高三上学期期中考试(数学理)

2024-2025学年度友好学校高三期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则A B = （）A.{}0,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1,2- D.{}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】【分析】根据交集定义求解.【详解】因为{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，所以A B = {}0,2，故选:A.2.已知命题p ：x R ∃∈，2e 1x x <-，那么命题p ⌝为（）A.x R ∃∈，2e 1x x ≥-B.x R ∀∈，2e 1x x <-C.x R ∀∈，2e 1x x ≥-D.x R ∀∈，2e 1x x >-【答案】C 【解析】【分析】利用特称命题的否定变换形式即可求解.【详解】p ：x R ∃∈，2e 1x x <-，则p ⌝：x R ∀∈，2e 1x x ≥-.故选：C3.函数()2ln 6f x x x =+-的零点所在区间为（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,3【答案】D 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断出函数()y f x =的零点所在的区间.【详解】易知函数()y f x =在 ꌸध 上单调递增，又()150f =-<，()2ln 220f =-<，()3ln 330f =+>，故函数()y f x =的零点所在区间为()2,3．故选：D.【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.4.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()30330m,-在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）62.(sin15)4-︒=A.30mB.60mC.303mD.603m【答案】D 【解析】【分析】在ACM △中，利用正弦定理，得sin15sin 30AM CM ︒=︒，再结合锐角三角函数的定义，求得AM ，CD ，得解．【详解】由题意知，45CAM ∠=︒，1801560105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，所以1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，在Rt ABM 中，sin sin15AB ABAM AMB ==∠︒，在ACM △中，由正弦定理得，sin 30sin 45AM CM=︒︒，所以sin 45sin 45sin 30sin15sin 30AM AB CM ︒︒==︒︒⋅︒，在Rt DCM中，()30sin 45sin 60sin 6060sin15sin 30AB CD CM -⋅︒⋅︒=⋅︒==︒⋅︒所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．故选：D ．5.设π02θ<<，若()2sin cos 3θθθ++=，则sin2θ=（）A.32B.12C.2D.34【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出πsin(2)13θ+=，结合角的范围求得θ，即可求得答案.【详解】由题意()2sin cos 3θθθ++=，则12sin cos 3θθθ++=，即sin22θθ+=，故π2sin(2)23θ+=，即πsin(2)13θ+=，由于π02θ<<，所以ππ4π2(,333θ+∈，则ππ232θ+=，即π12θ=，故π1sin2sin 62θ==，故选：B6.曲线2e x y x =在点()1,e 处的切线方程为（）A.e 2e 0x y +-=B.3e 4e 0x y +-= C.3e 2e 0x y --= D.e 32e 0x y -+=【答案】C 【解析】【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.【详解】由2e x y x =，得22e e e (2)x x x y x x x x '=+=+，所以该曲线在点(1,e)处的切线斜率为3e k =，故所求切线方程为e 3e(1)y x -=-，即3e 2e 0x y --=．故选：C.7.已知4log 2a =，8log 3b =，1215c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.a b c << B.c a b<< C.a c b<< D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得12a =，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出12b >和12c <即可得解.【详解】由题41log 22a ==，又由3log y x =是增函数可知881log 3log 2b =>=，121152c ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，∴c a b <<，故选：B.8.函数f(x)＝2log ,02,0x x x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1【答案】A 【解析】【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在 时，2log y x =存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件.【详解】当 时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2x x a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集，【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件B.221log 4y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最大值为2-C.若22cos sin 1αβ+=，则αβ=D.命题“()0,x ∀∈+∞，11x x +>”的否定是“()0,x ∀∈+∞，11x x+≤”【答案】AB 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，根据对数函数的性质判断B ，利用平方关系及诱导公式判断C ，根据含有一个量词命题的否定判断D.【详解】对于A ：若0a =，1b =-，满足a b >，但是22a b <，故充分性不成立，若1a =-，0b =，满足22a b >，但是a b <，故必要性不成立，即“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故A 正确；对于B ：由2104x -+>，解得1122x -<<，所以函数221log 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，又211044x <-+≤，所以当0x =时函数221log 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值，且max 21log 24y ==-，故B 正确；对于C ：因为22cos sin 1αβ+=，又22cos sin 1ββ+=，所以22cos cos αβ=，所以πk βα=+，Z k ∈，故C 错误；对于D ：命题“()0,x ∀∈+∞，11x x +>”的否定是“()0,x ∃∈+∞，11x x+≤”，故D 错误；10.下列说法正确的是（）A.函数()f x =()g x =是相同的函数B.函数()f x =的最小值为6C.若函数()313xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，则1k =D.已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()f x 的定义域为[]1,3-【答案】AD 【解析】【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A ，由基本不等式即可求解B ，根据奇函数的性质即可求解C ，由抽象函数定义域的性质即可求解D.【详解】对于A ，由题意可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，所以()f x =[1-，1]．由210x -≥得11x -≤≤，所以()g x =[1-,1]．又因为()()f x g x =，故函数()f x 与()g x 是相同的函数，故A 正确．对于B,()6f x ==2169x +=方程无解，故等号不成立，故B 错误．对于C,若()313xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，当0k <时，x 需要满足01313xxkk +≠≠-⋅⇒，则由奇函数定义域关于原点对称，可得0131k k-=⇒=-，此时()()133031131x x x x f x x --==≠-+-，()()13313131x x x xf x f x ---===--++-，为奇函数，所以1k =-满足题意；若0k ≥，可得函数的定义域为R ,故()1001k f k-==+，解得1k =，经检验符合题意，所以1k =±，故C 错误，对于D ，对于已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则11x -≤≤，故1213x -≤+≤，则函数()f x 的定义域为[]1,3-，D 正确，故选：AD ．11.已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =++的图象为C ，以下说法中正确的是（）A.函数()f x 的最大值为12+B.图象C 关于π8,0⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C.函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D.函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π4可得到2sin 12y x =+【答案】CD 【解析】【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】()211cos 2112πsin sin cos sin 2sin 21222224x f x x x x x x -⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭.A ：函数()f x 的最大值为12+，因此本选项不正确；B ：因为π2ππsin 2118284f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 不关于π8,0⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，因此本选项不正确；C ：当π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ2,422x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，因此本选项正确；D ：函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到2πsin 124y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移π4可得到2sin 12y x =+，所以本选项正确，故选：CD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.设1x >-，则函数461y x x =+++的最小值是__________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，化简4461511y x x x x =++=+++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】由1x >-，可得10x +>，则446155911y x x x x =++=+++≥+=++，当且仅当411x x +=+时，即1x =时，等号成立，所以函数461y x x =+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.13.已知集合2}71|0{2A x x x =++≤，集合{}|122B x m x m =-<<其中x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是________________．【答案】5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由条件可得AB ，化简集合A ，根据集合的包含关系列不等式可求m 的取值范围.【详解】因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以AB ，因为不等式27120x x ++≤的解集为{}43x x -≤≤-，所以{}43A x x =-≤≤-，所以23124m m >-⎧⎨-<-⎩，所以52m >，所以m 的取值范围是5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.14.关于函数()22sin cos f x x x x =-，有如下命题：（1）3x π=是()f x 图象的一条对称轴；（2）,06π（）是()f x 图象的一个对称中心；（3）将()f x 的图象向左平移6π，可得到一个奇函数的图象．其中真命题的序号为______________．【答案】(2)(3)【解析】【分析】将函数的解析式化为()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后对给出的三个命题分别进行验证后可得正确的命题．【详解】由题意得()sin22cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，对于（1），当3x π=时，22cos 2336f πππ⎛⎫⎛⎫=+≠± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是函数图象的对称轴，所以（1）不正确．对于（2），6x π=时，2cos 0636f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06（）是()f x 图象的一个对称中心，所以（2）正确．对于（3），将()f x 的图象向左平移6π后所得图象对应的解析式为()2cos 266f x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦2cos 2222x sin x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，为奇函数，所以（3）正确．综上可得（2）（3）为真命题．故答案为（2）（3）．【点睛】本题考查三角函数的性质和图象变换，解题的关键是将函数的解析式化为()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的形式后，将26x π+作为一个整体，并结合余弦函数的性质求解，属于基础题．四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集U R =，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ð；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<I ð；（2）[]3,0-【解析】【分析】（1）分别求出U B ð和A ,再取交集，即可．