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数的整除的综合运用（一）【大海传功】 数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位 能否被4或25整除是看末两位 能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数 弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】()★★★要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】()★★★ 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★)★在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______。
【例5】()★★从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？1【例6】(★)★★下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？【例7】() ★★★★右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。
6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。
7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
数的整除学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识梳理1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。
对于11的单独判定特性需要重点讲解。
2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；3．重点难点解析（1）.常见数字的整除判定性质（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用（4）．试除法的理解和应用4.竞赛考点挖掘（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目（2）.代数式之间的整除性问题例题精讲【试题来源】【题目】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。
数的整除特征练习题一．夯实基础：1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少？3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？5.如果一个六位数2000a b能被26整除，所有．．这样的六位数是二．拓展提高：6.多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除.求这样的A的最小值.7.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?8.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？9.六位数2008能同时被9和11整除.这个六位数是多少？10.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?三. 超常挑战11.包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除；（2）它与2004的和能被13整除.那么这样的“十全数”中最小的是多少？12.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？13.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？14.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？四．杯赛演练：15.（迎春杯试题）用4,5,6,7,8,9组成一个没有重复数字的六位数，并且这个六位数能被667整除，求这个六位数除以667的商是多少？答案： 1. 42()33()abc a b c abc a b c =++⇒⇒++，所以99912617126abc k k ⎡⎤=⇒≤≤=⎢⎥⎣⎦经试验当6k =时，75642(756)abc ==⨯++2. (911)21199683⨯⨯-=3. 设这个五位数的各位数字之和为a ，则这个五位数为2009a ，则920089a a ⇒又100009999954920092009a a ≤≤⇒≤≤，所以9,18,27,36,45a =，将上述5个值依次尝试，只有18a = 时，200936162a =4. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.5. 26200022000,132000a b a b a b ⇒，经试验得520000,420004,3200086. 至少5位，由于31357925++++=，所以数字和至少增加2，为使其尽量小，位数应尽量小，增加的数也应尽量小，取极端情况251127++=，可满足3A 且9A ，又5A ，所以个位是5，依次考虑：1113795,1113975,1117395,1117935…，经用被7整除试验，得1117935符合要求7. 方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80． 又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24A +，26B +，28C +，30D +，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32235789572520⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=整除．用1993000试除，1993000252079÷=，余2200可以看成不足25202200320-=，所以在末三位的方格内填入320即可，或用1993999进行试除，19939992520791679÷=，所以19939996791993320-=能被2520整除，所以1993320为所求的这个数．8. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.9. 为便于表示，设这个六位数为2008a b ，它能同时被9和11整除，所以能被99整除，28991,7a b a b +=⇒==，所以这个六位数是12008710. 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个 数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它 们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．11.能被10整除，说明个位为0，为了使这个十位数尽可能小，就不妨假设它依次为1234560,123450abc abcd，经试验都不行，再假设它为12340abcd，经试验得这个数最小为123475968012.7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除÷=，所以所得六位数是524000344523656-=，或5240005041039344-=．因此三个数字的和是17或8．52365650452315213.1到10的乘积里会出现25⨯和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是408149++=个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．343=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其14.因为37中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．15.4+5+6+7+8+9=39，是3的倍数，所以这个六位数一定可以被3整除又这个六位数能被667整除，所以这个六位数是3×667=2001的倍数即一个三位数乘以2002得到这个六位数所以这个六位数的前三位是后三位的2倍，所以这个六位数是956478956478÷667=1434，即商是1434.。
