2010-2011海淀高三上学期期中数学理科

2011学年海淀区理科数学高三年级第一学期期末练习第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．0600sin 的值为A. 23 B. 23-C . 21- D. 212. 若0.32121(),0.3,log 22a b c -===，则,,a b c 大小关系为A. a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>3.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A ．12 B ．6C ． 4D ．24. 如图，半径为2的⊙O 中，90AO B ∠=︒，D 为O B 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段D E 的长为A ．55B ．255C ．355D ．325．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈. 下列命题中真命题是A. 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B. 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列ABODE正视图左视图俯视图222112216．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是A ． 72 B. 60 C. 48 D. 127. 已知椭圆E ：1422=+ym x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-= 8. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是A. {}2B. 255⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. D. 2{|52}5t t ≤≤第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，圆心的直角坐标 为 .10．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆.11. 阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为 .12．如图，已知10AB =，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线. 若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别是ABCDE1A 1D 1B 1C 车速O40506070800.0100.0350.030a 频率组距开始0;0S n ==n i<21nS S =++是否1n n =+S输出结束i输入,,M N P e e e .则它们的大小关系是（用“<”连接）. 13. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈.01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面命题中真命题的序号是 .①()f x 的最大值为0()f x ② ()f x 的最小值为0()f x ③ ()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)k x y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分12分）设函数()cos(2)cos 23f x x x π=--，R x ∈.（Ⅰ）求)(x f 在(0,)2π上的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边长分别为a b c ，，，若()173f A a b ===，，，求c 的值.16.（本小题满分13分）某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次.在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910和13（Ⅰ）如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？（Ⅱ）求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率.17. （本小题满分14分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2， AC BD O ，侧棱1A A 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ，F 为1D C 的中点． （Ⅰ）证明：BD ⊥1A A ；（Ⅱ）证明：//O F 平面11BCC B ；（Ⅲ）求二面角D -1A A -C 的余弦值．18. （本小题满分13分）已知函数1()ln(1)1a f x x ax x -=+-++ (12a ≥).（Ⅰ）当曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线:21l y x =-+平行时，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.A BC1B 1C 1A DF1D O19. （本小题满分14分）已知点(1,)M y 在抛物线2:2C y px =(0)p >上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程； （Ⅲ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求A O B ∆面积的最大值.20．（本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n = *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P .（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由. （Ⅱ）若1000n =时① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；② 若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值．答案及评分参考第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDDCABDC第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 5 12． MP N e e e << 13．① ④ 14． 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ） x x x f 2cos )32cos()(--=πx x x 2c o s 3s i n 2s i n 3c o s 2c o s -+=ππ (2)分 x x 2cos 212sin 23-=)62s i n (π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x ，)65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分 ]1,21()62s i n (-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ，1)62s i n (=-∴πA ， ......................................7分π<<A 0 ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分3,262πππ==-∴A A . ....................................9分A bc c b acos 2222-+= ， .....................................10分 把73a b ==，代入，得到2320c c -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分） 解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ，故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯. ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分36.3> ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为ξ0 2 4p11001810081100.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分 同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：η369p8274929127.......................................5分3E η∴=， .......................................6分 ηξE E > ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C = ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分 则：12312318881881449()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975..................................13分17. （共14分）解：（I ） 棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ，ABC1B 1C 1A DF1D O1A O BD ∴⊥ . .......................................2分又1AC A O O = ，1,AC A O ⊂平面11ACC A ，⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分⊂1AA 平面11ACC A ，∴ BD ⊥1A A . .......................................4分（Ⅱ）连结1BC四边形ABCD 为菱形，AC BD O =O ∴是BD 的中点. ....................................... 5分 又 点F 为1D C 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//O F 平面11BCC B .......................................8分 （III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 侧棱1A A 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,3,AO A O ==在R t A O B ∆中，22413OB AB AO =-=-=.得1(1,0,0),(0,0,3),(0,3,0),(0,3,0)A A D B - ...............................10分 设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n = ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴00111AD n AA n )0,3,1(),3,0,1(1--=-=AD AA11113030x z x y ⎧-+=⎪∴⎨--=⎪⎩可设)1,1,3(1-=n .......................................11分又 B D ⊥平面11ACC A所以，平面11A AC C 的法向量为2(0,3,0)n OB ==.......................................12分 55353,cos 212121-=⋅-=⋅>=<∴n n n n n n ,二面角D —1A A —C 为锐角，故二面角D —1A A —C 的余弦值是55 . ....................................14分18. （共13分） 解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分 （I ）由题意可得13(1)24a f -'==-，解得3a =， ....................................3分因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln 24)2(1)y x --=--， 即2ln 22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分 （II ） 令()0f x '=，得到1212,0x x a=-= ，由12a ≥可知120a-≤ ，即10x ≤. ................................5分① 即12a =时，12120x x a=-==.所以,2'2()0,(1,)2(1)xf x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当112a <<时，1120a -<-<，即1210x x -<<=，所以，在区间1(1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a-上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a--和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-. .........10分③当1a ≥时，1121x a=-≤-，所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得： 当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞；当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-；当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p M F =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. ......................................3分（Ⅱ）联立2124y x by x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=. 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分 又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)AB x x y y y y y y y y b =-+-=+-=+-=+ . 所以 ||25(6432)8A B r b ==+=， .........................................7分 解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-.故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分方法二：联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40x b x b -++=， 依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-，因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分 又2222121212121215||()()(1)()[()4]5(6432)44AB x x y y x x x x x x b =-+-=+-=+-=+ ，又||28AB r ==，所以有5(6432)8b +=， .............................................7分 解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-.