（2）因为B A ⊆且11m m -<+恒成立，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解出即可．【详解】解：（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<ð或 h ，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤<I ð．（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得[]3,0m ∈-．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．16.已知函数()ln sin f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值．【答案】（1）()1cos1sin1cos11y x =++--（2）sin1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线方程即可.（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可.【小问1详解】由题意得，()1cos f x x x+'=，所以()11cos1f =+'，又()1sin1f =，所以曲线 y m 在点 ꌸm 处的切线方程为()()sin11cos11y x -=+-，即()1cos1sin1cos11y x =++--；【小问2详解】由上问得()1cos f x x x +'=，因为1y x =和cos y x =均在区间[]1,e 上单调递减，所以m 在区间[]1,e 上单调递减，因为()11cos10f +'=>，()112π11e cose cos 0e e 3e 2f =+<+=-<'，所以()0f x '=在()1,e 上有且只有一个零点，记为0x ，所以[)01,x x ∈时，m ；(]0,e x x ∈时，m ，所以()f x 在[)01,x 上单调递增，在(]0,e x 上单调递减，因为()()1sin1,e 1sine f f ==+，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为sin1．17.已知函数()22sin .f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）最小正周期T π=，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式计算得()f x 的最小正周期，由222262k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈可解得函数()f x 的单调增区间；（2）由x 的范围求出26x π-的范围，进一步求出sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得结果．【详解】（1）()22sin 1cos2f x x x x x=+=+-12sin2cos212sin 21226x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()f x \的最小正周期22T ππ==，令222262k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈，得63k x k ππππ-＃+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为1-()2216f x sin x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3．【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>，把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；18.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =.（1）求A ；（2）求2b c a +的最大值.【答案】（1）π3A =（2）2213.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得tan A =，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得tan A =，结合角的范围即可求解；（2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得()23b c B a ϕ+=+，结合正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】方法1：由sin cos b A B +=及正弦定理可得：()sin sin cos B A A B C A B +==+，所以sin sin cos cos sin B A A B A B A B +=+，故sin sin sin B A A B =，因为0πB <<，即sin 0B >，故sin 0A A =>，所以tan A =，又0πA <<，所以π3A =.方法2：由sin cos b A B +=及余弦定理可得：()222sin2a c b b A ac +-+=，所以)222sin 02b c a A A bc +-==>，所以tan A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由正弦定理可知22sin sin sin b c B C a A++=，即()2232π23532212sin sin sin cos sin 333223b c B B B B B a ϕ⎛⎫+⎡⎤⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，其中πtan 52ϕϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，2π7π0,036B B ϕ<<∴<+< ,故当π2B ϕ+=时，2b c a +19.设函数()2ln 25f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的极小值；（2）若关于x 的方程()()226f x x m x =+-在区间2[1,e ]上有唯一实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）极小值为()13f =-；（2）222{|11,=1}m m m e e≤<++或．【解析】【分析】（1）根据导函数的符号判断出单调性，然后可求出函数的极小值；（2）由题意并结合分离参数法得到方程2ln 11,e x m x ⎡⎤=+⎣⎦在区间上有唯一解，设()ln 1x g x x=+，然后得到函数()g x 的单调性和最值，进而得到其图象，最后根据y m =和函数()g x 的图象可得到所求的范围．【详解】（1）依题意知()f x 的定义域为()0,+∞，∵()2ln 25f x x x x =+-，∴()()()2411145145x x x x f x x x x x---+='=+-=，令()0,f x '=解得1,x =或14x =则()()1010,4x x f x f x '当或时，单调递增，()1104x f x <<<'当时，，()f x 单调递减．∴所以当 y 时函数()f x 取得极小值，且极小值为()13f =-．（2）()()()226ln 1f x x m x x m x =+-=-由得，0x >又，所以ln 1x m x=-，()()22261,e ,f x x m x ⎡⎤=+-⎣⎦要使方程在区间上有唯一解只需2ln 11,e x m x ⎡⎤=+⎣⎦在区间上有唯一解．令()ln 1(0)x g x x x =+>，则()21ln x g x x -'=，由()0g x '≥，得1x e ≤≤；由()0g x '≤，得2e x e ≤≤∴()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数.∴当x e =时函数()g x 有最大值，且最大值为()11g e e =+，又()()2222ln 211,11e g g ee e ==+=+，∴当11m e =+或2211m e ≤<+时，ln 1x m x =+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有唯一解，∴实数m 的取值范围为222{|11,=1}m m m e e≤<++或．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数的大致图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现．。

2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =I ð（ ）A. ÆB. [)1,+¥C. (),0-¥ D. (],1-¥-【答案】D 【解析】【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合P ，再求出集合Q ，最后根据集合的运算法则计算可得.【详解】由y =可得210x -³，解得1x ³或1x £-，所以{(][),11,P x y ¥¥===--È+，又210x -³，则0y =³，所以{[)0,Q y y ¥===+，所以()R ,0Q =-¥ð，所以()(]R ,1P Q =-¥-I ð.故选：D2. 若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（ ）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果.【详解】因为()()12221222555z ++====+--+i i i i i i ，故21i 55z =-，故选:A3. 已知角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2a =（ ）A.34B.43C. 34-D. 43-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求解tan a ，使用二倍角公式求解tan 2a .【详解】由三角函数的定义有：2tan 21a -==-，所以22tan 44tan 21tan 33a a a ===---；故选：D .4. 已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数C. ()2024f x +是奇函数 D. ()2024f x +是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.【详解】因为()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，所以令0x y ==，可得()02024f =-，令y x =-，则()()()02024f f x f x ---=，所以()()4048f x f x -=--，则()f x 既不是奇函数又不是偶函数，且()()20242024f x f x -+=-+éùëû，所以()2024f x +是奇函数.故选：C5. 向量()1,2a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r上的投影向量是（ ）A.B. C. 11,22æö-ç÷èøD. 12,55æö--ç÷èø【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的定义计算得解.【详解】由题意可知，a r在b r 上的投影向量为：()1111,1,222a b b bb ×æö=-=-ç÷èør r r rr .故选：C .6. 已知函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，则()()3f f =（ ）A. 8B. 34-C. 109-D.12【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数求值.【详解】因为函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，所以()113312f ==-，即()()211331224f f f æöæö==-=-ç÷ç÷èøèø，故选：B.7. 已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（ ）A. b a c <<B. b c a<< C. c a b<< D. c b a<<【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数单调性可判断,a b 的大小关系，利用2332>可得3232>>可得,b c 的大小关系，即可得答案.【详解】因为ππ54<，故πππcos cos sin 544>=，即s π4c s πo 5in a b ==>，又2332>，即3232>>333log 3log >\>，即3312,log 2>>，即3l πsin 4og 2b c ==>，故选：D8. 如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A Ð=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ×uuu r uuu r的最大值是（ ）A. 2B. 4C.D.1【答案】A 【解析】【分析】以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，建立坐标系，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，利用向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可.【详解】解：以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，如图所示：则(0,0),A B C ，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，的所以(cos ),(cos ,sin BP CQ q q q q ==---uuu r uuu r，所以cos (cos sin (sin BP CQ q q q q ×=-+-uuu r uuu r1q q =-3sin()1q j =+-，其中tan j =j 为第二象限角)，所以当sin()1q j +=时，3sin()1q j +-取最大值，为2.即BP CQ ×uuu r uuu r的最大值为2.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”B. 当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为4C. tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=D. “ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的必要不充分条件【答案】AC 【解析】【分析】写出命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式判断选项A ；求得当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值判断选项B ；求得tan 25tan 20tan 25tan 20°+°+°°的值判断选项C ；求得“ππ4k q =±（k ÎZ ）”与“π4k q =（k ÎZ ）”的逻辑关系判断选项D.【详解】选项A ：命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”判断正确；选项B ：当()0,πx Î时，(]sin 0,1x Î，令sin x t =，则4y t t=+在(]0,1单调递减，最小值为5，则当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为5.