高三数学上学期期中试题 文35

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,52. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 13. 已知．若，则（ ）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b=A.B.D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件5.此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1D. 11e+e 1-e二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE V AE BD CD 4BD=（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,5【正确答案】B【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.P 【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，61y x =+y ∈N 1x +661236所以，{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，{}15Q x x =-≤<所以，{}0,1,2P Q ⋂=故选：B.2. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 1【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.z 【详解】由题意知，()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+所以，z ==故选：C.3. 已知．若，则（）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b =A.B.D. 【正确答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅=-【详解】因为，且，()2a b a+⊥1a = 则，可得，()2220a a a ab b +⋅=+⋅= 21322a b a⋅=-=-rr r 所以.cos ,a b a b a b⋅===⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由，得，()223123111111S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=21q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；7m =217q q ++=2q =3q =-当时，，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.7m ={}n a 故选：A5. 此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，1111ABCD A B C D -1O ABCD -设底边边长，高AB a =1OO =则，1O E ==又正四棱柱的侧面积，114S AB OO =⋅=正四棱锥的侧面积，21142S AB O E a=⋅⋅=则，解得，a=a =所以正四棱锥体积，2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【正确答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭22,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.()fx故选：C7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π【正确答案】A【分析】先化简，根据图象变换求出，将方程转化为()f x ()g x ()21g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.()12m g x +=()g x 【详解】根据题意可得，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，7π012x ≤≤ππ3π2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且，，()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程等价于有两个不同的解，()21g x m -=()12m g x +=12,x x .12ππ2126x x ∴+=⨯=故选：A.8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A.B. C. 1D. 11e +e 1-e【正确答案】C【分析】构建，分析可知的定义域为，且在()()ln f x ax x b=--()f x (0,+∞)()0f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建(0,+∞)ln 1a b ≤+1e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.()1ln ,ee g a a a a =-≤≤【详解】设，()()ln f x ax x b=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，1e e a ≤≤()f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为，()111xf x x x -=-='令，解得；令，解得；f ′(x )>001x <<f ′(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，()f x (0,1)(1,+∞)则，可得，则，()()1ln 10f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b aa +≥=可得，当且仅当时，等号成立，1e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=令，解得；令，解得；()0g a '>1e a <≤()0g a '<11e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()11g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，1eln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.1eln b a +-故选：C.方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>【正确答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得，，33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即，所以，1515110log 3log 5a b ∴<=<=110a b <<0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；15151511log 3log 5log 151a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，因为，，0a b >>111a b +=所以，()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b aa b =2a b =35a b =49a b +>确.故选：ABD.10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以，即，故B 错误；21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；2023202131a a a a =++++ 对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π【正确答案】ACD【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取，的中点为，连接，，11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D所以，又E ，F 分别是棱，的中点，11//MN B D 11B C 11C D 所以，所以，11//EF B D //MN EF 平面，平面，MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，//MN ∴CEF 因为分别是棱，的中点，所以，且，,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，CDNE 所以，又平面，平面，//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，//BDNM CEF点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；MN MN ==A 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，A 1,,AB AD AA x y z 由题意得，设，(0,0,0)A (,,4)P x y，AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，221x y +=P 1A 14所以点P 的轨迹长度为.故错误；1π2π42⋅=B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111DC B A 连接，与交于点，此时取到最小值，PC EF Q PQ CQ+，且，CE CF === 2PE PF ==所以点为的中点，所以Q EFPQ EQ ===所以，CQ ===即的最小值为，故正确；PQ CQ +C如图，连接，交于点，连接，PF 11B D 1O PE 若P 是棱的中点，则，11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，FP PEF !1O PEF !过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，1O ABCD P CEF -O 连接，设，则，OP 1OO t =2222t R +=连接，，所以，OC 12AC ==()(2224t R -+=所以，解得，()(222224t t +=-+52=t 所以，222541244R =+=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -24π41πS R ==D 故选.ACD方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++【正确答案】.430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，223673(1)4y x x x '=++=++所以时，，又时，，1x =-min4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，PO h =在中，，同理可得，，Rt POA △otan 30OP OA ==OB =OC h =在中，，则，OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-⋅⋅.=h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】23【分析】根据中点坐标公式可得，进而可得为等比数列，()*122n n n a a a n +++=∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点、，设点，()10,0A ()21,0A ()(),0n n A a n *∈N 则数列满足，，，{a n }10a =21a =()*122n n n a a a n +++=∈N 所以，，1212n nn n a a a a +++--=-所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-211a a -=12-所以，，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，2n ≥()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+也满足，故对任意的，.10a =121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，，故11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.23四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，24a =2n n a =*N n ∈（2）332n nn T +=-【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算1n =12a =2n =出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；{}n a 22{}n a （2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，1n =111222S a a +=+=12a =当时，，即，解得，2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a a -={}n a ∴，.1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】由（1）可得，，，2nn a =112n n a ++=在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，n a 1n a +n ()2+n n d 则有，()11n n na a n d +-=+∴，∴，1211nn n n a a d n n +-==++112n n n d +=∴，1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴.332n n n T +=-16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C【正确答案】（1）π3B =（2）18-【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由22b ac =sin sin A C ，可得的值.cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】因为，π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得，12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >，cos 1B B -=即，因为，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得，则.