五年级奥数题因数与倍数

因数与倍数（一）【课前小练习】(★)1. 学习短除法和因数式.3. 公因数、公倍数的实际应用1.2.写出12的所有因数，并列举几个12的倍数.写出18的所有因数，并列举几个18的倍数.1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数.2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数板块一:短除法和分解质因数法【例1】(★★☆)求下列每组的最大公因数和最小公倍数.板块二:借助最大公因数未知数⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数【例】★★★求下列每组的最大公因数和最小公倍数.⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★)一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？1【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆)两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？【拓展】(★★★★)由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。

你知道为什么是17年吗？板块三:公因数、公倍数的应用【例6】(★★★)1 1 1学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中，2 3 7其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人.知识大总结. 、.2. 枚举法，短除法，分解质因数法A＝ax、B＝bx，其中a、b互质4. 应用：【例7】(★★★)将92个苹果和138个梨平均分给一班的小朋友，要求每人分到的水果相同，且无剩余. 那么一班最多有多少个小朋友？每个小朋友分到几个苹果几个梨？公因数---除数；公倍数---被除数【今日讲题】例2，例4，例5，例6【讲题心得】__________________________________________________________________. 【家长评价】________________________________________________________________. 2。

第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程：[,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ⎧++=⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩①②③。

解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ，则5570ab ap bp abp p ++=⎧⎨-=⎩，由p ×(ab −1)=70，所以p |70，70=2×5×7，若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去；若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去；若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5，所以原方程的解是2515m n =⎧⎨=⎩。

例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。

解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n −4，2n +5)=(n −4，n +9)=(13，n +9)， 所以(a ，b )=13.例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于样的正整数n ，M n −1=M n 。

解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n −1=M n 。

因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a <n −1，b <n −1，所以a |M n −1，b |M n −1，于是(a ×b )|M n −1，所以M n −1=M n 。

第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。

例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。

例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。

2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。

最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。

3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

②个位上是0或5的数，是5的倍数。

③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。

五年级奥数因数与倍数(B级)因数和倍数的关系一天，因数和倍数相遇了。

倍数傲慢地问因数：“你见到我怎么不下拜呢？”因数气愤地回答：“你算老几呀？我为什么要拜你？”倍数自信地说：“我是老大，因为一个数的因数只有几个，而一个数的倍数有无数个。

我的家庭庞大，你的家庭成员少得可怜。

你应该拜我。

”因数反驳：“是的，你的家庭庞大，但你知道自己是老几吗？我们的家庭成员虽少，但我们都知道自己的位置。

离开我们这些因数，你们这些倍数还能成立吗？”倍数想了想，承认自己说错了，因数和倍数握手言和，成为密不可分的好伙伴。

因数的概念与最大公因数因数是能够整除一个数的数，倍数是某个数的整数倍。

最大公因数是两个或多个数的公共因数中最大的一个。

求最大公因数的方法有三种：分解质因数法、短除法和辗转相除法。

分解质因数法先将数分解质因数，然后将相同的因数连乘；短除法找出所有共有的因数，然后相乘；辗转相除法每次用除数和余数相除，直到余数为止，最后一个除数就是最大公因数。

最大公因数有以下性质：1）两个数的最大公因数等于它们的公因数中最大的一个；2）最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；3）若两个数互质，则它们的最大公因数为1.因数和倍数是密不可分的好伙伴，它们共同存在于自然数中。

没有因数，就没有倍数；没有倍数，就没有因数。

因数和倍数应该紧密团结在一起，共同发挥作用。

性质（3）指的是“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

虽然不是常见考点，但对于理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系有帮助。

求一个整数的因数个数，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数的指数加1后相乘。

例如，对于整数1400，它的因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个，包括1和1400本身。

这个公式的推导过程建立在数字“唯一分解定理”的基础上，结合乘法原理推导而来，需要掌握。

求一个整数的所有因数的和，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些和相乘。

因数与倍数专题提高（3月5日）
专题精华
几个自然数a,b 的最大公因数记作（a,b）,若（a,b）=1,则a和b互质。

自然数a,b的最小公倍数可以记作[a,b],当（a,b）=1时，[a,b]=axb。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数x最小公倍数=两数的乘积。

掌握以上数量关系，根据题目中的已知条件，就可以解决因数与倍数的问题。

教材深化：
1.1 小张，小王，小李三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，小张3天去一次，小王4天去一次，小李5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会。