判断错误；选项C ：由tan 25tan 201tan 451tan 25tan 20°+°=°=-°°，可得tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=.判断正确；选项D ：π4k q =（k ÎZ ），可化为ππ4n q =-或πn q =或ππ4n q =+或ππ2n q =+（n ÎZ ），故“ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的充分不必要条件.判断错误.故选：AC10. 已知函数()cos f x x x =+，则（ ）A. 函数()f x 在π2,6π3éùêúëû上单调递减B. 函数()f x 的图象关于点5π,06æöç÷èø对称C. 函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=【答案】BCD 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，根据三角函数的单调性、对称性、奇偶性以及图像问题逐个选项判断即可.【详解】()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x öæö=+=+=+÷ç÷÷èøø，对于A ，令π2π,63x éùÎêúëû，则ππ5π,636x éù+Îêúëû，所以对于函数sin y x =，π5π,36x éùÎêúëû时，有增有减，A 错；令5π6x =，则5π5ππ2sin 0666f æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，B 正确；对于C ，平移后，得π2sin 6y x m æö=++ç÷èø，若图象关于y 轴对称，则πππ,Z 62m k k +=+Î，ππ,Z 3m k k =+Î，C 正确；因为[]0,2πx Î，作出()f x 图像如下图所示，由()f x 与y m =有且只有三个交点，所以32πx =，又因为()2f x =时π3x =，且12,x x 关于直线π3x =对称，所以123π8π22π33x x x ++=´+=，D 正确.故选：BCD11. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n Î且10a >，10n n a a -+¹（2n ³），则下列选项正确的是（ ）A. 223n a n =-B. 数列n S n ìüíýîþ为等差数列C. 当10n =时，n S 有最大值D. 设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由n a 和n S 的关系，求出数列{a n }的通项公式，进行判定；对于B ，由等差数列求和公式求出n S ，由定义判断n S n ìüíýîþ是否为等差数列；对于C ，借助二次函数性质判定；对于D ，由n a 的正负判定12n n n n b a a a ++=正负，即可判定最值.【详解】对于A ，当1n =时，()()21114100a a -=-，解得119a =或121a =-，因为10a >，所以119a =，当2n ³时，由()()214100n n a S -=-，*N n Î得()()21114100n n a S ---=-，*N n Î，所以()()()()22111141004100n n n n a a S S -----=---，整理得()()1120n n n n a a a a --+-+=，因为10n n a a ->+，所以120n n a a --+=，即12n n a a --=-，所以数列{a n }是首项为19，公差为2-的等差数列，所以()()1912221n a n n =+-´-=-+，故A 错误；对于B ，由A 可知，()()21192202n n n S n n n -=+´-=-+，所以22020n S n n n n n-+==-+，所以()()11202011n nS S n n n n+-=-++--+=-+，所以数列n S n ìüíýîþ是首项为19，公差为1-的等差数列，故B 正确；对于C ，因为()222010100n S n n n =-+=--+，*N n Î，所以当10n =时，n S 取得最大值，故C 正确；对于D ，由2210n a n =-+>，得*10N 1n n ££Î，，由2210n a n =-+<，得*N 11n n ³Î，，所以当*1,N 8n n ££Î时，120n n n n b a a a ++=>，当9n =时，9910110b a a a =<，当10n =时，101011120b a a a =>，当*11,N n n ³Î时，120nn n n b a a a ++=<，因为()9910113113b a a a ==´´-=-，()()101133b =´-´-=，所以当8n =或10n =时，数列{b n }的前n 项和取最大值.故D 正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．【答案】1【解析】【分析】由题意可得213b a+=，从而得12(3)3a ba b b a +=++，利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，所以213b a+=，所以1211211()()(3(3(313333a b a b a b b a b a +=++=++³+=+=+，当且仅当2a bb a=，即b =时，等号成立，将b =，代入230a b ab +-=，得a b ==时，等号成立.故答案为：1+13. 已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+¥上没有零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)2,-+¥【解析】【分析】根据题意转化为()21ln 022x f x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，得到ln22xa x x>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】因为函数()21ln 22x f x x ax =-+在区间()2,¥+上没有零点，且x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，所以()21ln 022xf x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，所以ln22xa xx>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，可得2221ln 1ln 222()122x xx g x x x ---=-=¢，因为2x >，ln 02x >，可得21ln 202x x --<，所以()0g x ¢<，所以()g x 在区间()2,¥+上单调递减，所以()()22g x g <=-，所以2a ³-，所以，实数a 的取值范围为[2,)-+¥.故答案为：[2,)-+¥.14. 已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()(n n a g g g g n n n n-=+++×××+（*n ÎN ），则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】 ①. (1,2) ②. 42n a n =-【解析】【分析】利用中心对称的定义求出()g x 图象的对称中心，利用函数()g x 的对称性及倒序相加法求出通项.【详解】函数e 1()e 1x x f x -=+的定义域为R ，e 11e ()()e 1e 1x x x x f x f x -----===-++，由()(1)2g x f x =-+，得(1)()2g x f x +=+，则(1)(1)()()224g x g x f x f x -+++=-+++=，因此函数()g x 图象的对称中心是(1,2)；由(1)(1)4g x g x -+++=，得()(2)4g x g x +-=，当*n ÎN 时，11((24g g n n+-=，12321()()()(n n a g g g g n n n n -=+++×××+，2122231((((n n n n a g g g g n n n n---=+++×××+，于是24(21)n a n =-，即42n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.故答案为：(1,2)；42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD，若AB =，2AC =，CD =，求AD 长．【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；（2）利用余弦定理来求解边边角三角形，得到两解.【小问1详解】由)2cos cos cos b B a C c A =+，结合由正弦定理边化角可得)2sin cos sin cos sin cos B B A C C A ×=+，故()2sin cos B B A C ×=+，而()sin sin 0B A C =+>，所以cos B =B ∈(0,π)，所以π6B =．【小问2详解】在ABC V中，2AB AC ==,由正弦定理可得sin sin B ACB AB AC Ð=´=因为AD BC ∥，所以DAC ACB Ð=Ð，即sin DAC Ð=在ACD V 中，因为CD AC <3cos 4DAC Ð===，又因为2AC =，CD =，结合定理可得3cos 4DAC Ð==．的解得1AD =或2．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ÎN ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ìüíýîþ的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n l +-£+恒成立，求实数l 的取值范围．【答案】（1）2n n a = （2）3,2éö+¥÷êëø．【解析】【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，可证得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列的通项，利用错位相减法求出n T ，再将题意转化为可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，求出n b 的最大值，即可得出答案．【小问1详解】由22n n a S =+，可得1122n n a S ++=+，两式相减可得：1122n n n a a a ++-=，所以12n n a a +=，令1n =，可得1122a a =+，所以12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为1222n n n a -=´=.【小问2详解】2log 2n n c n ==Q ，2n n n c n a \=．可得212222n n n T =++×××+，则2311122222n n n T +=++×××+，两式相减得：231111122111111222222212nnn n n n n T ++éùæö-êúç÷èøêúëû=+++×××+-=--111211222nn n n n +++æö=--=-ç÷èø，所以222n n n T +=-，因()()()22221n nn n n n T n l ++-=£+，则()12nn n l +£，原题意等价于关于n 的不等式()12nn n l +£恒成立，可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，令11n n n n b b b b +-³ìí³î，则()()()()()11112221122n n nn n n n n n n n n+-ì+++³ïïí+-ï³ïî，解得2n =或3，则1234b b b b <=>>×××，即当2n =或3n =时，n b 取到最大值32，可得32l ³，所以实数l 的取值范围3,2éö+¥÷êëø．17. 已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ì+-£=í-+>î（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ì--+-££ï=í-<£ïî在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()gx 的二阶不动点，简称为稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,¥+，()f x 的单减区间为(],1-¥- （2）①23-；②32-，23-和1.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式，画出相应的函数图像，结合函数图像写出单调区间.（2）结合分段函数解析式，由不动点，稳定点的定义计算分析求解.【小问1详解】()f x 的单增区间为[−1,0]，(0,+∞)，()f x 的单减区间为(],1-¥-.【小问2详解】易知()222,2012,022x x g x x x ---££ìï=í-<£ïî①当020x -££时，()0022g x x =--，令()00g x x =得0022x x --=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，令()00g x x =得200122x x -=，解得01x =综上所述：函数()g x 的不动点为23-.②当021x -£<-时，()0022g x x =--，且()002g x <£，则()()()()2200000122222242g g x g x x x x =--=---=+令()()00g g x x =得，200024x x x +=，解得032x =-或00x =（舍）；当010x -££时，()0022g x x =--，且()020g x -££，则()()()()000022222242g g x g x x x =--=----=+令()()00g g x x =，得0042x x +=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，且()020g x -<£，则()()2220000112222222g g x g x x x æöæö=-=---=-+ç÷ç÷èøèø，令()()00g g x x =，得2002x x -+=，解得01x =或02x =-（舍）综上所述：函数()g x 的稳定点有3个，分别是32-，23-和1.18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min ．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cos sin22q jq jq j +--=，cos cos 2sinsin22q jj qq j +--=）【答案】（1）π5545cos12H t =-，[]0,24t Î． （2）π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；8min t =或20mint =【解析】【分析】（1）据题意，设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，由条件确定,,,A B w j 的值；（2）由题意，1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，进而求出高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，由余弦函数性质即可求.【小问1详解】设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，则2π12πT w ==，令0t =时，则sin 1j =-，π2j =-，又10010A B A B +=ìí-+=î，解得4555A B =ìí=î，所以πππ45sin 555545cos 12212H t t æö=-+=-ç÷èø，[]0,24t Î．【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3．