五年级奥数课件-数的整除全国通用

数的整除【知能大展台】1. 整除的概念对于整数a和不为零的整数b,如果数a除以数b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a,记作b|a;a叫做b的倍数，b叫做a 的约数。

2. 数的整除性质①如果数a能被数C整除，数b也能被数C整除，那么它们的和(a+b)或差(a-b)也能被C整除c∣a,c∣b ,贝U CIa ±bo②几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。

③数a能被数b整除，数a也能被数C整除，如果b,c互质，那么数a能被b与C的积整除。

3. 数的整除特征①一个整数的末一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除②一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除③一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个是就能被8或125整除④一个整数的各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除⑤一个整数的奇数位（指个位，百位，万位……）上的数字之和与偶数位（指十位，千位，十万位……）上的数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被“整除⑥一个整数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数的差能被7,"或13整除，那么这个数就能被7,"或13整除【试金石】例1 •小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数；3□6□5,其中十位数字和千位数字看不清楚了，但是已知这个数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个是多少？【分析】因为五位数3□6□5能被75整除，而75=3×25, 3与25互质。

所以3□6□ 5能同时被3和25整除。

3□6□5能被25整除，由于末尾是5,所以十位数字只能是2或7,即末两位数只能是25或75o当末两位数是25时，3□625呢功能被3整除，起各位数字之和必须能被 3 整除，则千位数字只能是2, 5, 8,而这些五位数中最大的一个是38625,且无重复数字。

第5讲：数的整除性灵活地运用整除性质，可以解决许多有关整除方面的问题。

一些特殊数整除的特征：1．个位是0、2、4、6、8的数能被2整除。

2．个位是0或5的数能被5整除。

3．各位数字之和能被3或9整除的数就能被3或9整除。

4．如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。

5．如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。

6．被11整除的数的特征：如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个自然数就能被11整除，否则就不能。

7．能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，如果这个差能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。

学习例题：例1：在五位数15□8□的方框里填上什么数字，才能使它既能被3整除，又含有约数5？3是6的倍数，这样的六位数共有多少个？例2：六位数ABABA例3：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。

符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？例4：五位数B A 329能被72整除。

问A 和B 各代表什么数字？例5：六位数B A 3412是88的倍数，这个数除以88所得的商是什么？例6．在五位数中，数字和等于43且能被11整除的数有哪些？思考与练习：1． 有一个四位数13AA ，它能被9整除。

A 所代表的数字是多少？2． 在2008后面填上三个数字，组成一个新七位数，使它分别能被除3、4、5整除，这个七位数最大是多少？3．173□是一个四位数，王老师说：“我在这个数的方框里分别填上3个数字，所得的四位数依次能被7、11、6整除。

”王老师填入的3个数字的和是多少？4．已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数字最小是多少？5．用0、1、3、5、7这五个数字中的四个，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？6.将一个四位数减去各数位上数字的和后仍得一个四位数，19□2，那么□中应该填多少？7.六位数□1991□能被33整除，这样的六位数是多少？8.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的是多少?9.在一个两位数的数字之间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个数。

第五讲 数的整除例1， 有0，1，4，7，9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的三位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是几？例2， 在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有约数5？例3， 有一个首位数字为8的五位数，它能被9整除，且各位数字均不相同，问这样的五位数最小是几？例4， 已知整数1X2X3X4X5能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

例5， 在算式abcde 1×3=1abcde 中，不同的字母表示不同的数字，相同的字母表示相同的数字，求abcde .例6， 某小学五年级学生张明做数学题时发现“任意一个三位数，连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除”。

这个结论你会证明吗？例7， 将三位数3ab 接连重复地写下去，共写1993个3ab ，所得的数3ab3ab3ab ….3ab(1993个3ab)正好是91的倍数，试求ab=？例8， 下面这个四十一位数55……5□99……9(其中5和9各有20个)能被7整除。

那么中间方格内的数字是几？例9， 如果六位数1993□□能被105整除，那么，它的最后两位数是多少？例10， 在下面的方框中各填入一个数字，使这个六位数能被17和19整除。

那么，方框中的两位数“□□”是多少？ 11□□11练习1.一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个。

2.在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除。

3.有一个四位数是45ab，同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。

4.李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元。

已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？5.求出所有能被3整除的两位数的和。

6.已知六位数□8919□能被33整除，那么这个六位数是多少？7.小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数9□4□5，其中十位数字和千位数字都看不清了，但是已知这个数能被75整除，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个是多少？8.在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填多少？。

数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；1. 2和5例：把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？解：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．，，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55。

数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。

如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要个个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

五年级数的整除
1、有三根铁丝，分别长12厘米、18厘米、54厘米。

要把它们都截成同样长的小段不许剩余，每段最长是多少厘米？一共能截多少段？
2、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育锻炼，要把它们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱。

最多每组多少人？每班各分多少组？
3、一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大小的正方形，使边长是
整厘米且不能有剩余，最少能剪多少个？
4、用长16厘米，宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多
少块？
5、张妮有若干张画片，7张一数还余4张，5张一数又少3张，3张一数正好。

问：张妮
至少有多少张画片？
6、五年级两个班的学生一起排队去做操，如果9人排一队，多出一人；如果10人排一队，同样多出一个人。

这两个班最少共有多少人？
7、有一篮鸡蛋，每按4个一堆分多一个；按5个一堆分多1个；按每6个一堆分也多1个。

这篮鸡蛋至少有多少个？
8、一个四位数9□2□既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除。

这个四位数最大是什么？
9、六位数“568□□□”能同时被2、3、5整除。

求这样的六位数中最小的一个是多少？。

五年级奥数-数的整除问题介绍本文档将涵盖五年级奥数中与数的整除问题相关的内容。

数的整除是数学中的一项基本概念，它在解决实际问题和数学推理中起着重要的作用。

数的整除定义两个整数a和b，若存在整数c，使得c * b = a，则称a能被b 整除，记作b|a。

其中a称为被除数，b称为除数，c称为商。

整除的特性1. 如果a能被b整除，那么a的所有倍数也能被b整除。

2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。

3. 如果a能被b整除，b能被a整除，那么a和b相等。

判断一个数能否被另一个数整除的方法1. 试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

2. 质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。

如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。

质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。

如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。

数的整除问题的应用数的整除问题在实际生活和数学中都有广泛的应用，例如：1. 分配问题：将一定数量的物品平均分给每个人，需要确定每个人能够得到多少个物品，就需要解决数的整除问题。

2. 判断质数：质数是只能被1和自身整除的数，通过判断能否被其他数整除，可以检验一个数是否为质数。

3. 数论问题：在数论研究中，数的整除问题是一个重要的主题，涉及到数的性质和结构等方面。

总结数的整除是五年级奥数中的基本概念之一，通过研究整除的定义、特性和判断方法，可以解决实际问题和进行数学推理。

在实际生活和数学领域中，数的整除问题有着广泛的应用，我们应该加强对该概念的理解和掌握。