问至再过多少天他们三人又在图书馆相会？
1.2 某市3路，5路，8路车都从东站出发，3路车每隔10分钟发一次车，5路车每隔15分钟发一次车，而8路车每隔20分钟发一次车。

当这三种路线的车同时发车后，至多少分钟后这三种路线又同时发车？
1.3 大雪后的一天，小轩与爸爸共同步测一个圆形花园的周长。

他们走的起点，路线，方向完全相同。

小轩的步长为54厘米，爸爸的步长为72厘米。

由于两人的脚印有重合，所以雪地只留下60个脚印。

这个花坛的周长是多少？
1.4 四个连续的自然数，它们从小到大一次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。

这四个连续自然数的和最小是多少？
2.1两个数的最大公因数是10，最小公倍数为140。

已知其中一个数为70，则另一个数是
多少？
2.2 现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使4个数的公因数尽可能大，那么四个数的公因数最大可能是多少？
生活数学：
感受奥赛：。

五年级奥数题因数与倍数因数与倍数相关习题（1）一、填空题1 ? 28的所有因数之和是 ______ .2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_______ 中不同的拼法?3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是______ .4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____ 人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_________ .6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给_____ 小朋友,每个小朋友得梨______ 个,桔______ 个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片____ 块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）__ 块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个.10. 含有6个因数的两位数有_____ 个.11?写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12?和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米,2 43它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们8之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？14. 已知a与b的最大公因数是12, a与c的最小公倍数是300,b 与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a, b, c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）---------------------------- 答案-----------------------------------------------答案：1. 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2 2 7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2，…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24,又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23 29, 所以这班师生每人种的棵数只能是667 的因数:1,23,29,667. 显然, 每人种667 棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时, 全班人数应是667-1=666, 但666不能被 4 整除, 不可能.所以, 一班共有28名学生.5. 40 或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填40或20.［注］这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36 个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108 的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36 和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36 36=1( 只)每个小朋友可分得桔子: 108 36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48 厘米及宽42 厘米, 所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42 的最大公因数.因为48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以48与42的最大公因数是 6.这样,最大正方形的边长是 6 厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8 块,宽边可剪7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除, 即正方体的棱长是180,45 和18的公因数. 为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45 和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9 厘米. 这样, 长180 厘米可公成20 段, 宽45 厘米可分成5 段, 高18 厘米可分成 2 段. 这根木料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200 块棱长是9 厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果, 这样, 他15个苹果进与出获利1元. 所以他获利10元必须卖出150 个苹果.10. 16含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有 6 个因数的数，用a和b表示M的质因数，那么M a5或M a2 b因为M 是两位数，所以M= a 5只有一种可能M=25，而M= a 2 b 就有以下15种情况： M 223,M 22 5,M 22 7， M 22 11,M 22 13,M 22 17，M 22 19, M 22 23, M 32 2，M 32 5,M 32 7,M32 11 M 52 2,M 52 3,M72 2. 所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得1111=11 101最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111,它们的最大公因数为101. 所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与123的“最小公倍数” 99， 4 8 4qq 11 1 3即跳了99耳=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4丄和123的4 4 2 8 “最小公倍数” 99，即跳了 99 9 -=11次掉进陷井. 2 经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是14. 先将12、300分别进行质因数分解:212=2 3300=2 2 3 52(1)确定a 的值.依题意a 只能取12或12 5(=60)或12 25(=300).⑵确定b 的值.当a=12时，b 可取12,或12 5,或12 25；当a=60,300时，b 都只能取12.所以,满足条件的a 、b 共有5组:a=12 「a=12 「a=12j a=60 -a=300 1 4- 2 9=40.5（米）.b=12, *L b=60,-b=300,L b=12,円-b=12.⑶确定a, b, c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：22 2 2 2 2 225,5 2, 5 2 ,5 3, 5 2 3,5 2 3,即卩25, 50, 100, 75, 150, 300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5 6=30 （组）因数与倍数相关习题（2）一、填空题1 .把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有_________ 个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有 __________ 人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____ 块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____ 块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____ 钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子，每只可得________ 粒.7. 这样的自然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了 1 以外最小的是_____ .8. _________________________________________________ 能被3、7、& 11四个数同时整除的最大六位数是 ____________________________ .9. 把26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1,那么至少要分成________ 组.10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的_______ 倍.二、解答题11. 公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6: 00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少？乙数是多少？5 15 113. 用一、一、1一分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数28 56 20最小是几？14. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.----------------------------- 答案---------------------------------------------- 答案：1. 9若梨减少2个,则有20-2=18（个）;若将苹果增加2个,则有25+2=27（个）,这样都被小朋友刚巧分完?由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数，也就是长方形木板的长和宽的公倍数，又要求最少需要多少块，所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数.2 16 148 7故14与16的最小公倍数是2 8 7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板112 112=7 8=56（块） 16 144. 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9, 6, 7的最小公倍数，9, 6, 7 的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块126 126 126=14 21 18=5292（块）9 6 7［注］上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广?将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一. 希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15 和10的最小公倍数.因为3,5,9,15 和10 的最小公倍数是90, 所以从第一次同时发车后90 分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12 第一群猴子只数=15 第二群猴子只数=20 第三群猴子只数由此可知, 花生总粒数是12,15,20 的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5, 10, 15,……第二群猴子只数是4, 8, 12,……第三群猴子只数是3, 6, 9,……所以，三群猴子的总只数是12, 24, 36,…….因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是 5 粒.7. 421依题意知, 这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420,所以这个数是421.8. 999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11 的公倍数,而3,7,8,11 的最小公倍数是1848.因为999999 1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍,或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求, 有相同质因数的数不能分在一组,26=2 13,91=7 13,143=11 13,所以, 所分组数不会小于 3. 下面给出一种分组方案:(1)26 ，33，35；(2)34 ，91；(3)63 ，85，143.因此,至少要分成 3 组.［注］所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5，21=3 7，35=5 7，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外, 还有多种分组法, 下面再给出三种:(1)26,35 ；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63 ；26，33，35；34，91.(3) 26,85,63 ；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”，将210 330 分解质因数，再进行组合有210 330=2 3 5 7 2 3 5 11222=2 2 32 52 7 11= (2 3 5) (2 3 5 7 11)因此，它们的最小公倍数是最大公因数的7 11=77(倍) .11. 根据题意,先求出8,10,16 的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.从早上6:00 至20:00 共14 小时, 求出其中包含多少个80 分钟.60 14 80=10…40 分钟由此可知,20:00 前40分钟,即19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数, 所得的两个商是互质数. 而这两个互质数的乘积, 恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商——1 2.这一结论的根据是:( 我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数乙数=倍约。