不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，则1ππ45sin 55122H t æö=-+ç÷èø，9ππππ5π45sin 5545sin 551223126H t t æöæö=--+=-+ç÷ç÷èøèø，所以高度19πππ5π45sin sin 122126h H H t t æöæö=-=---ç÷ç÷èøèø，由参考公式得，上式π2πππ2π90cos sin 45cos 1236123t t æöæö=-=-ç÷ç÷èøèø从而高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；当π2πcos 1123t æö-=ç÷èø，即π2ππ123t k -=，N k Î时，解得812t k =+，N k Î，又[]0,24t Î，所以8min t =或20min t =，此时高度差h 的最大值为45m ．19. 已知 a ÎR ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a 的值；为（2）若()()()12122f x f x x x ==¹，求证：12112x x a+>.【答案】（1）1 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别对()f x ，()g x 求导，讨论0a £和0a >，得出()f x 和()g x 的单调性，即可求出()f x ，()g x 的极小值，即可得出答案.（2）令1211,m n x x ==，由()()()12122f x f x x x ==¹可得1ln ln m na m n -=-，要证12112x x a +> ，不妨设0n m <<，所以只要证()2lnm n m n m n ->+，令()1m t t n =>，()()()21ln 11t h t t t t -=->+，对()h t 求导，得出()h t 的单调性，即可证明.小问1详解】()f x ，()g x 定义域均为(0,+)¥，()221,a a xf x x x x-+¢=-+=， 当0a £时，则()0f x ¢>，()f x 在(0,+)¥单调递增，无极值，与题不符；当0a >时，令()=0f x ¢，解得：=x a ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +¥单调递增，∴在=x a 取极小值，且()1ln f a a =+； 又()1g x a x¢=-，当0a £时：()0g x ¢<，()g x 在(0,+)¥单调递减，无极值，与题不符；当0a >时：令()=0g x ¢，解得：1x a=，所以()g x 在10,a æöç÷èø单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø单调递增，∴在1x a =取极小值，且11ln g a a æö=-+ç÷èø； 由题：，解得：=1a .【小问2详解】【令1211,m n x x ==，因为12x x ¹，所以m n ¹，由()()()12122f x f x x x ==¹可得：()()1122+ln =2ln =21ln =22+ln =2ax x am m an n a x x -Þ-ìïìïïííïîïïîL L ，（1）-（2）得：()ln ln a m n m n -=-，所以1ln ln m n a m n-=-，要证：12112x x a +> ，只要证：2m n a +> ，只要证：2ln ln m n m n m n-+>-， 不妨设0n m <<，所以只要证：()2lnm n m n m n->+， 即证：21ln 1m m n m n næö-ç÷èø>+，令()1m t t n =>，只要证：()()21ln 11t t t t ->>+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+， ()()()()()()()222221211114111t t t h t t t t t t t +---¢=-=-=+++，所以()h t 在()1,t Î+¥上单调递增，∴， 即有()()21ln 11t t t t ->>+成立，所以12112x x a +>成立.。

长春市十一高中2010届高三上学期期中考试数 学 试 题（理科）（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间120分钟， 满分150分．）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．0sin 330的值是 （ ）A ．B ．12-C ．12D 2．复数32(1)i i +等于 （ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -3．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,3,3,4,5A B ==，则集合()U C A B 等于（ ）A ．{}3B ．{}4,5C ．{}3,4,5D ．{}1,2,4,54．设A 为ABC ∆的最小内角，则cos sin A A +的取值范围是 （ ）A ．(B ．⎡⎣C ．(D ．( 5．直线2y x =与抛物线23y x =-围成的封闭图形的面积是 （ ）A ．B ．2C ．323 D ．353 6．已知平面向量20a b =≠ ，且关于x 的方程20x a x a b ++∙= 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 （ ）A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x 等于 （ ）A 2eB eC l n 22D l n 28． 0203sin 702cos 10-- 等于 （ ）A 12B 2C 2D 29．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域为 （ ） A ．[]0,1 B ． [)0,1 C ．[)(]0,11,4 D ． ()0,110．已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===，则 （ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>11．函数()321f x ax a =-+在[]1,1-上存在一个零点，则a 的取值范围为 （ ）A ．15a ≥B ．1a ≤-C ．115a -≤≤D ．15a ≥或1a ≤- 12．函数2()lg()1f x a x =+-是奇函数，且在0x =处有意义，则使()0f x <的x 的取值范围为 （ ）A (1,0)-B (0,1)C (,0)-∞D ()(,0)1,-∞+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．方程223x x -+=的实数解的个数为 ．14．已知曲线3y x bx c =++上一点(1,2)A 的切线为1,y x =+则22b c += ．15．下列命题：①,,R αβ∃∈cos()cos sin αβαβ+=+；②630,ln ln 10x x x ∀>++>；③,R ϕ∀∈函数sin(2)y x ϕ=+都不是偶函数；④,m R ∃∈使243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上递减．其中真命题有 （把你认为正确的序号都填上）．16．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x R =-+∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的值域．18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b a b ααββ==-= （1）求cos()αβ-的值；（2）若50,sin 2213ππβαβ-<<<<=-，求sin α的值．19．（本小题满分12分）设()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+=．（1）求(1)f 的值；（2）若()(8)2f x f x +-≤，求x 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,()n n n a S n N -=∈．（1）求证：数列{}12-⋅-n n n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．21．（本小题满分12分）已知函数32()31()f x ax x x a R =+-+∈．（1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；（2）如果对任意x R ∈，不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n 在直线11122y x =+上，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈， 311b =，且{}n b 的前9项和为153．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设3,(211)(21)n n n c a b =--记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值．（本页不交，答案写到答题纸上）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B7．B 8．C 9．B 10．C 11．D 12．A二、填空题（每小题4分，共16 分）13．2 14．13 15．①②④ 16．13三、解答题（共6小题，共70分）17．解：2()2cos sin 2cos 1f x x x x =-+sin 2cos 2))4x x x π=-=- ……………………………………………2分 （1）()f x 的最小正周期T π= ………………………………………………6分（2）()f x的值域为⎡⎣ …………………………………………10分18．解：（1）∵a b -= ，∴22425a a b b -+= 又(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ== ∴42351,cos()25a b a b αβ-===-== ………………………6分 （2）∵50,sin 2213ππβαβ-<<<<=- ∴0αβπ<-<，由（1）得()3cos ,5αβ-=从而()4sin 5αβ-= 又5sin 13β=-，得12cos 13β=代入，可得 []33sin sin ()65ααββ=-+= …………………………………12分19．解：（1） 令1x y ==，得(1)0f = …………………………………………4分（2） 由(3)(3)2,(9)2f f f +=∴=，又由()(8)2f x f x +-≤得()()89f x x f -≤⎡⎤⎣⎦∵()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数∴080(8)9x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩解得 89x <≤ ……………12分 20．解：（1）∵22n n n a S -=，∴11122n n n a S +++-=两式相减，得122n n n a a +=+，∴1(1)222(1)2n n n n n a n a n +-+=+-+ ∴11(1)222nn n n a n a n +--+=- ，又由已知得12,a =从而1111210a --=≠ ∴数列{}12n n a n -- 是首项为1，公比为2的等比数列 …………………8分 （2）由（1）1122n n n a n ---= ，∴1(1)2n n a n -=+……………………12分 21．解：（1）2213,()9619()03a f x x x x '=-∴=-+-=--≤恒成立 ∴()f x 在R 上是减函数 ………………………………………………6分（2）2()361f x ax x '=+-，由()4f x x '≤恒成立，∴23210ax x +-≤， ① 当0a =时，不成立② 由0a ≠时， 得 04120a a <⎧⎨∆=+≤⎩ ∴13a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦…………12分 22．解：（1）由题意2111111,2222n n S n S n n n =+=+ 当2n ≥时 ，15n n n a S S n -=-=+，当1n =时，116a S ==也适合上式∴*5()n a n n N =+∈ ………………………4分 ∵*2120()n n n b b b n N ++-+=∈∴数列{}n b 是等差数列，由{}n b 的前9项和为153得199()1532b b +=， 从而5191()172b b b =+=，又311b =，得13,5d b ==，∴32n b n =+ ………………………………………………6分（2）3111()(21)(63)22121n c n n n n ==--+-+， ∴11[1]221n T n =-+，数列{}n T 是递增数列， ∴只要11357k T =>，∴19k < ∴max 18k = ……………………………………………………………12分。

2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试 理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,64. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos x x y x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = a b∥A. B.C.D.p q∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=-（ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11C. 12D. 1310. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C.D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8B. 6C. 5D. 4.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：b M ∈211222a b ab +--<+2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B 2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 14【答案】C 3. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,6【答案】A4. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos xxy x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π【答案】A6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = ab ∥A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【答案】D7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π【答案】B8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=- （ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C9. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C10. