素数和合数

认识素数和合数教案设计认识素数和合数教案设计教学内容：教科书第73~75页。

教学目标：1、让学生知道素数和合数，并且知道怎样区分一个数是素数还是合数。

2、使学生体会探索数的特征的一些方法，能通过分析、比较、归纳或猜想、检验等方法发现一类自然数的共同特征，并与同学交流。

3、在探索数的有关特征的过程中，感受数学知识的内在联系，体验数学分类的严谨性和数学结论的确定性，体会数学内容的.奇妙、有趣，产生对数学的好奇心。

教学准备：小黑板、小正方形等。

教学重点、难点：区分素数和合数。

教学过程：一、复习：谈话：通过前几节课的学习，同学们已经知道了怎样有序地找出一个数的所有因数。

（指名简单说说是怎样找的）二、新知探究1、找出2、3、5、6等数的因数。

（出示2个小正方形）你能将这两个小正方形拼成一个长方形，并用一个乘法算式来表示吗？学生拼完后指名回答。

教师板书：2=1×2提问：那么2的因数有哪些板书：2的因数有1和2。

如果在增加一个小正方形，你能拼成长方形吗学生操作后指名回答。

教师分别板书：3=1×33的因数有1和3。

用同样的方法让学生分别找出5、6、8、9、几个数的所有因数，并分别板书。

2、分类整理。

讨论：同学们，刚才在拼长方形的过程中，有没有发现在什么情况下，只能拼成一种长方形，什么情况下拼成长方形不止一种？学生讨论后交流。

（启发学生从一个数因数的个数上去思考。

）你能根据这个区别将这几个数分成两类吗？指名分类并板书：在这些数中，因数只有两个的数有（）；因数超过两个的数有（）。

讨论：只有两个因数的数，它们的因数有什么特点（让学生明确都是1和本身）3、揭示素数和合数说明：像2、3、5这几个数这样，只有两个因数的数叫素数，也叫质数。

像6、8、9这几个数，除了1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫合数。

指名说什么是素数和合数。

讨论：1是素数还是合数（引导学生思考1有几个因数，是否符合素数和合数的条件）说明：1既不是素数，也不是合数。

苏教版数学四年级下册教案：素数和合数一、教学目标1.理解素数和合数的概念；2.能够辨别一个数是素数还是合数；3.能够使用筛法求出指定范围内的素数。

二、教学内容1. 什么是素数和合数根据苏教版数学四年级下册的知识内容，我们可以得出：•素数：除了1和它本身以外，没有其他的因数的数叫做素数。

例如：2、3、5、7、11等；•合数：不是素数的数叫做合数。

例如：4、6、8、9、10等。

2. 素数和合数的区别在学习素数和合数的概念后，我们要了解素数和合数的区别。

素数和合数的区别在于它们的因子个数。

素数只有1和它本身这两个因子，而合数有除了1和它本身以外的其他因子。

3. 判断一个数是素数还是合数判断一个数是素数还是合数的方法是：找到这个数的所有因子，如果只有1和它本身，那么这个数就是素数，否则就是合数。

例如：判断4是素数还是合数。

首先，找到4的所有因子，它们是1、2、4。

因为4除了1和4以外还有2这个因子，所以4是合数。

4. 求出指定范围内的素数我们可以使用筛法求出指定范围内的素数。

筛法的步骤如下：•把所有的数字列出来，从2开始，一直到指定范围内的最大数；•把2的倍数都划去，因为2是素数，所以2的倍数一定是合数；•把下一个没有被划掉的数字作为下一个素数，重复第二步。