故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离|2|255b b d --== ， .................................................11分所以321||4224222AOB S AB d b b b b∆==-+=+. ..................................................12分令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()3g b b b b b '=+=+， b4(2,)3-- 43-4(,0)3-()g b ' ＋ 0 － ()g b极大由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，A O B ∆的面积取得最大值3239. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000， 不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000． 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉ .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈ , 即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002k k +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S = 时， 取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ， 而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 (理科) 2010.11一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,3,5,7A =，{}1,3,5,6,7B =，则集合()U A B ⋂ð是（ ）A ． {2,4,6}B ． {1,3,5,7}C ． {2,4}D ．{2,5,6} 2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x =D ．x y tan =3．已知命题:0p x ∃≥，23x =，则A ．:0p x ⌝∀<，23x ≠B ．:0p x ⌝∀≥，23x ≠C ．:0p x ⌝∃≥，23x ≠D ．:0p x ⌝∃<，23x ≠4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为A ．6B ．7C ．8D ． 95. 把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合，则a 为 A ． 4 B ． 2 C ．12D ．146．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（ ）A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线7．已知函数1)()14sin() (1)32x f x x x ππ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则()f x 的最小值为 A ． -4 B ． 2 C ．D ．48．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ① 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有一条；② 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有两条； ③ 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有三条； ④ 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有四条. 其中所有真命题．．．的序号是 A ．①②③ B ．③④ C ．②④ D ．②③④二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．30cos x dx π=⎰_________ ．10．函数()ln 2f x x x =-的极值点为_________． 11．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________ ． 12．在A B C ∆中，90A ∠=，且1AB BC ⋅=-,则边AB 的长为 ．13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．(1)(2)(3)其中所有说法正确的序号是 ．14．对于数列{}n a ,定义数列}{m b 如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值．（Ⅰ）设{}n a 是单调递增数列,若34a =，则4b =____________ ；（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为*21,n a n n N =-∈，则数列{}m b 的通项是________． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共12分）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边的长分别为,,,a b c 已知5b =，sin 4A =，4ABC S ∆=.（I ）求c 的值； （II ）求sin C 的值.16. （本小题共13分）在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+（1,2,3...n =），求数列}{n b 的前n 项和n S .已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9].过动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接O P . （I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值.18. （本小题共14分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=（I ）求123,,a a a 的值；（Ⅱ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅲ）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围.19. （本小题共14分）已知函数2(2)()1x a a xf x x -+=+（0a ≥）.（I ）当1a =时，求()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]上的最小值.已知有穷数列A ：12,,,n a a a ，(2n ≥).若数列A 中各项都是集合{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项,i j a a ，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除,i j a a ,这样得到一个1n -项的新数列1A (约定:一个数也视作数列). 若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2A ， ,如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A . （Ⅰ）设11:0,,.23A 请写出1A 的所有可能的结果； （Ⅱ）求证：对于一个n 项的Γ数列A 操作T 总可以进行1n -次； （Ⅲ）设5111511111:,.7654623456A ----，，，，，，，，求9A 的可能结果，并说明理由.海淀区高三第一学期期中练习数 学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） (9)2(10)12(答案写成坐标形式,扣3分) (11)4950(12) 1 (13) ② ③(14) 43b =， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m,22,21（也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-==)(2,1)(12,**N k k m k N k k m k b m 或(1)3()24mm m b n Z -+=+∈ ）.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （本小题共12分） 解：（I ）由1sin 24ABC S bc A ∆==…………....……..….…2分可得，6c = ……………....……..….….4分（II ）由锐角△ABC 中sin 4A =3cos 4A =…………………...…….....6分由余弦定理可得：22232cos 253660164a b c bc A =+-⨯=+-⨯=， ……..….….8分有：4a =…….. …………....…….9分由正弦定理：sin sin c a CA=， …….. …………....…….10分即6sin 4sin 48c A C a⨯=== ................................12分16. （本小题共13分）解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =， ……………………………………1分因为0n a >，所以22a = ……………………………………2分 依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q == ……………………………………3分 因为30a >，所以，2=q …………………………………………..4分 所以数列}{n a 通项为12-=n n a ………………………………………...6分 （II ）12log 21n n n n b a a n +=+=+- ………………………………………....8分 可得232(12)(1)(222...2)[123...(1)]122nnn n nS n --=+++++++++-=+- ….......12分1(1)222n n n +-=-+…………………………………....13分17. （本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数()f x 的对称轴为3=x ，顶点为)9,3(. . ..........2分 方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac a bf 得0,6,1==-=c b a ...........5分 得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分方法二：设9)3()(2+-=x a x f ...........4分由0)0(=f ，得1-=a ...........5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分)4(23236)('2t t tt t S -=-= ...........9分列表 ...........11分由上表可得4t =时，三角形面积取得最大值. 即2m ax 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分18. （本小题共14分） 解：（I ）123137,,248a a a ===…………………………………..3分（II ）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=- ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+- ② ②-①可得121n n a a +-= …………………………..5分 即：111(1)2n n a a +-=-，又1112a -=-…………………………………..7分所以数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列…………………..…..8分（Ⅲ）由(2)可得11()2n n a =-， ………………………………………...9分22n nn b -=………………………………………...10分由111112212(2)302222n n n nn n n n n n n b b +++++-------=-==>可得3n <由10n n b b +-<可得3n > ………………………………………....11分 所以 12345n b b b b b b <<=>>>> 故n b 有最大值3418b b ==所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤ ………………………………………....12分如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214n b t t ≤-成立，则2m ax 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-， ………………………………………....13分解得12t ≥或14t ≤-所以，实数t 的取值范围是11(,][42-∞-+∞ ，）………………………………14分 19. （本小题共14分） 解：（I ） 当1a =时，23()1x x f x x -=+， ………………1分2223()(1)x x f x x +-'=+， 1x ≠- ………………3分所以()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程为3(3)4y x =-，即3490x y --=………………5分（II ） 1x ≠- ………..…………6分2222(2)[(2)]()()(1)(1)x x a a x a x a f x x x +-+++-'==++， ………..…………8分①当0a =时，在(0,2]上导函数222()0(1)x x f x x +'=>+，所以()f x 在[0,2]上递增，可得()f x 的最小值为(0)0f =；………………………………………………………………..…………10分 ②当02a <<时，导函数()f x '的符号如下表所示所以()f x 的最小值为222(2)()1a a a f a a a -+==-+； ………………..………12分③当2a ≥时，在[0,2)上导函数()0f x '<，所以()f x 在[0,2]上递减，所以()f x 的最小值为242(2)244(2)3333a a f a a -+==--+…………………..………14分20. （本小题共14分）解：（Ⅰ）1A 有如下的三种可能结果：11111115:,;:,;:0,32237A A A …………………………3分（Ⅱ）∀,{|11}a b x x ∈-<<，有(1)(1)1011a ba b abab+----=<++且(1)(1)(1)0.11a b a b abab+++--=>++所以1a bab++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项）……………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知9A 中仅有一项.对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a b a b ab+=+ ，下面证明这种运算满足交换律和结合律。