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<【答案】D 11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C. D. 【答案】C12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8 B. 6C. 5D. 4.【答案】B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 【答案】12-14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】13515. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △【答案】16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）【答案】5三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直可得数量积为0，结合正余弦定理边角互化即可求解，（2）根据余弦定理可求值，进而可求，根据三角形面积公式即可求解.CD a 【小问1详解】因为，所以，m n ⊥()sin (sin sin )()0a b B A C c a -⨯++-=由正弦定理得．()()()a b b a c a c -⨯=+-即，由余弦定理得，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =【小问2详解】在三角形中，，ADC 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠即，解得或，即或，213164CD CD =+-1CD =3CD =2a =6a =因为，故，sin sin B C <B C <因为，所以，故，所以，π3C =A CB >>a c b >>6a =所以11sin 6422ABC S ab C ==⨯⨯=△18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，.911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为，解得；a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，，38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0123P5616528558551165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平1A AD1A O AD ⊥1A O CD ⊥1AO 面．ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当的长为时，O //Ox AB O O xyz -BP 23二面角的值为1D A A P --3π【详解】（1）证明：∵，且，13A AD π∠=12AA AD ==∴为等边三角形1A AD∵为的中点O AD ∴，1A O AD ⊥又，且，1CD A O ⊥CD AD D = ∴平面．1A O ⊥ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）O //Ox AB O O xyz -则，，(0,1,0)A-1A 设，(1,,0)P m ([1,1])m ∈-平面的法向量为，1A AP 1(,,)n x y z =∵，，1AA =(1,1,0)AP m =+且，1110(1)0n AA y n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取，得1z=11),n m =+平面的一个法向量为11A ADD 2(1,0,0)n =由题意得12cos ,n n = 解得或（舍去），此时13m =-53m =-12133BP =-=∴当的长为时，二面角的值为.BP 231D A A P --3π20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 【答案】（1）22143x y +=（2）94【解析】【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；（2）设直线AB 的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，1,x my =-()11,A x y ()22,B x y P x 表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB 的方程，令，求出坐标，进而得到，由y ,B P 0y =M FM求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.1212ABM S FM y y =-△ABM 【小问1详解】设曲线C 上的任意一点的坐标为，(),x y，即，所以曲线C 的方程为；12=22143x y +=22143x y +=【小问2详解】由题意，设直线AB 的方程为，，，则.1,x my =-()11,A x y ()22,B x y ()14,P y -联立方程得，则，221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()214410m ∆=+>所以，，所以122634m y y m +=+122934y y m -=+()121223my y y y -=+又因为，所以直接PB 的方程为.2124PB y y k x -=+()211244y y y y x x --=++令，则，0y =()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----所以，.5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭32FM =因为12y y -====所以121324ABMS FM y y =-==△令，，则.t =1t ≥2991313ABM t S t t t ==++△又因为在上单调递减，所以当时，，()913f t t t =+[)1,+∞1t =()max94ARM S =△故面积的最大值为.ABM 94【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+【答案】（1） 1m n ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由可求对应的m 和n 的值；()()10,11f f '==（2）设，由可判断，由得，设0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b <<<0a b <<11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得，代换整理得，原不等式要11x b =21x a =21x tx =()()11221ln 1ln x x x x -=-11ln ln 1t t t x t --=-证，只需证，全部代换为关于的不等式得，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<t ()()1ln 1ln 0t t t t -+-<设，，由导数得，再证，放缩得()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-1t >()12ln 11S t t t ⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭()ln 1x x ≤+，进而得证.112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭【小问1详解】由，得.()ln m x n f x x +=()2ln m m x nf x x --'=因为函数在处的切线方程为，()f x ()()1,1f 1y =所以，，则；()10f m n '=-=()11f n ==1m n ==【小问2详解】证明：由（1）可得，，，()ln 1x f x x +=()2ln xf x x -'=所以当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 因为，是函数的图象上两点，且，()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =不妨设，且，所以.0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b<<<由，得，即.()()f a f b =ln 1ln 1a b a b ++=11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，.11x b =21x a =设，则，所以，21x tx =1t >()()11221ln 1ln x x x x -=-即，故.()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t tx t --=-要证，只需证，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<即证，即证，即证，12e x x +<()11e t x +<()1ln 1ln 1t x ++<即证，即证.()1ln ln 111t t tt t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令，，()()()1ln 1ln S t t t t t=-+-1t >则，()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭证明不等式；()ln 1xx ≤+设，则，()()ln 1u x x x=+-()1111xu x x x -'=-=++所以当时，；当时，，10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()u x ()1,0-()0,∞+故，所以成立.()()max 00u x u ==()ln 1xx ≤+由上还不等式可得，当时，，故恒成立，1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭()0S t '<故在上为减函数，则，()S t ()1,+∞()()10S t S <=所以成立，即成立.()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12e x x +<综上所述，.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +【答案】（1） y =2220x y x +--=（2）79【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l 的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标判断得P 在直线l 上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l 的参数方程为（t 为参数），12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为y =因为，即，π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos ρθθ=+所以，得，22cos sin ρρθθ=+222x y x +=+所以曲线C 的直角坐标方程为.2220x y x +--=【小问2详解】因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，所以点P 在直线l上，3π2⎫⎪⎭(0,将直线l 的参数方程（t 为参数），代入，化简得，12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +--=2790t t -+=设A ，B 两点所对应的参数分别为，，则，，故，，1t2t 127t t +=129t t =10t >20t >所以，，11PA t t ==22PB t t ==所以.121212111179t t PA PB t t t t ++=+==23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：.b M ∈211222a b ab +--<+【答案】（1）{}11M x x =-<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）采用零点讨论法去绝对值可直接求解；（2）结合绝对值三角不等式得，要证()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+，即证，即证，去平方结合因式分解即可求211222a b ab +--<+1a b ab +<+221a b ab +<+证.【小问1详解】.()21110f x x x =+-+-<①当时，不等式可化为，解得，则；1x <-()21110x x -+++-<1x >-x ∈∅②当，不等式可化为，解得，则；112x -≤≤-()()21110x x -+-+-<1x >-112x -<≤-③当时，不等式可化为，解得，则.12x >-()()21110x x +-+-<1x <112x -<<综上所述，；{}11M x x =-<<【小问2详解】证明：因为（当且仅当时取等号），()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+()()21120a b +-≥所以要证，只需证，211222a b ab +--<+2222a b ab +<+即证，即证，即证，1a b ab +<+221a b ab +<+222210a b a b --+>即证.()()22110a b -->由（1）可知，.{}11M x x =-<<因为a ，，所以，所以成立.b M ∈221,1a b <<()()22110ab -->综上所述，.211222a b ab +--<+。

滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中Ⅰ考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设命题p:∃x₀∈(0,+∞),lnx₀>x₀-1,则￢p为( )A. ∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1B. ∃x₀∈(0, + ∞),lnx₀≤x₀﹣1C. ∀x∈(-∞,0],lnx≤x-1(-∞,0],lnx₀≤x₀ -12. 已知集合A={x|log2x<1},B=x|y=则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A. (-∞,2)B. (-∞,2]C. (0,2)D. [0,2]3．若复数z满足(1－3i)z＝1＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2+m−2在(0,﹢∞)上是减函数, 则 f(m)的值为 ( )A. 3B. 1C. -3D. -15. 函数y=logₐx+aˣ⁻¹+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b),若m+n=b-k且m>0, n> 0, 则9m +1n的最小值为( )A. 9B. 8C. 92D. 526. 已知△ABC 中,∠BAC = 120°, AC = 3AB=3,DC=2AD,在线段 BD上取点E，使得BE=3ED,则cos<AE,BD>=B.7. 已知函数f(x)=e(x+1)2,x≤0x+4x−3,x>0,函数 y=f(x)﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x₁,x₂,x₃,x₄,则x刂x₁x₂+x₃+x₄的取值范围为( )A. (5,3+e]B. (4,4+e)C. [4, + ∞)D. (-∞,4]8.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0且| |φ|<π2)满足以下条件：①∀x∈R, 满足f(x)≥②∃x₀,使得=f(x0)=0;且|x0−π3|min>π6,则关于 x 的不等式f(x)−ff(x)>0的最小正整数解为( )B. 2C. 3D. 4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

