第6章 模拟滤波器设计

根据滤波器的频率选择作用的不同， 可以将滤波器分为以下4类： ■低通滤波器(lowpass filter) ■高通滤波器(highpass filter) ■带通滤波器(bandpass filter) ■带阻滤波器(bandstop filter) 其中低通滤波器是基础，其他3类滤波器 均可以从低通滤波器转化而来。
现在需要解决的就是这样一个相反的问题： 如何从模拟滤波器的频率特性H(jω)来确定模拟 滤波器的传递函数H(s)？非常困难。
j
H ( j ) H ( s )

s j
0 0
0
解决方法：在一定的前提条件下，从频 率特性H(jω)的模的平方函数|H(jω)|2，可以确 定模拟滤波器的传递函数H(s)。
H j

0
c
0
c
t
0
（4）实际低通滤波器的性能指标
实际低通滤波器的性能指标： 只考虑幅频特性，不考虑相频特性。 通带 0 ωωp 中， 1 p H ( j) 1 p , p
阻带ωsω中， 0 H ( j) s , s p:通带峰值波纹
H ( s ) H ( s )
s j
H ( j ) H ( j ) H ( s) H ( s)
s j
A( s 2 )
s j
(1)
现在的问题是：如何由A(-s2)得到H(s)？
假设三：假设所分析的模拟滤波器为稳定 系统。 如果系统满足此条件，那么可以进行以下 的一些推断。 对于给定的A(-s2)，首先在s复平面上标出 A(-s2)的极点和零点。由(1)式知， A(-s2) 的极点 和零点总是成对出现，而且对称于s平面的实轴 和虚轴。选用A(-s2)的对称极点和零点的任意一 半作为H(s)的极点和零点，则可得到H(s)。
模拟滤波器的设计，就是根据一组设计规 范，设计模拟滤波器的系统函数H(s)，使其近似 某个理想的滤波器特性H(jω)。 针对所分析的模拟滤波器进行一些必要的 限制和假设，才有可能确定模拟滤波器的传递 函数H(s)。 假设一：假设所分析的模拟滤波器为因果 系统。此时可以得到一些有用的结论。 如果系统满足此条件，那么可以得到下面 的重要结论。
2
极点：s 7, s 6
零点： s j 5 （二阶）
H ( s ) 的极点：s 7, s 6 零点： s j 5 K 0 ( s 2 25) 设增益常数为K0 H ( s) ( s 7)( s 6) 由K0 K0 16，得K0 4
4( s 2 25) 4 s 2 100 H ( s) 2 ( s 7)( s 6) s 13s 42
在因果系统中，系统单位脉冲响应函数h(t) 的傅里叶变换就是系统的频率特性H(jω)
H ( j ) h(t )e
0 jt
dt
其中单位脉冲响应函数h(t) 一般是实函数。因为
H j ht cost j sin t dt
0 源自文库
H j ht cost j sin t dt
假设二：假设所分析的模拟滤波器的频率 特性H(jω)的模的平方函数|H(jω)|2可以表示为 频率ω的平方ω2的函数。 如果频率特性H(jω)满足此条件，那么则 2 2 2 有 A( ) A( ) H ( j ) H ( j ) H * ( j )
又因为 s j , s 2 j 2 2 所以有 A( 2 ) A( s 2 ) s j 进而有
进一步说明： （1）极点的归属：为了保证系统H(s)的稳定性， 如果位于左半平面，则此极点归H(s)。 如果位于右半平面，则此极点归H(-s)。 （2）零点的归属：零点的归属不唯一，但是一 般与极点相同，即左半平面归H(s)，右半平面归 H(-s)，则得到的系统为最小相位系统。 （3）从频率特性H(jω)的模的平方函数|H(jω)|2来 确定模拟滤波器的传递函数H(s)，因为只考虑了 幅频特性，并没有考虑相频特性，所以丢失了相 频特性的信息。这就是这种设计方法的缺陷。
6.3.1 巴特沃兹滤波器(Butterworth Filter)
Butterworth filters are characterized by a magnitude response that is maximally flat in the passband and monotonic overall. In the lowpass case, the first 2N-1 derivatives of the squared magnitude response are zero at ω = 0. The squared magnitude response function is 1 1 2 H j H j 2N 2N
p 20log10 (1 p )dB
ωp:通带截止频率 ωs:阻带截止频率 p:通带波纹 s:阻带波纹
s:最小阻带衰减
s 20log10 s dB
通带: 使信号通过的频带。 阻带：抑制噪声通过的频带。 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围。 ωc：截止频率，半功率点，功率衰减1/2， 1 -3db衰减点，幅值衰减 2 理想低通滤波器： 过渡带为零， 阻带内幅值|H(jω)|=0， 通带内幅值|H(jω)|=常数， H(jω)的相位是线性的。
6.2 模拟滤波器的设计原理
根据拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系， 可得从模拟滤波器的传递函数H(s)来确定模拟 滤波器的频率特性H(jω)的方法：
H ( j ) H ( s )
s j
所谓模拟滤波器的设计问题，就是已知 模拟滤波器的频率特性H(jω)，进而确定模拟 滤波器的传递函数H(s)。
H ( j) H ( j) e j ( ) H ( j)
s j
( )
（2）滤波器的分类
从不同的角度，可以对滤波器进行不同的分
类。
根据所处理的信号类型的不同，可以将滤波 器分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。 ■模拟滤波器是连续时间系统，用来处理模 拟信号或连续时间信号。 ■数字滤波器是离散时间系统，用来处理数 字信号或离散时间信号。 模拟滤波器设计是数字滤波器设计的基础。
* 0

