高三数学上学期期中考试 文

2011-2012学年第一学期半期考试卷高三数学（文科）（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第1卷和第2卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。

第1卷 共60分一、选择题：（ 每小题5分，共60分；在给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1．设复数1z bi =+()b R ∈且||2z =，则复数的虚部为（***）A ．i ± B． C ．1± D．2.若,,,,a b c d R ∈且,a b c d >>，则下列结论正确的是（***） A ．22ac bc > B.ac bd > C.11a b< D.a c b d +>+ 3.曲线23-+=x x y 上点0P 处的切线斜率为4，则点0P 的一个坐标是（***） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 4．定义在R 上的偶函数满足：对任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-，则（***）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是(*** )6．已知x 的不等式0x b ->的解集是（1,+∞），则关于x 的不等式()(2)0x b x +->的解集是（***）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．（—1，2）C ．（1，2）D ．(,1)(2,)-∞+∞7.设向量a ,b满足a = ,(2,1)b = ，则 “(4,2)a =”是 “a ∥b ”成立的(***). Ａ.充要条件 Ｂ.必要不充分条件 Ｃ.充分不必要条件 Ｄ.不充分也不必要条件8.已知命题:p “[]0,1,x x a e ∀∈≥”，命题:q “2,40x R x x a ∃∈-+=”， 若命题,p q 均是真命题，则实数a 的取值范围是(***)A ．[4,)+∞ B.[1,4] C ．[,4]e D ．(,1]-∞命题人：宋 瑛 审核人：江 泽sA ．sss B ．C ．D ．9．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（***）A ．25-B ．25C．5-D．510.在ABC ∆中, 1AB =,2BC =，E 为AC 的中点 ,则()BE BA BC ∙-=( ***)Ａ．3 Ｂ．32 Ｃ．-3 Ｄ．32-11．设l m n 、、为不同的直线，αβ、为不同的平面，有如下四个命题： ①若α∥,l βα⊂，则l ∥β ②若,,m n αβ⊂⊂且α∥β则m ∥n ③若,l m m n ⊥⊥，则l ∥n ④若,l n αβ= ∥,n β∥α，则n ∥l 其中正确的命题个数是（***）A ．1B ．2C ． 3D ．412.设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()()x g x f x e =的一个极值点，则下列图像不．可能为()y f x =的图像是(***)A ．B ．C ．D ．第2卷 共90分 二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知等差数列{}n a 中，19920a a +=，则50208012a a a ++= *** .14.若某多面体的三视图（单位：cm ）如下图所示，则此多面体的体积是 *** cm 3.15.已知向量a =(2,1),x -b =(1,)y ,若a⊥b ，则33x y +的最小值为 *** .16.已知数列{}n a 的递推公式*2,),n n n n a N a n ⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数（n 为偶数，则2425a a += *** ；数列{}n a 中第8个5是该数列的第 *** 项.俯视侧视正视 1 160 ABC东南 西北 α三、解答题：（本大题共6题，满分74分） 17．（本小题满分12分）下图是某简谐运动的一段图像，它的函数模型是()sin()f x A x ωϕ=+（0x ≥），其中0>A ，0>ω，22πϕπ<<-.（Ⅰ）根据图像求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在[,]2ππ上的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为{}n S ,首项为1a ,且2,n a ,n S 成等差数列, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log ,n n n n n b b a c a ==，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60 方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（Ⅰ）求渔船甲的速度； （Ⅱ）求sin α的值． 20.（本小题共12分）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形EFGD 为矩形； （Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数321()1,3f x x ax bx =+-+（,,x R a b ∈为实数）（Ⅰ）若1x =是函数()f x 的零点，求证：函数()f x 不．是单调函数；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,2]-上是单调减函数，求a b +的最小值. 22．（本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=+-(a 是常数)，（Ⅰ）讨论()f x 的单调区间;（Ⅱ）当1a =时,方程()f x m =在∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上有两解，求m 的取值范围；()71828.2≈e(Ⅲ)求证: 1ln 1n n n>-1(>n ，且)*N n ∈.2011-2012学年第一学期半期考试卷答案高三数学（文科）DDCBA ACCAD BD13. 25 14. 7 15. 6 16. 28; 64017．本题考查三角函数的图像和性质、图像的平移伸缩等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程与函数、数形结合数学思想方法．满分12分 解：（Ⅰ）由函数图象及函数模型()sin()f x A x ωϕ=+知2A =；由213433T ππππω==-=，得12ω=由最高点4(2)3π，得，142232k ππϕπ⨯+=+，26k πϕπ∴=-+，又22πϕπ<<-，6πϕ∴=-∴所求函数解析式为()1()2sin()026y f x x x π==-≥（Ⅱ）解法一：将)621sin(2)(π-==x x f y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，得到)6sin(2)(π-==x x g y∵ππ≤≤x 2，∴6563πππ≤-≤x ， 当26ππ=-x ，即32π=x 时，()g x 有最大值2； 当656ππ=-x ，即π=x 时，()g x 有最小值1解法二：将)621sin(2)(π-==x x f y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，得到)6sin(2)(π-==x x g y令6t x π=-，∵函数2sin y t =的单调递增区间是[2,2]22k k ππππ-++，Z k ∈，由πππππk x k 22622+≤-≤+-，得ππππk x k 23223+≤≤+-，Z k ∈， 设A =],2[ππ，},23223|{Z k k x k x B ∈+≤≤+-=ππππ， 则A B = ]32,2[ππ， ∴函数()y g x =在区间]32,2[ππ上单调递增 同理可得，函数()y g x =在区间],32[ππ上单调递减 又∵3)2(=πg ，2)32(=πg ，1)(=πg ，60AB C东南西 北 α ∴函数()y g x =在],2[ππ上的最大值为2，最小值为118．（Ⅰ）解：22n n a S =+ ---① 1122(2)n n a S n --∴=+≥----② ①-②得12n n a a -=,又111222a S a =+⇒= ,2n n a ∴=（Ⅱ）解:2n n n C =,用错位相减法得: 23123.....2222nnnT =++++-------① 23411123 (22222)n n nT +=++++-------②由①-② 得 222n n nT +=-19. 解：（1）依题意，120BAC ∠= ，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ 22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯= ．解得28BC =．所以渔船甲的速度为142BC=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠= ，28BC =，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BC α=；即12sin1202sin 2814AB BC α===． 答：sin α．20.（共12分） 证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE//PC 。

2023年秋季黄冈市部分高中阶段性质量检测高三数学试题参考答案一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）.12345678DCABABBD二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9101112ABCABDADACD三､填空题.13.74 14. [)ππ2， 15. 716. [)∞+，1部分小题解析：8.对R x ∈∀，都有)(-11-1-1-)-(x f x x x x x f =+-=--+=所以0)()(,=-+∈∀x f x f R x ，)(x f 为奇函数，A 错；>--≤<--=--+=>1,110,111)(,0x x x x x x x f x 时易知)(x f 在(]10，上单调递增，此时(20)(，∈x f 当11211)(,1-++=--+=>x x x x x f x 时∴)(x f 在()∞+，1上单调递减，此时()20)(，∈x f ∴0>x 时，(]20)(，∈x f ∴0<x 时，[)02-)(，∈x f 而0)0(=f ，所以0m =，方程m x f =)(仅有一根，B 错；()1,0∈x 时，()+∞∈,1-2x ，此时()()121211)2(-)(---+----+=-x x x x x f x f=xx x x x x --+=-+----+311311而函数x x x p --+=31)(在()10，上单调递增，得()1,0∈x 时，0)1()(=<p x p ())2()(,10x f x f x -<∈∀∴，对，C 错；综上，0≤a 时，2-2≥a ，此时)2(0)(a f a f -<≤()1,0∈a 时，()+∞∈,1-2a ，此时)2()(a f a f -<1≥a 时，()10-2，∈a ，此时)2()(a f a f -≥，D 对9.提示：因b b a -≥>，所以0>+b a ，A 对因33b a b a b b a >>≥>，，，B 对由上，，02>+>>b a a b a 所以，ab a 211>+C 对由于()4)(2,0,0,10>-+-+=--->-<-=>b aab b b a a b a b a b ab a ，所以，ba b a ->-411D 错10.提示：C 项：6,32ππ==B A 时，sin cos A B =，C 错11.提示：6cos()(πωω-='x x f Z k k x ∈=-,26ππω得)(x f '取得最大值时的Zk k x ∈+=,26ωππ结合)(x f 'ωπ2=Tωπ323=Tωπ36=T ∴Zk k k x c ∈+=++=,22326ωππωπωππ∴)(c x f 'Zk k k ∈==+=-+⋅=,12)23cos(622cos(ωππωπωππωω∴2=ωxy=1ABC12.提示： x x x f x f x x x f 1)()()(2=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛∴可设C x xx f +=ln )(（其中C 为常数）又对任意的正数n m ,恒有mnn mf m nf mn f ++=)()()(∴对任意的正数n m ,恒有1)()()(++=nn f m m f mn mn f ∴()1ln ln ln ++++=+C n C m C mn ∴1-=C ，x x x x f x xx f -=-=ln )(,1ln )(其中D 项：22ln )()(x x x x x x f x p +-=+=，xx x p 2ln )(+=' )(x p '在()∞+，0上单调递增，且021)1(<+-='ee p ，02)1(>='p 所以⎪⎭⎫⎝⎛∈∃1,1e x o 使)(x p 在()o x ，0上单调递减，)(x p 在()+∞,o x 上单调递增∴o x x =为函数)(x p 的极小值点且满足02ln 0=+x x o ，⎪⎭⎫⎝⎛∈1,1e x o ∴()0)1(2222ln 3000200000>-=+-=+=+x x x x x x x x x f o 16.提示：由a x eaxln ≥恒成立可得0>a ，此时直线a x y 1+=恒在直线x y =上方∴不等式a x a x e ax ln 1≥+≥恒成立只需不等式ax e ax1+≥恒成立即可⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=a x e x p ax 1)(令，1)(-='ax ae x p 则∴)(x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a a ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+-，a a ln 上单调递增∴0ln )ln ()(min ≥=-=aa a a p x p ∴1≥a 四､解答题.17.（1）βααββα+=∠-=∠=∠=∠BAC B CAD BAD ，，则设,102)sin(102)(os =--=+∴αββα，c 20,0ππ<∠<<∠<B BAC 1027)cos(,1027)sin(=-=+∴αββα2524)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin =-++-+=-++=∴αββααββααββαβ25242sin C sin ==∴β5224sin sin =⇒=∆AB C AB B AC ABC 中，在（5分）（2）)]()cos[(2cos αββαα--+=0)sin()sin()cos()cos(=-++-+=αββααββα42222020ππαπαπα=∠∴=∠=∴<<∴∈=∠BAD BAD BAD ，（而（10分）18.（1零假设为0H ：选择新能源汽车与车主性别相互独立，即选择新能源汽车与车主年龄无关．所以，828.1018.18211200901101001004030-607020022>≈=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=）（χ所以依据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立.由此推断犯错误的概率不大于0.001α=，故至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.（6分）（2）相关系数为r====所以14.7 4.70.940.95r ==⨯=>，故y 与x 线性相关较强. （12分）1log 12T，21)1(211log 2+=-+=∴n n n T n 2)1(2+=∴n n n T （3分）nnn n n n nn T T a n 2222)1(2)1(1===≥∴--+-时，符合上式又1122==a n n a 2=∴（6分）（2）nn n n b 21(21)1(1--=⋅-=+]21(1[31)21(1])21(1[21n n n S --=----=∴（8分）)211(31①n n S n +=为奇数时，当为单调递减数列此时n S 21S 311=≤<∴S n 此时211(31②n n S n -=为偶数时，当为单调递增数列此时n S 31S 412<≤=∴n S 此时综上①②n S 的最小值为41，最大值为21（12分）（2），设α=∠BOMααcos 11os =∴==∆OM OM OM OB c BOM Rt ，中，在62πααπ+=∠-=∠∆ONC NOC NOC ，中，在)6sin(22sin sin πα+=∠=ON ONC OC C ON ，得由)6sin(cos 4321παα+⋅=⋅=∴∆ON OM S OMN （8分）αααπαα2cos 2cos sin 32)6sin(cos 4+=+⋅=t 令162sin(212cos 2sin 3++=++=πααα32ta 20=∠<∠≤≤AOB n AOB ，其中πα33)(,36262min max ====+∴∆OMN S t 时，παππα（12分）22.（1）方程xax e x+=-ln 1xa x e x +=-⇔ln 1ax x xe x +=-⇔ln ax x e x x =+-⇔+)ln (ln 令x x t ln +=，函数x x t ln +=在()+∞∈,0x 单调递增且R t ∈∴方程xax x f +=ln )(在()+∞∈,0x 有两根21,x x 可转化方程a t e t =-在R t ∈有两根21,t t ，其中222111ln ,ln x x t x x t +=+=令t e t p t -=)(，则1)(-='t e t p ∴)(t p 在()0,∞-∈t 为减函数，在()+∞∈,0t 为增函数∴1)0()(min ==p t p 又-∞→x 时，+∞→)(t p ；+∞→x 时，+∞→)(t p ∴),1(+∞∈a （6分）（2）不妨设两根21t t <，则210t t <<，)()(21t p t p =令0,2)()()()()(>--=+--=--=--t t e e t e t e t p t p t q t t t t 则02)(>-+='-t t e e t q ∴)(t q 在()+∞∈,0t 单调递增∴0>t 时，0)0()(=>q t q 由02>t 得0)()()(222>--=t p t p t q ∴)()()(221t p t p t p ->=而)(t p 在()0,∞-∈t 单调递减，且0021<-<t t ，所以02121<+-<t t t t ，所以0ln ln 221121<+++=+x x x x t t 2121212122112ln 2)ln(ln ln x x x x x x x x x x x x +≥++=+++∴0ln 2121<+x x x x 又021111ln>-=+e e e ∴ee x x x x 11lnln 2121+<+而x x y +=ln 在()+∞∈,0x 单调递增∴e x x 121<∴ex x 121<（12分）。