ππ66B -=π3B =【小问2详解】因为边上的高，AC h =所以①21122ABC S b h b =⋅==又②11sin 22ABC S ac B ac === 由①②可得，22b ac =由正弦定理可得，2sin 2sin sin B A C =结合（1）中可得，π3B =3sin sin 8A C =因为，()1cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=所以.1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE VAE BD CD 4BD =（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.E【小问1详解】连接，BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，ADE V 由余弦定理得，所以2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，222222,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以平面，BE ⊥ADE 又平面，所以平面平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥ABCE 【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，()()()(()2,0,0,0,,,,0,0,0A B CD E -设，()01DF DB λλ=≤≤故，()((,,1,EC ED DB=-==-，((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，z ABCE ABCE ()0,0,1m =所以，cos ,m AF m AF m AF⋅===化简得，解得或（舍去），23830λλ+-=13λ=3λ=-所以，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，DEC (),,n x y z =则有，可取，00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩)1n =- 所以点到平面FDEC18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调(0)0f '=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；（3）设，，当时，由（1）知，()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.[π,)+∞【小问1详解】由题意知，且，(0)0f =(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，解得，(0)20f a '∴=-=2a =，，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则，1()cos 21f x x x '=+-+当时，，．故，0x ≥cos 1≤x 111x ≤+()0f x '≤所以在区间上单调递减，所以．()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令，10x -<<1()cos 21g x x x =+-+则，21()sin (1)g x x x '=--+，，，sin (0,1)x -∈ 211(1)x >+()0g x '∴<在区间上单调递减，则，()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】因为，()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>记，，1()sin ln(1)2m x x x =++-π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 12x ≤≤ln(1)0x +>；1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->当时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=++记，则，1()()cos 1n x m x x x '==++21()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，()m x '∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤⎥⎝⎦，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->综上所述，当时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>【小问3详解】设，，()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，单调递减，π()0,x ∈1()cos 11h x x x '=+-+又，，(0)10h '=>1(π)20π1h '=-<+存在，使得，∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当时，当时，00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，()0(0)0h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18m（3）证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=21a =2，而，故不是“理想数”；33110⨯+=1052=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=41612=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22112=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34172=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=4058=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52134=17，而，故不是“理想数”；319158⨯+=58292=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9921p m =+-，且，921p ∈-Z211p-≥，或，或，解得，或，211p ∴-=213p -=219p-=1p =2p =，或，即的值为12或18．1991821m ∴=+=-2991221m =+=-m 【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如的整数，()*2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦若奇数，不妨设，1m >(2222,2k k m -⎤∈⎦若为"理想数"，则，且，即，且，m (*3112s m s +=∈N )2s >(*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)133t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，(*413t m t -∴=∈N )1t >又，即，22241223t k k--<<1344134k t k-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，(2222,2k k -(*413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，()*413k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，∴()*341kk ∈-N 1133134144441k k k ++<=⨯---1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即．21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。

试卷类型： A山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试高三数学2022. 11本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240,{|lg(1)|M x x N x y x =-==-…∣,则M N ⋃= A.(,2]-∞ B.(,2]-∞- C.[2,1)- D.(,2][2,)-∞-⋃+∞ 2.若命题“2[1,2],30x x a ∃∈-<”为假命题,则实数a 的取值范围是 A.(,4]-∞ B.[2,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,2)-∞3.设4,0,,sin ,cos()255παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭,则cos β=A. D. 4.为调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,学校决定采用随机数表法从高三800名学生中随机抽取80名进行调查,将800名学生进行编号,编号分别为001,002,,799,800.下面提供的是随机数表的第4行到第6行:32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从随机数表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据作为抽取学生的编号,则抽到的第5名学生的编号是 A.007 B.253 C.328 D.7365.在学习《数学探究活动:得到不可达两点之间的距离》时,小明所在的小组决定测量本校人工湖两侧$C,D$两点间的距离,除了观测点,C D 外,他们又选了两个观测点12,P P ,测得121221,,PPm PP D P PD αβ=∠=∠=,则利用已知观测数据和下面三组新观测角中的一组,就可以求出,C D 间的距离是①1DPC ∠和1DCP ∠;②12PP C ∠和12PCP ∠;③1PDC ∠和1DCP ∠. A.①和② B.①和③ C.②和③ D.①和②和③6.函数(1)y k x =-与ln y x =的图像有且只有一个公共点,则实数k 的取值范围为 A.1k = B.k e … C.1k =或0k … D.0k …或1k =或k e …7.对于函数()()f x x D ∈,若存在常数(0)T T >,使得对任意的x D ∈,都有()()f x T f x +…成立,我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.若函数()cos f x kx x =+是“3π同比不增函数",则实数k 的取值范围是 A.3,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.3,π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3,π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()1*132n n n a S n -⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N ,则下列结论正确的是A.23a a <B.68742a a a +=C.数列{}2nn a 是等比数列 D.13n S <…二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效,为加快推进各行各业复工复产,对当地进行连续11天调研,得到复工复产指数折线图(如图所示),下列说法错误．．的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B ．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D ．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量 10.已知0,0a b 厖,且1a b +=,则A.22a b +…B.221a b +…C.23log 12a b ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭D.ln(1)a a +…的充要条件是1b = 11.佼波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,芠波那契数列被以下递推的方法定义:数列{}n a 满足:121a a ==,()*21n n n a a a n ++=+∈N.则下列结论正确的是A.813a =B.2023a 是奇数C.2222123202*********a a a a a a ++++= D.2022a 被4除的余数为012.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',对于任意实数x ,都有2()()xf x ef x -=,且满足22()()21x f x f x x e '-+=+-,则A.函数2()()F x e f x =为偶函数 B.(0)0f = C.不等式()x xxe f x e e +<的解集为(1,)+∞ D.若方程2()()0f x x a x--=有两个根12,x x ,则122x x a +> 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_______.14.设函数sin ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π>⎧=⎨+-⎩…,则53f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 15.一个盒子中有4个白球,m 个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为59,则m =________. 16.在ABC 中,点D 是$BC$上的点,$AD$平分,BAC ABD ∠面积是ADC 面积的2倍,且AD AC λ=,则实数λ的取值范围为________；若ABC 的面积为1,当BC 最短时,λ=______.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 17.（10分)定义在(1,1)-上的函数()f x 和()g x ,满足()()0f x g x +-=,且1()log 2a xg x +=,其中1a >. (1)若122f ⎛⎫=⎪⎝⎭,求()f x 的解析式;(2)若不等式()1f x >的解集为1,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求m a -的值. 18.