五年级奥数 第一讲：因数与倍数知识点拨1、 因数和倍数 ：如果a >b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。

例如6 >2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。

例如 10能被 5整除，那么 10 就是 5的倍数， 5就是 10的因数。

2、 一个数的因数的求法： ( 1 )列乘法算式找(2)列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如： 15 的因数有哪些？ 方法一： 1215=15， 325=15(一般从自然数 1开始，一对一对的找) 方法二：15+1=15,15七=5 (计算时从除数1开始找，直到重复为止) 所以 15的因数就是 1, 3, 5, 15。

最大的因数就是 15，也就是它本身！最小的是 1。

3、 一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如： 3的倍数 36 9 1215 .... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征： 最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。

4、 2、5、3的倍数的特征 ：① 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2的倍数。

② 个位上是 0或5的数，是 5的倍数。

③ 一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。

5、 常见数字的整除判定方法： ( 1) 2：个位是偶数的自然数(2) 5：个位是 0或5的自然数 注：若一个数同时是 2 和 5 的倍数，则此数的个位一定为 0 ( 3) 4、 25：末两位能被 4、25 整除 (4) 8、125：末三位能被 8、125整除 (5)3、9：各个数位上的数之和能被 3、9 整除(6) 7、11、13通用性质：① 一个数如果是 1001 的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=20121001，则其必能被 7、 ② 从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是 7、11、13的倍数，则其为 ③ 末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为 7、11、13的倍数，则其为(7) 11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除 (8) 99：两位一段(从右往左) ，各段的和能被 99 整除 (9) 999：三位一段(从右往左) ，各段的和能被 999 整除6、 在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数( 0也是偶数)，不是 2的倍数的数叫做奇数。

五年级奥数(因数与倍数)典型例题80 和144的因数各有多少个?举一反三1.求60和90的因数各有多少个?2.求196的因数各有多少个?3.甲数的2倍等于乙数,乙数的3倍等于丙数,丙数的4倍等于甲数,求甲数拓展提高一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积,这个数当然有许多因数是两位数,这些两位数的因数中,最大的是几?奥赛训练1.把316表示成两个数的和,使其中一个是13的倍数,另一个是11的倍数,求这两个数。