2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。

成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。

2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A .M N⋃ B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A .n ∀∈N ，22nn ≤ B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n < D.n ∃∈N ，22n n <3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1iz =+ D.z 的虚部为1-10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b ba a+<+12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．18.已知a 、b是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b -．19.已知()1f x a b =⋅- ，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n nS .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min.（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cossin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A.M N ⋃B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð【答案】D 【解析】【分析】由题意作出Venn 图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，绘制Venn 图，如下：对于A ：M N N ⋃=，A 错误；对于B ：()()U UUN M M =痧，B 错误；对于C ：()U M N ðU ⊂，C 错误；对于D ：()U N M U ⋃=ð，D 正确.故选：D.2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A.n ∀∈N ，22n n ≤B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n <D.n ∃∈N ，22nn <【答案】C 【解析】【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p 的否定形式.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p 的否定应该为n ∀∈N ，22n n <．故选：C ．3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.【详解】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y =在定义域上递增，故()f x =3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=- ，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳【答案】D 【解析】【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解 1.5 4.810M E +=,进而可求解.【详解】由题意可设lg E M λμ=+，则()()1013lg 6.3104lg 6.3106λμλμ⎧⨯=+⎪⎨⨯=+⎪⎩，解得 1.54.8λμ=⎧⎨=⎩，所以lg 1.5 4.8E M =+，所以 1.5 4.810M E +=，所以当 5.5M =时， 1.55.54.813.050.05131310101010 1.110E ⨯+===⨯≈⨯焦耳.故选:D.6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.【详解】()21y f x =-为奇函数，即()()21210f x f x -+--=，所以()f x 关于()1,0-中心对称，则()(2)f x f x =---，()1y f x =+为偶函数，即()()1()1(2)f x f x f x f x +=-+⇒-=，所以(2)(2)(2)(2)(4)()f x f x f x f x f x f x -=---⇒+=--⇒+=-，故()()()84f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为8的周期函数，所以()()()()1948242201f f f f =⨯+===，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】因为()f x 在()0,πω内恰好有4个零点，所以35π022T T ω<-≤，即3π5ππωωω<≤，所以235ω<≤，又N ω+∈，所以2ω=，所以()()sin 22f x x =+，()()2cos 22f x x '=+，所以()()()22f x f x x ϕ'+=++≤πtan 20,2ϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1i z =+ D.z 的虚部为1-【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可判断A 选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数的概念可判断D 选项.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-.对于A 选项，z =A 对；对于B 选项，z 在复平面上对应点的坐标为()1,1-，位于第四象限，B 错；对于C 选项，1i z =+，C 对；对于D 选项，z 的虚部为1-，D 对.故选：ACD.10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由基底的定义分析判断，对于B ，由AB DC =可求出点D 的坐标，对于C ，由向量夹角的定义分析判断，对于D ，由数量积的几何意义分析判断.【详解】对于A ，因为()1,2a =r ，()3,1b = ，且满足1231≠，所以,a b 不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，所以A 正确，对于B ，设(,)D x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，所以(6,8)(1,2)x y -=--，解得7,6x y ==-，所以顶点D 的坐标为(7,6)-，所以B 正确，对于C ，因为ABC 是等边三角形，所以32π,AB BC = ，所以C 错误，对于D ，因为向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，所以b 在a上的投影向量的坐标为cos ,4(2,2)2a b a b a⋅=⨯=，所以D 正确，故选：ABD11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b > B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b b a a+<+【答案】ABD【解析】【分析】A.由0,0a b <>判断；B.由0b =判断；C.作差法判断；D 作差法判断.【详解】A.若0,0a b <>得不到11a b>，故错误；B.若0b =时，不成立，故错误；C.因为01a <<，所以()()3110a a a a a -=+-<，故正确；D.()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，所以11b b a a+>+，故错误；故选：ABD.12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥【答案】BC【解析】【分析】特殊值法可排除A 项，利用函数的对称性可判定B ，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C ，利用导函数非负结合判别式可判定D .【详解】对于A ，当0b =时，32()1f x x ax =-+，2()32f x x ax '=-，若0a =时，2()30f x x '=≥，则()f x 在定义域内单调递增，无极值点，故A 错误；对于B ，当0a =时，3()1f x x bx =++，3()1f x x bx -=--+，则()()2f x f x +-=，所以()f x 的图象关于()0,1中心对称，故B 正确；对于C 项，当24a b =时，232()14a f x x ax x =-++，22()323462a a a f x x ax x x '⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取4a -<<-，即36454a -<<-时，此时62a a >，所以当2a x <时，()0f x '>，所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当26a a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6a x >时，()0f x '>，所以()f x 在,6a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数极小值为310654a a f ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，函数极大值为102a f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即026a a f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，又因为325()1042a f a =+<-<，()39104a f a -=-+>，所以()f x 在,6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，即当4a -<<-时，()f x 有三个零点，故C 正确；对于D 项，若()f x 在定义域R 上是单调函数，则2()320f x x ax b '=-+≥恒成立，所以2Δ4120a b =-≤，解得23a b ≤，所以D 错误，故选：BC ．【点睛】关键点睛：本题C 项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）【答案】2a b +##2b a+【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，求出22log 3,log 5a b ==，结合对数的运算法则化简，即可得答案.【详解】因为23,25a b ==，所以22log 3,log 5a b ==，故2222log 45log 59log 52log 322b a a b =⨯=+=+=+，故答案为：2a b+14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.【答案】π4【解析】【分析】结合图形，可得1tan 3α=，1tan 2β=，利用正切的和角公式,即可得出答案.【详解】由图得：1tan 3α=，1tan 2β=，所以1132tan()111132αβ++==-⨯，又因为,αβ为锐角，从而π4αβ+=.故答案为：π4.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅ 的最小值为__________．【答案】5-【解析】【分析】建立直角坐标系，设(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，利用坐标运算求出PC PD ⋅ ，再利用辅助角公式即可求解.【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，则(2,2)C ，(0,2)D ，由题意可设：(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，则(2cos ,2sin )PC θθ=-- ，(cos ,2sin )PD θθ=-- ，PC PD ⋅ 2cos (2cos )(2sin )θθθ=--+-2cos 4sin 5θθ=--+5)θφ=-+，其中1tan 2φ=，∴PC PD ⋅ 的最小值为5-.故答案为：5-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(]2,3A B ⋃=-（2）{|3a a ≤-或}2a ≥【解析】【分析】（1）可得出[],1,2A a a a =+=时，可得出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）根据[],1,(2,2)A a a B =+=-，并且A B ⋂=∅即可得出12a +≤-或2a ≥，从而可得出a 的取值范围．【小问1详解】2a =时，2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得23x ≤≤，[]2,3A =，且(2,2)B =-，∴(]2,3A B =- ；【小问2详解】由2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得1a x a ≤≤+，[],1A a a =+，(2,2)B =-，且A B ⋂=∅，12a ∴+≤-或2a ≥，3a ∴≤-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为{|3a a ≤-或}2a ≥．18.已知a 、b 是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b - ．【答案】（1）6π（2）【解析】【分析】（1）依题意可得()0a a b ⋅-= ，根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据cos a b a b θ⋅=⋅ 计算可得；（2）根据32a b -= 及数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为()a a b ⊥- ，所以()0a a b ⋅-= ，即20a a b -⋅= ，即212a b a ⋅== ，所以cos 2a b a b θ⋅⋅=== ，因为[]0,θπ∈，所以6πθ=；【小问2详解】解：32a b -====19.已知()1f x a b =⋅-，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈ ,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.【答案】（1）最小正周期为π，最小值为2-.（2）2或6．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积化简()f x 的解析式，进而可得()f x 的最小正周期和最小值；（2）先由4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得π3A =，再利用余弦定理列方程，即可求得边长c 的值.【详解】（1）()1f x a b =⋅-(sin 2,2cos ))1x x x =⋅-2π22cos 12cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期2ππ2T ==，最小值为2-.（2）ππ2sin 22sin 64426A A A f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，则ππ2π6632A <+<，故32ππ6A +=，解之得π3A=又a =，8b=，由余弦定理得(22218282c c =+-⨯⨯，即28120c c -+=，解之得2c =或6c =.经检验，均符合题意.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n n S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）32n a n =-（2）1【解析】【分析】（1）首先求得1a 的值，然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后用裂项法求得n T ，再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．【小问1详解】当1n =时，由111a S ==；当2n ≥时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，又11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为32n a n =-.【小问2详解】由32n a n =-，可得()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，则12...n n T b b b =+++1111111...3447323131n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列，所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min .（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cos sin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）【答案】（1）45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈（2）π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30h ∈；45m 【解析】【分析】（1）设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，根据所给条件求出A 、B 、ω、ϕ；（2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，即可得到19πππ5π45sin sin 152156h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由和差化积公式得到π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30t ∈，最后根据余弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，则2ππ15T ω==，令0=t 时，sin 1ϕ=-，π2ϕ=-，又100451055A B A A B B +==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]0,30t ∈.【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3.不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，则145sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，9πππ45sin 551523H t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以高度19πππ5π45sin 55sin 55152156h H H t ⎛⎫⎛⎫=-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ5π45sin sin 152156t t ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由参考公式得，上式为π2πππ2π90cos sin 45cos 1536153t t ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，从而高度差为π2π45cos 153h t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈；当π2πcos 1153t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π2ππ153t k -=，N k ∈，解得1015t k =+，N k ∈，又[]0,30t ∈，所以10t =min 或25t =min ，此时高度差h 的最大值为45m.22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1xh x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.。