(12分)在(1)(0)1f =,(2)函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭,(3)函数()f x 图像上相邻两个对称中心的距离为π,这三个条件中任选两个补充在下面问题中,并给出问题的解答.已知函数()2sin()02,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭,满足 (1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间;(2)在锐角ABC 中,()2,f B b ==求ABC 周长的取值范围. 19．（12分）2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：参考数据:()()10102211600,768,80i i i i x x y y x==-=-==∑∑.（1）已知观看人次x 与销售量y 线性相关,且计算得相关系数16r =,求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+; (2)规定:观看人次大于等于80(万次)为金牌主播,在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀,小于90(百件)为不优秀,对优秀赋分2,对不优秀赋分1.从金牌主㨨中随机抽取3名,若用X 表示这3名主播赋分的和,求随机变量X 的分布列和数学期望.(附:()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑,相关系数()()niix x y y r --=∑20.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为512,35,8n S S a a =+=,记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . (1)求数列{}n a 的通项公式及n S ;(2)是否存在实数λ,使得211(1)n n T λ+--…恒成立?若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)为了解新研制的抗病毒药物的疗效,某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药,然后对每只白鼠的血液进行抽样化验,若检测样本结果呈阳性,则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性,则白鼠末感染病毒.现随机抽取()*,2n n n ∈N …只白鼠的血液样本进行检验,有如下两种方案: 方案一:逐只检验,需要检验n 次;方案二:混合检验,将n 只白鼠的血液样本混合在一起检验,若检验结果为阴性,则n 只白鼣末感染病毒;若检验结果为阳性,则对这n 只白鼠的血液样本逐个检验,此时共需要检验1n +次.(1)若10n =,且只有两只白鼠感染病毒,采用方案一,求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿白业的概率; (2)已知每只白鼠咸染病暃的概率为(01)p p <<.①采用方案二,记检验次数为X ,求检验次数X 的数学期望;②若20n =,每次检验的费用相同,判斨哪种方案检验的费用更少?并说明理由. 22.(12分)已知函数1()ln f x x a x x=++,其中a ∈R . (1)求函数()f x 的最小值()h a ,并求()h a 的所有零点之和; (2)当1a =时,设()()g x f x x =-,数列{}()*n x n ∈N 满足1(0,1)x ∈,且()1n n xg x +=,证明:1322n n n x x x ++++>.高三数学试题参考答案及评分标准2022.11一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1—5 ACCAD 6—10 CBD二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．ABD10．AD11．BCD12．ABD三、填空题（每小题5分，共20分） 13．40142- 15．616．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）由题意知，()()2log 1a f x g x x=--=-， 又因为122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以log 42a =，即2a =． 所以函数()f x 的解析式是()22log 111y x x=-<<-． （2）由()1f x >，得21a x >-，由题意知10x ->，所以211x a-<<， 所以21131a m ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，即321a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12m a -=-． 18．解：（1）若选①②，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或()526k k πϕπ=+∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以432362k πππωπ+=+，()k ∈Z ， 所以312k ω=+，()k ∈Z ，又因为02ω<<，所以1ω=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，若选①③，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或526k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π，所以2T π=，所以1ω=， 所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z若选②③，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π．所以2T π=，所以1ω=， 由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以431232k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z ，即26k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，（2）()2sin 26f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为锐角三角形，所以3B π=．因为b =2sin bB==，由正弦定理可得22sin 2sin 3a A C π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2sin c C =， 所以ABC △的周长22sin 2sin 2sin 2sin 36ABC L a b c A C C C C ππ⎛⎫⎫=++=++=-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎭△因为ABC △是锐角三角形，由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以2,633C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 62C π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(36ABC L C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△， 所以ABC △周长的取值范围为(3+．19．解：（1）因为()()niix x y y r --=∑，所以()()1016iix x y y --=∑所以()()101660i i i x xy y =--=∑，所以()()()10110216601160010iii i i x x y y b x x==--===-∑∑， ()18087778310y =+++=118380510a y bx =-=-⨯=-，所以回归直线方程为11510y x =-． （2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1， 则随机变量X 的取值范围是{}3,4,5()33351310C P X C ===，()122335345C C P X C ===，()2123353510C C P X C ===， 所以X 的分布列为：所以()345105105E X =⨯+⨯+⨯=．20．解：（1）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，首项为1a ，53535S a ==，解得37a =，12128a a a d +=+=，又因为3127a a d ++=，13a =，2d =所以()32121n a n n =+-=+()21122n n n S na d n n -=+=+． （2）证明：由（1）知22n S n n =+，所以()21111112222n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 所以11111111111111131121324112212122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-=+--=-- ⎪ ⎪ ⎪-++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为n T 为递增数列，所以当1n =时，n T 取得最小值为131112211123⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，又因为0n >，所以34n T <，所以1334n T ≤<．当n 为奇数时，21n T λ-≤恒成立，即2113λ-≤，解得λ≤≤， 当n 为偶数时，21n T λ-≤-恒成立，即2314λ-≤-，解得1122λ-≤≤， 综上所述，实数λ的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 21．解：（1）根据题意恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率12811109845P =⨯⨯=， 恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率28211109845P =⨯⨯=， 所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=．（2）①设检验次数为X ，可能取得值为1，1n +．则()()11nP X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()()()111111n n nE X p n p n n p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦．②方案二的检验次数期望为()()()11n E X n n p =+--，所以()()20201201E X p -=-⨯-， 设()()201201g p p =-⨯-，因为011p <-<，所以()g p 单调递增， 由()0g p =得1p =01p <<()0g p <，则()20E X <， 当11p <<时，()0g p >，则()20E X >， 故当01p <<时，选择方案二检验费用少，当11p -<<时，选择方案一检验费用少，当1p = 22．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()221x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得210x ax +-=，解得1x =2x =（舍去），所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞单调递增，所以()()111min 11ln f x f x x a x x ==++，即()ln 2ah a a =，由1x 是方程210x ax +-=的根，则111a x x =-，所以()1111111ln h a x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，令()11ln H x x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，可知()1H H x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又因为()211ln H x x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，所以()H x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减． 而222130H e e e⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()120H =>，所以有且仅有唯一()00,1x ∈，使得()00H x =， 所以()011,x ∈+∞，有010H x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以方程()0H x =有且仅有两个根0x ，01x ， 即1111111ln 0x x x x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭有且仅有两根0x ，01x ， 又因为()11110a x x x =->单调递减，所以()y h a =有两个零点设为1a ，2a （不妨设12a a <），则12000011101a a x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（2）由题意知1a =时，()()1ln g x f x x x x =-=+，因为()22111x g x x x x-'=-=， 令()0g x '>，得1x >，()0g x '<，得1x <．所以()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞递增，则有()()11g x g ≥=，因为()10,1x ∈，所以()211x g x =>，()321x g x =>，…，()11n n x g x +=>．令()()1ln m x g x x x x x=-=+-，1x ≥，()2222131240x x x m x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'==<，所以()m x 在区间[)1,+∞单调递减，所以()()10m x m ≤=． 所以()21110n n n n x x g x x ++++-=-<，即21n n x x ++< 又因为函数()m x 单调递减，所以()()21n n m x m x ++>， 即22112111ln ln n n n n n n x x x x x x +++++++->+-，即3221n n n n x x x x ++++->-，所以1322n n n x x x ++++>．。