华中师中2019—2020学年度上学期测 高三年级数学(理题 ：12满分：150分命题人庆审题丹 一题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．)1.已知集合A {2,1,0,1,2}，B {x (1x )(x 2)0AIB 的子集个数为() A.2B ．4C ．6D ．8 2.设命题p ：n N ，n 22p 为() A ． 2n nN,n2B ．2 nN,n ≤2 nC ． 2n nN,n=2D ． 2 nN,n ≤2 n 3.若复数z 满足(34i )z 112i ，其中i 为虚z 的虚部为()A.2B.2C.2iD.2i 4.我国古代数学典籍《九章第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一 天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几？() A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天 x1 z y 的为() 5.已x ,满足件xy3 x2y30 A.1B.2C.3D.6 6.已知等 S S 且{S n }的最大项为 120,130, S ，a m 12，则 m S() 13 A.20B.22C.24D.26 7.右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ①ANGC ②CF 与EN 所成的角为60 ③BD//MN ④二面角EBCN 的大小为45 其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4uu u r uu u r uu u r8.已知ABC 中，AD2DC ，E 为BD 中点，若BCAEAB，则2的值为()A.2B.6C.8D.10高三年级理科数学试题第1页共8页4alog ， 9.若19 163 blog ， 3 20.2 c0.6，则a,b,c 的大小关系为() A.cbaB.cabC.bacD.abc10.已知函数f(x)2sin(x)(0,||)的部分图像如右图所示，且A(,1),B(,1)，则的值为()2A.5 6 B. 6C.5 6D.611.已知函数f xx 2x x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x 的取值范围是 ()ln(1)22fxx 2x x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x 的取值范围是()A.(，1)(1,)B.(1,+)C. 1 (,)(1,+) 3D .(,2)(1,) 12.已知函数f(x)xsinx2sin(x)，若对于任意的x 1,x 2[0,),(x 1x 2)，均有42xx|f(x)f(x)|a|ee|成立，则实数a 的最小值为()1212A. 2 3B.1C.3 2D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.曲线 x yxe 在点1 (1,)e处的切线方程为____________. 14.已知 3 sin()2cos()sin2 ，则 2sinsincos____________. 15.已知ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若c1，ABC 的面积为221ab ，则ABC4面积的最大值为____________.uuruuu u r uuru16.已知ABC 的外接圆圆心为O ，|AB|6,|AC|8，AOABAC(,R)，若21sinA(t)(t 为实数)有最小值，则参数t 的取值范围是____________.2三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)高三年级理科数学试题第2页共8页17.(本小题满分12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2A1b222ccos(1)求角C；(2)BM平分角B交AC于点M，且BM1,c6，求cosABM.18.(本小题满分12分)已知数列{a}的前n项和为n1S，1a，n2S1n*a1,nN2nnn(1)证明：数列n1{Sn}n为等差数列；(2)若数列{bn}满足nbnnSS12nn，求数列{b n}的前n项和Tn.xxxxxx19.(本小题满分12分)已知函数f(x)(cossin)(cossin)23sincos20.222222(1)求函数f(x)的最大值并指出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)若,为锐角，126cos(),f()，求f()的值.135621.(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC，AB3,BC2AD2,E为CD的中点，PBAE(1)证明:平面PBD平面ABCD；，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，(2)若PBPD，PC与平面ABCD所成的角为4使得BN平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.22.(本小题满分12分)高三年级理科数学试题第3页共8页1 (1)已知f(x)lnx2x ，证明：当x2时，212xlnx1(ln2)x；411(2)证明：当a(24,12) ee 时，13a133g(x)xlnxxx(x2)有最小值，记39g(x)最小值为(a)，求(a)的值域.23.(本小题满分10分)已知函数f(x)|x2||2x4|(1)解不等式f(x)3x4；(2)若函数f(x)最小值为a，且2mna(m0,n0)，求21m+1n的最小值.高三年级理科数学试题第4页共8页华中师中2019—2020学年度上学期期中考试高三年级数学(理科)答案：12满分：150分命题人庆审题丹 二题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 项是符合题目要求的．) 1234567891011 BDBBADCCACD 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 24. y 1 e 25. 6 5 26. 21 4 27. 3315 (,) 1616 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 28.解：(1)由题1cosA1bb cosA 222cc ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..2 cosAsinCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinAcosC0又(0,)sin0cos0 AACC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分4 2 (2)记A BM ，则M BC ，在RtMCB 中，CBcos ， 在RtACB 中，cos ABC B C AB ，即 cos2c os 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..10 即 2cos 2cos1 6 cos 3 4 或 2 3 (舍) cos3 ABM ⋯⋯⋯.⋯⋯⋯分.124 29.解：(1)n2时， 2222 Snannn(SS)nn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分2 nnnn1即 22 (n1)S n nS n n(n1)(n 2)1同除以n (n 1)得n 1n SS1(n2) nn1 nn1n1 {S n } n为等差数列，首项为1，公差为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分6 (2)由(1)知2 n1n SnS nn nn1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8n211 bnnn1nn(n1)2n2(n1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.10111111T(1)()()1n112n1nn222232n2(n1)2(n1)2⋯⋯⋯.. 12分30.解：(1)xxxx 22f(x)cossin23sincoscosx3sinx2sin(x)⋯⋯⋯.分.322226令x2k得x2k,k Z623所以最大值为2，此时x的取值集合为{x|x2k,k Z}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.63(2)由,为锐角，cos() 1213得sin()513Q022663又312sin()(,)65226644cos()65⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8cos()cos[()()]6663cos()cos()sin()sin()6665⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10126 f()2sin()2sin()2cos()⋯⋯⋯⋯⋯⋯163266652分31.解(1)证明:由四边形ABCD是直角梯形,AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.3∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE?平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分(2)在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接O C,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,高三年级理科8页∴PO ⊥平面ABCD∴∠PCO 为P C 与平面ABCD 所成的角,则∠PCO= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.64∴易得OP=OC=∵PB=PD,PO ⊥BD,∴O 为B D 的中点,∴OC ⊥BD.以O B ,O C ,OP 所在为x ,y 建直系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,), 假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN 平面PCD 成立，uuruuu u r uu u r 设PNPDPC(,0,1) ，易得N(,3,3(1))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分8 由u uruuu u r BNPC0 uuruuu u r 得 BNPD012 , 55 ，满足题意⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10 所以N 点到平面ABCD 的距离为3(1) 23 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12(说明：若没有说明,0,1或者用其它方法解答但没有说明点N 在侧面PCD 上， 扣2分)32.解：(1)证明：212x2/ f(x )033 xxx f x 在[2,)上单增 ()x2时，f(x)f(2)即11lnxln22 x4x2时，212xlnx1(ln2)x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分44(2)13a11/2222g(x)xlnxxx1x(lnxa)233x11由f(x)在[2,)上单增且2f(e)1,f(e )2,24 eea11 (2,1)42 ee知存在唯一的实数2x 0(e,e)，使得 / g(x)0，即1 lnxa002x 0//x(x,),g(x)0,g(x)单增x(2,x),g(x)0,g(x)单减；00⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..81lnxa0g(x)g(x)，x0满足02min0x7页共8页高三年级理科数学试题第1 alnx02x 013a1 33g (x )xlnxxx00000393 0 x 2932 x(exe)⋯⋯.10分 00 122/2x 32记h (x)xx(exe)，则h xh(x)在 ()093332(e,e)上单减63e2e222eh(e)h(x)h(e)e939363 e2e2所以(a)的值域为2(e,e)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12939333.解：(1)当x2时，3x23x4，无解当2x2时，x63x4，得12 x2当x2时，3x 23x4，得x21 [,)所以不等式解集为2⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..5 (2)f(x)|x2||2x4||x2||x2||x2| |(x2)(x 2)||x2|当且仅当2x2时取等 4|x2|4当且仅当x2时取等 所以当x2时，f(x)最小值为4，即a4，⋯⋯⋯⋯⋯分7所以2mn4所以 21121[2(m1)n]()m1n6m1n 12(m1)2n (5) 6nm112(m1)2n3 (52) 6nm12所以21m+1n2(m1)2nnm1当且仅当3最小值为⋯⋯⋯⋯⋯分.102且2mn4即m1,n2时取“=”高三年级理科8页。