海淀高三年级第一学期期中考试（理）试卷深入解析精华学校数学组 樊兆春 王威【试题特点】这次海淀区的期中考试范围是：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形、数列。

本次试题符合2013年考试说明的要求，特别是反映了北京市2014年高考的改革方向。

试题以下几个特点特别值得教师和学生关注。

1.试卷以中等难度的题为主，对数学基础知识的考察，既全面又突出重点，并注重了学科的内在联系和知识的综合。

命题的立意以能力立意为主，重点考察了学生数学素养和思维能力、分析问题及解决综合问题的能力。

2.与往年相比试题的新变化： （1）考察基础知识、基本方法的题目更趋于直白，少了较复杂的运算和陷阱，不需学生题海战术就能得分。

且重点知识重点考，考察通性通法，避免繁杂的运算及技巧；（2）注重对重要数学概念的考察。

要求学生对所学内容要真正理解，掌握概念的内涵和外延，从而运用概念解决问题。

（3）注重对重要数学思想、思维方法、逻辑推理方法及分析问题和解决综合问题的考察。

通过以上分析，高三的数学复习，题海战术与高考的要求是相违背的，是一种低效的复习方式。

应在对基础知识和概念的理解上多下工夫，思考和总结与做题并重，特别是要注重对重要数学思想和思维方法的训练和体会。

【试卷分析】一、选择题部分1.已知集合{}1,1,2A =-，{}|10B x x =+≥，则A B =（ ）A.{}1,1,2-B.{}1,2C.{}1,2-D.{}2{}1,1,2A =-，{}|1B x x =≥-，两集公有的元素只有1,1,2-，故选A.2.下列函数中，值域为()0,+∞的函数是（ ） A.()f x x =B.()ln f x x =C.()2xf x =D. ()tan f x x =对于A 选项，考察基本的幂函数，()f x x =[)0,+∞，值域也是[)0,+∞；对于B 选项，考察对数函数，()ln f x x =的定义域是()0,+∞，值域是R ；对于C.选项，考察指数函数，()2xf x =的定义域是R ，值域是()0,+∞；对于D 选项考察正切函数，其定义域为(,)22k k ππππ-++，其中k Z ∈，值域是R 。