12019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合则=A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．, D ．，3．已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．只装订不密封准考证号 考场号 座位号5．已知函数,为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．8．直线与圆相交于、两点。

若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等,则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．210．若四边形是边长为2的菱形，,分别为的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在中，,，点在边上，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y++=和直线()22:110l x a y a+-+-=垂直，则实数a的值为__________．14．已知向量，，若,则向量与向量的夹角为_____．15．设函数，则函数的零点个数是_______.16．半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列的公差为1，且成等比数列.3（1）求数列的通项公式；(2)设数列,求数列的前项和。

2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷和草稿纸上无效。

4.考试结束，只交答题卡。

第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。

若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。

兵团地州学校2022-2023学年高三一轮中期调研考试数学试卷(文科)一、选择题 1.已知集合2{|121},|{}20M x x N x x x =->-=--<,则MN =（ ）A.(1,2)B.[1,2)C.()1,1-D.()1,2-答案： C解析：因为,{}{||112}M x x N x x =<=-<<,所以}11{|M N x x =-<<.故选：C.2.(32)(2)i i --=（ ） A.47i - B.87i - C.47i + D.87i + 答案： A解析：4((322))7i i i --=-. 故选：A.3.已知26a =,则2log 3=（ ） A.1a -B.3aC.2a D.a 答案： A解析：由26a =,可得2222log 6log 2log 31log 3a ==+=+,则2log 31a =-.故选：A.4.鲸是水栖哺乳动物,用肺呼吸,一般分为两类：须鲸类,无齿,有鲸须；齿鲸类,有齿,无鲸须,最少的仅具1枚独齿.已知甲是一头鲸,则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： B解析：若甲的牙齿的枚数不大于1,则甲可能是独齿鲸也可能是须鲸.若甲为须鲸,则甲的牙齿的枚数为0,所以它的牙齿的枚数不大于1.故“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件. 故选：B.5.已知不重合的直线,,l m n 和不重合的平面,a β,下列说法中正确的是（ ） A.若,,m n m n αβ⊂⊂⊥,则αβ⊥B.若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂,则//αβC.若,l αββ⊥⊥,则//l αD.若,,,//l m n m n αβαβ⊂⊂=,则//m l答案： D解析：若,,m n m n αβ⊂⊂⊥,则,αβ可能相交, 也可能平行,故A 错误；若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂,则,αβ可能平行,也可能相交,故B 错误； 若,a l ββ⊥⊥,则l 与α可能平行,也可能l α⊂,故C 错误; 结合线面平行性质定理可知D 正确. 故选：D.6.已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ,所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64,则1a =（ ）A.1B.1-C.2D.1或1- 答案： D解析： 由题意可得3S S S +=奇奇偶,所以2S S =奇偶.设{}n a 的公比为q ,设该等比数列共有2()k k N +∈项， 则2421321()2k k S a a a q a a a qS S +=+++=+++==奇奇偶，所以2q =.因为461234164a a a a a q ==,所以11a =或11a =-.故选：D.7.如图，圆锥的轴截面SAB 是正三角形,O 为底面圆的圆心,D 为SO 的中点,点C 在底面圆的圆周上,且ABC 是等腰直角三角形,则直线CD 与AS 所成角的余弦值为( )A. B.23C.答案： C解析：取OA 的中点E ,连接,DE CE .因为//DE AS ,所以直线CD 与AS 所成的角即直线CD 与DE 所成的角.不妨设2OA OC ==,则11,2OE OD SO ===因为ABC 是等腰直角三角形,所以,2OC AB DE ⊥=，C CDE ===222cos 214CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅.故选：C.8.现有一个圆柱形空杯子,盛液体部分的底面半径为2cm ,高为8cm ,用一个注液器向杯中注入溶液,已知注液器向杯中注入的溶液的容积V (单位:ml )关于时间t (单位:s )的函数解析式为32)0(3Vt t t ππ=+≥,不考虑注液过程中溶液的流失,则当2t =时,杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）A.4 cm/sB.5 cm/sC.6 cm/sD.7 cm/s 答案： C解析：设杯中水的高度为cm h ,则32232t t h πππ+=⨯,解得3234t th +=，则2364t t h +'=,当2t =时,6h '=.故当2t =时,杯中溶液上升高度的瞬时变化率为6cm/s .故选：C.A.B.C.D.答案： C解析：由题意知1||0x -≠,则1x ≠±,当1()0,x ∈时,1||0,0,()0x xf x α->>>,所以()f x 的大致图象不可能为C ,而当α为其他值时,A,B,D 均有可能出现. 故选：C.A.B.4C.4D.4答案： C 解析：由图可知A T π==,则2ω=,所以())f x x ϕ=+.由7322(),||1222k k πππϕπϕ⨯+=+∈<Z ,得3πϕ=,所以)()23(f x x π=+，1(()2)3f παα=+=，所以sin 232()πα+=，因为),312(ππα∈-，所以cos 232()πα+=，sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 3333334[()]()()ππππππαααα=+-=+-+=. 故选：C.11.青花瓷,又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一.如图1,这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合,如图2,其中大圆半径3R =,小圆半径2r =,点P 在大圆上,过点P 作小圆的切线,切点分别是,E F .则PE PF ⋅=（ ）A.49B.59C.4D.5 答案： B解析：如图,连接,,OE OF OP ,则,OE PE OF PF ⊥⊥,||2sin ||3OE OPE OP ∠==，故21cos 12sin 9EPF OPE ∠=-∠=.因为||||PE PF ===,所以15599PE PF ⋅=⨯=.故选：B.12.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)2, ()(4)4f x g x g x f x +-=--=,若()g x 的图象关于直线2x =对称,(2)1g =,则()2024f =（ ）B.1-C.0D.1 答案： D解析：因为()g x 的图象关于直线2x =对称,所以()22)(g x g x -=+， 所以()()2)(2()2f x g x f x g x +-=++=.因为2()(2)f x g x -++=,所以()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数. 因为()(4)4g x f x --=,所以4()22)(g x f x +--=, 所以(2))2(f x f x +-=-,所以2(2())f x f x ++=-,所以4(2)2()f x f x +++=-,所以)()4(f x f x +=,所以()f x 的周期为4, 所以(2024)(0)f f =. 因为(2)(2)(2)(2)4g f g f --=-=, 所以(2)3,(0)(2)21f f f =-=--=,故(2024)1f =. 故选：D. 二、填空题答案：10x y ++= 解析：2()3x f x x e '=-.因为(0)1,(0)1f f '=-=-,所以所求切线方程为1()y x --=-,即10x y ++=.答案：2解析：作出不等式组10,,1,x y x y y ++≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域(图略).当直线z x y =+经过点(1,1)时,z 取得最大值,最大值为2.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.此定理讲的是关于整除的问题.现将正自然数中,能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则20a = .115解析：由题意可得,数列{}n a 是以1为首项,6为公差的等差数列,所以2065,115n a n a =-=.答案：[ 解析：223()4sin cos 4cos 1cos 4cos 4cos ()f x x x x x x x ==-=-+，设cos [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故22(()12)4431g t t t '=-+=--.由()0g t '>,得33t -<<；由()0g t '<,得13t -≤<或13t <≤.则()g t 在[1,3--和3上单调递减，在(33-上单调递增.因为(1)0,3939(1)(()g g g g ==-=-=.所以()[99g t ∈-,即()f x 的值域是[. 三、解答题的解集. 答案： 见解析 解析：(1)21()cos sin cos 2f x x x x =+-11cos2sin 222x x=+)24x π=+. 故()f x 的最小正周期22T ππ==.(2)2[()]()3()222444g x x x πππ=++=+ 因为()0g x ≥,所以3222,4k x k k Z ππππ≤++∈解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 故不等式()0g x ≥的解集为3[,]()88k k k Z ππππ-++∈.4AD =.(1)求cos DBC ∠的值；(2)求AC 的长度.答案： 见解析 解析：(1)在ABD 中,BD ==sinAD AB ABD ABD BD BD ∠==∠==，cos cos 60cos60cos sin 60sin 14()DBC ABD ABD ABD ∠=︒-∠=︒∠+︒∠=.(2)cos BCBD DBC =⋅∠=AC ==19.已知函数32()121f x ax x =-+.(1)讨论()f x 的单调性;(2)当1a =时,求()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值. 答案： 见解析 解析： (1)2()3243(8)f x ax x x ax '=-=-.当0a =时,()f x 在(0),-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时,若8(0,),()0x f x a '∈<；若8(,0),,()0()x f x a'∈-∞+∞>. 所以()f x 在8(0,)a 上单调递减,在(,0)-∞,8(,)a+∞上单调递增. 当0a <时,若8,(0,),0()()x f x a∈'-∞+∞<；若8(,0),()0x f x a'∈>.所以()f x 在8(,0)a 上单调递增,在8(,),(0,)a-∞+∞上单调递减.(2)当1a =时，由(1)知,()f x 在(0,1]上单调递减,在[1,0)-上单调递增， 所以()f x 在[]1,1-上的最大值为(0)1f =. 因为(1)12,(1)10f f -=-=-. 所以()f x 在[1,1]-上的最小值为12-. 20.已知等差数列{}n a 满足366911,17a a a a +=+=,数列{}n b 满足112,2n n n b b b +=-=.(1)求{}n a ,{}n b 的通项公式； 答案： 见解析 解析：(1)设{}n a 的公差为d ,由题意可得3616912711,21317,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得121a d =⎧⎨=⎩故1(1)1na a n d n =+-=+.因为12n n nb b +-=，所以112n nn b b ++-=，2122n n n b b +++-=，…，212b b -=.累加可得12122222n n n nb b ++-=+++=-,所以2n n b =.(2)因为12n n n c +=,所以{}n c 的前n 项和2323412222n nn T +=++++， 23411234122222n n n T ++=++++， 两式相减可得23411111111222222n n n n T ++=+++++-211111133221112()2212n n n n n ++-++=+-=--， 所以332n n n T +=-. 21.如图1,在等腰梯形ABCD 中,,,M N F 分别是,,AD AE BE 的中点,4AE BE BC CD ====,将ADE 沿着DE 折起,使得点A 与点P 重合,平面PDE ⊥平面BCDE ,如图2.(1)证明://PC 平面MNF .(2)求点C 到平面MNF 的距离.答案：见解析解析：(1)证明:因为,F N 分别是,BE PE 的中点,所以//NF PB ,所以//NF 平面PBC . 因为,M N 分别是,PD PE 的中点,所以//MN DE .因为//DE BC ,所以//MN BC ,所以//MN 平面PBC .因为,MN NF ⊂平面MNF ,且MN NF N =,所以平面//MNF 平面PBC . 因为PC ⊂平面PBC ,所以//PC 平面MNF .(2)过点F 作//FH DE 交CD 与点H ,连接MH .设DE 的中点为O ,连接 ,OP OC ,分别交,MN HF 于点,I J ,连接IJ .过点O 作OQ IJ ⊥,垂足为Q . 因为//MN DE ,所以//FH MN ,所以平面MNF 即平面MNFH .