2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N ，{}15Q x x =-≤<，则P Q = （）A.{}1,2,3 B.{}0,1,2 C.{}1,2,5 D.{}0,1,2,52.已知i22iz =-，则z ＝（）A.2B.1C.4D.23.已知1a b == ．若()2a b a +⊥ ，则cos ,a b =（）A.3-B.2-C.3D.24.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件5.体积为（）A.B.C.D.6.已知函数()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩则()f x 图象上关于原点对称的点有（）A.1对B.2对C.3对D.4对7.已知函数()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-+，函数的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数=的图象.若方程()21g x m -=在7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，则12x x +的值为（）A.π6B.π3C.π2D.π8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1 D.e 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+= C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.49a b +>10.若数列满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n +∈N ），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（）A.713a = B.222n n n a a a -+=+（3n ≥，n +∈N ）C.135********a a a a a ++++= D.24620242025a a a a a ++++= 11.如图，在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，P 是正方形1111D C B A 内的动点，则下列结论正确的是（）A.若//DP 平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B.若AP =，则点P 的轨迹长度为2πC.若P 是正方形1111D C B A 的中心，Q 在线段EF 上，则PQ CQ +的最小值为D.若P 是棱11A B 的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线32374y x x x =+++的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且50AB BC ==米，则塔的高度OP =________米.14.已知121A A =，当2n ≥，*N n ∈时，1n A +是线段1n n A A -的中点，点P 在所有的线段1n n A A +上，若1A P λ≤，则λ的最小值是________．四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=.（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .16.设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC 边上的高34h =，求cos cos A C .17.如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．（1）求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；（2）在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE 所成的角的正弦值为3010，求点F 到平面DEC 的距离．18.已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N ，{}15Q x x =-≤<，则P Q = （）A.{}1,2,3 B.{}0,1,2 C.{}1,2,5 D.{}0,1,2,5【答案】B【解析】【分析】首先把集合P 用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.【详解】若61y x =+，y ∈N ，则1x +是6的正因数，而6的正因数有1，2，3，6，所以{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N ，因为{}15Q x x =-≤<，所以{}0,1,2P Q ⋂=，故选：B.2.已知i22iz =-，则z ＝（）A.2B.1C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的运算法则计算出复数z ，再计算复数的模.【详解】由题意知()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+，所以4z ==，故选：C.3.已知1a b == ．若()2a b a +⊥ ，则cos ,a b =（）A.33-B.2-C.3D.32【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直可得32a b ⋅=- ，代入向量夹角公式即可得结果.【详解】因为()2a b a +⊥，且1a b ==，则()2220a a a a b b +⋅=+⋅= ，可得21322a b a ⋅=-=-r r r ，所以32cos ,2a b a b a b-⋅===-⋅r r r r r r .故选：B.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由()223123111111S a a a a a q a q a q qma =++=++=++=，得21q qm ++=，当7m =时，217q q ++=，解得2q =或3q =-，充分性不成立；当2q =时，217q q m ++==，必要性成立.所以“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.故选：A5.体积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为1111ABCD A B C D -，正四棱锥1O ABCD -，设底边边长AB a =，高1OO =则1O E ==，又正四棱柱的侧面积114S AB OO =⋅=，正四棱锥的侧面积21142S AB O E a =⋅⋅=，则a =，解得a =，所以正四棱锥体积21133ABCD V S OO a =⋅==，故选：B.6.已知函数()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩则()f x 图象上关于原点对称的点有（）A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C 【解析】【分析】作出()f x 的图象，再作出函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.【详解】作出()f x 的图象，再作出函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象如图所示.因为函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象与22,0,y x x x =-+<图象有三个交点，故()f x 图象上关于原点对称的点有3对.故选：C7.已知函数()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-+，函数的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数=的图象.若方程()21g x m -=在7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，则12x x +的值为（）A.π6B.π3 C.π2D.π【答案】A 【解析】【分析】先化简()f x ，根据图象变换求出()g x ，将方程()21g x m -=转化为()12m g x +=，由函数()g x 图象的对称性求出答案.【详解】根据题意可得()1πcos sin sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，7π012x ≤≤Q ，ππ3π2332x ∴≤+≤，所以()g x 在π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()g x 关于π12x =对称，且()π062g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，方程()21g x m -=等价于()12m g x +=有两个不同的解12,x x ，12ππ2126x x ∴+=⨯=.故选：A.8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e【答案】C 【解析】【分析】构建()()ln f x ax x b =--，分析可知()f x 的定义域为0,+∞，且()0f x ≤在0,+∞内恒成立，利用导数可得ln 1a b ≤+，整理可得1e ln ln b a a a +-≥-，构建()1ln ,e eg a a a a =-≤≤，利用导数求其最值即可.【详解】设()()ln f x ax x b =--，因为1e ea ≤≤，可知()f x 的定义域为0,+∞，所以()0f x ≤在0,+∞内恒成立，又因为()111xf x x x-=-='，令′>0，解得01x <<；令′<0，解得1x >；可知()f x 在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则()()1ln 10f x f a b ≤=--≤，可得ln 1a b ≤+，则1ln e e b a a +≥=，可得1e ln ln b a a a +-≥-，当且仅当ln 1a b =+时，等号成立，令()1ln ,e e g a a a a =-≤≤，则()111a g a a a'-=-=，令()0g a '>，解得1e a <≤；令()0g a '<，解得11ea <≤；可知()g a 在(]1,e 内单调递增，在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递减，则()()11g a g ≥=，即1e ln ln 1b a a a +-≥-≥，当且仅当1,1a b ==-时，等号成立，所以1e ln b a +-的最小值为1.故选：C.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+= C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.49a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得33log 15log 310a =>=>，55log 15log 510b =>=>，1515110log 3log 5a b∴<=<=，即110a b <<，所以0a b >>，对于A ，因为0a b >>，所以lg lg a b >，故A 正确；对于B ，15151511log 3log 5log 151a b+=+==Q，a b ab ∴+=，故B 正确；对于C ，因为0a b >>，所以1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为0a b >>，111a b+=，所以()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即2a b =时等号成立，这与已知35a b =矛盾，所以49a b +>，故D 正确.故选：ABD.10.若数列满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n +∈N ），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（）A.713a = B.222n n n a a a -+=+（3n ≥，n +∈N ）C.135********a a a a a ++++= D.24620242025a a a a a ++++= 【答案】AC 【解析】【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，故A 正确；对于B ，因为21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+，又12n n n a a a --=+，所以21213n n n n n a a a a a +---++=+，即223n n n a a a +-=+，故B 错误；对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++L L 2023202131a a a a =++++L ，故C 正确；对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++L 20242022421a a a a a =+++++L ，故D 错误.故选：AC.11.如图，在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，P 是正方形1111D C B A 内的动点，则下列结论正确的是（）A.若//DP 平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B.若AP =，则点P 的轨迹长度为2πC.若P 是正方形1111D C B A 的中心，Q 在线段EF 上，则PQ CQ +的最小值为D.若P 是棱11A B 的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π【答案】ACD【解析】【分析】作出相应图形，先证明平面//BDNM 平面CEF ，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A ；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B ，将平面CEF 翻折到与平面1111D C B A 共面，连接PC ，与EF 交于点Q ，此时PQ CQ +取到最小值，利用勾股定理求出,PQ CQ 即可判断C ，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求出外接球的表面积即可判断D .【详解】如图，取11A D ，11A B 的中点为,N M ，连接,,,,MN DN BD BM NE ，11B D ，所以11//MN B D ，又E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，所以11//EF B D ，所以//MN EF ，MN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，//MN ∴平面CEF ，因为,N E 分别是棱11A D ，11B C 的中点，所以//NE CD ，且NE CD =，所以四边形CDNE 为平行四边形，所以//ND CE ，又ND ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，//ND ∴平面CEF ，又MN ND N = ，,MN ND ⊂平面BDNM ，所以平面//BDNM 平面CEF ，点P 是正方形1111D C B A 内的动点，且//DP 平面CEF ，所以点P 的轨迹为线段MN ，由勾股定理得MN ==，故A 正确；如图，以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，由题意得(0,0,0)A ，设(,,4)P x y ，AP ==，所以221x y +=，所以点P 的轨迹为1A 为圆心，半径为1的14个圆，所以点P 的轨迹长度为1π2π42⋅=.故B 错误；如图，将平面CEF 翻折到与平面1111D C B A 共面，连接PC ，与EF 交于点Q ，此时PQ CQ +取到最小值，CE CF ===2PE PF ==，所以点Q 为EF 的中点，所以PQ EQ ===所以CQ ===，即PQ CQ +的最小值为C 正确；如图，连接PF ，交11B D 于点1O ，连接PE ，若P 是棱11A B 的中点，则90FEP ∠= ，所以FP 是PEF !外接圆的一条直径，所以1O 是PEF !外接圆的圆心，过点1O 作平面ABCD 的垂线，则三棱锥P CEF -的外接球的球心O 一定在该垂线上，连接OP ，设1OO t =，则2222t R +=，连接OC ，12AC ==，所以()(2224t R -+=，所以()(222224t t +=-+，解得52=t ，所以222541244R =+=，所以三棱锥P CEF -的外接球的表面积为24π41πS R ==，故D 正确.故选：A CD .【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线32374y x x x =+++的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.【答案】430x y -+=.【解析】【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意223673(1)4y xx x '=++=++，所以1x =-时，min4y '=，又1x =-时，1y =-，所以所求切线的方程为14(1)y x +=+，即430x y -+=．故答案为：430x y -+=．13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且50AB BC ==米，则塔的高度OP =________米.【答案】【解析】【分析】设PO h =，在Rt POA △，Rt POB △，Rt POC △分别根据锐角三角函数定义求出,,OA OB OC ，最后利用余弦定理进行求解即可.