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10第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I)

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k 23 k 2 2k1
k3=245MN/m
k 33 k 2 k 3 2k1 2.5k1 4.5k1
2
2015/12/7
第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
φ (3) 1 .000 , 1 . 247 ,
0.802
0 . 555
T
T
节点
k3=245MN/m
频率 方程 为
k11 ω2 j m1 k21 k31
k12 k22 ω2 j m2 k32
k13 k23 0 k33 ω2 m j 3
第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
频率方程：
K 2 M k1 m1 2 1 k 1 1 0 1 m1 2 3 1. 5 k 1 2 0 2 m 4 . 5 1 .5 1 2 k1 0
x1 : x2 : : xn A1 : A2 : : An
(K i M ) A ( i ) 0
i 1, 2, , n
由于上述方程组的系数行列式为零，该方程是降秩的；对于没有 重根的情况，只有n-1个方程是独立的。
并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状， 整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一 自振频率 k 进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为 主振型(振型) 无阻尼自由振动的解为
(2)系统的运动方程由刚度矩阵表示 设系统的广义坐标列向量为x，则运动微分方程为 为二阶齐次方程 按微分方程理论，设齐次方程的特解为 x j A j sin(ωt θ ) j 1,2, ,n
KA MA
Kx 0 M x
A T KA 0, A T MA 0

即所有质点按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各 不相同。 则广义本征值问题转化为矩阵的本征值问题
x A sin( ωt θ )
代入原方程并记λ＝ω²，化作矩阵K和M的广义本征值问题：
(K M ) A 0
有非零解的必要于充分条件是：方程的系数行列式等于零
(D I) A 0
其中E为单位矩阵，本征值
x 0 D x
K M 0
因为质量矩阵是对称正定的，刚度矩阵是对称非负定的，系统的本 征值为非负实根。 事实上，由本征值问题 (K M ) A 0 两边左乘A的转置，得 A T KA A T MA 由正定和非负定的条件 有
1 / ω2
2015/12/7
第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
1. 特征方程一般形式
第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
4. 特征方程法特点 有助于理解特征值数物意义 n次多项式系数的计算工作量为n4 特征值确定后,特征矢量的确定仍然很复杂 并不是一种求解特征值的一般方法 适用n≤ 3的低阶情况 5. 多自由度系统的特征值 特征(本征)方程存在n个，称为系统的本征值。 i , i 1 , 2 , ,n (1)如果是用柔度矩阵表示的系统刚度，则无阻尼自由振动微分方程为
n i 1 n i 1
x (t ) x ( i ) i φ( i ) sin(ωi t θi )
(i) 其中 φ 称为第i阶主振型 主振型或 或模态
1
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第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
x1
k1 m1 k2 m2
x2
k3 m3
x3
x A sin( ωt A2 sin(ωt θ ) x A 3 3
1 1 0.445
下面求主振型
k k k , 2 2 1.247 , 3 3 1.802 m m m
k 2=196MN/m
m =270000kg
所以。对应于固有频率ω1的主振型为
φ (1) 1.000 , 1.802 ,
2.247
T
可用右图来形象地表示主振动时， 振幅之间的比值（振型） 同理，可求得对应固有频率ω2和ω3的主振型分别为
φ( 2) 1 .000 , 0 .445 ,
按由小到大排列为 ω1 ω2 ωn 其中最低非零固有频率称为基频。 6. 模态 满足本征方程的n个非零列向量 A (i ) 称为系统的本征向量
则对应第i个固有频率ω的自由振动为 x ( i ) φ( i ) sin (ωi t θi ) 称为第i阶主振动 此时各质点按同一频率 k 作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比 值 (i) (i ) (i) (i ) (i ) (i )
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
不失一般性，令 An(i ) 1 可选n个方程中的任何n-1个方程，求解出
A(j i ) ( j 1,2,, n 1)
记为
i i
i 1, 2 , ,n
φ (ji ) A(ji )
j 1,2, , n
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
(b)
第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
得刚度矩阵：
k11 k12 k13 1 1 0 k 1 3 2 98 K k k k 21 22 23 1 k31 k32 k33 0 2 4.5 1 1 0 1 3 2 MN / m 0 2 4.5
k13 0
k 31 0
k 22 k1 k 2 k1 2k1
m =270000kg
k2=196MN/m
m =270000kg
m1 M 0 0
0 m2 0
0 0 1 0 0 180000 0 1 .5 0 kg 0 0 1 .5 m3
例题：如图所示三自由度系统， 设m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k。求 系统的固有频率和主振型。 解：设广义坐标如图，由前例 知，系统的运动微分方程为
1 2k x m 0 0 0 m 0 2 k x 0 0 m x 3 0 k 2k k 0 x1 0 k x2 0 k x3 0
R 1x 0 M x
2 .特征方程行列式
对于任意 n × n阶矩阵[A]成立特征方程 3 .特征值多项式
x 0 RM x
记D=RM称为系统的动力矩阵，则系统的自由振动微分方程为
x 0 D x
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一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
可以验证，只有两个方程是独立的；不失一般性，设A1=1，代入可求得
A2 1.802, A3 2.247
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1
k11 = k1 k21= -k 1
(c)
(d)
k 12 = -k1
k13 = 0 k23 = -k2 = -2 k 1
1
k 22= k1 +k2 =3k1 k 32 = -k2
1
k 31=0
k33 = k2 +k3 =4.5 k1
m =180000kg
质量矩阵为：
k1=98MN/m
建立刚度矩阵和质量矩阵 由图b可得：k11 k1 k 21 k1 由图c可得：k12 k1 k 32 k 2 由图d可得：
系统的本 征方程为 展开并整理得
2k m k 0
3
k 2k m k
0 k 0 k m
把ω1代入 (K M ) A 0 得
2k m1 k 0 k 0 A1 0 2k m1 k A2 0 A 0 k k m1 3
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
例题： 题：三 三层刚架如图所示。设自上到下，各层楼面的质量(包括柱 子质量)分别为m1=180000kg，m2=270000kg，m3=270000kg；各层的 层间侧移刚度(即该层柱子上、下两端发生单位相对位移时，该层 各柱剪力之和)分别为k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。 求刚架的自振频率和振型 求刚架的自振频率和 振型。设横梁的刚度 。设横梁的刚度EI＝∞。 体系的自由度数为3。 解: (1)求频率: 振型方程为 ( j) k11 2 1 0 k12 k13 j m1 m =180000kg ( j) 2 k22 j m2 k23 k21 2 0 k 1=98MN/m 0 k31 ( j) k32 k33 2 m =270000kg j m3 3