因为点J 是OC 的中点,J ∈平面MNFH ,所以点C 到平面MNF 的距离即点O 到平面MNFH 的距离.在,PDE CDE 中,有,OP DE OC DE ⊥⊥,所以DE ⊥平面OPC.从而FH ⊥平面OPC ,则FH OQ ⊥,所以OQ ⊥平面MNFH . 故点O 到平面MNFH 的距离即OQ 的长度.因为4AE BE BC CD ====,所以OP OC OI OJ ====因为平面PDE ⊥平面BCDE ,平面PDE平面BCDE DE =,所以OP ⊥平面,BCDE OP OC ⊥,所以2OQ ==.故点C 到平面MNF 的距离为2. 22.已知函数3()x f x e ax =-.（1）若0a >，讨论()f x 的零点情况；（2）若319()ln 24f x x x x ≥+恒成立，求a 的取值范围. 答案：见解析解析： (1)设3()1x ax g x e=-,则3223(3)()e e x x ax ax ax x g x --'== 因为0a >,所以当3x <时,()0g x '<,当3x >时,()0g x '>, 则()g x 在(,3)-∞上单调递减,在(3,)+∞上单调递增,从而min 327()(3)1a g x g e ==-. 故当327e a >时,()g x 有2个零点;当327e a =时,()g x 有1个零点； 当3027e a <<时,()g x 没有零点. 因为331()()e e e x xx ax f x ax =-=-,所以()f x 与()g x 的零点情况相同. 故当327e a >时,()f x 有2个零点；当327e a =时,()f x 有1个零点；当3027e a <<时,()f x 没有零点. (2)319()ln 24f x x x x ≥+,即3319e ln 24x ax x x x +≥-, 即32e 19ln 24x a x x x ≤--.设32e 19()ln 24x h x x x x =--, 则2326343(3)e e 3e 19)()22(22xx x x x x x x h x x x x x ----'=-+= 设23()22xx x x e ϕ=--，则3()2x x e x ϕ'=--. 设3()()e 2x m x x x ϕ'==--，则()e 1x m x '=-. 因为0x >,所以()0m x '>,所以()m x 在(0,)+∞上单调递增, 即()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增.所以0()0,1x ∃∈,使得0()0x ϕ'=, 即002x e x =+. 当0()0,x x ∈时.()0x ϕ'<；当0(),x x ∈+∞时,()0x ϕ'>,2011302[(]2)4x =-+->. 由()0h x '>,得3x >；由()0h x '<,得03x <<. 则()h x 在(0,3)上单调递减,在(3,)+∞上单调递增. 故3mine 11()(3)ln32724h x h ==--,即a 的取值范围是311(,ln3]2724e -∞--.。

辽宁省大连海湾高级中学2021-2022高三数学上学期期中试题 文考生注意：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.设集合，，则 A.B.C.D.2.已知表示虚数单位,则复数的模为A. B. 1C. D. 53.数列是等差数列，，，则A.16B.-16C.32D.4．已知33cos ,,sin 4522πππααα⎛⎫+=≤<= ⎪⎝⎭则 A 2B 72C ．722725.设,x y 为正实数，且满足1112x y+=，下列说法正确的是（ ） A. x y +的最大值为43B. xy 的最小值为2C. x y +的最小值为4D. xy 的最大值为496.两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b +与a 的夹角为A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为(),,,,b d b d a b c d N x a c a c*+∈+和则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道3149=3.14159,1015ππ⋅⋅⋅<<若令，则第一次用“调日法”后得165π是的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为 A ．227B ．7825C ．6320D ．109358.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=.那么“[][]x y =”是“1x y -<”的A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 9.已知函数()f x 满足下面关系：①()()11f x f x +=-；②当[]1,1x ∈-时， ()2f x x =，则方程()lg f x x = 解的个数是( )A. 5B. 7C. 9D. 1010.设函数()4cos()f x x ωϕ=+对任意的x R ∈，都有()()3f x f x π-=+，若函数()sin()2g x x ωϕ=+-，则()6g π的值是（ ）A ．1B ．-5或3C ．12D ．-2 11.已知数列的首项，满足，则A. B. C. D. 12.定义在上的函数满足，则不等式的解集为 A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置． 13.命题“000,1x x R ex ∃∈>+”的否定是__________________.14.设函数()f x 是定义在实数上不恒为0的偶函数，且()()()11xf x x f x +=+，则52f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 15.设()2sin 3cos cos 2f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为 .16．在锐角△ABC 中， ,,a b c 分别为角A ，B ，C 所对的边，满足()cos 1cos ,a B b A ABC =+∆且的面积S=2，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a π=--+∈R ，且()03f π=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值.18.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos a C3sin 0a C b c --=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，129AD =，求ABC ∆的面积．19.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值．(2)设b n ＝a n ＋3，试说明数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 与{}n b 满足11(),n n b n a a q b b n N *++-=-∈。

2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。

哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷 (选择题， 共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x ==-，则A B = （）A. ()1,3B. 3⎡-⎣C. ⎡⎤⎣⎦D. (⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】求解一元二次不等式以及对数函数的定义域，从而解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】{}2|230A x x x =-+≤()(){}|310{|31}x x x x x =+-≤=-≤≤，(){}2ln 2B x y x ==-{}2|20{|x xx x =->=<<，故{}(|1A B x x ⎤⋂=<≤=⎦故选：D.2. 复数20252025i z =-在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案..【详解】由12345i i,i 1,i i,i 1,i i ==-=-==，且202545061÷= ，则20251i i i ==，所以2025i z =-，可得其在复平面上对应的点为()2025,1-，即该点在第四象限.故选：D.3. 函数()2cos f x x x =+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A.π2B. 2C.π6D.π13+【答案】A 【解析】【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案.【详解】由()2cos f x x x =+，则()12sin f x x =-'，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得f ′(x )>0，则()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1sin ,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()<0f x '，则()f x 单调递减；由()02f =，ππ66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为π2.故选：A.4. 已知a是单位向量，则“||||1a b b +-= ”是“//a b ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用向量三角不等式可得||||||1a b b a +-≤= ，进而可判断充分性，若//a b，|||||1|||a a a λλλλ+-=+- ，12λ=-时可判断必要性.【详解】因为||||||1a b b a +-≤= ，当且仅当b 与a共线时取等号，所以//a b ，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的充分条件，若//a b ，则存在b a λ=，所以|||||1|||a a a λλλλ+-=+-，当12λ=-时，|||||1|||01a a a λλλλ+-=+-=≠ ，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的不必要条件，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. [)2,-+∞ C. (],0-∞ D. (],2-∞-【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数的单调性，可得()y x a x =-在()1,0-的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围.【详解】因为1e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，()y x a x =-在()1,0-单调递减，故12a≤-，解得2a ≤-.故选：D.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236S S S =+（ ）A.43B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，结合等比数列片断和性质，列式计算即得.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3614S S =，得6333S S S -=，则36333S S q S -==，又n S 为{}n a 的前n 项和，则36396129,,,S S S S S S S ---成等比数列，公比为33q =，于是23123639612933333()()()33340S S S S S S S S S S S S S =+-+-+-=+++=，所以31236334084S S S S S S ==++.故选：B7. 菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ）A. 0B. 2-C. 2D. 4-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，建立平面直解坐标系，设(,)P x y ，OA a =，则OB =，利用数量积的坐标运算，可得()()22444PA PB PC PD x y +⋅+=+- ，即可求解.【详解】如图，连接,AC BD 交于O ，因为ABCD 为菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，又菱形ABCD 边长为2，设(,)P x y ，OA a =，则OB =，所以(0,),(0,),(A a C a B D -，则()()()),,,,,,,PA x a y PB x y PC x a y PD x y =--=--=---=-- ，得到())2,2,2,2PA PB x a y PC PD x a y +=--+=-- ，所以()()224444PA PB PC PD x y +⋅+=+-≥- ，故选：D.8. 已知函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，当x ∈(0,1)，()31xf x =-，则()3log 32f 的值为( ).A. 31 B.5932C.4932D.21132【答案】C 【解析】【分析】由函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，得出周期为2，根据性质计算()3log 32f 即可.【详解】函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，可得f (−x )=f (x )，f (1+x )=f (1−x )，即有()()()2f x f x f x +=-=，可得()f x 的周期为2，当x ∈(0,1)，()31xf x =-，可得：()()()3333333232log 32log 324log 32log 81log log 8181f f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332log 813328149log 311813232f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 函数π()2sin()(1)3f x x ωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 1ω=B. 函数图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C 将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到函数()2cos(6πg x x =+D. 