2009-2010学年度北京市海淀区第一学期高三年级期中练习数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2．选择题的每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知全集U 为实数集，}1|{},02|{2≥=<-=x x B x x x A ，则B C A U ⋂=（ ） A ．}10|{<<x x B ．}20|{<<x xC ．}1|{<x xD ．∅2．命题“0>∀x ，都有02≤-x x ”的否定 （ ） A ．0,02≤->∃x x x 使得 B ．0,02>->∃x x x 使得C ．0,02>->∀x x x 都有D ．0,02>-≤∀x x x 都有3．已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值为（ ）A ．130B ．260C ．156D ．168 4．已知α是第四象限角，ααπsin ,125)tan(则=-= （ ）A ．51B ．—51C ．135 D ．—135 5．已知向量)1,2(),,1(==b k a ，若a 与b 的夹角大小为︒90，则实数k 的值为 （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2 6．函数1()()sin 2xf x x =-在区间［0，π2］上的零点个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 （ ） A ．)5()1()3(ππf f f >>-B ．)5()3()1(ππf f f >->C ．)3()1()5(ππ->>f f fD ．)1()5()3(f f f >>-ππ8．对于定义域为R 的函数()f x ，给出下列命题：①若函数()f x 满足条件2)1()1(=-=-x f x f ，则函数()f x 的图象关于点（0，1）对称； ②若函数()f x 满足条件)1()1(x f x f -+-，则函数()f x 的图象关于y 轴对称； ③在同一坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；④在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-其图象关于y 轴对称. 其中，真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）注意事项 ：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若点在幂函数)(x f y =的图象上，则()f x = . 10．计算=+⎰ex xx 1d )12( .11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 若13=a ，c =4，A=60°，则b =__________． 12．把函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值是 .13．已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 .14．已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（∈x N *），*11||(2,)n n n b b b n n N +-=-≥∈.①若2=x ，则该数列前10项和为 ；②若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数2()(sin cos )+cos2f x x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值．16．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 中，13,a =481a =*()n ∈N .（Ⅰ）若{}n b 为等差数列，且满足2152,b a b a ==，求数列{}n b 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n b a =,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .17．（本小题满分13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为-8，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围. 18．（本小题满分13分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x x y =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京四中期中测试高三年级数学学科（理）高三数学 期中测试卷(理)试卷满分共计150分 考试时间:120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分1.若{}2log A y y x ==,12x B y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =( ) A.102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B.{}0y y > C.∅ D.R 2.等比数列{}n a 中,37a =,前3项之和321S =,则数列{}n a 的公比为( )A.1B.12-C.1或12-D.1-或123.曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为( ) A.20x y --= B.20x y +-= C.450x y +-= D.450x y --=4.对任意复数z x yi =+(),R x y ∈,i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y +≤5.若偶函数()f x 满足当0x ≥时,()28f x x =-,则(){}20x f x ->=( ) A.{}24x x x <->或 B.{}06x x x <>或 C.{}04x x x <>或 D.{}22x x x <->或 6.已知函数()()πsin R 2f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,下面结论错误．．的是( ) A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图象关于y 轴对称 D.函数()f x 奇函数7.设()22f x x =-,若0a b <<,且()()f a f b =,则ab 的取值范围是( )A.()0,2B.(]0,2C.(]0,4D.(8.给出下列三个命题:①若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()()2f x f x =-,则()f x 为周期函数;②若函数()()22,log x f x g x x ==,则函数()2y f x =与()12y g x =的图象关于直线y x =对称; ③函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数. 其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9.()101x dx -=⎰ 10.若a 为第三象限角,且3cos25a =-,则πtan 24a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭11.若二次函数()f x 满足()()22f x f x +=-,且()()()01f a f f ≤≤,则实数a 的取值范围是 .12.函数28ln y x x =-的单调减区间是 ,极小值是 .13.E 、F 是等腰直角ABC △斜边AB 上的三等分点,则tan ECF ∠= .B F E A C14.已知:数列{}n b 满足()()**12111,,2,n n n b b x x N b b b n n N +-==∈=-∈≥.①若2x =,则该数列前10项和为 ;②若前100项中恰好含有30项为0,则x 的值为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分15.(本小题满分13分)已知:函数()()sin f x A ωx φ=+(其中π0,0,02A ωφ>><<)的图象与x 轴的交点,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为2π,23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ⑴求:()f x 的解析式; ⑵当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求:()f x 的值域.16.(本小题满分13分)已知:函数()()()221ln 1f x x x =+-+.⑴求:()f x 的单调区间;⑵若[]0,1x ∈时,设函数()y f x =图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,求:θ的取值范围.17.(本小题满分13分)已知:对于数列{}n a ,定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列,其中()*1n n n a a a n N +∆=-∈, ⑴若数列{}n a 的通项公式()2*5322n a n n n N =-∈,求:{}n a ∆的通项公式; ⑵若数列{}n a 的首项是1,且满足2n n n a a ∆-=,①设2n n na b =,求:数列{}n b 的通项公式; ②求:{}n a 的前n 项和n S .18.(本小题满分13分)已知:ABC △中,角A 、B 、C 所对的三边,,a b c 成等比数列.⑴求证:π0;3B <≤ ⑵求函数1sin 2sin cos B y B B+=+的值域.19.(本小题满分14分)已知:函数()f x 的定义域为()(),00,D --∞+∞,且满足对于任意12,x x D ∈,都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+. ⑴求:()1f 的值;⑵判断()f x 的奇偶性并证明;⑶如果()()()41,31263f f x f x =++-≤,且()f x 在()0,+∞上是增函数,求:x 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知:二次函数()2f x ax bx =+的图象过点()4,0n -,且()()*'02,f n n N =∈.⑴求:()f x 的解析式;⑵若数列{}n a 满足111'n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭,且14a =,求:数列{}n a 的通项公式; ⑶对于()2中的数列{}n a ,求证:145;23n n k k k a =-<<∑①②≤.。