2.和子去鱼店买了以下几种鱼:青花鱼,每条130日元:竹荚鱼,每条170日元,沙丁鱼,每条78日元:秋刀鱼,每条104日元,每种鱼都多于1条,正好花了3600日元,请问:和子买了多少条竹荚鱼?(100日元=7元人民币)3.有一个自然数,它的最小的两个因数的差是4,最大的两位因数的差是308.那么,这个自然数是多少?(2011年全国“希望杯”数学邀请赛)因数和倍数(二)典型例题29÷()=()。

5,在括号内填上适当的数,使等式成立。

共有多少种不同的填法?举一反三1. 37÷()=().........5,在括号内填上适当的数,使等式成立。

共有多少种不同的填法?2 . 49÷()=().........9,在括号内填上适当的数,使等式成立。

共有多少种不同的填法?3.面积是165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形,共有多少种?拓展提高一只盒内共有96个棋子,如果不是一次拿出,也不一个一个地拿出,但每次拿出的个数要相等,最后一次正好拿完。

那么。

共有多少种不同的拿法?奥赛训练1.自然数≥3,b≥3,a x b =195.那么,共有多少种不同的拿法?2.一只筐内共有120个苹果,如果不一次拿出,也不一个一个地拿出,但每次拿出的个数要相等,最后一次正好拿完。

那么,共有多少种不同的拿法?3.把自然数的所有因数两两求和,得到若干个自然数,在这些自然数中,最小的数是4,最大的数是324,那么,A是多少?2,5倍数的特征个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数,个位上是0或5的数是5的倍数,因此我们发下,一个数即是2的倍数又是5的倍数,那么它的个位上数字必须是0,另外,一个数的末两位数是4或25的倍数,这个数就是4或25的倍数。

五年级奥数因数与倍数练习题两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。

1；请写出72的所有因数；其中有多少个因数是3的倍数？2；《1》请写出60的所有因数；《2》请写出105的所有因数。

3；请写出108所有的因数；其中有多少个是4的倍数？4；《1》180的因数有多少个？《2》200的因数有多少个？5；《1》144的因数有多少个？《2》500的因数有多少个？6；490的因数有多少个？7；10000的因数有多少个？8；28；72的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？9；求36与56的最大公因数和最小公倍数。

10；计算《28；44；260》；[28；44；260]11；计算：《60；75》；[60；75]12；求1547与507的最大公因数和最小公倍数。

13；求1085与93的最大公因数与最小公倍数。

14；计算《1064；952》；[1064；952]《用辗转相除法解答》15；用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。

16；求3553；3910；1411的最大公因数。

17；儿童节到了；老师买了320个苹果；240个梨；200个香蕉；用来分给全班同学；请问这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？18；有三根铁丝；一根长54米；另一根长72米；最后一根长36米；要把它们截成同样长的小段；不许剩余；每段最长是多少米？19；现在有香蕉42千克；苹果112千克；桔子70千克；平均分给幼儿园的几个班；每班分到的这三中水果中每种水果的数量相等；那么最多分了多少个班？20；兄弟三人在外工作；大哥6天回家一次；儿哥8天回家一次；小弟12天回家一次；兄弟三人同时在5月1日回家；下次再见面是哪一天？21；一个数与40的最大公因数是8；最小公倍数是80；这个数是多少？22；一个数与20的最大公因数是6；最小公倍数是60；那么这个数是多少？23；甲数和乙数的最大公因数是6；最小公倍数是90；如果甲数是18；那么乙数是多少？24；一个数与36的最大公因数是4；最小公倍数是288；求这个数。

五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元：因数和倍数提高题和奥数题板块一：因数和倍数例题1：一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练1：一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2：有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练2：既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3：妈妈买来30个苹果，让XXX把苹果放入篮子里。

不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。

XXX共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练3：五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个研究小组，每组多于2人且少于8人。

可以分成几个小组呢？板块二：2、5、3的倍数的特征例题1：一个五位数29ABC（A、B、C是～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练1：在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5.这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2：5□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练2：4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三：奇数和偶数例题1：一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。

已知小船最初在南岸。

1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？2）XXX说摆渡2016次后，小船在北岸。

他说得对吗？为什么？练1：傍晚XXX开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。

你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2：有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练2：（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？可以做到。