例如：求出100以内的所有素数。

首先，把所有的数字列出来，从2开始，一直到100。

然后，把2的倍数都划去，剩下的第一个数是3，它是素数，然后把3的倍数都划去，依次类推，直到划过99，最后剩下的就是100以内的所有素数。

三、教学过程1. 导入将素数和合数的概念写在黑板上，引导学生回忆并发表自己的看法。

2. 教学首先，让学生自己去找几个素数和合数，让他们判断一个数是素数还是合数，并给出理由。

然后，导入筛法求素数的概念，并让学生自己尝试用筛法求100以内的素数。

接着，老师会继续讲解如何用筛法求素数，然后将步骤写在板子上进行讲解。

3. 练习与巩固1.完成课堂上筛法求素数的练习；2.完成作业：求出1000以内的所有素数。

素数和合数数学教案教学目标：1、使学生掌握素数和合数的意义，知道它们之间的联系和区别。

2、能正确判断一个常见数是素数还是合数。

3、培养学生判断、推理的能力。

教学重点：素数和合数的概念。

教学难点：正确判断一个常见数是素数还是合数。

教学过程：一、创设情境1.谁能说说什么是约数？2.请写出自己学号的所有约数。

二、揭示课题我们学过求一个数的约数，那么每个数的约数的个数又有什么规律？下面我们一起来观察。

三、探索研究1.学习素数和合数。

（1）请同学报出你们学号的所有约数？（根据学生的回答板书）（2）观察：①每个约数的个数是否完全相同？②按照每个数的约数的多少，可以分几种情况？（学生讨论后归纳）（3）可分为三种情况：（让学生填）①有一个约数的数是：。

这些数中②有两个约数的数是：。

③有两个以上约数的数是。

（4）再观察。

①有两个约数的如：2、3、5、7、11、13、17、19等。

这几个数的约数有什么特征？一个数，如果只有1和它本身两个约数，我们把这样的数叫做素数（或质数）。

②4、6、8、9、10、12、14、15……这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？一个数，如果除了1和它本身两个约数外还有别的约数，我们把这样的数叫做合数。

（板书“合数”）请学号是合数的同学举手，点两名同学板演学号，大家检查。

③请学号既不是合数也不是素数的同学举手并报出学号，大家检查。

④学生看书第59页，读书上的小结语。

2、素数、合数的判断方法。

（1）根据什么判断一个数是素数还是合数？（2）教学例2。

让学生独立写出后讲所写的数为什么是素数（或合数）。

四、课堂实践1.“做一做”。

2.做练习的第1题。

（1）按要求去做后看剩下的数都是什么数？（2）讲：判断一个数是不是素数，除了用素数的定义进行判断外，还可以查素数表。

五、课堂小结学生小结今天学习的内容。

六、课堂作业反思：教学中根据儿童好动的天性，以“操作”代替教师讲解，激发了学生的学习兴趣和求知欲，使全班同学都参与到“活动”中来，课堂气氛愉快热烈，学生学得轻松、学得牢固，从而大大提高了课堂教学效率。

第五讲数的整除素数、合数与分解质因数【知识点】一、素数和合数1.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。

2.“1”为什么既不是质数？也不是合数？按合数定义“1”不是合数。

“1”不是质数，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。

如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。

因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数3. 100以内的素数熟记20以内的全部素数二、分解质因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。

分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。

把一个合数分解质因数有两种方法。

1 / 7一种是利用乘法口诀分解质因数。

另一种是用短除法分解质因数【典型例题】一、质数和合数例1．说出下面各数的约数，哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？1、2、3、4、5、6、7、8…19、20只有1个约数的自然数有：有两个约数（1和它本身）自然数有：有两个以上约数的自然数有：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

例2.下面哪些数是质数？哪些是合数？19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54例3. 自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。

第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。

紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。

紧靠3后面的是5，5是质2 / 7数，把它保留，并且把5的倍数都划掉……用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。

请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。

辅导讲义（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

（二）上次预习思考内容讨论分享➢知识点回顾：1．一个正整数，如果只有____ _和____ _两个因数，这样的数叫做素数，也叫做____ _；如果___________________________，这样的数叫做合数。

2．___________既不是素数也不是合数。

3．每个合数都可以写成几个____ _相乘的形式，其中每个____ _都是这个合数的____ _，叫做这个合数的____ _。

4．把一个合数用____ _相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

5．既是奇数又是合数的最小的正整数是________，最小的奇数素数是____ _；既是偶数又是素数的数________；最小的偶合数是____ _；参考答案：1、1 它本身质数除了1和它本身外还有其他因数2、13、素数素数因数素因数4、几个素数5、9 3 2 4➢案例1：下面有一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1-56号，再将号码中的素数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．答案：少年朋友亲切联欢一九九七庆相聚中山➢案例2：关于素数的猜想：由于人们对素数的着迷，所以自古以来提出了各种各样的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想：1742年6月7日哥德巴赫提出下列猜想：“所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和。

”用如下形式表示：4＝2＋2；6＝3＋3；8＝3＋5；10＝3＋7＝5＋5；12＝5＋7；14＝3＋11＝7＋7；关于这个猜想至今270多年还没有人给出严格的证明！请写成两个素数的和为100的素数对。