北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期中质量检测高三数学（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =Z ，集合{}{}22,1,0,1,2A x x B =∈-<<=-∣Z ，则()U A B ⋂=ð（）A.{}1,2- B.{}1 C.{}0,1 D.{}2【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知{}1,0,1A =-，再由补集以及交集定义可得结果.【详解】由题可知{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-∣Z，易知{}U A x x A =∈∉∣Zð，所以(){}U 2A B ⋂=ð.故选：D2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.lg y x =B.3y x =C.1y x x=+D.22x xy -=+【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ：因为lg y x =的定义域为()0,∞+，所以不是奇函数，所以A 错误；对于B ：令()3f x x =，则()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，又在()0,∞+上单调递增，B 正确；对于C ：1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以C 错误；对于D ：因为()22xxf x -=+，()()22xx f x f x --=+=，所以是偶函数，所以D 错误，故选：B3.若sin θθ=，则tan 2θ=（）A.3-B.3C.2-D.2【答案】C 【解析】【分析】根据sin θθ=得到tan θ=，再利用二倍角公式得到答案.【详解】sin tan θθθ=∴=，22tan tan 21tan 42θθθ===---故选：C【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.4.已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A5.函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（）A.π6x =-B.0x = C.π6x =D.π2x =【答案】C 【解析】【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断2y =±是否成立即可.【详解】π6x =-时π2sin 26π3y ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭-，不是对称轴；0x =时π2sin 260y ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，不是对称轴；π6x =时π2sin 2π36y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，是对称轴；π2x =时π2sin 26πy ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，不是对称轴；故选：C6.设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0x x 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B7.已知平面内四个不同的点,,,A B C D 满足22BA DB DC =-，则AC BC=（）A.23B.32C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】将条件22BA DB DC =-变形，得到,BC AC 的关系，进而可得AC BC的值.【详解】22BA DB DC =-,()22BC CA DC DC CB -∴=++ ,即3BC AC =,3BC AC ∴= 3AC BC∴= .故选：D.8.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为8π3．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（）A.23B.1C.2D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的高与底面圆的半径为2，作出组合体的轴截面，结合1SO D SOA ∽，列出方程，即可求解.【详解】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，则r h =，又因为圆锥的体积为8π3，可得23118πππ333r h r ==，解得2r =，则2h =，设圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，则高为2SO =，SO 与正方体的上底面交点为1O ,在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图所示，设正方体的棱长为a，可得CD =，由1SO D SOA ∽，可得11SO O D SO OA=，即22222a a -=，解得4a ==-所以该正方体的棱长为4-故选：D.9.已知函数211,(,0)(),()44ln(1),[0,)x x f x g x x x x x ∞∞⎧+-∈-==--⎨+∈+⎩，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（）A.[1,5]-B.(,1][5,)-∞-⋃+∞C.[1,)-+∞D.(,5]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得函数()f x 的值域为[1,)-+∞，结合题意转化为()1g b -≥-，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示，所以，当(,0)x ∈-∞时，()()11f x f ≥-=-；当[0,)x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，可函数()f x 的值域为[1,)-+∞，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=成立，即()()f a g b =-，只需()1g b -≥-，即对于R b ∈，满足2441b b -++≥-成立，即2450b b --≤，解得15b -≤≤，所以实数b 的取值范围为[1,5]-.故选：A.10.已知点集{}{}Λ(,)|Z,Z ,(,)Λ|15,15x y x y S a b a b =∈∈=∈≤≤≤≤．设非空点集ΛT ⊆，若对S 中任意一点P ，在T 中存在一点Q （Q 与P 不重合），使得线段PQ 上除了点,P Q 外没有Λ中的点，则T 中的元素个数最小值是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数，讨论T 只有一个点(,)x y 得到矛盾，进而有T 中元素不止一个，取{(2,6),(3,6)}T =分析是否满足要求即可.【详解】对于整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数，若T 只有一个点(,)x y ，取S 的点(,)a b 使,a x 和,b y 分别同奇偶，,a x b y --有公因子2（或重合），不合题意，故T 中元素不止一个，令{(2,6),(3,6)}T =，对于S 的点(,)P a b ，当1a =或3时，取(2,6)Q ；当2a =或4时，取(3,6)Q ；由于P 、Q 横坐标之差为1±，故PQ 内部无整点；当5a =，{1,3,5}b ∈时，取(3,6)Q ，此时横坐标之差为2，纵坐标之差为奇数，二者互素；当5a =，{2,4}b ∈时，取(2,6)Q ，此时横坐标之差为3，纵坐标之差为4,2--，二者互素；综上，T 中的元素个数最小值是2.故选：B【点睛】关键点睛：根据题设分析出整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数为关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数()sin πcos πf x x x =+，则()f x 的最小正周期是__________．【答案】2【解析】【分析】化简函数为π())4f x x =+，结合最小正周期的计算公式，即可求解.【详解】由函数π()sin πcos π4f x x x x =+=+，所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==.故答案为：2.12.已知单位向量a ，b 满足()22a a b ⋅+= ，则向量a与向量b 的夹角的大小为__________．【答案】3π【解析】【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a ，b均是单位向量，故可得1,1a b == ，故可得()222,2a a b a a b cos b ⋅+=+=，即2, 1cos a b = ，解得1, 2cos a b = ，又因为向量夹角的范围为[]0,π，故,a b的夹角为3π.故答案为：3π.【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.13.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，能说明“若0d <，则数列{}nS 是递减数列”为假命题的一组1,a d 的值依次为__________．【答案】12a =，1d =-（答案不唯一）【解析】【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-且0d <，结合二次函数性质找到一个满足{}n S 不是递减数列的1,a d 即可.【详解】由211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，其对称轴为112a n d=-，且0d <，结合二次函数性质，只需1113122a a d d-≥⇒≤-，即1a d ≥-，此时{}n S 不是递减数列，如12a =，1d =-，则21525()228n S n =--+，显然12S S <.故答案为：12a =，1d =-（答案不唯一）14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的160作为单位来度量弦长．将圆心角α所对的弦长记为crd α．如图，在圆O 中，60 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，因此60 的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd 6060= ．若θ为圆心角，()1cos 01804θθ=<<，则crd θ=__________【答案】【解析】【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出1cos 4θ=时圆心角θ所对应的弦长2l r =，结合60 的圆心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.【详解】设圆的半径为r ，1cos 4θ=时圆心角θ所对应的弦长为l ，利用余弦定理可知2222232cos 2l r r r r θ=+-=，即可得2l r =又60 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，60 的圆心角所对的弦长为60个单位，即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，所以602l =⨯=故答案为：15.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为AD 的中点，点N 是侧面11DCC D 上（包括边界）的动点，且1B D MN ⊥，给出下列四个结论：①动点N 的轨迹是一段圆弧；②动点N 的轨迹与1CD 没有公共点；③三棱锥1N B BC -的体积的最小值为112；④平面BMN 截该正方体所得截面的面积的最大值为98．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】②③④【解析】【分析】作出与1B D 垂直的平面MPQ ，即可得动点N 的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段PQ ，可知①错误；显然1//PQ CD ，即②正确；当N 点与P 点重合时到平面1B BC 的距离最小时，此时最小值为112，所以③正确；易知当N 点与Q 点重合时，截面为等腰梯形1BMQC ，此时面积最大为98.【详解】取1,CD DD 的中点分别为,P Q ，连接,,,MP MQ PQ BD ，如下图所示：由正方体性质可知1BB MP ⊥，又因为AC BD ⊥，//MP AC ，所以MP BD ⊥，又1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂平面1BB D ，所以MP ⊥平面1BB D ；又1B D ⊂平面1BB D ，所以1MP B D ⊥；同理可得11,MQ B D QP B D ⊥⊥，因此1B D ⊥平面MPQ ，若1B D MN ⊥，所以N ∈平面MPQ ，又点N 是侧面11DCC D 上（包括边界）的动点；所以动点N 的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段，即PQ ，可知①错误；由于,P Q 是1,CD DD 的中点，所以1//PQ CD ，即动点N 的轨迹与1CD 没有公共点；所以②正确；易知三棱锥1N B BC -的底面1B BC 的面积为定值，即1111122B BC S =⨯⨯= ，当N 点到平面1B BC 的距离最小时，即与P 点重合时，距离最小为12，此时体积值最小为111132212V =⨯⨯=，所以③正确；显然当N 点与Q 点重合时，截面面积最大，此时截面即为四边形1BMQC ，如下图所示：易知1//MQ BC ，且12BM QC ==，1,2MQ BC ==；即四边形1BMQC 为等腰梯形，易知其高为324h ==，所以其面积为192248⎛+⨯=⎝；即④正确.故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知{}n a是递增的等比数列，其前n项和为()*nS n∈N，满足236,26a S==．（1）求{}n a的通项公式及n S；（2）若2024n nS a+>，求n的最小值．【答案】（1）123nna-=⨯；31nnS=-.（2）7【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和的定义，建立方程，求得公比，可得答案；（2）根据对数的性质，可得答案.【小问1详解】设等比数列{}n a的公比为q，由数列{}n a是递增数列，则1q>，由26a=，则216aaq q==，326a a q q==，由312366626S a a a qq=++=++=，整理可得231030q q-+=，则()()3130q q--=，解得3q=，易知22126323n n nna a q---==⨯=⨯，()()1121331113n nnna qSq-⨯-===---.【小问2详解】由（1）可得：1131235312024n n nn nS a--+=-+⨯=⨯->，整理可得1532025n-⨯>，13405n->，61713243405,3729405--==，故n的最小值为7.17.在ABC中，222b c a bc+-=．（1）求A∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sinB ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，由正弦定理sin sin a b A B =，可得214=7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC的面积为11sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()111sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a c A C =，可得27=，解得212a =，所以ABC的面积为1121sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,2,ABC PA AC BC PB ====（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PB C --的大小；（3）求点C 到平面PAB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒；（3.