专题一数的整除
数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。
一、基本概念和知识
1.整除
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）
7是63的约数。
2.数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.
即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.
②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
④能被5整除的数的特征：个位是0或5。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的
数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的
数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数）
解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。
练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,
方格内应填_____。（小五奥数）
练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。
例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。
解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。
(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33
=5050-1683=3367
练习所有能被3整除的两位数的和是______。
例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。
练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
数字的和是多少？
答案：∵能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，
1+7+3+□=11+□∴□内只能填7。
∵能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除。∴ (7+□)-(1+3)=3+□能被11整除, ∴□内只能填8。
∵能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除,而1+7+3+□=11+□, ∴□内只能填4。所以,所填三个数字之和是7+8+4=19。
练习在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2
3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
2、约数和倍数
例如：15÷3=5，63÷7=9
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数
例题1．28的所有约数之和是_____。
例题2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法。
2 解析：因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7。所以能拼成4种不同的长方形。
例题3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____。
例题 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人。
答案：28。解析：因为667=23 29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的。
2答案：1。
解析：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1
3、990。
4、答案：99960。
先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。
(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)
=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33 =5050-1683=3367 。
5、所以,所填三个数字之和是7+8+4=19。
5、答案：1665。
解析：能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:
12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为
12+15+18+…+96+99 =(12+99)⨯30÷2 =1665 。
6、答案：96910或46915。
A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除。解析：五位数B
A能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整以B=0或5。当B=0时,6910
除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4。所以,所求的五位数是96910或46915。
7[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件,这个七位数必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍数是2⨯3⨯5⨯11=330。这
样,1992000÷330=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即
1992000+(330-120)=1992210。
1、56
3 答案：64。解析：因为28=2⨯2⨯7,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28。在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5。故符合题目
