3-第三讲-分类(1)

第三讲 分类讨论思想思想方法解读考点由概念、法则、公式引起的分类讨论典例1 (1)2015·福建高考]若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析]因为f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2，所以当x ≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a>1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案] (1,2](2)已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n＋a na n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝________.解析] 由题意可得，S n >0，因为S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，所以S n ＝S n －1＋a 1，即数列{S n }是以S 1＝a 1为首项，以a 1为公差的等差数列，所以S n ＝n a 1，所以S n ＝n 2a 1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a 1－(n －1)2a 1＝(2n －1)a 1，当n ＝1时，适合上式，所以b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝1＋22n －1＋1－22n ＋1＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋4n 2n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案] 4n 2＋6n2n ＋1四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．【针对训练1】 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即5(a 1＋2d)·a 1＝(2a 1＋2d ＋2)2 d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n ，因为d<0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 由a n ≥0，即－n ＋11≥0得n ≤11. 所以当n ≤11时，a n ≥0，n ≥12时，a n <0.所以n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ； n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.考点由参数变化引起的分类讨论典例2 2015·江苏高考]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值．解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫427a 3＋b <0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，427a 3－a ＋c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)x 2＋(a －1)x ＋1－a ]， 因函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 综上c ＝1.1．变量或参数变化时常见的分类讨论(1)解含参数的不等式时，常按参数的取值不同分类讨论． (2)平面解析几何中，直线点斜式中按斜率k 存在和不存在，直线截距式中按截距b ＝0和b ≠0分类讨论．2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”． (2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．【针对训练2】 2016·四川高考]设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1. 而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又由s (1)＝0，有s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 考点 根据图形位置或形状分类讨论典例3 2015·广东高考]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解] (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心坐标为C 1(3,0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94.故线段AB的中点M的轨迹C的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94在圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，设AB方程为y＝k1x，当AB与圆C1相切时⎩⎨⎧y＝k1xx2＋y2－6x＋5＝0⇒(k21＋1)x2－6x＋5＝0，由Δ＝36－4×5×(k21＋1)＝0得k1＝±255，代入方程组得x＝53，因此x∈⎝⎛⎦⎥⎤53，3.即⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94⎝⎛⎭⎪⎫53＜x≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x＝53，⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94，解得⎩⎨⎧x＝53，y＝±253.不妨设其交点为P1⎝⎛⎭⎪⎫53，253，P2⎝⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)，则kPP1＝－257，kPP2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【针对训练3】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32答案 A解析 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t6t ＝12.若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.(2)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12 C ．0 D ．－12或0答案 D解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.。

（进士）春季备课教员：×××第三讲分类数图形一、教学目标：1、学会分类数图形的方法。

2、遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数数的结果准确。

3、根据数的过程发现规律，培养有序思考问题的能力。

二、教学重点：学会分类数图形的方法。

遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数数的结果准确。

三、教学难点：能够根据数的过程发现规律。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（8分)师：同学们，你们看老师手上拿的是什么？生：扑克牌。

师：老师今天要用这其中的十张牌来玩一个游戏，想玩吗？生：非常想。

师：看，这里的A代表1，另外的是2到10。

大家都认识吗？生：认识。

师：那我们就来玩一下“我抽你猜”的游戏。

也就是老师任意从这十张牌中抽一张，你们来说我抽的是几，好吗？生：好。

（游戏开始，开始按一定的顺序抽，然后故意打乱顺序，也可以重复地抽相同的牌。

）师：同学们，太厉害了，这些牌都认识了。

现在老师要考考大家，谁能说说老师刚才抽牌的顺序？第一张抽的是几？第二张抽的是几？……生：（学生试着说。

）师：同学们都觉得说出来会比较吃力，并且很容易出错，是吗？生：是的。

师：老师也记不住，因为抽的牌太多了，太乱了是吗？生：是的。

师：现在我们重新玩一次，准备好了吗？（游戏开始，按从左往右的顺序抽，1-10的顺序。

）师：现在谁能告诉老师刚才的抽牌顺序？生：1-10。

师：太棒了！为什么两次都是玩抽牌游戏，第二次比第一次的顺序好记呢？生：因为老师第二次是按1-10的顺序来抽牌的。

师：对，我们按照一定的顺序来抽牌，就不会重复，也不会遗漏，并且能准确地记住刚才抽牌的顺序，是吧？生：是的。

师：那我们在数图形的时候，也要做到有序，这样才会做到不重复，不遗漏。

所以我们要学习分类数图形。

（板书课题：分类数图形）二、探索发现授课（37分）（一）例题一：（13分）右图中共有多少个三角形？师：同学们，以前做过这样的数图形题目吗？生：做过。

第三讲英语句子的功能分类按照交际功能1，英语句子大致可以分为四类：陈述句（declarative sentences）、疑问句（interrogative sentences）、祈使句（imperative sentences）和感叹句（exclamatory sentences）。

这一讲我们将主要复习这些句子类型的结构特点及其使用语境。

（第23页）一、英语中的陈述句顾名思义，陈述句主要是用来陈述事实，传递信息，提供情况。

（23页3.1：Declarative sentences are used to describe some state of affairs, to introduce some properties or features, or to portray some action.）陈述句可以有肯定和否定两种形式。

如：23页：（一）Jack is in school.Grammar can be interesting.We’re having grammar class.（二）I didn’t tell him anything.He never smokes cigarette.I hardly know the people there.She scarcely spoke to him.No students will take the course.Nobody will agree to this project.I can do nothing about it.（三）That will be, I think, too much for him.You’ll be caught in the rain, I’m afraid.I’ll have another cup, if you please.If you don’t mind, I’d like to think about it for a minute.He might be right.She seems to be unhappy.He appears to have many friends here.二、英语中的疑问句疑问句的主要交际功能是提出问题和询问情况，分为一般疑问句（simple questions）、特殊疑问句（Wh-questions）、选择疑问句（alternative questions）、反意疑问句（tag questions）。

第三讲英语句子的功能分类按照交际功能 1,英语句子大致可以分为四类:陈述句(declarative sentences 、疑问句 (interrogative sentences 、祈使句 (imperative sentences 和感叹句 (exclamatory sentences 。

这一讲我们将主要复习这些句子类型的结构特点及其使用语境。

(第23页一、英语中的陈述句顾名思义,陈述句主要是用来陈述事实,传递信息,提供情况。

(23页3.1:Declarative sentences are used to describe some state of affairs, to introduce some properties or features, or to portray some action.陈述句可以有肯定和否定两种形式。

如:23页:(一 Jack is in school.Grammar can be interesting.We ’ re having grammar class.(二I didn’ t tell him anything.He never smokes cigarette.I hardly know the people there.She scarcely spoke to him.No students will take the course.Nobody will agree to this project.I can do nothing about it.(三 That will be, I think, too much for him.You ’ ll be caught in the rain, I’ m afraid.I ’ ll have another cup, if you please.If you don’ t mind, I’ d like to think about it for a minute.He might be right.She seems to be unhappy.He appears to have many friends here.二、英语中的疑问句疑问句的主要交际功能是提出问题和询问情况,分为一般疑问句(simple questions 、特殊疑问句 (Wh-questions 、选择疑问句 (alternative questions 、反意疑问句 (tag questions 。