小学五年级奥数数的整除特征ppt课件

数的整除性训练目标：数的整除是数论中最初步的知识，是学习约分、通分和进行分数四则运算的基础。

我们在这一讲要学习掌握整除的数的特点，并能灵便的运用。

【能被3（或9）整除的数的特点】各位数字之和能被3（或9）整除。

【能被4（或25）整除的数的特点】尾端两位数能被4（或25）整除。

【能被8（或125）整除的数的特点】尾端三位数能被8（或125）整除。

【能被 7、 11、 13 整除的数的特点】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被 7、 11、13 整除时，这个数就能被 7、 11、13 整除。

【能被 11 整除的数的特点】，还能够这样表达：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被 11 整除时，则这个数便能被 11 整除。

典型例题：例 1：有一个四位数7A2B 能被 2,3,5 整除，这个四位数是多少？例 2：在一个五位数 25□4□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？例 3：有一个四位数7AA1 能被 9 整除， A 代表什么数字？这个四位数是几？例 4：在 568 后边补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被 3、4、5 整除。

在符合这些条件的六位数中，最小是多少？例 5：能被 11 整除，首位数字是 4，其他各位数字都不同样的最大及最小的六位数分别是多少？基础练习：1、从 0,1,2,4,5,7 中，选出 4 个数，排列成能被2,3,5 整除的四位数，其中最大的是多少？2.四位数 8A1B 能被 2,3,5 整除，这个四位数是多少？3.有一个四位数3AA1 ，它能被 9 整除，请问 A 代表几？4.已知五位数 A192B 能被 18 整除，其中 A 比大 3，求出这样的五位数。