北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11选择题共4O 分一、选择题：本大题共8小题;每小题5分;共40分.在每小题列出的四个选项中;选出符合题目要求的一项.1. 设集合{}|(21)(3)0A x x x =--<;{}|14B x x =≤≤;则A B =A. 1; +∞B.0;1(1,)+∞C. (,1)(1,0)-∞-- D. (,0)(0,1)-∞3. 已知等差数列{}n a 中;11a =;33a =-;则12345a a a a a ----= A. 15B. 17C. -15D. 164. 已知非零向量，a b ;那么“⋅>0a b ”是“向量，a b 方向相同”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 函数||()1x f x e =-的图象大致是7. 要得到函数sin cos y x x =-的图象;只需将函数cos sin y x x =-的图象A.3B. 2C.1D. O非选择题共110分二、填空题：本大题共6小题;每小题5分;共30分. 9. 曲线1y x=在x =2处的切线的斜率为__________. 10. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中;若22a =;则132a a +的最小值是_________11.点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点如图所示.若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积;那么边AB 的长等于_________.12. 已知点A1;1;B5;3;向量AB 绕点A 逆时针 旋转32π到AC 的位置;那么点C 的坐标是________ 13. 在△ABC 中;角A;B;C 的对边分别是,,a b c ;a =8; b = 10;ΔABC 的面积为203;则△ABC 中最大角的正切值是_________. 14. 已知数列123:,,,,(3)n A a a a a n ≥;令{|,1}A i j T x x a a i j n ==+≤<≤ ; ()A card T 表示集合AT 中元素的个数.①若A:2;4;8;16;则()A card T =_________；②若1i i a a c +-=c 为常数. 11i n ≤≤-;则()A card T =_________.三、解答题：本大题共6小题;共80分.解答应写出文字说明;演算步骤或证明过程. 15. 本小题共13分已知函数2()sin 2cos 23sin 2f x x x x =-.I 求()f x 的最小正周期； I I 求()f x 在区间[0,]4π上的取值范围.16. 本小题共13分已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列; 23a =;且5a 是4a ; 8a 的等比中项. I 求数列{}n a 的通项公式；I I 设n S 为数列{}n a 的前n 项和;求使n n a S =成立的所有n 的值. 17. 本小题共13分某工厂生产某种产品;每日的成本C 单位：元与日产量x 单位:吨满足函数关系式C=10000+20x ;每日的销售额R 单位:元与日产量x 满足函数关系式 已知每日的利润y = R - C;且当x =30时y =-100. I 求a 的值；II 当日产量为多少吨时;毎日的利润可以达到最大;并求出最大值 18. 本小题共13分已知函数22()ln ()f x x ax a x a R =+-∈. I 若x =1是函数()y f x =的极值点;求a 的值； II 求函数()f x 的单调区间. 19. 本小题共14分设n S 为数列{}n a 的前n 项和;1n n S a λ=-λ为常数;1,2,3,n =.I 若232a a =;求λ的值；I I 是否存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列 若存在;求出λ的值；若不存在.请说明理由 1,2,3,;且1b =前n 项和n T20. 本小题共14分 已知函数2||,()2,x x Pf x x x x M∈⎧=⎨-+∈⎩其中P;M 是非空数集;且P M =∅;设(){|(),}f P y y f x x P ==∈. I 若(,0)P =-∞;[0,4]M =;求 ()()f P f M ；I I 是否存在实数3a >-;使得[3,]PM a =-;且()()[3,23]f P f M a =-- 若存在;请求出满足条件的实数a ;若不存在;请说明理由； I I I 若PM R =;且0M ∈;1P ∈;()f x 是单调递增函数;求集合P;M北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11参考答案 一、选择题1、A ；2、D ；3B 、；4、B ；5、D ；6、A ；7、C ；8、B ； 二、填空题9、14-；10、11、2π；12、(3,3)-；13、3或14、106,23,0c n c =⎧⎨-≠⎩，； 三、解答题15、解：1∵2()sin 2cos 22f x x x x =-=11cos 4sin 422xx -……4分=1sin 4cos 4222x x +-=sin(4)32x π+-……6分∴函数()f x 的最小正周期为π……7分2由1知：()f x=1sin(2)232x π+-;因为04x π≤≤;所以44333x πππ≤+≤所以sin(4)123x π-≤+≤……10分所以sin(4)1322x π≤+-≤-所以()f x 在区间[0,]4π上的取值范围是[2-……13分 16、解：1因为5a 是4a ; 8a 的等比中项;所以2548a a a =.……2分 设等差数列{}n a 的公差为d ;则2222(3)(2)(6)a d a d a d +=++;……4分因为23a =;所以220d d +=;因为0d ≠所以2d =-;……6分所以27n a n =-+……7分 2由27n a n =-+可知;15a =;所以1()2n n a a n S +=…9分(572)2n n+-=26n n =-…11分 由n n a S =可得：2276n n n -+=-所以1n =或7n =……13分17、解：1由题意可得：32127010000,0120301040020,120x ax x x y x x ⎧-++-<<⎪=⎨⎪-≥⎩……2分因为x =30时y =-100;所以3211003030270301000030a -=-⨯+⨯+⨯-..