若方程(2)f x m =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦【答案】AC 【解析】【分析】对A ：由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得ω的范围，即可求得ω；对B ：根据A 中所求解析式，求得()f x 的对称中心横坐标，检验即可；对C ：由()π3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合诱导公式，即可判断；对D ：令π23x t +=，转化题意为sin 2m t =在π4,π33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，结合正弦函数单调性和值域，即可求解.的.【详解】对A ：由图可知，π26f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故πππ2sin 2663f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π,632k k ω+=+∈Z ，121,k k ω=+∈Z ，又1ω≤，故当且仅当0k =时，1ω=满足题意，故A 正确；对B ：由A 可知，()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ,3x k k +=∈Z ，解得ππ, 3x k k =-∈Z ，令πππ33k -=，解得23k =∉Z ，故B 错误；对C ：将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到()πππ22sin 2sin π3333g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()πππ2sin 2cos 626g x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ：()π2,0,2f x m x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即πsin 232m x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令ππ42,π333x t ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，故只需sin 2m t =在π4,π33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，又sin y t =在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在π4, π23⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，又ππsin1,sin 23==12m ≤<，即)2m ∈，故D 错误.故选：AC.10. 设正实数,m n 满足1m n +=，则（ ）A.1mm n +的最小值为3 B.+的最大值为C.的最小值为12D. 33m n +的最小值为14【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式计算可判断ACD ，利用三角代换计算可判断B.【详解】对于A ，1113n m n n m m m m m n m n +=+=++≥++=，当且仅当n mm n =，即12m n ==取等号，故A 正确；对于B ，因为正实数,m n 满足1m n +=，所以令22cos ,sin (0)2m n πθθθ==<<，1cos 2sin ))(tan 2θθθθθϕϕ=+==+=，所以当π2θϕ+=时，max +=，故B 正确；对于C ，由1m n +=，可得1≥12≤，当且仅当12m n ==取等号，的最大值为12，故C 错误；对于D ，由14mn ≤，3322211()())3131344m n m n m mn n m n mn mn +=+-+=+-=-≥-⨯=（，当且仅当12m n ==取等号，故D 正确.故选：ABD.11. 已知函数1()(0)xf x x x =>，则下列说法中正确的是（ ）A. 方程1()()f x f x=有一个解B. 若()()g x f x m =-有两个零点，则1e0e m <<C. 若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D. 若()0f x b -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：对1()(f x f x=两边取对数，再进行代数运算，即可判断；对B ：将()0g x =转化为ln ln xm x=，再研究()m x 的单调性和最值，即可求得m 的范围；对C ：对()h x 求导，对参数a 的取值进行分类讨论，结合二次求导，判断()h x 的单调性，即可求得参数范围；对D ：根据B 中所求，结合题意，将问题转化为对数平均值不等式的证明，再利用导数证明即可.【详解】对A ：1()()f x f x =，即11xx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为x >0，故等式两边取对数可得：11ln ln ln x x x x x x==-，也即1ln 0x x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为10x x +>，故ln 0x =，解得x =1，故方程1()(f x f x =只有一个解，A正确；对B ：()()g x f x m =-有两个零点，即方程1x x m =有两个根，又x >0，10x x >，显然m >0，故对方程两边取对数可得ln ln x m x =，令()ln x m x x =，则()m x '21ln x x -=，令()m x '>0可得()0,e x ∈，令()m x '0<可得()e,x ∈+∞，故()m x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减；又()()110,e em m ==，且当x 趋近于正无穷时，()m x 趋近于0，故ln ln x m x =有两根，只需10ln em <<，解得1e 1e m <<，故B 错误；对C ：21()(log ()2a h x x f x =-122221111ln 1log log log 222ln 2xa a a x x x x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()h x '()()11ln 1ln 1ln ln ln x x x a x a a =+-=+-⋅，令()ln ln 1n x x a x =-⋅+，则()n x '1ln a x=-①当()0,1a ∈时，ln 0a <，()n x '>0，()n x 在()0,+∞单调递增，又()1ln 10n a =-+>，且当x 趋近于0时，()n x 趋近于-∞，故存在()00,1x ∈，使得()00n x =，且当()00,x x ∈时，()0n x <，()h x '>0，故此时()h x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0n x >，()h x '0<，故此时()h x 单调递减；则0x 为()h x 的极大值点，()h x 没有极小值点，不满足题意；②当()1,a ∈+∞时，ln 0a >，令()n x '>0，解得10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()n x 单调递增；令()n x '0<，解得1,ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()n x单调递减；故()n x 在1ln x a =时取得最大值，最大值为11ln ln ln n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；若1ln0ln a ≤，即101ln a<≤，也即[)e,a ∞∈+时，()0n x ≤在()0,+∞恒成立；则()h x '()10ln n x a=≤在()0,+∞恒成立，故()h x 在()0,+∞单调递减，没有极值点，不满足题意；若1ln0ln a >，即11ln a >，也即()1,e a ∈时，10ln n a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又当x 趋近于0时，()n x 趋近于0；当x 趋近于+∞时，()n x 趋近于-∞，故存在110,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10n x =，且存在21,ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()20n x =，故当()10,x x ∈，()0n x <，此时()h x '()10ln n x a=<，()h x 单调递减；当()12,x x x ∈，()0n x >，此时()h x '>0，()h x 单调递增；当()2,x x ∈+∞，()0n x <，此时()h x '0<，()h x 单调递减；故当1x x =时，()h x 取得极小值，当2x x =时，()h x 取得极大值，满足题意；综上所述，若()h x 有极大值和极小值，则()1,e a ∈，故C 正确；对D ：()0f x b -=有两个不同零点，即1x x b =，因为x >0，显然0b >，两边取对数可得1ln ln x bx=故方程ln ln xb x=有两个根，不妨设为34,x x ，且34x x <，为方便理解，根据B 中对()ln xm x x=的单调性和最值分析作图如下所示：易知()()341,e ,e,x x ∈∈+∞，且当()30,x x ∈时，ln ln xb x<，也即1x x b <，即()0f x b -<，同理可得，当()34,x x x ∈时，即()0f x b ->，当()4,x x ∈+∞时，()0f x b -<；又2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，故可得34,x x 也是方程20x cx d -+=的两根，则3434,x x c x x d +==；令ln b t =，若2ln b c <<342t x x <<+，又3344ln ,ln x tx x tx ==，故()3434ln ln x x t x x -=-，则3434ln ln x x t x x -=-，故343434ln ln 2x x x x x x -<<+-343434ln ln 2x x x x x x -+<<-334434112ln x x x xx x -+<<，令34x x x =，因为340x x <<，故()340,1x x ∈11ln 2x x x -+<<，()0,1x ∈，①1ln x x -<，因为()0,1x ∈，故ln 0x <，故只需证ln x >()0,1n =∈，则只需证()()12ln 0,0,1p n n n n n =-+>∈，又()p n '()222221212110n n n n n n n---+-=--==<，故()p n 在()0,1单调递减，又()10p =，故()0p n >1ln x x-<；②再证11ln 2x x x -+<，()0,1x ∈，因为ln 0x <，故只需证()()()214ln ln 20,0,111x q x x x x x x -=-=+-<∈++，又()q x '()()()()22222114210111x x x x x x x x x --+=-==>+++，故()q x 在()0,1单调递增，又()10q =，故()0q x <，也即()21ln 01x x x --<+，11ln 2x x x -+<；11ln 2x x x -+<<，()0,1x ∈，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是对方程1x x m =两边取对数，将问题转化为ln ln xm x=，再利用导数研究ln xx的单调性和最值；二是，能熟练掌握含参函数单调性的讨论，从而解决其极值问题；三是，能够对D中的问题进行合理的转化，同时，也要熟练掌握对数平均值不等式343434ln ln 2x x x xx x -+<<-的证明；属综合困难题.第Ⅱ卷 (非选择题， 共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的高度为________ .【答案】2【解析】【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的高.【详解】设圆柱的底面半径为1r ，母线长为1l ，圆锥的底面半径为2r ，高为h ，则圆柱的侧面积为112π36πr l = ，又112r l =，代入解得113,6r l ==，故211π54πV r l ==圆柱，又22π81πr =，又221π27π54π3V r h h ===圆锥，解得2h =.故答案为：2.13. 已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈【答案】40【解析】【分析】由题意建立方程组，根据对数运算，可得答案.【详解】由题意可得122410%20%ab ab ⎧=⎨=⎩，两式作比可得12112b =，解得0.05a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，可得120.052t P =⋅，令120.05250%t⋅=，解得1239.87lg 2t =≈.故答案为：40.14. 已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-=，则12a c - 的最小值为_________【答案】1【解析】【分析】设()()1,0,,,44,0OB b OA a OC c OD b ======，12OM a =u u u r r ，分析可知点M 在直线1x =上，点C 的轨迹为以()4,0D 为圆心，半径为2的圆，结合图形分析求解即可.【详解】设()()1,0,,,44,0OB b OA a OC c OD b ======，12OM a =u u u r r ，O 为坐标原点，由2a b ⋅= 可知：点A 在直线2x =上，点M 在直线1x =上，由42c b OC OD DC -=-==，可知点C 的轨迹为以()4,0D 为圆心，半径为2的圆，则123212a c OM OC CM DM -=-=≥-≥-=，可知当且仅当点C 为(2,0)，且点M 为(1,0)时，12a c -取到最小值1.故答案为：1.【点睛】方法点睛：对于向量问题，常常转化为几何问题，进而分析求解.四、解答题:本题共5小题， 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-（1）求角B.（2）若b =，求 ABC 周长最大值.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由题目的等式，结合余弦定理，可得答案；（2）由正弦定理可得边角的等量关系，利用三角周长公式整理函数关系式，可得答案.【小问1详解】由22()b a a c c -=-，即222b a c ac =+-，∵2222cos b a c ac B =+-，∴1cos 2B =，又(0,π)B ∈，∴π3B =.【小问2详解】的由sin sin ac AC ==可得，2sin a A =，2sin c C =，ABC V的周长2sin 2sin l a b c A C =++=++∵2+π3A C =，∴2π2sin 2sin()3l a b c A A =++=+-+3sin A A =++π6A =++∵2π03A <<，∴l的最大值为16. 