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直的判定证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，求出二面角；（3）应用等体积法求点到面的距离即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BA ⊂平面ABC ，所以,PA BC PA BA ⊥⊥，又,2PA PB ==，所以AB ==，又因为2AC BC ==，222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥，因为AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ，且AC PA A ⊂=，所以BC ⊥平面PAC ；【小问2详解】过C 作CM //PA ，则CM ⊥平面ABC ，又由（1）知BC AC ⊥，所以以,,CA CB CM 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如下图，则()()()()2,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,0A P B C ，设平面APB 的法向量为()111,,m x y z = ，又()()0,0,2,2,2,0AP AB ==- ，所以1112002200z m AP x y m AB ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令11x =，则11y =，则()1,1,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，又()()2,0,2,0,2,0CP CB == ，所以2222200200x z n CP y n CB ⎧+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ ，令21x =，则21z =-，则()1,0,1n =- ，令二面角A PB C --的平面角为θ，则1cos cos ,2m n m n m n θ⋅=== ，由图知此二面角为锐二面角，所以60θ=︒，故二面角A PB C --为60︒；【小问3详解】设点C 到平面PAB 的距离为h ，122ABC S AC BC =⨯⨯= ，所以1433P ABC ABC V PA S -=⨯⨯=△，又12PBC S PA AB =⨯⨯=△，所以13C PAB PBC P ABC V h S V --=⨯⨯==△，解得h =C 到平面PAB .19.已知函数2()e sin (R)x f x x ax a =--∈．（1）若0a =，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值；（2）若12a <，求证：()f x 在0x =处取得极小值．【答案】（1）最小值为(0)1f =，最大值为π2π()e 12f =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数研究()e sin x f x x =-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求最值；（2）由题设()e cos 2x f x x ax '=--，易得(0)0f '=，构造()e cos 2x g x x ax =--利用导数可得(0)0g '>，得到()f x '在0x =处有递增趋势，即可证结论.【小问1详解】由题设()e sin x f x x =-，则()e cos x f x x '=-，在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()e cos 0x f x x '=->，即()f x 递增，所以最小值为0(0)e sin 01f =-=，最大值为ππ22ππ()e sin e 122f =-=-.【小问2详解】由题意()e cos 2x f x x ax '=--，则0(0)e cos 000f '=--=，令()e cos 2x g x x ax =--，则()e sin 2x g x x a '=+-，且12a <.所以0(0)e sin 02120g a a '=+-=->，即()f x '在0x =处有递增趋势，综上，若0x ∆>且x ∆无限趋向于0，在(,0)x x ∈-∆上()0f x '<，()f x 递减，在(0,)x x ∈∆上()0f x '>，()f x 递增，所以()f x 在0x =处取得极小值．20.已知函数2()ln 1()f x mx x x m =-+∈R ．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x ≤在区间[1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围；（3）试比较ln 4的大小，并说明理由．【答案】（1）10x y +-=（2）(],2-∞（3）ln 4<【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，转化为1ln 0m x x x -+≤，令()1ln g x m x x x =-+，问题转化为()max 0g x ≤，利用导数求函数()max g x 即可得解；（3）由（2）知，2m =时，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，取x =.【小问1详解】当1m =时，()2n 1l f x x x x -+=，()ln 12f x x x '∴=+-，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的斜率()11k f '==-，又()10f =，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的方程为()1y x =--即10x y +-=.【小问2详解】()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，即2ln 10mx x x -+≤，对[)1,x ∀∈+∞，即1ln 0m x x x -+≤，对[)1,x ∀∈+∞，令()1ln g x m x x x =-+，只需()max 0g x ≤，()222111m x mx g x x x x-+-'=--=，[)1,x ∞∈+，当0m ≤时，有0mx ≤，则()0g x '<，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，当0m >时，令()21h x x mx =-+-，其对应方程210x mx -+-=的判别式24m ∆=-，若0∆≤即02m <≤时，有()0h x ≤，即()0g x '≤，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，若0∆>即m>2时，()21h x x mx =-+-，对称轴12m x =>，又()120h m =->，方程210x mx -+-=的大于1的根为02m x -=，()01,x x ∴∈，()0h x >，即()0g x '>，()0,x x ∈+∞，()0h x <，即()0g x '<，所以函数()g x 在()01,x 上单调递增，()()10g x g ∴>=，不合题意.综上，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，实数m 的取值范围为(],2-∞.【小问3详解】由（2）知，当2m =时，()0f x ≤，在区间[)1,+∞上恒成立，即22ln 1x x x ≤-，对[)1,x ∀∈+∞，取x =代入上式得1<，化简得ln 4<.21.已知1,11,21,2,12,22,,1,2,(2)m m m m m m m a a a a a a A m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是2m 个正整数组成的m 行m 列的数表，当1,1i s m j t m ≤<≤≤<≤时，记(),,,,,,,i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-．设*n ∈N ，若m A 满足如下两个性质：①{},1,2,3;,(1,2,,;1,2,,)i j a n i m j m ∈== ；②对任意{}1,2,3,,k n ∈ ，存在{}{}1,2,,,1,2,,i m j m ∈∈ ，使得,i j a k =，则称m A 为Γn 数表．（1）判断3123231312A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否为3Γ数表，并求()()1,12,22,23,3,,d a a d a a +的值；（2）若2Γ数表4A 满足(),1,1,1(1,2,3;1,2,3)i j i j d a a i j ++===，求4A 中各数之和的最小值；（3）证明：对任意4Γ数表10A ，存在110,110i s j t ≤<≤≤<≤，使得(),,,0i j s t d a a =．【答案】（1）是；5（2）22（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；（2）根据条件讨论1,i j a +的值，根据(),,,,,,,i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-，得到相关的值，进行最小值求和即可；（3）当2i r ≥时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有1i r -条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【小问1详解】3123231312A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是3Γ数表，()()1,12,22,23,3,,23 5.d a a d a a +=+=【小问2详解】由题可知(),,,,,,,1i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-=(1,2,3;1,2,3)i j ==.当1,1i j a +=时，有(),1,1,1,1,(1)(1)1i j i j i j i j d a a a a ++++=--=，所以,1,13i j i j a a +++=.当1,2i j a +=时，有(),1,1,1,1,(2)(2)1i j i j i j i j d a a a a ++++=--=，所以,1,13i j i j a a +++=.所以,1,13(1,2,3;1,2,3).i j i j a a i j +++===所以1,12,23,34,4336,a a a a +++=+=1,32,43,14,23, 3.a a a a +=+=1,22,33,4314a a a ++=+=或者1,22,33,4325a a a ++=+=，2,13,24,3314a a a ++=+=或者2,13,24,3325a a a ++=+=，1,41a =或1,42a =，4,11a =或4,12a =，故各数之和633441122≥++++++=，当41111122212111212A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，各数之和取得最小值22.【小问3详解】由于4Γ数表10A 中共100个数字，必然存在{}1,2,3,4k ∈，使得数表中k 的个数满足25.T ≥设第i 行中k 的个数为(1,2,,10).i r i =⋅⋅⋅当2i r ≥时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有1i r -条有向线段，所以横向有向线段的起点总数1210(1)(1)10.i i i i r R r r T =≥=∑-≥∑-=-设第j 列中k 的个数为(1,2,,10)j c j =⋅⋅⋅.当2j c ≥时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有1j c -条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数1210(1)(1)10.j j j j c C c c T =≥=∑-≥∑-=-所以220R C T +≥-,因为25T ≥,所以220200R C T T T T +-≥--=->.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在110110,u v p q <<≤<<≤，使得,,,u p v p v q a a a k ===，所以(),,,,,,,0u p v q u p v p v p v q d a a a a a a =-+-=，则命题得证.。

2023北京海淀高三（上）期中数 学2023.11本试卷共6页，150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{}2A x x =<，{}1,2B =，则A B =(A)(),2−∞ (B) (2],−∞ (C){}1(D){}1,2(2)若复数z 满足2i 1iz ⋅=+，则z = (A)1i −− (B) 1i −+ (C) 1i −(D) 1i +(3)下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞ 上单调递增的是 (A)ln y x = (B)3y x = (C)tan y x =(D)2x y =(4)已知向量a ，b 满足)1(2a =，，12()a b −=−， ，则a b ⋅= (A)-5 (B)0 (C)5(D)7(5)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且515S =，则24·a a 的最大值为 (A)94(B)3 (C)9(D)36(6)设4log 6a =，2log 3b =，32c =，则 (A)a b c >> (B)c b a >> (C)b a c >>(D)b c a >>(7)“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)在ABC ∆中，sin sin 2B A =，2c a =，则|(A)B ∠为直角 (B) B ∠为钝角 (C) C ∠为直角(D) C ∠为钝角(9)古典吉他的示意图如图所示.0A ，B 分别是上弦枕、下弦枕，121(9)i i A =⋅⋅⋅，，是第i 品丝.记i a 为i A 与1i A −的距离，i L 为i A 与0A 的距离，且满足1L i i X L a M−−=，i =1，2，…，19，其中L X 为弦长(0A 与B 的距离)，M 为大于1的常数，并规定00L =.则 (A)数列1219,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，且公差为2LX M− (B)数列1219,,,a a a ⋅⋅⋅是等比数列，且公比为1M M − (C)数列1219,,,L L L ⋅⋅⋅是等比数列，且公比为21M M − (D)数列1219,,,L L L ⋅⋅⋅是等差数列，且公差为2(1)LM X M −(10)在等腰直角三角形ABC 中，AB =2，M 为斜边BC 的中点，以M 为圆心，MA 为半径作AC ̂，点P 在线段BC 上，点Q 在AC ̂上，则AP MQ + 的取值范围是(A)[0(B)[02+，(C)[2(D)2[−+第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

大兴区2023~2024学年度第一学期期中检测高三数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，则A B = （）A.{}0B.{}1-C.{}1 D.{}0,12.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,1-，则z z ⋅=（）A.1B.C.2D.3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2x y =B.1y x -=C.cos y x= D.ln ||y x =4.设x ∈R ，则“sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量(10)(01)a b == ，，，，若()()a b a b λμ-⊥+，其中∈R ，λμ，则（）A.1λμ+=-B.1λμ+=C.1λμ⋅=- D.1λμ⋅=6.在平面直角坐标系x O y 中，角α以O x 为始边，点(3,4)P -在角α终边上，则错误的是（）A.4sin 5α=B.7cos 225α=C.1sin cos 5αα+=D.tan22α=7.在ABC 中，π,4,6A AB BC a ∠===，且满足该条件的ABC 有两个，则a 的取值范围是（）A.()0,2 B.(C.()2,4 D.()8.已知12a =，5log 2b =，tan1c =，则（）A .b a c<< B.a c b <<C.a b c<< D.c b a<<9.设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.12,23⎛⎫⎪⎝⎭C.2,13⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,210.已知数列{}n a 满足1(1) n n n a a a +=-（n *∈N ），且101a <<．给出下列四个结论：①214a ≤；②12334n n a a a a +++++<；③m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a >；④k *∀∈N ，m *∃∈N ，当n m ≥时，1n a k<．其中所有正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.2lg2lg25+=______．12.设函数()tan f x x =，则π()4f -=______；若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 的最小值是______.13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q的值为1a =_______，q =_______．14.已知等边ABC 的边长为4，E F ，分别是，AB AC 的中点，则EF EA ⋅=_______；若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，则EM EN ⋅的最小值为_______．15.已知函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，①当0a =时，()f x 的值域为_______；②若关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则a 的取值范围是_______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，2a =，2c b =．（1）若1sin 4B =，求C ∠；（2）若60A ︒∠=，求△ABC 的面积．17.已知等差数列{}n a 满足41a =，65a =.