……4分 所以3a =……5分 2当0120x <<时;32132701000030y x x x =-++-;……6分21627010y x x '=-++……8分 由216270010y x x '=-++=可得：190x =;230x =-舍……9分 所以当(0,90)x ∈时;原函数是增函数;当(90,120)x ∈时;原函数是减函数;所以当90x =时;y 取得最大值14300. ……11分当120x ≥时;10400208000y x =-≤..……12分所以当日产量为90吨时;每日的利润可以达到最大值14300元..……13分18、解：1函数()f x 的定义域为(0,)+∞……1分 21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=因为x =1是函数()y f x =的极值点;所以2(1)120f a a '=+-=……5分所以12a =-或1a =;经检验;12a =-或1a =时;x =1是函数()y f x =的极值点..所以a 的值是12-或1. ……6分2由1知：21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=若0a =;1()0f x x'=>.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞……8分 若0a ≠;令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'==解得112x a =-;21x a =……9分 当0a >时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)a ;单调递减区间是1(,)a +∞；……11分当0a <时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)2a -;单调递减区间是1(,)2a-+∞；……13分 19、1因为1n n S a λ=-;所以111a a λ=-;1221a a a λ+=-;12331a a a a λ++=-……1分由111a a λ=-可知：1λ≠. 所以111a λ=-;22(1)a λλ=-;233(1)a λλ=-因为232a a =;所以2234(1)(1)λλλλ=--;所以0λ=或2λ=……3分2假设存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列;则2132a a a =+……4分由1可得：22321(1)1(1)λλλλλ=+---.所以2232221(1)(1)λλλλλ-+=--;即10=;矛盾. 所以不存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列. ……6分3当2λ=时;21n n S a =- 所以1121(2)n n S a n --=-≥;且11a =.所以122n n n a a a -=- 即12(2)n n a a n -=≥ 所以;0n a ≠*n N ∈;且12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首相;以2为公比的等比数列. 所以12n n a -=*n N ∈……8分 因为1n n n b a b +=+1,2,3,n =且1b =11n n n a b --=+ 122n n n a a b ---=++=当1n =时;上式仍然成立. 所以212n n b +=*n N ∈…10分因为(1)nn n na c ab =+所以111122221(21)(21)(21)2n n n n n nn c ----⋅==++++⋅…11分 111211(21)(21)2121n n n n n---=-+⋅+++…12分 所以12n n T c c c =+++=211111112()22121212121n n --+-++-+++++=1121n-+=2121n n -+…14分 20、解：1因为(,0)P =-∞;[0,4]M =;所以()(0,)f P =+∞;()[8,1]f M =- 所以 ()()f P f M =[8,)-+∞…3分2若3M -∈;则(3)15[3,23]f a -=-∉--;不符合题意..所以3P -∈;从而(3)3f -=. 因为(3)3f -=[3,23]a ∈--;所以233a -≥;得3a ≥. 若3a >;则22233(1)12a x x x ->>--+=-+.因为P M =∅;所以23a -的原象0x P ∈且03x a <≤ 所以023x a =-a ≤得3a ≤;矛盾.. 所以3a =. 此时可取[3,1)[0,3]P =--;[1,0)M =-;满足题意. …8分3因为()f x 是单调递增函数;所以对任意0x <;有()(0)0f x f <=;所以x M ∈. 所以(,0)M -∞⊆.同理可证：(1,)+P ∞⊆.若存在001x <<;使得0x M ∈;则200001()2f x x x x >=-+> 于是2000[,2]x x x M -+⊆. 记21002x x x =-+(0,1)∈;22112x x x =-+;… 所以01[,]x x M ⊆. 同理可知12[,]x x M ⊆;… 由212n nn x x x +=-+得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=- 所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x +--=-=-==-对于0[,1)x x ∀∈;取002(1)2(1)[log log (1)1,log log (1)]x x x x -----中的自然数x n ;则1[,]x x n n x x x +∈M ⊆ 所以0[,1)x M ⊆. 综上所述;满足要求的P;M 必有如下表示：(0,)[1,)P t =+∞;(,0][,1)M t =-∞;其中01t <<或者(0,][1,)P t =+∞;(,0](,1)M t =-∞;其中01t <<或者[1,)P =+∞;(,1)M =-∞或者(0,)P =+∞;(,0]M =-∞.…8分 注：若直接写出结论;且正确;给2分..。