【详解】设塔的高PO h =，在Rt POA △中，otan 30OP OA ==，同理可得3OB h =，OC h =，在OAC 中，πOBA OBC ∠+∠=，则cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC+-+-∴=-⋅⋅，22222211503503333h h h h +-+-=h =所以塔的高度为.故答案为：.14.已知121A A =，当2n ≥，*N n ∈时，1n A +是线段1n n A A -的中点，点P 在所有的线段1n n A A +上，若1A P λ≤，则λ的最小值是________．【答案】23【解析】【分析】根据中点坐标公式可得()*122n n n a a a n +++=∈N ，进而可得{}1n n a a +-为等比数列，即可利用累加法求解121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,由极限即可求解.【详解】不妨设点()10,0A 、()21,0A ，设点()(),0n n A a n *∈N ，则数列满足10a =，21a =，()*122n n n a a a n +++=∈N ，所以，1212n nn n a a a a +++--=-，所以，数列{}1n n a a +-是首项为211a a -=，公比为12-的等比数列，所以，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，10a =也满足121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故对任意的n *∈N ，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以，11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，故23λ≥故答案为：23.四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=.（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）24a =，2n n a =，*N n ∈（2）332n nn T +=-【解析】【分析】（1）先将1n =代入题干表达式计算出12a =，再将2n =代入题干表达式即可计算出2a 的值，当2n ≥时，由22n n S a +=，可得1122n n S a --+=，两式相减进一步推导即可发现数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，从而计算出数列{}n a 的通项公式；（2）先根据第()1题的结果写出n a 与1n a +的表达式，再根据题意可得()11n n n a a n d +-=+，通过计算出n d 的表达式即可计算出数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n 项和n T ．【小问1详解】由题意，当1n =时，111222S a a +=+=，解得12a =，当2n =时，2222S a +=，即12222a a a ++=，解得24a =，当2n ≥时，由22n n S a +=，可得1122n n S a --+=，两式相减，可得122n n n a a a -=-，整理，得12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1222n n n a -=⋅=，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，2n n a =，112n n a ++=，在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，则有()11n n n a a n d +-=+，∴1211nn n n a a d n n +-==++，∴112n nn d +=，∴1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=-，∴332n n n T +=-.16.设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC边上的高4h =，求cos cos A C .【答案】（1）π3B =（2）18-【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角B 的大小;（2）由等面积法可得22b ac =，再由正弦定理可得sin sin A C 的值，再由cos cos()B A C =-+，可得cos cos A C 的值.【小问1详解】因为π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得12sin cos sin sin sin 22B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+，在三角形中，sin 0A >，cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，则ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得ππ66B -=，则π3B =.【小问2详解】因为AC 边上的高4h =，所以2112248ABC S b h b b b =⋅=⋅= ①又11sin 2224ABC S ac B ac ==⨯= ②由①②可得22b ac =，由正弦定理可得2sin 2sin sin B A C =，结合（1）中π3B =可得3sin sin 8A C =，因为()1cos cos cos cos sin sin 2B AC A C A C =-+=-+=，所以1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-.17.如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．（1）求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；（2）在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE所成的角的正弦值为10，求点F 到平面DEC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）连接BE ，利用勾股定理证明,BE DE BE AE ⊥⊥，再根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥平面ADE ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以点E 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】连接BE ，由题意2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒，则ADE V 为等边三角形，由余弦定理得2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以BE =，则222222,DE BE BD AE BE BD +=+=，所以,BE DE BE AE ⊥⊥，又,,AE DE E AE DE ⋂=⊂平面ADE ，所以BE ⊥平面ADE ，又BE ⊂平面ABCE ，所以平面ADE ⊥平面ABCE ；【小问2详解】如图，以点E 为原点，建立空间直角坐标系，则()()()(()2,0,0,0,,1,,1,0,,0,0,0A B C D E -，设()01DF DB λλ=≤≤，故()((,1,0,,1,EC ED DB =-==--，((()1,1,,AD AD DF λλ=+=-+-=--，因为z 轴垂直平面ABCE ，故可取平面ABCE 的一条法向量为()0,0,1m =，所以cos ,10m AF m AF m AF⋅==，化简得23830λλ+-=，解得13λ=或3λ=-（舍去），所以11,,3333DF DB ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量为(),,n x y z =，则有0n EC x n ED x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取)1n =- ，所以点F 到平面DEC的距离为21515DF n n ⋅=．18.已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．【答案】（1）2a =，最大值为0（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【解析】【分析】（1）由(0)0f '=求出a 的值，即可得到()f x 解析式，再利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时直接说明即可，当5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）设()()h x f x x =+，()1,x ∞∈-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，则()0f x x +<，当π()0,x ∈时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点，当[π,)x ∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，利用导数说明()l x 在区间[π,)+∞上单调递减，即可得到()0l x <，从而说明函数在[π,)+∞无零点，即可得解.【小问1详解】由题意知，(0)0f =且(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，(0)20f a '∴=-=，解得2a =，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-，()1,x ∞∈-+，则1()cos 21f x x x '=+-+，当0x ≥时，cos 1≤x ，111x ≤+．故()0f x '≤，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0f x f £=．当10x -<<时，令1()cos 21g x x x =+-+，则21()sin (1)g x x x '=--+，sin (0,1)x -∈ ，211(1)x >+，()0g x '∴<，()f x '∴在区间(1,0)-上单调递减，则()(0)0f x f ''>=，()f x ∴在区间(1,0)-上单调递增，则()(0)0f x f <=，则()()max 00f x f ==．综上所述，2a =，()f x 的最大值为0．【小问2详解】因为()sin ln(1)2f x x x x =++-，要证当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时1()22f x x +>，即证1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1sin 12x ≤≤，ln(1)0x +>，1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->；当5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1m x x x '=++，记1()()cos 1n x m x x x '==++，则21()sin 0(1)n x x x '=--<+，()m x '∴在区间5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则5π6()0625π6m x m ⎛⎫<=-+< '+⎝'⎪⎭，则()m x 在区间5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->，综上所述，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>．【小问3详解】设()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-，()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，故()()0f x x f x +<<，故()0f x x +=在区间(1,0)-上无实数根．当0x =时，(0)0h =，因此0为()0f x x +=的一个实数根．当π()0,x ∈时，1()cos 11h x x x '=+-+单调递减，又(0)10h '=>，1(π)20π1h '=-<+，∴存在0(0,π)x ∈，使得()00h x '=，所以当00x x <<时ℎ′>0，当0πx x <<时ℎ′<0，()h x ∴在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,πx 上单调递减，()0(0)0h x h ∴>=，又(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<，()0f x x ∴+=在区间()0,πx 上有且只有一个实数根，在区间(]00,x 上无实数根．当[π,)x ∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++，故()l x 在区间[π,)+∞上单调递减，()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<，于是()0f x x +<恒成立．故()0f x x +=在区间[π,)+∞上无实数根，综上所述，()0f x x +=有2个不相等的实数根．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133tt m ⨯-⨯+-==Z ；(*413tm t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

高三理科数学期中考试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x + 12. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. 4B. 5C. 6D. 73. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则第5项a_5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 125. 圆x^2 + y^2 = 9的圆心坐标为（）A. (0, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (-3, 0)6. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π7. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = （）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3, 4}D. {1, 2}8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x) - g(x) = （）A. 4xB. 2xC. 2D. 49. 已知直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)10. 函数y = ln(x)的定义域为（）A. (-∞, 0)B. [0, +∞)C. (0, +∞)D. (-∞, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = 3x - 2，若f(a) = 7，则a = _______。

12. 已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则第4项b_4 =_______。

13. 已知函数y = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1，求导数y' = _______。