H j ht cos t j sin t dt
0
ht cost j sin t dt
0
所以可得
H j H j
*
即频率特性H(jω)的翻转H(-jω)与其共轭 H*(jω)相等。 此结论为实函数的傅里叶变换的重要结论。
低通
高通
带通
带阻
（3）理想低通滤波器
理想低通滤波器的频率特性：
H () e
jt0
理想低通滤波器的幅频特性：
1, c c H ( j ) 0, 其它
理想低通滤波器的相频特性：
() t0
理想低通滤波器的幅频特性：矩形窗。 理想低通滤波器的相频特性：线性相位。 相关概念的定义： ■通带：0<ω<ωc ■阻带：ω>ωc ■截止频率：ωc
1 c
1 c

其中ωc为有效通带的截止频率。N为滤波器的 阶数。并可称为N阶巴特沃斯低通滤波器。
Butterworth Filter
N阶巴特沃斯低通滤波器的特点： （1）ω=0处的最大平坦幅频特性，前2N-1阶导 数为0。 （2）-3dB截止频率（参数ωc ），半功率点。
25 例：已知模的平方函数为： A( ) (9 2 )(16 2 )
2
25 25 H (s) H (s) A(s ) 2 2 (9 s )(16 s ) ( s 3)(s 3)(s 4)(s 4)
2
确定系统的传递函数。 2 2 2 解： s j s j
H j

c
0
c
0
t
0
因为理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 是非因果、无限长的函数（从傅里叶变换的性 质即可看出）。所以，实际上，理想低通滤波 器在物理上是无法实现的。因此，设计滤波器 的核心问题，就是求出一个在物理上可以实现 的系统H(s)，使其频率特性H(jω)尽量逼近理 想低通滤波器的频率特性，以满足所给定的滤 波参数的要求。
系统无零点，有4个极点： s1 3, s2 3, s3 4, s4 4 s2 3, s4 4 极点位于左半平面，归H(s)
s1 3, s3 4
极点位于右半平面，归H(-s)
确定比例增益常数K*K=25，得K=5。所以系统函数为 5 H ( s) ( s 3)(s 4) 该系统为低通滤波器，由两个一阶惯性环节和一个比例 环节串联组成。
例：已知模的平方函数：
16(25 2 ) 2 H ( j ) ，求系统函数H ( s )。 2 2 (49 )(36 ) 2 2 16(25 s ) 2 解： H ( s ) H ( s) H ( j ) 2 s2 (49 s 2 )(36 s 2 )
H ( s ) H ( s )
s j
A( s 2 )
s j
(1)
H(s)H(-s)的零、极点分布 h(t)是实函数
H ( s ) H ( s )
s j
A( s 2 )
s j
(1)
根据系统的稳定性判据，当极点位于左半 平面时，则系统稳定。为了保证系统H(s)的稳 定性，应当选用A(-s2) 在s平面的左半平面的极 点作为H(s)的极点，而零点则可以选用任何一 半的零点。
滤波器是一种频率选择装置，可以使输入 信号中的某些特定频率范围的分量通过，阻止 或较大地衰减输入信号中的其他频率范围的分 量，所以又称为频率选择性滤波器。 滤波器的这种频率选择特性，由滤波器的 频率特性H(jω)来决定。
频率特性： 频率特性： 幅频特性： 相频特性：
H ( j ) H ( s )
6.3 典型的模拟滤波器
三种典型的模拟滤波器： (1)巴特沃兹滤波器（Butterworth Filter） (2)切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） (3)椭圆滤波器（Elliptic Filter） 这三种著名滤波器的特点： 性能良好、理论完善。
本节内容主要参考： MATLAB: Signal Processing Toolbox
第6章 模拟滤波器设计
6.1 滤波的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计原理 6.3 典型的模拟滤波器
本章内容参考： 郑君里等《信号与系统（第二版）》下册 第十章 模拟与数字滤波器 MATLAB: Signal Processing Toolbox
6.1 滤波器的基本概念 （1）滤波与滤波器
滤波技术是信号处理的一种基本而重要的技术。 采用这种技术，可以从信号中提取所需要的部分，抑 制不需要的部分。所谓信号处理，在一般情况下，就 是指对信号进行滤波（filter）。对信号进行滤波的系 统，称为滤波器（filter）。 英汉双解词典对filter的解释： filter：滤光器，滤色镜，滤波器，n. vt. vi. Any of various electric, electronic, acoustic, or optical devices used to reject signals, vibrations, or radiations of certain frequencies while passing others. 一种电学的、电子学的、声学的或光学的设备，用于 在通过其它物时限制特定频率的信号、振动或放射。