小学小升初奥数知识：数的整除小学小升初奥数知识集锦：数的整除导语：下面是小编为您收集整理的数的整除相关知识，欢迎阅读!1.整除的概念在小学书中所学的自然数和零，都是整数。
同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。
这时a叫做b 的倍数，b叫做a的约数。
例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。
这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。
又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。
2.整除的性质(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。
换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。
例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。
(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。
即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。
例如，7│28，28│84，那么就有7│84。
(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。
也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。
例如，13│39，39×4=156，因此13│156。
(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。
即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。
例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。
数的整除月日姓名【教学重点】熟练掌握能被2、5、3、9、6整除的数的特征。
【教学难点】掌握能被6整除的数的特征。
【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除259□能被5整除2□93能被3整除6□93能被9整除51□4能被4整除63□□能被25整除61□6能被8整除98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除。
（2）能被45整除呢？例3 7□11□（1）能被12整除。
（2）能被36整除。
例4 六位数A22能被4整除，且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数，那么A A33为多少？45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
例5 AB随堂小测姓 名 成 绩1．能被2整除的所有符合条件的数。
2．能被5整除的所有符合条件的数。
762□ 847□ 870□ 963□2．能被3整除的所有符合条件的数。
4．能被9整除的所有符合条件的数。
93□76 876□3 9□391 80□13．能被4整除的所有符合条件的数。
6．能被25整除的所有符合条件的数。
87□4 832□ 81□□ 987□54．能被8整除的所有符合条件的数。
7312□ 79□525．能被125整除的所有符合条件的数。
73□25 79□5□6．四位数B A 18能同时被5，6整除，这个四位数是 。
课后作业姓名成绩1．能被6整除的所有符合条件的数。
392□ 768□2．六位数1803※6能被12整除，其中※位数字是。
学科教师辅导讲义讲义编号___________________［例1］在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被思路剖析这个六位数分别被 3、4、5整除，故它应满足如下三个条件: （1） 各位数字和是 3的奇数； （2） 末两位数组成的两位数是 （3） 末位数为0或5。
按此条件很容易找到这个六位数。
解答不妨设补上三个数字后的位数为 只能是0，且b 只可能是2、4、6、又因3|568abc ，所以 3|（ 5+6+8+a+b+0），所以: 当b=2时，当b=4时， 当b=6时， 当b=8时， 当b=0时， 4、5整除的最小六位数 568abc 应为568020。
故能被3、［例2］四位数8A1B 能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少?思路剖析8A1B 能同时被2、3、5整除，所以8A1B 满足以下三个条件：个位数字 B 在0、2、4、6、8之中，各位数字之 和是3的倍数，个位数 B 在0、5之中。
第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位 数字A 。
解答要使8A1B 能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0 ;又要使8A10能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A 应能被3整除。
可以看出，当 A 取0、3、6、9时，各位数字之和 9+A 可以被3整除。
所求的四位数是 8010、8310、 8610、 8910。
［例3］有两堆糖果，第一堆有 513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给 9个小朋友而无剩余？思路剖析本题实际上是判断 513与633能否被9整除。
解答513各位上数字之和是 5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是 6+3+3=12，不能被9整除。
所以，第一堆可以平均分给 9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给 9个小朋友还剩余3块。
［例4］有一个四位数3AA1是9的倍数，求A 的值。
思路剖析四位数3AA1是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是 9的倍数。
四年级奥数整除
思维聚焦
了解整除的特征，1能整除任何整数，0能整除任意非零整数。
能被3和9整除的数的特征，各个数字的和能被3或者9整除，能被5整除的数的特征：一个数的末尾是0或5.能被2整除的数的特征是数字末尾是0,2,4,6，8。
能被7整除的数的特征是去掉个位数字，再从剩下的数中减去个位数字的2倍，差是7的倍数。
一、典型例题
判断789654能否被3或9整除
解答：
7+8+9+6+5+4=39
39能被3整除，不能被9整除，所以789654能被3整除，不能被9整除。
二、触类旁通
判断2689,12354能否被7整除
解答：
268-9×2=250
因为250不能被7整除，所以2689不能被7整除
1235-4×2=1227
122-7×2=108
因为108不能被7整除，所以12354不能被7整除。
三、熟能生巧
1、判断3022250能否被2整除
2、判断987654321能否被7整除
3、判断1020306能否被3整除
4、求一个能被5整除的最大五位数
5、判断3022250能否被5整除
6、判断123456789能否被9整除
7、已知一个自然数，它是45的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和3，这个自然数最小是多少？
8、已知一个自然数，它是36的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和6.这个自然数最小是多少？。
