高三上学期期中考试
数学试题（理）
满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合= （）A．B．（1，3）C．D．
2．平面向量的夹角为= （）A．B．C．4 D．12
3．已知的图象经过点（2，1），则的值域（）A．[9，81] B．[3，9] C．[1，9] D．
4．已知两个正数a、b的等差中项是5，则的等比中项的最大值为（）A．25 B．50 C．100 D．10
5．= （）
A．B．C．D．
6．当的最小值是（）A．4 B．C．2 D．
7．已知集合成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．函数的图象在点x=5处的切线方程是等于（）
A．1 B．2 C．0 D．
9．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）A．B．C．D．
10．若则下列结论不正确的是（）
A．B．
C．D．
11．把一个函数的图象按向量平移后，得到的图象对应的函数解析式为，则原函数的解析式为（）
A．B．C． D．
12．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线，一种是平均价格曲线，（如f（2）=3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g（2）=4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元）。下面所给出的四个图像中，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是（）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题每小题4分，共16分）
13．函数等于。
14．在等差数列中，其前n项和为Sn，若的值等于
。
15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少要经过小时才能开车。（精确到1小时）
16．给出以下四个命题：
①对任意两个向量；
②若是两个不共线的向量，且,则A、B、C 共线
③若的夹角为90°；
④若向量的夹角为60°。
以上命题中，错误命题的序号是。
三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分12分）
已知三个集合；三个命题p：实数m为小于6的正整数，q：A是B成立的充分不必要条件，r：A是C成立的必要不充分条件；已知三个命题p、q、r都是真命题，求实数m的值。
18．（本小题人12分）
已知数列前n项和为Sn，且（1）求证：成等比数列
（2）求数列的通项公式。
19．（本题满分12分）
已知函数
（1）求函数最小正周期；
（2）求使函数取得最大值是x的集合；
（3）求的单调减区间。
20．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱，ABC—A1B1C1中，
点D在棱B1C1上，且B1D：DC1=1：3
（1）证明：无论a为任何正数，均有
（2）当a为何值时，二面角B—A1D—B1为60°？
21．（本题满分12分）
已知数列是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为d的等差数列；是公差为d2的等差数列（）。
（I）若，求d；
（II）试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围；
（III）续写已知数列，使得的公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
22．（本小题满分14分）
已知函数
（I）求证函数上单调递增；
（II）函数有三个零点，求t的值；
（III）对任意恒成立，求a的取值范围。
参考答案
一、CBCAB ACBBD BC
二、13．2 14．- 15．5 16．①②④
三、
17．解：命题p是真命题，即
①
…………2分
又
…………4分
由①②得m=1。…………2分
18．解：（1）由①
得：当②
由①②两式相减可得：当
于是有：（为常数），
在
可得：，
由等比数列的定义知：是以3为首项，2为公比的等比数列。…………6分（2）由（1）可得：
于是：
又是以2为首项，3为公差的等差数列，于是：
所以…………12分
19．解：（1）
（2）当取最大值时，
即
所求x的集合为
（3）
20．（1）证明：以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz，如图。
则
（2）解：
设平面A1BD的法向量
故
又平面A1B1C1的法向量
又与二面角B—A1D—B1相等，即=60°，
二面角B—A1D—B1=60°。
21．解析：（1）……3分
（2）……5分
当时，……8分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为dn的等差数列。……10分
研究的问题可以是：试写出关于d的关系式，并求的取值范围。
……12分
研究结论可以是：由，
依次类推可得
当的取值范围为（10，+）等。……14分
22．（1）（2分）
由于（4分）
故函数上单调递增。（5分）
（II）令（6分）
的变化情况表如下：（8分）
—0 +
极小值