已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ （1）求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a = （2）332n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据条件，利用n S 与n a 间的关系，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到112n n n d +=，再利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】321212222n n n a a a a -++++= ①，当2n ≥时，3121222(1)222n n a a a a n --++++=- ②，由①-②，得122n n a-=，即2n n a =，又当1n =时，12a =，满足2n n a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）知2nn a =，所以11222111n n nn n n a a d n n n ++--===+++，则112n nn d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③，()12341111112341222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，由③-④得：()121111112122222n n nT n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111334*********n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=+-+=- ⎪⎝⎭-，所以332n nn T +=-.17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．（1）求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；（2）在锐角△ABC 中，已知()32f A =-，2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠.【答案】（1）对称轴)ππ(122k x k =+∈Z ，单调递增区间为π7π0,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，,； （2.【解析】【分析】（1）根据题意，求得()f x 并化简至一般式，再根据正弦的函数的对称性和单调性求解即可；（2）根据（1）中所求解析式，求得A ，在利用正弦定理求得sin C ；再在△ABD 和△ACD 中，两次使用正弦定理，即可求得关于BAD ∠的三角函数关系，再求结果即可.【小问1详解】221()2sin cos(2sin 2sin sin 6)2sin 2f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin 2(1cos 2)232x x x x x π=-=--=+-，由ππ22π,32x k k +=+∈Z ，得ππ,12x k k =+∈Z ，所以()f x 的对称轴为)ππ(122kx k =+∈Z .由πππ2π22π,232k x k k -+<+<+∈Z ，解得5πππ,π,1212x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，又[]0,πx ∈，所以单调递增区间为π7π0,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，.【小问2详解】由（1）知，33()322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由π02A <<，得ππ4π2333A <+<，则π2π3A +=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin B ===，因π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 33322C B B B ⎛⎫=-=-==+⎪⎝⎭；因为2133AD AB AC =+ ，故可得32AD AB AC =+ ，即()2AD AB AC AD -=- ，也即2DC BD =，故2CD BD =；设BAD θ∠=，则π3CAD θ∠=-，在△ABD 和△ACD中，由正弦定理得sin sin BD AD B θ==πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，为(π3sin 3θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，(1sin 3sin 2θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+，所以tan tan BAD θ∠===18. 已知数列{}n a 满足13a =,11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数（N n *∈）.（1）记232n n b a =-（N n *∈），证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）设12121n n n b c b +-=-（N n *∈），且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3ln 131n n n T n -<--（N n *∈）.【答案】（1）证明见解析，111(23n n b -=（2）12213633n n S n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）按等比数列的定义证明，用n a 的递推关系寻找1n b +与n b 的关系，即可证明，再利用等比数列的通项公式，即可求解；（2）使用分组求和法，偶数项为等比、等差数列求和，奇数项可转化为偶数项求和；（3）先将n c 放缩，再利用等比数列前n 项和，将问题转化成求证11ln(1)33n n-<-，构造函数()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，利用导数与函数单调性间的关系，得ln(1)x x >+，即可求证.【小问1详解】122212131311(21)223232n n n n b a a n a n ++++=-=++-=+- 2221111131(6)2(3232323n n n n a n n a a b =-+-=-=-=，又121313112322b a a =-=+-=，所以，数列{}n b 为以12为首项，13为公比的等比数列.由等比数列的通项公式知111()23n n b -=⋅.【小问2详解】由（1）可知11123n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又232n n b a =-，12113232n n a -⎛⎫∴=+⎪⎝⎭.设242n n P a a a =++ ，则2111111131333133112333222443213nn n n P n n n-⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++=⋅+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，设1321n n Q a a a -=++ ，2211213n n a a n -=+- ，21(121)1323n n n n n P Q Q n ⋅+-∴=+=+，233n n Q P n ∴=-，故12221433633n n n n n S P Q P n n n -⎛⎫=+=-=-+- ⎪⎝⎭.【小问3详解】111332231131313113n n n n n n n c -⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-<---⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，2111112()(1133333n n n n T n n n ∴<-+++=--=-+ ，所以欲证3ln 131n n n T n -<--，只需证13311ln ln ln(133133n n n n n n -<=-=---，即证11ln(1)33n n -<-.设()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，()01xf x x'∴=<+，故()f x 在(1,0)-上单调递减，()(0)0f x f >=，(1,0)x ∴∈-时，ln(1)x x >+.11[,0)33n -∈- ，11ln(133n n∴-<-得证.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，通过放缩，得到213n nc <-，从而将问题转化成求证11ln(133n n -<-，再构造函数()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，利用函数的单调性，得到ln(1)x x >+，即可求证.19. 已知函数ln ()e sin ,(0,)x a f x x x -=-∈+∞.（1）当e a =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；（3）若()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，求证：12ππ2x x <+<.【答案】（1）11(e 1)e y x --=-+ （2）π402e a <≤（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程，（2）构造函数()()32ln 1g t t t t =-++，求导，根据单调性可得()ln esin 0x af x x -=-≥，进而1sin ex x a ≥，构造函数()sin e x xh x =，求导判断单调性，即可求解最值得解.（3）根据h (x )在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.证明()()11πh x h x >-，即可求证12πx x +<，构造函数()1π22tan ex x t x -=以及()212tan cos k x x x=-，利用导数求解单调性，即可求证.【小问1详解】11e ()e sin ,,()e cos x x a f x x f x x --'==-=-∴ ，则1(0)e 1f -'=-，1(0)e f -=，故切线方程为11e (e 1)y x ---=-，即11(e 1)e y x --=-+，【小问2详解】32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥，令()()32,ln 10f x t t t t =-++≥，令()()()()2332322311321ln 1,32111t t t t t g t t t t g t t t t t t +-+-+=-++=-+==+++'，当()()0,0,t g t g t ≥'≥∴在(0,+∞)单调递增，且()00g =，当10t -<<时，()()()()322ln 11ln 10g t t t t tt t =-++=-++<，()0g t ∴≥解集为{}0t t ≥，故()ln esin 0,(0)x af x x x -=-≥>，进而e sin xx a≥,即1sin e x x a ≥，令()sin ex xh x =，()3πcos sin 4e e x xx x x h x ⎛⎫+ ⎝='⎪-⎭=，当()()π0,,0,4x h x h x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭'单调递增，当π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,h x h x '<单调递减，当5π4x >时，()5π41e h x <，5π4π14eh ⎛⎫∴=>⎪⎝⎭，因此()max π4h x h ⎛⎫=⎪⎝⎭，1a∴≥故π402ea <≤【小问3详解】()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，则()sin sin 1,e e x x x x h x a =∴=有两个根12,x x ，即()()121h x h x a==，由（2）知，当x ∈(0,π) h (x )在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.故12π0π4x x <<<<，欲证12πx x +<，即证21πx x <-，由于21π4ππ4x x ⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，h (x )在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.即()()21πh x h x >-，即()()11πh x h x >-，()()11πh x h x >-，即证()1111πsin πsin e e x x x x -->，即11π11e e x x ->，即证11πe e x x ->，即证1x <π2，显然成立，欲证12x x +>π2， 即证211ππππ,,2242x x x ⎛⎫>--∈ ⎪⎝⎭，即证()21π2h x h x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即证()11π2h x h x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即证1111π2πsin sin 2ee x x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭<，即证1π221tan e x x -<.令()1π22tan e x x t x -=，则()1111ππ222211222ππ222211e 2tan e 2tan cos cos e e x x x x x x x x t x -----⋅-==⎛⎫ ⎪⎝⎭'，令()22211sin 1sin22tan 20cos cos cos cos x xk x x x x x x-=-=-=≥，故()k x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且()()00k x k >=，()()0,t x t x ∴>'在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()π14t x t ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，得证【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。