参考答案：100＝3＋97＝11＋89。

知识点1、质数与合数概率质数（素数）：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数，也叫素数。

第二讲分解素因数与公因数、公倍数★知识精要1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数。

（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

（3）正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数。

2、判断一个正整数是不是素数的方法判断一个正整数是不是素数，常用的方法有两种：一是查素数表；二是试除法；所谓试除法就是从小到大用每一个素数2,3,5,7，...，依次去试除所给的正整数，如果它能被比它小的某个素数整除，它就是合数；如果除得的商比除数小，但仍不能整除，它就是素数。

3、素因数和分解素因数（1）素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

（2）分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数=素因数相乘”的形式。

4、分解素因数的方法分解素因数的方法通常有以下两种：（1）树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式.（2）短除法：先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。

公因数与公倍数1、公因数与最大公因数（1）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数.（2）最大公因数：几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数.（3）两个数互素：如果两个整数只有公因数1那么称这两个数互素.注：两个不同的素数互素；1和任何数互素；两个相邻的正整数互素；一个素数和一个合数如果没有倍数关系，则它们互素；2、求最大公因数的方法求几个整数的最大公因数的方法通常有以下四种“（1）枚举法：分别枚举出每个数的所有因数，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公因数.（2）分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后将所有公素因数连乘，所得的积就是他们的最大公因数.（3）短除法：用所求两个数的公因数去除这两个数，除到所得的商互素，然后将所有除数连乘，所得的积就是他们的最大公因数.（4）运用规律法：如果两个数满足下面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数，规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.3、公倍数与最小的公倍数（1）公倍数：几个整数的公有的倍数，叫做这几个数的公倍数.（2）最小公倍数：几个整数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.4、求两个数的最小公倍数的方法（1）枚举法：分别枚举出每个数的所有倍数，然后从公倍数中找出最小的一个公倍数，就是这几个数的最小公倍数.（2）分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公素因数，再去它们各自剩余的素因数，将这些素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数.（3）短除法：用两个数的公因数去除这两个数，除到所得的商互素，然后将所有除数和最后的商连乘，所得的积就是他们的最小公倍数.（4）运用规律法：如果两个数满足下面的规律，便可直接运用规律求出它们的最小公倍数，规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的乘积就是最小公倍数.（5）大数倍数法：将两个数中的较大数依次乘以2,3,4，…,所得的积最先是较小这个数的倍数时，这个积就是这两个数的最小公倍数.例1、判断下列说法是否正确，并给出原因。

数论基础知识数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和整数之间的相互关系。

数论的基础知识包括但不限于以下几个方面：1. 整数和自然数整数包括正整数、负整数和零，而自然数通常指的是从1开始的正整数。

在数论中，整数的性质和它们之间的运算是研究的重点。

2. 素数和合数素数是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数，例如2、3、5、7等。

合数则是除了1和它本身之外，还能被其他自然数整除的数。

例如，4是合数因为它可以被2整除。

3. 因数和倍数一个数的因数是可以整除它的数，而倍数则是这个数的整数倍。

例如，6的因数有1、2、3和6，而6的倍数包括6、12、18等。

4. 最大公约数和最小公倍数两个或多个整数的最大公约数（GCD）是它们共有的最大的因数。

最小公倍数（LCM）是能被这些数整除的最小的正整数。

例如，8和12的最大公约数是4，最小公倍数是24。

5. 算术基本定理算术基本定理指出，每个大于1的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积，不考虑因数的顺序。