《 高等数学A 》期中考试试卷一、填空题（本题共8小题, 每题4分, 满分32分. 请把答案填写在题中横线上）.1．2201lim sin x x x→= 0 .2. xx x x cos 1)1ln(lim 0-+→=2 .3. 若函数,0,e 0 ,2arcsin e 1)(2tan ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=x a x x x f x x在 x = 0 处连续, 则 a = -2 .4. 曲线 122+=x x y 的斜渐近线为1124y x =-.5. 设函数 y (x ) 由方程 e y + xy - e = 0 确定, 则d d x yx ==1e-.6．已知 f (x ) = ln(1 + 2x ), 则 f (n )(0) =1(1)2(1)!n n n ---.7. 函数 f (x ) = x sin x + cos x 在区间 [0, π/2] 上的最大值为 π/2 .8. xx y 4+=的凹区间为(0,)+∞.二、选择题（本题共8小题,每题4分，满分32分.请把唯一正确选项填在题后括号内）.1．设 {a n }, {b n }, {c n } 均为非负数列, 且,lim ,1lim ,0lim ∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a 下列说法正确是( D ).(A) a n < b n , n ∈N + (B) b n < c n , n ∈N + (C) n n n c a ∞→lim 不存在 (D) n n n c b ∞→lim 不存在2．设函数 ,1e 1e )(11+-=xxx f 则 x = 0 是 f (x ) 的 ( B )(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点3．设函数 f (x ) 在 x = a 的某邻域内有定义, 则 f (x ) 在 x = a 处可导的一个充分条件是 ( D ) .(A) )]()1([lim a f h a f h h -++∞→存在 (B) hh a f h a f h )()2(lim 0+-+→存在(C) h h a f h a f h 2)()(lim--+→存在 (D) hh a f a f h )()(lim 0--→存在4．设函数f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则f (x ) 有 ( C).(A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点(C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点5．设当x → 0 时, (1 - cos x )ln(1 + x 2) 是比 x sin x n 高阶的无穷小, 而 x sin x n 是比12-x e 高阶的无穷小, 则正整数 n 等于 ( B ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6．设f (x ), g (x )是恒大于零的可导函数, 且 f '(x )g (x ) - f (x )g '(x ) < 0, 则当 a < x < b 时, ( A ).(A) f (x )g (b ) > f (b )g (x ) (B) f (x )g (a ) > f (a )g (x ) (C) f (x )g (x ) > f (b )g (b ) (D) f (x )g (x ) > f (a )g (a )7. 数列()()()222111211－－－－n n n n +++在∞→n 时的极限为（ C ）(A) 1 (B) 0 (C) 1/2 (D) 不存在8. 设函数()x f y =在1=x 处可导，且()()412lim000=--→x f h x f h h ，则()='0x f （ B ）(A) 4- (B) 2- (C) 2 (D) 4姓名：学号：班级：三、计算题（本题共2小题，每题12分，满分24分.计算过程中请写出充分的演算步骤）.1. 求极限 .e)(limxx xx -+→101 原式 =1ln(1)0elimx xx ex+→-1ln(1)1001ln(1)1(1)lim lim x xx x x e e x e x x+-→→+--==⋅ 20ln(1)lim x x xe x →+-=⋅0111lim 2x x e x→-+=⋅ 01lim2(1)2x x e e x x →-=⋅=-+或者原式 =1ln(1)0elimx xx ex+→-1ln(1)20(1)ln(1)(1)lim1x xx x x x e x x +→-++⋅+=1ln(1)2001(1)ln(1)lim limlim 1x xx x x x x x ex x +→→→-++=⋅⋅+01(ln(1)1)1lim 2x x e x →-++=⋅⋅00ln(1)1lim lim 222x x x x e e e x x →→-+-=⋅=⋅=-2. 设 , arctan )1ln(2⎩⎨⎧-=+=tt y t x 求 .d d 22x y(考查参数方程确定的函数的二阶导数, 参看P112第9(2))21211122t tt t dt dx dt dy x d y d =++-==, tt t t dx dt dx dy dt d x d y d 4121212222+=+⋅=⋅=)(四、证明题（本题满分12分. 证明过程中请写出必要的推理步骤和理论依据）.设函数 f (x ) 具有二阶连续导数, 且 f (0) = 0, 试证⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0)0('0)()(x f x xx f x g 有一阶连续导数.证明: 首先 ),0()0()0()(lim )(lim)(lim 00g f xf x f x x f xg x x x ='=-==→→→说明 g (x ) 在 x = 0 处连续. 