现结合本章(函数的应用)，谈谈我们的几点编写理念。

1．1加强知识之间的有机联系，体会函数观点在方程中的应用高中数学是以模块形式呈现的，沟通各模块之间的联系，使学生体会与感受学科知识体系，对于学生学习数学、认识数学的整体性就显得尤为重要。

鄂教版教科书遵循《课程标准》的要求，注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系，初步利用二次函数的图象讨论方程的根的分布；在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法埋下伏笔。

教科书上之所以这样做，主要是为了沟通函数与方程、不等式、算法等知识，让学生进一步体会函数观点在方程中的应用，初步形成用函数观点处理问题的意识。

1．2重视数学与实际的联系，增强学生的应用意识函数模型的应用主要围绕具体问题举例展开研究，问题的取材与设计是这部分内容的关键．鄂教版教科书注意结合不同学生的实际，选择大多数学生熟悉的背景，在例题、练习、习题和复习题中，针对不同的函数模型，为学生设计了素材广泛、内容新颖的问题，以利于开阔学生的视野，让学生从中体会函数模型应用的广泛性和重要性．通过一些实例，让学生进一步体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，让学生进一步感受建立函数模型的过程与方法，学会初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题。

进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。