数列{}n b 满足15b a =，13n n bb +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 前n 项和n S 的最小值为m ，若4a ，m ，k b 构成等比数列，求k 的值．18.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，且()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若()f x a ≥对ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．条件①：()01f =-；条件②：()f x 的最大值为2；条件③：()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．19.已知函数32()1f x x ax =--.（1）若1a =，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，求a 的取值范围；（3）直接写出一个a 值使()f x 在区间[1,0]-上单调递减．20.设函数23()9(3)e ax f x x x =--，曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =.（1）求a 的值；（2）求证：当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；（3）问存在几个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴？（结论不要求证明）21.设数列12:,,,n A a a a (2)n ≥，如果1202024n a a a <<<< ≤，且i a *∈N ，(1,2,,)i n = ，对于2k ∀≥，11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++成立，则称数列A 为E 数列．（1）分别判断数列1,3,5,7和数列2,6,14,22是否是E 数列，并说明理由；（2）若数列A 是E 数列，且2023n a =，求n 的最小值；（3）若数列A 是E 数列，且2024n a =，求n 的最大值．大兴区2023~2024学年度第一学期期中检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，则A B = （）A.{}0B.{}1-C.{}1 D.{}0,1【答案】D【分析】利用集合,A B ，即可求出A B ⋂.【详解】由题意，{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，∴{}0,1A B = ，故选：D.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,1-，则z z ⋅=（）A.1B.C.2D.【答案】C【分析】根据复数的几何意义可得1i,z =-结合共轭复数的定义以及复数的乘法运算即可求解.【详解】由题意可得1i,z =-故1i z =+，进而()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故选：C3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2x y =B.1y x -=C.cos y x =D.ln ||y x =【答案】D【分析】分别判断各选项中函数的奇偶性和单调性即可.【详解】指数函数2x y =不是偶函数，A 选项错误；幂函数1y x -=是奇函数，B 选项错误；函数cos y x =是偶函数，但在()0,∞+上不单调，C 选项错误；函数ln y x =是偶函数，()0,x ∞∈+时ln y x =单调递增.故选：D4.设x ∈R ，则“sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解.【详解】由sin 0x =，则22sin 1cos 0cos 1x x x =-=⇒±=，故充分性不成立，由cos 1x =，则22cos 1sin 1sin 0x x x =-=⇒=，故必要性成立，故“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件，故选：B5.已知向量(10)(01)a b == ，，，，若()()a b a b λμ-⊥+，其中∈R ，λμ，则（）A.1λμ+=-B.1λμ+=C.1λμ⋅=-D.1λμ⋅=【答案】D【分析】利用向量的线性运算和向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量(10)(01)a b ==，，，，()1,a b λλ-=- ，()1,a b μμ+= ，()()a b a b λμ-⊥+ ，()()10a b a b λμλμ-⋅+=-⋅=，即1λμ⋅=.故选：D6.在平面直角坐标系x O y 中，角α以O x 为始边，点(3,4)P -在角α终边上，则错误的是（）A.4sin 5α=B.7cos 225α=C.1sin cos 5αα+= D.tan22α=【答案】B【分析】根据任意角三角函数的定义求sin ,cos ,tan ααα，进而可以判断AC ；利用倍角公式判断B ；利用倍角公式结合象限角的三角函数值的符号判断D 【详解】由题意可知：4344sin ,tan 5533ααα-==-=--，故A 正确；且227cos 2cos sin 25ααα=-=-，故B 错误；431sin cos 555αα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故C 正确；因为22tan42tan 31tan 2ααα==--，整理得22tan 3tan 2022αα--=，解得tan 22α=或1tan 22α=-，且π2π2ππ,2αk k k Z +<<+Î，则ππππ,422αk k k Z +<<+Î，可知k 为奇数时，2α为第三象限角，k 为偶数时，2α为第一象限角，综上所述：tan 02α>，即tan 22α=，故D 正确；故选：B.7.在ABC 中，π,4,6A AB BC a ∠===，且满足该条件的ABC 有两个，则a 的取值范围是（）A.()0,2B.(2,C.()2,4D.()【答案】C【分析】由题意可知，画出A ∠和边长AB ，以B 为圆心，a 为半径作圆与AC 边有两个交点时即可求出a 的取值范围.【详解】根据题意如下图所示：易知当BC AC ⊥时，sin 302BC AB == ，若2a =满足条件的三角形只有一个；由题可知以B 为圆心，a 为半径的圆与AC 边有两个交点时，即图中12,C C 两点满足题意；所以可得BC a AB <<，即24a <<；即a 的取值范围是()2,4.故选：C8.已知12a =，5log 2b =，tan1c =，则（）A.b a c <<B.a c b <<C.a b c <<D.c b a<<【答案】A【分析】根据正切函数的单调性可得1c <，根据对数的性质可得12b <，即可比较.【详解】πtan1tan 14c =>=，551log 2log 2b =<=，所以b ac <<，故选：A9.设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.12,23⎛⎫⎪⎝⎭C.2,13⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,2【答案】B【分析】求导，再根据导函数的单调性结合极值点的定义及零点的存在性定理即可得出答案.【详解】()1()e 0xf x x x '=->，因为函数1e ,xy y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以函数1()e xf x x'=-在()0,∞+上是增函数，又213212333e 20,e 023222f f ⎛⎫⎛⎫''=-<=-=->-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一实数012,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>，所以函数函数()e ln x f x x =-又唯一极值点0x ，且012,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故M 可以是12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.10.已知数列{}n a 满足1(1) n n n a a a +=-（n *∈N ），且101a <<．给出下列四个结论：①214a ≤；②12334n n a a a a +++++<；③m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a >；④k *∀∈N ，m *∃∈N ，当n m ≥时，1n a k<．其中所有正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据二次函数的性质即可判定①，由放缩法即可求解②，根据数列的单调性即可判断③④【详解】由于2211111(1) =24a a a a ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，且101a <<，所以214a ≤，故①正确，21(1) 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-≤，由于101a <<，所以0n a <，故1n n a a +<，所以当2n ≥时，214n a a <≤，因此()()1231113111444n n a a a a a n n +++++<+-<+-=，故②正确，由于1n n a a +<，所以数列{}n a 为单调递减数列，所以m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a <；③错误，21(1) =n n n n n a a a a a +=--，故21(1) =n n n n n a a a a a +=--，则111n n na a a +=-，由于01n a <<，则011n a <-<，所以1111n n na a a +=>-，又21nn n a a a +=-，同除以21111n n n n n n n n n a a aa a a a a a ++++=-，所以1111n n n n a a a a ++=-，1112211111,,n n n n a a a a a a a a --=-=- ，相加可得11121111n n n n n a a a a a a a a -+++++=- ，故1111n n a a +->，进而可得111101n a n n a +<<<+，k *∀∈N ，m *∃∈N ，当1m k =+时，又数列{}n a 为单调递减数列，当n m ≥时，111n m a a m k≤<=-．故④正确故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.2lg2lg25+=______．【答案】2【分析】通过同底对数的运算法则，求得结果.【详解】2lg2lg25lg4lg25lg1002+=+==本题正确结果：2【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.12.设函数()tan f x x =，则π()4f -=______；若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 的最小值是______.【答案】①.1-②.π【分析】根据诱导公式直接计算π()4f -，根据最小正周期的概念求解即可；【详解】函数()tan f x x =，则πππ(tan(tan 1444f -=-=-=-，若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 为函数()tan f x x =的一个正周期，又函数()tan f x x =的最小正周期为π，所以T 的最小值是π.故答案为：1-；π13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q的值为1a =_______，q =_______．【答案】①.1-②.12（答案不唯一）【分析】由题意，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，取一组符合条件的1a 和公比q 即可.【详解】“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题，所以若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∃∈≥，1n n S S +≥，则110n n n S S a ++-=≤，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，则11a =-和公比12q =，满足题意.故答案为：1-；1214.已知等边ABC 的边长为4，E F ，分别是，AB AC 的中点，则EF EA ⋅= _______；若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，则EM EN ⋅的最小值为_______．【答案】①.2②.114##2.75【分析】第一空：通过()EF EA EA AF EA ⋅=+⋅ 展开整理，带入数据计算即可；第二空：设,03BN t t =≤≤，通过()()EM EN EB BM EB BN ⋅=+⋅+ 展开整理，带入数据然后配方求最值.【详解】()22222cos1202EF EA EA AF EA EA AF EA ⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯= ;若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，不妨设N 点相对M 更靠近B 点，设,03BN t t =≤≤，()()()2EM EN EB BM EB BN EB BM BN EB BM BN ∴⋅=+⋅+=++⋅+⋅ ()()2221cos1201t t t t=+++++ 22111324t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12t =时，EM EN ⋅ 取最小值，且为114.故答案为：2；114.15.已知函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，①当0a =时，()f x 的值域为_______；②若关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则a 的取值范围是_______．【答案】①.(0)+∞，②.[11)-，【分析】①当0a =时，分别判断两段的值域，取并集得()f x 的值域；②方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则y 轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断a 的取值范围.【详解】①当0a =时，10()220.xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，，0x ≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，011()2f x ⎛⎫≥ ⎪⎝=⎭；0x >时，()2f x x =，函数单调递增，()0f x >，所以()f x 的值域为(0)∞+，；②函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则y 轴左边的函数图像翻折到右边，与y 轴右边的图像有两个交点，分别作出函数12,,22xx y x y y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图像，其中函数2y x =与2x y =的图像相交于点()1,2和()2,4结合图像可知方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，为1x =和2x =，需要11a -≤<，所以a 的取值范围为[11)-，.故答案为：(0)∞+，；[11)-，.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，2a =，2c b =．（1）若1sin 4B =，求C ∠；（2）若60A ︒∠=，求△ABC 的面积．【答案】（1）30C ︒∠=或150︒（2）233【分析】（1）根据正弦定理得到1sin 2C =即可得到答案；（2）根据余弦定理得到3b =，再根据三角形面积公式求解即可.【小问1详解】因为2c b =，所以由正弦定理sin sin c C b B =，得sin 2sin C B =，因为1sin 4B =，所以1sin 2C =，因为0180C ︒︒＜∠＜，所以30C ︒∠=或150︒【小问2详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222(2)22cos60b b b b ︒=+-⨯⨯，解得3b =或233b =-（舍去），由△ABC 的面积1sin 2S bc A =，得212sin 63202S b b =⨯=⨯︒=17.已知等差数列{}n a 满足41a =，65a =.数列{}nb 满足15b a =，13n n b b +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 前n 项和n S 的最小值为m ，若4a ，m ，k b 构成等比数列，求k 的值．【答案】（1）27n a n =-；（2）4.【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差即可得解.（2）由（1）的信息，求出m ，再借助等比数列求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则113155a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15a =-，2d =，所以数列{}n a 的通项公式1(1)27n a a n d n =+-=-．【小问2详解】由（1）知，1230a a a <<<，4560a a a <<<< ，从而{}n a 的前n 项和n S 的最小值33253292m S ⨯==-⨯+⨯=-，由4a ，m ，k b 构成等比数列，得2481k m b a ==，由27n a n =-，得53a =，即153b a ==，又13n n b b +=，则数列{}n b 是首项为3，公比3q =的等比数列，即有3k k b =，由381k =，解得4k =，所以k 的值是4.18.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若()f x a ≥对ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．