当 x ≠ 0 时, 2)()()(xx f x x f x g -'=' 当 x = 0 时, 2000)0()(lim )0()(lim )0()(lim )0(xf x x f x f x x f xg x g g x x x '-='-=-='++→→→ )0(212)0()(lim 0f x f x f x ''='-'=+→而200()()()1lim ()limlim (0)(0)22x x x f x x f x f x x g x f g x x →→→'''-''''====. 因此结论成立.第二题第8题，指数函数的指数部分为分式，求极限时一般都要考虑左右极限，且左右极限不等！！！！,1e 1e )(11+-=x xx f -∞=-→xx 1lim 0，0lim 10=-→xx e ，11e 1e lim 110-=+--→x xx +∞=+→x x 1lim 0，+∞=+→xx e 10lim ，1e 11e 11lim1e 1e lim x1x10110=+-=+-++→→x x xx。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2015.11本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡 上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.中，选出符合题目要求的一项.数为2.下列函数中为偶函数的是值为、选择题共8小题，每小题 5分,共40分.在每小题列出的四个选项1.已知集1,0, 3, 4，则集合PI M 中元素的个 B. 2C.D. 4A . y1x3.在ABC 中, A 60 , uu u ABC. yuuurACuuu1，则 AB D. y 2xAC 的值为C.D. - 14.数列a的前项若S n S n2n2，且 S 2 3，则 a 1 83 的B. 1C.D. 55.已知函数 f x cos4 x sin4 x ,F列结论中错误的是A . f x cos2x B.函数f x的图象关于直线x 0f x的最小正周期为对称D. f x的值域为 ,26.“ x 0”是“ x sinx 0”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，点0为坐标原点，点A 1, 1 .若函数y a x( a 0 ,且a 1 )及y log b X (b 0,且b 1)的图象与线段OA分别交于点M , N，且M , N恰好是线段OA的两个三等分点，则a, b满足A. a b 1B. b a 1C. b a 1D. a b 11, x 1,8.已知函数f Xx ,1 x 1,函数g xx 1,ax2 x 1 .若函数y f x g x恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是A. 0,B. ,0 U 2,C., 1 U1,2D. ,0 U 0,1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.29. 2xdx .1 --------------------------------------------10. 在ABC中，角代B,C的对边分别为a,b,c .若c 4, sinC 2sin A, sin B -^5，贝U4a___________ , S ABC ___________________ .11. 已知等差数列a n的公差d 0 ,且a3 a9 a10 a8，则n ____________________ .12. 已知向量a 1,1，点A 3,0，点B为直线y 2x上一个动点.若AB// a , 则点B的坐标为________ .13. 已知函数f(x) sin( x )( 0).若f (x)的图像向左平移一个单位所得3的图象与f(x)的图象向右平移-个单位所得的图象重合，则的最小值为_______ .614. 对于数列a n，若m，n N (m n)，均有电一玉t(t为常数)，则称数列m na n具有性质P(t).(i )若数列a n的通项公式为a n n2，且具有性质P(t)，则t的最大值为________________ ?(ii)若数列a n的通项公式为a n n2旦，且具有性质P(10)，则实数a的取n值范围是________ .三、解答题共6小题，共80分。

北京四中2010~2011学年度第一学期高三年级开学测试数学试卷（理）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．设，，给出四个图形，其中以集合为定义域，为值域的函数关系的是（）A B C D2．已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，则等于（）A．7 B．C． D．4．函数的图象为C，则下列论断中，正确论断的个数是（）（1）图象C关于直线对称；（2）函数在区间内是增函数；（3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A．0 B．1 C．2 D．35．已知等差数列的前项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点），则＝（）A．100 B. 101 C. 200 D. 2016．已知随机变量服从正态分布，，则（）A．B．C． D.7．一组抛物线，其中为2,4,6,8中任取的一个数，为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．8. 函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则直线与函数图象的所有交点的横坐标之和是（）A．1 B．2 C．4 D．5二、填空题（每题5分，共30分）9．的值域为___________。

10．的展开式中，的系数是___________。

11．由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积是______。

12．已知：定义在(-2,2)上的偶函数，当时为减函数，若恒成立，则实数的取值范围是___________。

13．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=___________。

14．定义映射，其中，. 已知对所有的有序正整数对满足下述条件：①；②若，；③．则的值是___________；的表达式为___________。