某某省某某市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x23．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣15．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1 7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值X围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值X围是．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值X围．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．某某省某某市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，总50分）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，∵A={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据y=x﹣1=在区间（0，+∞）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=﹣x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，得D项不符合题意．再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意．解答：解：对于A，因为函数y=x﹣1=，在区间（0，+∞）上是减函数不满足在区间（0，+∞）上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=|x|是偶函数，而且当x∈（0，+∞）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；对于D，因为函数y=﹣x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称所以函数y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，故D不符合题意故选：C点评：本题给出几个基本初等函数，要求我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于基础题．3．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．解答：解：=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．4．（5分）设f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），再根据已知表达式可求得f（1）．解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+x，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选A．点评：本题考查函数奇偶性的性质及其应用，属基础题，定义是解决问题的基本方法．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．36πD．12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．据此可计算出其体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5．如图所示：底面上的高PO==4．∴V==12π．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．6．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x＜0，∴函数f（x）=x+1=+1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．因此f（x）有最大值﹣1．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．解答：解：由图可知，A=1，，∴，即ω=2．由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．点评：本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．8．（5分）如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．解答：解：===．故选C．点评：熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键．9．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值X围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值X围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值X围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值X围为[0，2]故选：C点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．10．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得x=±．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，得＞x2＞0．∴0＜x2＜1．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．（5分）已知a∈（﹣，0），且sin（+a）=，则tana=﹣．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先由诱导公式求出cosα的值，再根据角的X围求出sinα，从而可求tana的值．解答：解：sin（+a）=⇒cosα=，∵a∈（﹣，0），=﹣，故tana===﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，考察了同角三角函数的关系式的应用，属于基础题．12．（5分）直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=1或﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数f（x）=的导数，得切线斜率为﹣，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数f（x）=的图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：由于函数f（x）=的导数，若设直线y=﹣x+b与函数f（x）=相切于点P（m，n），则解之得m=2，n=，b=1或m=﹣2，n=﹣，b=﹣1综上所述，得b=±1故答案为：1或﹣1点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．13．（5分）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值X围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；分类讨论．分析：根据函数表达式分类讨论：①当x0≤0时，可得2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1；②当x0＞0时，x0.5＞1，可得x＞1，由此不难得出x0的取值X围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．解答：解：①当x0≤0时，可得2﹣x0﹣1＞1，即2﹣x0＞2，所以﹣x0＞1，得x0＜﹣1；②当x0＞0时，x00.5＞1，可得x0＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）点评：本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题．利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键．14．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据正方形网格确定向量的长度和两个向量的夹角，然后利用，可以某某数λ．解答：解：设正方形的边长为1，则AB=1，AC=，∴cos∠CAB=，∵，=，∴，即，∴，解得λ=3．故答案为：3．点评：本题主要考查平面数量积的应用，利用向量垂直和数量积的关系即可求出λ，要根据表格确定向量是解决本题的关键．三、解答题（共80分）15．（12分）已知函数的周期是π．（1）求ω和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的周期公式即可求ω和的值；（2）将函数g（x）进行化简，然后利用三角函数的性质即可求函数的最大值．解答：解：（1）∵函数的周期是π，且ω＞0，∴，解得ω=2．∴．∴．（2）∵=，∴当，即时，g（x）取最大值．此时x的集合为．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的周期性和函数最值的求解方法．16．（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为．（1）请完成列联表；组别达标不达标总计甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故可得结论；（2）用分层抽样的方法，可求甲班、乙班抽取的人数；（3）利用枚举法确定基本事件的个数，根据古典概型概率公式，可得结论．解答：解：（1）在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故有组别达标不达标总计甲班54 8 62乙班54 4 58合计108 12 120…（3分）（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为人，…（4分）从乙班抽取的人数为人…（5分）（3）设从甲班抽取的人为a，b，c，d，从乙班抽取的人为1，2；“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A．…（6分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，…（10分）由古典概型可得…（12分）点评：本题考查概率知识的运用，考查分层抽样，考查枚举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）已知=（sinB，1﹣cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值X围．考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的X围求出这个角的X围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的X围，进而得到所求式子的X围．解答：解：（1）∵=（sinB，1﹣cos B），且与=（1，0）的夹角为，∴=2sinB，又=×1×cos=，∴2sinB=，化简得：2cos2B﹣cosB﹣1=0，∴cosB=1（舍去）或cosB=﹣，又∵B∈（0，π），∴B=；（2）sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA﹣sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴，则，∴sin A+sin C∈（，1]．点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，向量的数量积表示向量的夹角，三角函数的恒等变换以及同角三角函数间基本关系的运用．学生做题时注意角度的X围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值，掌握正弦函数的值域．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，A B⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由求导公式求出导函数，求出切线的斜率f′（1）及f（1）的值，代入点斜式方程再化为一般式方程；（Ⅱ）先求出函数的定义域，再对导函数进行化简，判断出导函数的符号，即可得函数的单调性即极值情况；（Ⅲ）先对导函数进行化简，再对a进行分类讨论，利用列表格判断出导函数的符号，即可得函数的单调区间．解答：解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，则，﹣﹣﹣（1分）所以f′（1）=2，且f（1）=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），由（1）得=，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴f（x）在（0，∞）上单调递增，没有极值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由题意得，（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当a≥0时，在（0，∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是f′（x）＞0；﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及导数与函数的单调性、极值的应用，考查了分类讨论思想，注意一定先求出函数的定义域，以及把导函数化到最简．20．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函数的性质求出它的值域．（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值．（3）令 h（x）==﹣，通过h′（x）=的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=﹣．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．解答：解：（1）当a=2时，g（x）=，x∈[0，3]，当x=1时，；当x=3时，，故g（x）值域为．（2）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①若，t无解；②若，即时，；③若，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以 f（x）min=．（3）证明：令 h（x）==﹣，h′（x）=，当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时．h′（x）＜0，h（x）是减函数，故h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且当h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．。