条件①：()01f =-；条件②：()f x 的最大值为2；条件③：()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）2ω=（2）条件选择见解析，1a ≤【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得ω的值；（2）选①②，根据函数()f x 的最大值求出A 的值，根据()01f =-结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，可得出函数()f x 的解析式；选②③，根据函数()f x 的最大值求出A 的值，分析可知，π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值，可得出函数()f x 的解析式；选①③，分析可知，π6f A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值，再由()01f =-可得出A 的值，即可得出()f x 的解析式；再由ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合正弦型函数的基本性质可求出()f x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为()f x 的图象的相邻两个对称轴的距离为π2，所以，函数()f x 的最小正周期为π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==．【小问2详解】解：选择条件①②．因为()f x 的最大值为2，所以2A =，即()()2sin 2f x x ϕ=+．由()02sin 1f ϕ==-，得1sin 2ϕ=-，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．选择条件②③．因为()f x 的最大值为2，所以2A =，因为()f x 的最小正周期为πT =，且在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为πππ3622T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()ππ2π32k k ϕ-=-∈Z ，则()π2π6k k ϕ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-．所以()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．选择条件①③．因为()f x 的最小正周期为πT =，且在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为πππ3622T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以ππsin 63f A A ϕ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()ππ2π32k k ϕ-=-∈Z ，则()π2π6k k ϕ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-．由()01f =-，得π1sin 162A A ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以2A =．所以()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()[]1,2f x ∈．当π2x =时，()f x 的最小值为1．因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x a ≥恒成立，则1a ≤，所以a 的取值范围为(],1-∞．19.已知函数32()1f x x ax =--.（1）若1a =，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，求a 的取值范围；（3）直接写出一个a 值使()f x 在区间[1,0]-上单调递减．【答案】（1）极大值为(0)1f =-，极小值为231327⎛⎫=- ⎪⎝⎭f （2）[2,)-+∞（3）2-（答案不唯一，3,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦即可）【分析】（1）求导，利用导数判断原函数单调性和极值；（2）求导，分类讨论两根大小，利用导数判断原函数单调性和最值，列式求解即可；（3）由题意可得32a x ≤在[)1,0-内恒成立，根据恒成立问题分析求解.【小问1详解】当1a =时，32()1f x x x =--，函数()f x 的定义域为R ，则2()32f x x x ='-，令()0f x '=，解得0x =，或23x =，()f x '与()f x 在区间R 内的情况如下：x (,0)-∞020,3⎛⎫ ⎪⎝⎭232,+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极大值为(0)1f =-，极小值为231327⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ．【小问2详解】由题意知，2()32(32)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，则0x =，23x a =，①当223a ≤-，即3a ≤-时，()0f x '≤在区间[2,0]-上恒成立，所以()f x 区间[2,0]-上单调递减，所以()f x 的最小值为(0)f ，与已知相矛盾，不符合题意；②当2203a -<<，即30a -<<时，()f x '与()f x 在区间(2,0)-上的变化情况如下：x 22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭a 23a 2a,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减因为()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，所以(2)(0)f f -≤，即941a ---≤，解得2a ≥-，所以20a -≤<；③当203a ≥，即0a ≥时，()0f x '≥在区间[2,0]-上恒成立，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，最小值为(2)f -，满足题意；综上所述：a 的取值范围是[2,)-+∞.【小问3详解】若()f x 在区间[1,0]-上单调递减，则2()320f x x ax '=-≤在[)1,0-内恒成立，可得32a x ≤在[)1,0-内恒成立，即32a ≤-，即a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，所以a 的值可以为2-.20.设函数23()9(3)e ax f x x x =--，曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =.（1）求a 的值；（2）求证：当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；（3）问存在几个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴？（结论不要求证明）【答案】（1）1（2）证明见解析（3）2【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出()f x 在(],3x ∈-∞上的最小值，即可得证；（3）曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴，即曲线()y f x =在点P 处的斜率为0，则点P 的个数即函数()y f x '=零点的个数，结合（2）即可得出答案.【小问1详解】因为23()9(3)e ax f x x x =--，所以23()183(3)e (3)e ax ax f x x x x a '=----，因为曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =，所以所以(0)27270f a =-='，所以1a =；【小问2详解】由（1）知，2()(18e (3))x f x x x '=--，设2()18e (3)x g x x =--，所以()e (3)(1)x g x x x =---'，当3x >或1x <时，()0g x '<，当13x <<时，()0g x '>，所以函数()g x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递减，在()1,3上单调递增，所以当(],3x ∈-∞时，()()min 1184e 0g x g ==->，则当0x <时，()0f x '<，当03x <<时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,3上单调递增，所以()()min 027f x f ==，所以当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；【小问3详解】曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴，即曲线()y f x =在点P 处的斜率为0，则点P 的个数即函数()y f x '=零点的个数，由题意可知点P 可以是()0,27，当00x ≠时，令2()(18e (3))0x f x x x '=--=，则218e (3)0x x --=由（2）得，2()18e (3)x g x x =--在()(),1,3,∞∞-+上单调递减，在()1,3上单调递增，()()1184e>0,318g g =-=，由当x →-∞时，()g x ∞→+，当x →+∞时，()g x →-∞，所以当3x <时，函数()g x 无零点，当3x >时，()g x 有且仅有一个零点，综上，函数()y f x '=有2个零点，即存在2个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21.设数列12:,,,n A a a a (2)n ≥，如果1202024n a a a <<<< ≤，且i a *∈N ，(1,2,,)i n = ，对于2k ∀≥，11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++成立，则称数列A 为E 数列．（1）分别判断数列1,3,5,7和数列2,6,14,22是否是E 数列，并说明理由；（2）若数列A 是E 数列，且2023n a =，求n 的最小值；（3）若数列A 是E 数列，且2024n a =，求n 的最大值．【答案】（1）1,3,5,7是E 数列，2,6,14,22是E 数列，理由见解析（2）3（3）127【分析】（1）分别验证数列1,3,5,7和数列2,6,14,22中234,,a a a 是否满足E 数列性质即可得出结论；（2）利用反证法证明2n =不成立，取特例可知当3n =存在数列满足E 数列，即可得n 的最小值为3；（3）首先证明若1a 为奇数，则n a 必为奇数，又2024n a =可得1a 为偶数；利用E 数列性质可证明得出18a ≥，解不等式即可求出127n ≤.【小问1详解】①是E 数列．因为21113a a a a =++=，31121135a a a a =++=++=，41131157a a a a =++=++=，所以①是E 数列.②是E 数列．因为21116a a a a =++=，312226614a a a a =++=++=，4123261422a a a a =++=++=，所以②是E 数列．【小问2详解】首先证明n 不能为2．假设2n =，由数列A 为E 数列知，2111132023a a a a a =++==．所以120233a *=∉N ，与已知矛盾，故假设不成立．所以n 不能为2．因为数列A ：2898672023，，满足211113867a a a a a =++==，31222898678672023a a a a =++=++=，此时A 是E 数列，所以n 的最小值为3.【小问3详解】（i ）以下证明：若1a 为奇数，则n a 必为奇数．假设数列A 中存在偶数，设(2)k a k ≥是数列A 中第一个偶数，因为数列A 是E 数列，所以11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++．因为s t r a a a ，，均为奇数，所以k a 也为奇数，与k a 为偶数矛盾．所以若1a 为奇数，则n a 必为奇数．因为2024n a =为偶数，所以1a 不能为奇数，只能为偶数．（ii ）以下证明：若1=2a ，则42n a p =+（p *∈N ）．若不然，设k a （2k ≥）为第一个满足42k a p ≠+（p *∈N ）的项，因为数列A 是E 数列，所以11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++．因为123424242s t r a p a p a p =+=+=+，，（123p p p *∈，，N ），所以k a ()123412p p p =++++，与42k a p ≠+（p *∈N ）矛盾；所以若1=2a ，则42n a p =+（p *∈N ）．而20244506042n a p ==⨯+≠+（p *∈N ），所以12a ≠．同理，若14a =，则84n a p =+（p *∈N ）．而20248253084n a p ==⨯+≠+（p *∈N ）．所以1a 4≠．同理，若16a =，则126n a p =+3p ='（p p *'∈N ，）．而2024367423n a p '==⨯+≠（p *'∈N ），所以16a ≠．综上18a ≥．（3）当18a ≥时，因为数列A 是E 数列，所以111123288216316(2)16n n n n n a a a a a a a a n ----≥++≥++≥+⨯≥+⨯≥≥+-⨯ ()13216168a n n =+-⨯≥-由题意知，2024168n ≥-，解得127n ≤;所以n 的最大值为127．此时()1681,2,,127n a n n =-= 即为满足条件的E 数列【点睛】关键点点睛：本题关键在于求解第（3）问时，首先证明1a 只能为偶数，再利用数列性质分别验证1a 的最小偶数取值，构造不等式即可得出其最大值.。

2023~2024学年高中毕业班第一学期期中考试数学试题2023.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．图中的阴影部分表示的集合为（）．A ．ABC B ．()U A B CðC ．()U A B CðD ．()U A B Cð2．若1Z ，2Z 为复数，则“12Z Z -是纯虚数”是“1Z ，2Z 互为共轭复数”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象为（）．A ．B ．C ．D ．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度（单位：米）约为（）．A ．3B ．4C ．)61D ．)31+5．已知数列{}n a 满足1112n n n n n a a a a ++--=，且21a =-，若816k a a =，则正整数k 为（）．A ．13B ．12C ．11D ．106．如图，AB 是圆O 的一条直径，且4AB =．C ，D 是圆O 上的任意两点，2CD =．点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（）．A ．[]1,2-B ．2⎤⎦C ．[]3,4D ．[]1,0-7．已知直线5π6x =，4π3x =是函数()()π4sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图像相邻的两条对称轴，将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图像．若()g x 在(),m m -上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（）．A ．7π11π,1212⎛⎤⎥⎝⎦B ．7π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦C ．5π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦D ．5π11π,1212⎛⎤⎥⎝⎦8．已知0.11a e =， 1.11.1b =， 1.11c =，则（）．A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c >>D ．b c a>>二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设正实数a ，b 满足2a b +=，则下列说法正确的是（）．A ．2b a b+的最小值为3B ．ab 的最大值为1C 的最小值为2D ．22a b +的最小值为210．函数()()π2sin ,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则（）．A ．函数()f x 在3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增B．圆的半径为3C ．函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称D ．函数()f x 在2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，1224AD AB AA ===，E ，F 分别是棱AD ，11B C 的中点，点P在侧面11A ADD 内，且(),BP xBE yBF x y =+∈R，则三棱锥1P BB F -外接球表面积的取值可能是（）．A ．10πB ．20πC ．12πD ．44π12．已知数列{}n a 满足11a =，()12ln 11n n n a a a +=++，则下列说法正确的有（）．A ．31225a a a <+B ．2211n n n a a a +-≤+C ．若2n ≥，则131141n i i a =≤<+∑D ．()()1ln 121ln 2nnii a =+≤-∑三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知π3sin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．14．已知非零向量a ，b满足)b = ，π,3a b = ，若()a b a -⊥，则向量a 在向量b 方向上的投影向量的坐标为______．15．已知数列{}n a 满足()122222n na a a n n *+++=∈N L ，()214n n b a n n λ=--+，若数列{}n b 为单调递增数列，则λ的取值范围为______．16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点．”在ABC 中，60A =︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，则13O AO ∠=______；若123O O O，则三角形中AB AC +的最大值为______．四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数()()()π2cos 22x x f x ϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()f x a =在π5,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围．