例如，60可以分解为2^2 * 3 * 5。

6. 同余和模运算同余是指两个整数在除以某个数后余数相同。

模运算是数论中的一个重要概念，它涉及到整数除法的余数。

例如，5和10在模3的意义下是同余的，因为5除以3余2，10除以3也余2。

7. 二次剩余和勒让德符号二次剩余是指在模p（p为素数）的意义下，某个数的平方根存在的情况。

勒让德符号是一个用于判断一个数是否是某个素数模的二次剩余的符号。

8. 费马小定理费马小定理是数论中的一个基本定理，它指出如果p是一个素数，那么对于任何整数a，a^p - a是p的倍数。

特别地，当a不是p的倍数时，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

9. 欧几里得算法欧几里得算法是一种用于计算两个整数最大公约数的算法。

它基于这样的事实：两个整数的最大公约数与它们的差的最大公约数相同。

10. 丢番图方程丢番图方程是一类特殊的多项式方程，它们通常涉及到整数解。

在四年级上册的数学教学中，学生们将开始学习一些基础的数学知识，如素数和合数。

素数和合数是数学中最基本的概念之一，而理解这些概念对日常生活和复杂数学问题的解决都非常有利。

什么是素数？素数是一个只能被1和本身整除的正整数。

也就是说，如果对于一个正整数x，只有1和x本身能整除它，x就是一个素数。

例如，2、3、5、7、11、13等都是素数。

相反地，如果一个正整数除1和本身之外还能被其他整数整除，这个数就被称为合数。

什么是合数？合数是指至少可以被一个正整数整除的正整数。

如果一个正整数除1和本身之外还能被其他正整数整除，这个数就是合数。

根据这个定义，4、6、8、9、10、12等都是合数。

素数与合数的关系素数与合数是对立的。

一个数可以是素数，或者是合数，但不可能同时既是素数又是合数。

这个定理在数学中被称为基本定理。

如何判断素数和合数？判断一个数是不是素数，可以采用试除法。

试除法的基本思路是：从2开始，一直试除到这个数的平方根，如果没有任何整数能整除它，它就是一个素数。

举个例子，我们来判断15是不是素数：1. 用2来试除15，发现不能整除，继续往下试2. 用3来试除15，发现3不能整除15，继续往下试3. 用4来试除15，发现4不能整除15，继续往下试4. 用5来试除15，发现5能整除15，15是合数。

如果我们想判断一个数是不是合数，只需要反过来，判断在从2到这个数的平方根范围内，是否存在一个能整除它的正整数。

让我们来看几个数学实例，以便更好地理解素数和合数：实例一：判断23是不是素数答案：我们从2开始试除。

因为23的平方根约等于4.8，我们只需从2试除到4。

- 23 ÷ 2 = 11余1- 23 ÷ 3 = 7余2- 23 ÷ 4 = 5余3因为在从2到23的平方根4范围内不存在能整除23的数，23是一个素数。

实例二：判断14是不是合数答案：我们从2开始试除。

因为14的平方根约等于3.7，我们只需从2试除到3。

素数合数与分解素因数素数和合数是数论中的重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和研究。

本文将从素数和合数的定义开始，介绍它们的性质和特点，并探讨分解素因数的方法。

我们来定义素数和合数。

素数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他因数。

合数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，还有其他因数。

素数和合数是互补的概念。

素数具有以下特点：首先，素数只有两个因数，即1和它本身。

其次，素数不能被其他整数整除，也就是说，不能被合数整除。

例如，2、3、5、7等都是素数。

素数的个数是无穷的，我们无法列举出所有的素数。

合数具有以下特点：首先，合数有多个因数，不仅有1和它本身，还有其他因数。

例如，4、6、8、9等都是合数。

其次，合数可以分解成多个素数的乘积。

这就是我们接下来要介绍的分解素因数的方法。

分解素因数是将一个合数分解成多个素数的乘积的过程。

我们可以使用试除法来进行分解。

首先，我们从最小的素数2开始，将合数不断除以素数，直到无法整除为止。

这样，我们得到了合数的素因数。

例如，将12分解成素因数的过程如下：首先，12可以被2整除，得到2和6；然后，6可以被2整除，得到2和3；最后，2和2、3就是12的素因数。

可以看出，12=2×2×3。

分解素因数的方法在数学和密码学中有着重要的应用。

在数学中，我们可以通过分解素因数来求解最大公约数和最小公倍数，解决一些数论问题。

在密码学中，分解素因数是破解RSA加密算法的关键步骤之一。

在实际应用中，分解素因数有时是一项非常困难的任务。

由于素数的个数是无穷的，所以分解素因数需要耗费大量的计算资源和时间。

为了加强密码的安全性，人们通常使用非常大的素数进行加密，以增加被破解的难度。

总结起来，素数和合数是数论中的重要概念，它们在数学和密码学中有着广泛的应用。

素数具有两个因数和不能被其他整数整除的特点，而合数具有多个因数和可以分解成素数乘积的特点。

分解素因数是将合数分解成多个素数乘积的过程，它在数学和密码学中有着重要的应用。