5.一个五位数能被72 整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数字分别是 6、7、9，这个五位数是多少提高练习：1.有五筐苹果，质量分别为 12kg,15kg,10kg,8kg和 13kg,从中选出四张给小红和小张，小红的苹果的质量是小张的 2 倍，剩下的是哪一筐？2.已知整数 5a6b7c8d9e能被 11 整除，那么 a+b+c+d+e=?3.在 358 后边补上 3 个数字来组成一个六位数，使它能被4，5,9 整除，这个六位数最小是多少？5.从 1，2 ，3 ，4， 5 中选出 4 个数字组成一个四位数，使其能被3,5,7 整除，这个数是多少？6.两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，比方70和30，那么在 1,2,316，这 16 个整数中，有几对“好数”？7.商场里有六箱货物，分别重 16,19,20,18,15,31千克，两顾客买走其中 5 箱货物，其中一个顾客买的货物的重量是另一个顾客的两倍，商场里剩下的那箱货物是多少千克？一、填空题1.四位数“3AA1”是 9 的倍数，那么 A=_____.2.在“ 25□79 这个数的□内填上一个数字 ,使这个数能被 11 整除 ,方格内应填 _____.3.能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是 _____.4.能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是 _____.5.1 至 100 以内所有不能够被 3 整除的数的和是 _____.6.所有能被 3 整除的两位数的和是 ______.7.已知一个五位数□ 691□能被 55 整除 ,所有符合题意的五位数是 _____.8.若是六位数 1992□□能被 105 整除 ,那么它的最后两位数是 _____.9.42□28□是 99 的倍数 ,这个数除以 99 所得的商是 _____.10.从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行 ,从左向右 1 至 11 报数 ,报数为11 的同学原地不动 ,其他同学出列 ;尔后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数 ,报数为 11 的留下 , 其他同学出列 ; 留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数 ,报到 11 的同学留下 ,其他同学出列 ,那么最后留下的同学中 ,从左边数第一个人的最初编号是 _____号 .二、解答题11. 173□是个四位数字 .数学老师说：“我在这个□中先后填入 3 个数字 ,所获取的 3 个四位数 ,依次可被 9、 11、6 整除 . ”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？12．在 1992 后边补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11 整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上 ,人们只要有意 ,总是能够把两张随意的食品票换成 3 张其他票券 , 也能够反过来互换 .试问 ,合作社成员瓦夏可否将 100 张黄油票换成 100 张腊肠票 ,而且在整个互换过程中恰好出手了 1991 张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被 11 整除 ,它的各位数字之和等于13.二数的整除性 (B)年级班姓名得分一、填空题1.一个六位数 23□ 56□是 88 的倍数 ,这个数除以 88 所得的商是 _____或 _____.2. 123456789 □□ ,这个十一位数能被36 整除 ,那么这个数的个位上的数最小是_____.3.下面一个 1983 位数33...3 44...4中间漏写了一个数字 (方框 ),已知这个多位数被 7 整除，那么中991个991 个间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,而且是 11 的倍数 .这三个数是 _____.5.有这样的两位数 ,它的两个数字之和能被 4 整除 ,而且比这个两位数大 1 的数 ,它的两个数字之和也能被 4整除 .所有这样的两位数的和是 ____.6. 一个小于 200 的自然数 ,它的每位数字都是奇数 ,而且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是 ___.7. 任取一个四位数乘 3456,用 A 表示其积的各位数字之和,用 B 表示 A 的各位数字之和 ,C 表示 B 的各位数字之和 ,那么 C 是 _____.8. 有 0、 1、 4、 7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同样的四位数，若是把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从 0、 1、 2、 4、 5、 7 中，选出四个数，排列成能被2、 3、 5 整除的四位数，其中最大的是 _____.10.所有数字都是 2 且能被66...6整除的最小自然数是 _____位数 .100个二、解答题11. 找出四个互不同样的自然数,使得关于其中任何两个数,它们的和总能够被它们的差整除,若是要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只改正21475 的某一位数字 ,即可知使改正后的数能被225 整除 ,怎样改正？13． 500 名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、 3、 4、 5（ 1 至 5）名报数；第二次反过来从右到左 1、 2、 3、 4、 5、 6（ 1 至 6）报数，既报 1 又报 6 的士兵有多少名？14．试问 ,可否将由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5 个相连的数中 ,都最罕有两个数可被 3 整除？若是回答：“能够”，则只要举出一种排法；若是回答：“不能够”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1.7已知四位数 3AA1 正好是 9 的倍数 ,则其各位数字之和3+A+A+1 必然是 9 的倍数 ,可能是 9 的 1 倍或 2 倍,可用试验法试之 .设 3+A+A+1=9,则 A=2.5,不合题意 .再设 3+A+A+1=18,则 A=7,符合题意 .事实上 ,37719=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0 或是 11 的倍数 ,那么这个数能被 11 整除.偶数位上数字和是 5+7=12,所以 ,奇数位上数字和 2+□+9应等于 12, □内应填 12-2-9=1.3. 990 要同时能被 2 和 5 整除 ,这个三位数的个位必然是 0.要能被 3 整除 ,又若是最大的三位数 ,这个数是 990.4.99960解法一 :能被2、5整除,个位数应为0,其他数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填 6.所以 ,能同时被 2、 5、 7 整除的最大五位数是 99960.解法二 :也许这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70 依旧是 70 的倍数 ,所以能被 2,5,7 整除的最大五位数是 100030-70=99960.5.3367 先求出 1~100 这 100 个数的和 ,再求 100 以内所有能被 3 整除的数的和 ,以上二和之差就是所有不能够被 3 整除的数的和 .(1+2+3+ +100)-（ 3+6+9+12+ +99）=(1+100) 2 100-(3+99) 233=5050-1683=33676.1665 能被 3 整除的二位数中最小的是 12,最大的是 99,所有能被 3 整除的二位数以下 :12,15,18,21, ，96，99 这一列数共 30 个数，其和为12+15+18+ +96+99=(12+99) 30 2=16657.96910 或 46915五位数 A691B 能被 55 整除 ,即此五位数既能被 5 整除 ,又能被 11 整除 .所以 B=0 或 5.当 B=0 时, A6910 能被 11 整除 ,所以 (A+9+0)-(6+1)=A+2 能被 11 整除 ,所以 A=9；当 B=5 时,同样可求出A=4.所以 ,所求的五位数是96910 或 46915.8.90由于 105=3 5 7,依照数的整除性质 ,可知这个六位数能同时被3、 5 和 7 整除。

五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a.如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数.数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除.（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除.（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除.（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除.（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除.（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除.（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除.（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除.一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要990个 990个3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以,)2+nn+n能被3整除.(+)1(+二、巩固训练1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.2． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15⨯15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13⨯13=169不合要求,13⨯15=195适合要求.所以,答案应是195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384⨯9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3． 500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数,既报1又报6的士兵有多少名？4. 试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”,则只要举出一种排法；如果回答：“不能”,则需给出说明.答案1. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2. 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时,编号能被6整除的士兵报6,所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个,所以既报1又报6的士兵共有16名.4. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.。

数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。

如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要个个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。