18．已知函数()()ln 1x a a f x x =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2a =-，是否存在整数()m m *∈N ，都有()()1f x m x ≤+恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．19．设数列{}n a 前n 项和n S 满足21n n n S a n n-+=+，n *∈N ．（1）证明：数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列；（2）记111n n S b n =-+，求数列()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD．（1）证明：平面CDM ⊥平面PAB ；（2）若//AD BC ，24AD BC =<，2AB =，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为33434，求三棱锥P MCD -的体积．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()()sin 0,0,0,πy A x A ωϕωϕ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且//CD EF ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知函数()sin cos f x x x x =+．（1）求()f x 在[]π,πx ∈-的单调区间与最值；（2）当13a >时，若()()212g x f x ax =-，证明：()g x 有且仅有两个零点．2023年~2024学年高中毕业班第一学期期中考试数学评分参考标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BDCCBDAA二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ABDCDBCDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6314．31,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭15．3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．2π3，4四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，所得函数为ππ52sin 22sin 2π366y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴5πππ62k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ3k ϕ=-+，k ∈Z ．又π2ϕ<，∴π3ϕ=-，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）∵π5,π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ2π2,663x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，当πππ2662x ≤-≤，即ππ63x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ2π2263x <-≤，即π5π312x <≤时，()f x 单调递减．且π23f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵方程()f x a =在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实数根，2a ≤<，∴实数a 的取值范围为)2．18．解：（1）∵0x >，()1f x a x'=-，当0a ≤，()0f x '>，∴()f x 在()0,+∞单调递增，当0a >时，()1axf x x -'=，令()0f x '>，得1x a <，()0f x '<得1x a>，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．综上，0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．（2）∵2a =-，∴()ln 21f x x x =++，∴()ln 211x x m x ++≤+，∴ln 211x x m x ++≥+，令()ln 211x x g x x ++=+，∴()()212ln 1xx g x x +-'+，令()12ln u x x x =+-，()2110u x x x '=--<，∴()u x 在()0,+∞单调递减．∵()2222112ln 220u e e e e =+-=+->∵()3333112ln 230u e e e e=+-=+-<，∴()230,x e e ∃∈，使得()00u x '=，即0012ln 0x x +-=，0012ln x x +=，当()00,x x ∈，()0u x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当()0,x x ∈+∞，()0u x <，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()()02000000max00000123ln 2123112111x x x x x x g x g x x x x x x ++++++=====++++，∵()230,x e e ∈，()010,1x ∈，∴3m ≥，∴m 的最小值为3．19．（1）证明：∵21n n n S a n n-+=+，且()12n n n a S S n -=-≥，∴()121221n n S S n n n--=-≥+，∴()111221n n S S n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪+⎝⎭，∴()1111212n n S n n S n--+=≥-，令1n =，可得10S =，∴11122S -=-，所以数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为12-，公比为12的等比数列．（2）由（1）可得111111222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴11112n n n S b n ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭，∴2nn b =，∴()()()()1112111121212121n n n n n n n n b b b +++==-------，∴1111111111111337715212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．20．【解析】（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以PN AD ⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN ⊂面PAD ，所以PN ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PN AB ⊥，又因为PD AB ⊥，PN PD P = ，PN ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为DM ⊂平面PAD ，所以AB DM ⊥，因为M 为AP 中点，所以DM PA ⊥，且PA AB A = ，PA ，PB ⊂平面PAD ，所以DM ⊥平面PAB ，且DM ⊂平面CDM ，所以平面CDM ⊥平面PAB．（2）由（1）可知，PN AB ⊥且PD AB ⊥，PN PD P = ，所以AB ⊥平面PAD ，且AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，设()22AD a a =<，则可得()0,0,0A ，()2,0,0B，()0,P a，0,,22a M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()2,,0C a ，()0,2,0D a ，即()2,,PB a =- ，()2,,0DC a =- ，330,,22DM a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MCD 的法向量为(),,n x y z =，则2033022DC n x ay DM n ay ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩则可得2a x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，取2y =，则x a =，z =所以平面MCD的一个法向量为(,2,n a =，设直线PB 与平面MCD 所成角为θ，所以sin cos ,PB n PB n PB n θ⋅====，解得216a =，或21a =，即4a =（舍去）或1，所以2AD =，111123323P MCD PMD V S AB -=⋅=⨯⨯=．21．解：（1）由已知条件，得2A =，又∵34T =，2π12T ω==，∴π6ω=．又∵当1x =-时，有π2sin 26y φ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴2π3φ=，∴曲线段FBC 的解析式为π2π2sin 63y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]4,0x ∈-．（2）由π2π2sin 163y x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭得()()614k x k k =+--∈Z ，又[]4,0x ∈-，∴0k =，3x =-，∴()3,1G -，OG =，∴景观路GO长为（3）如图，OC =1CD =，∴2OD =，π6COD ∠=，作1PP x ⊥轴于1P 点，在1Rt OPP △中，1sin 2sin PP OP θθ==，在OMP △中，()sin120sin 60OP OMθ=︒︒-，∴()()sin 60sin 602cossin1203OP OM θθθθ⋅︒-==︒-=-︒，12cos sin 2sin 3OMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭平行四边形24sin cos sin 2sin 2cos 2333θθθθθ=-=+-πsin 2363θ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当ππ262θ+=时，即π6θ=时，平行四边形面积最大值为233．22．解：（1）∵()sin cos sin cos 0f x x x x x x x '=+⋅-=⋅=，解得π2x =-或0或π2，∴()f x 与()f x '的分布列如下：xπ-ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭π2-π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π2π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭π＋－＋－1-↑极大值π2↓极小值1↑极大值π2↓1-所以，()f x 的增区间为：ππ,2⎛⎫--⎪⎝⎭，π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为：π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的最大值为π2，最小值为1-．（2）()g x 的定义域为R ，∵()()()()()21sin cos 2g x x x x x a g x =-+---=--，所以()g x 为偶函数．∵()010g =>，∴当13a >时，()g x 有且仅有两个零点⇔当13a >时，()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点．∵()()cos x x x a g '=⋅-，当1a ≥时，若0x >，则()0g x '<，所以()g x 在()0,+∞上单调递减，∵()21π1π02g a =--<，∴()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点；当113a <<时，存在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得cos a θ=，当0x θ<<时，()0g x '>，当()2π2π2πk x k k θθ+<<+-∈N 时，()0g x '<，当()2π2π2π2πk x k k θθ+-<<++∈N 时，()0g x '>，所以，()g x 在()0,θ递增，在()()2π,2π2πk k k θθ++-∈N 上递减，在()()2π2π,2π2πk k k θθ+-++∈N 上单调递增，tan θ=，113a <<，可得0tan θ<<，当k ∈N 时，(2π2πtan 2πk θθ++->，所以，()()2112π2π2π2πtan 122g k k a θθθ⎡⎤++=-++--+⎣⎦()2132π2πtan 162k θθ⎡⎤<-++--+⎣⎦()22π2πtan 1006k θθ++--=-<所以，()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点，综上，当13a >时，()g x 有且仅有两个零点．。

2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．3.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===-，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7.若直线()1y k x =-与曲线e xy =相切，则k 的值为___________.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a=__________.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.11.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.12.已知函数ln xf x x （）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38xy==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy =D.x y +>14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x=⋅ D.x y k a =⋅；15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a << D.()()()f c f a f b <<16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a 中，4m a =，32m a +=-，其中m 为给定的正整数，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，1m =，求13a ；（2）若{}n a 为等差数列，是否存在正整数m ，使得130S =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.18.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ，且M ，N 分别为线段AB ，PC 的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且3CD =ABC 面积的最小值.20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin xxx x x >++．2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.【答案】{}04x x ≤<【解析】【分析】对集合(){}40B x x x =-<解一元二次不等式，取并集即可.【详解】∵(){}{}4004B x x x x x =-<=<<，∴{}04A B x x ⋃=≤<.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．【答案】1【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再求出其模.【详解】因为1i 1i ()z -=+，所以()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ++++====--+，所以||1z =.故答案为：13.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由2a b -=r r ()2210a b-= ，222π44441cos 104a ab b b b -⋅+=-⨯⨯⋅+= ，(260,0b b b b --=-=，解得b =故答案为：4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.【答案】512【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出sin α，再利用平方关系求出cos α，进而求出tan α.【详解】 ()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，∴()5sin sin 13αββα+-==-⎡⎤⎣⎦，α是第三象限角，∴12cos 13α==-，∴sin 5tan cos 12ααα==.故答案为：512.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===- ，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.【答案】1-【解析】【分析】先求得c a b λμ=+的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为()()1,0,1,1a b==，所以()c a b λμλμμ=+=+，，又因为()1,2c =-，所以1,2,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得3,1λλμ=-∴+=-．故答案为：1-6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】①.车长②.车速【解析】【分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为m,m,m /s d l v ，则若车辆在15s 内能够通过该式子路段，需要满足215d lt v+=≤，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a =__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式11n n a a q -=⋅将4114a a -=化简，再利用等比数列前n 项和的性质将3S 化为123a a a ++，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q ，则()()()()23123132411111411114S a a a a q q a a a q a q q q ⎧=++=++=⎪⎨-=-=++-=⎪⎩，解得12,2q a ==，则45132a a q =⋅=.故答案为：32.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.【答案】0x =或34120x y +-=【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求出A ，B两点的坐标，再判断AB =是否成立，当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出k ，从而可求出直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，此时AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l的距离d ==.因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.【答案】3【解析】【分析】根据正余弦定理可得ABC 的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为2π3AB AC BAC ∠===，所以2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠133232⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即3BC =，所以ABC 的外接圆半径为12sin BCr BAC∠=⋅=，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，设球O 的半径为R ，则R ==因此球O 的体积为34205ππ33V R ==．故答案为：205π3.11.已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].12.已知函数ln xf x x（）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1e)-∞-【解析】【分析】首先利用导函数求f x （）的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为()ln x f x x=，则'2ln 1()(ln )x f x x -=，当01x <<或1e x <<时，()0f x '<，当e x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1和(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，且当0x →时，()0f x →，(e)e f =，故f x （）的大致图像如图所示：关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=等价于[()1()1]0f x f x a ][++-=，即()1f x =-或()1f x a =-，由图可得，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解，所以1e a ->，解得1a e <-，故答案为：(,1e)-∞-二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38x y ==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy = D.x y +>【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求出,x y ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，23log 3,log 8x y ==.对A ，222233log 32log 33log 9log 822x >⇔>⇔>⇔>，成立，故A 正确；对B ，333333log 82log 83log 64log 2722y <⇔<⇔<⇔<，不成立，故B 错误；对C ，232lg 3lg8lg8log 3log 8log 83lg 2lg 3lg 2xy ⨯=⨯====，成立，故C 正确；对D ，因为3xy =，故x y +≥=，当且仅当x y ==x y ≠，故x y +>，成立，故D 正确；故选：ACD14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x =⋅D.x y k a =⋅；【答案】B 【解析】【分析】由题意观察出y 随x 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x y k a =⋅显然都是单调函数，不满足题意，∴选择2y ax bx c =++．故选：B.15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由已知得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，这样得出函数在[1,2]上是减函数，再由奇函数得出在[1,1]-上是增函数，利用奇函数得(0)0f =，从而得出(2)0(0)f ==，确定,,a b c 的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()2f x f x +=-，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在[1,2]上是减函数，则在[0,1]上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1,0]-上是增函数，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，()f x 在[1,3]上是减函数，结合奇函数得(0)0f =，所以(2)0f =，121(24b -==，12log 21c ==-，ln 2(0,1)a =∈，所以(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<，故选：C ．16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433【答案】C 【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 90ABC ∠= ，//AD BC ，∴AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =-，(2,2,2)PC =- ，对于A ， 41cos ,22222BP CD BP CD BP CD ⋅===⨯，且0,180BP CD ≤≤，∴,60BP CD =，∴PB 与CD 所成的角是60 ，故A 错误；对于B ，设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111112220,220,n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令11x =，则11y =，12z =，所以1(1,1,2)n = ，显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)m =，∴111cos ,6m n m n m n ⋅===，∴平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是66，故B 错误.对于C，111sin ,6BP n BP n BP n ⋅==，故C 正确；对于D ， M 是线段PC 上动点，∴设()()2,2,201PM PC λλλλλ==-≤≤，N 为AD 中点，∴()0,2,0N ，()2,2,0BN =-，∴()22,2,22BM BP PM λλλ=+=-+-，当1λ=时，M 位于C 点，此时点P 到平面BMN 距离为2PA =,当1λ≠时，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222222220,220,n BM x y z n BN x y λλλ⎧⋅=-+++-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，则21y =，2121z λλ-=-，所以212(1,1,)1n λλ-=- ，∴点P 到平面BMN距离22BP n d n ⋅==，当143λ=，即34λ=时，2min 1123863λλ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，此时maxd==2>，∴点P到平面BMN，故D错误.故选：C.三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a中，4ma=，32ma+=-，其中m为给定的正整数，{}n a的前n项和为n S.（1）若{}n a为等比数列，1m=，求13a；（2）若{}n a为等差数列，是否存在正整数m，使得130S=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14（2）存在，5m=【解析】【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.【小问1详解】由题意，14a=，42a=-，设等比数列的公比为q，则34112aqa==-.故41213111424a a q⎛⎫=⋅=⨯-=⎪⎝⎭.【小问2详解】设等差数列{}n a的公差为d，由题意，323m ma ad+-==-.由()11ma a m d=+-可知122a m=+.由()1311312131321002S a d m⨯=+=⨯-=，解得5m=.存在正整数5m=，使得130S=18.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用中位线定理知//NK CM ，利用线面平行的判定定理即可证明//NK 平面ABC ．（2）由PA ，PB ，PC 两两垂直，可证PC ⊥平面PAB ，进而可得PC AB ⊥，再证明AB ⊥平面PCM ,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM ⊥平面ABC ．【小问1详解】因为N 为线段PC 的中点，点K 是线段PM 的中点，所以由中位线定理知//NK CM ，又CM 在平面ABC 内，且NK 在平面ABC 外，因此根据线面平行判定定理得直线//NK 平面ABC ，得证．【小问2详解】因为PA ，PB ，PC 两两垂直，所以PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，,,PA PB P PA PB =⊂ 平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以PC AB ⊥，又PA ＝PB ，且M 为线段AB 的中点，所以PM AB ⊥，结合,,PM PC P PM PC =⊂ 平面PCM ,所以AB ⊥平面PCM ,因为AB ⊂平面ABC ，所以平面PCM ⊥平面ABC ，得证．.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3C =；（2【解析】【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得C .（2）根据已知条件求得a b =或a b ab +=，结合基本不等式求得三角形ABC 面积的最小值.【小问1详解】依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.【小问2详解】依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得3πsin sin 6AD A =，在三角形BCD中，由正弦定理得πsin sin 6BD B =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=.在三角形ACD 中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD 中，由余弦定理得222π3cos336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形113sin 4222ABC S ab C =≥⨯⨯= .综上所述，三角形ABC20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，根据题意列出1271||,||22PC R PC R =-=+，即可得12||||4PC PC +=，结合椭圆定义即可求得答案；（2）（i ）设直线AB 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM 方程，求出N 点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；（ii ）求出弦长||AB 和||DG ，结合题意可求出四边形ADBG 面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小问1详解】设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，22145:204C x y x ++-=即22149:(1)4C x y ++=，2223:204C x y x +-+=，即2221:(1)4C x y -+=，而动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，故1271||,||22PC R PC R =-=+，则1212||||4||2PC PC C C +=>=，故动圆P 的圆心的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b +=>>，则23,,24222,a c a b ∴====，故轨迹E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】（i ）由题意知AB 斜率存在，设其方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,M x y -，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，由于直线AB 过椭圆焦点，则必有0∆>，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得()()()()2211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k k k -⨯-++==-+，即N 为一个定点(4,0)；（ii ）()222212112||1|14AB k x x k x x x x =+-=++-()22222222121841214.434343k k k k k k k +⎛⎫-=+-⨯ ⎪+++⎝⎭1,DGAB DG k k ⊥∴=- ，同理可得()22121||34k DG k +=+，AB DG ⊥ ，则()()222212112111||||224334ABDGk k SAB DG k k ++=⨯=⨯++四边形22222222272(1)72(1)2884334(43)(34)49()2k k k k k k ++=≥=+++++，当且仅当224334k k +=+，即1k =±时等号成立，即四边形ADBG 的面积的最小值为28849.21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin x x x x x >++．【答案】（1）证明详见解析（2）1a =（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.【小问1详解】2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x'-=-=>，所以()t x 在区间()()()'0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤，所以2a =时，()42g x x ≤-.【小问2详解】依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥，令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈，所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.设()()()'e 10,e t t h t at a h t a =-->=-，所以函数()h t 在区间()()()',ln ,0,a h t h t -∞<递减；在区间()()()'ln ,,0,a h t h t +∞>递增.所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--，所以ln 10--≥a a a ，111ln 1,ln 1a a a a a+≥≥-，由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11ln1a a≤-，所以11ln 1a a =-，当且仅当11a =，即1a =时成立.【小问3详解】由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立.所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，则()22e ln 0x x x x x x x ≥++>，要证明()()2e 2ln 2sin 0x x x x x x >++>，只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>，由（1）知()ln 10x x x ≤->，所以只需证()22(1)2sin 0xx x x x +>-+>，即证()222sin 0x x x x -+>>，①当1x >时，()221222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.②当01x <≤时，221772()244x x x -+=-+≥，π72sin 2sin12sin34x ≤<=<，不等式成立.所以()222sin 0x x x x -+>>成立，所以()()2e 2ln 2sin 0xx x x x x >++>成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。