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第10章 多自由度体系自由振动分析

第10章 多自由度体系自由振动分析

T
kii {}i k {} j 0
T
(i j ) (i j )
特征系统的基本特性（续）
(3) Rayleigh商和特征值的极大极小性质
T 注意！！ 对于任意向量{x} ，R({x}) 的最小值是最小特征值λ1 。如果对{x} x k x 定义： R( x ) T 施加约束，即选定向量{v}，在满足{x}T{v}=0 （即两个向量正交）的约束下 x m x 选择{x} ，则在计算Ralyeigh商的极小值时，选取不同的{v}可得到不同的极小 值。当{v}为系统的第一阶特征向量时，这些最小值集合的最大值是系统的第 由振型正交性可得，当{x}为系统的某阶特征向量时，则有: 二特征值。依此类推，如果使Ralyeigh商收敛到第i阶特征值，则需要i-1个约 T 束。通过极小和极大化过程，可以得到第i阶特征值。或写为： {} k {}
将（10－5）式振幅向量除以a1后，可以按以下红 由于式（10－6b）对应方程组是确定的，可以从中解 结构动力特性分析－特征值问题的性质

k

k 10 k 11a 0
k 00 e11 k 01 e12 k 10 e21
00
01
加荷载a： Waa
情况2（先加载荷载b，然后加载荷载a）：
加荷载b： Wbb
1 1 T pib yib pb yb 2 2 1 T T 加荷载a： Waa Wba pa ya pa yb 2
总功为：
W2 Wbb Waa Wba 1 pT yb 1 pT ya pT yb b a a 2 2
a2 0.751 1 a2 1 0.751 1
T T
振型正交性（1）Betti定理
如何求解特征值技巧

如何求解特征值技巧

如何求解特征值技巧求解特征值是线性代数中一个非常重要的问题，它在很多领域有着广泛的应用，比如物理学、工程学和计算机科学等。

本文将介绍一些求解特征值的技巧和算法。

求解特征值的技巧主要有两种方法：直接计算和迭代法。

直接计算是指通过求解特征方程的根来得到特征值，而迭代法是通过迭代计算来逼近特征值。

一、直接计算法直接计算法是一种简单且直接的方法，但它只适用于特定的特征方程。

对于一个n维矩阵A，它的特征值满足以下方程：det(A-λI) = 0其中det表示行列式，I是单位矩阵。

特征方程的解即为矩阵A的特征值。

对于二维矩阵，我们可以直接求解特征方程；而对于高维矩阵，直接计算可能较为困难。

二、迭代法迭代法是一种通过逐步迭代计算来逼近矩阵特征值的方法。

常见的迭代法有幂法和反幂法。

1. 幂法幂法是一种通过逐步迭代计算来逼近矩阵特征值的方法。

它的基本思想是通过矩阵的特征向量来逼近特征值。

具体步骤如下：（1）随机选择一个非零向量x0作为初始向量；（2）计算新的向量x1 = A*x0；（3）将x1进行归一化处理，得到x1的单位向量；（4）计算特征值λ1 = (x1的转置矩阵*A*x1)/(x1的转置矩阵*x1)；（5）如果λ1的变化趋于稳定，即达到所需精度，停止计算；否则，将x1作为新的初始向量，回到步骤（2）。

幂法通过迭代计算，逐步逼近特征值，但它只能得到矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。

2. 反幂法反幂法是在幂法的基础上进行改进的一种方法，它可以用来求解矩阵A的最小特征值及其对应的特征向量。

与幂法类似，反幂法也是通过迭代计算来逼近特征值。

具体步骤如下：（1）随机选择一个非零向量x0作为初始向量；（2）计算新的向量x1 = (A-λI)^(-1)*x0；（3）将x1进行归一化处理，得到x1的单位向量；（4）计算特征值λ1 = (x1的转置矩阵*A*x1)/(x1的转置矩阵*x1)；（5）如果λ1的变化趋于稳定，即达到所需精度，停止计算；否则，将x1作为新的初始向量，回到步骤（2）。

求解特征值的方法技巧

求解特征值的方法技巧

求解特征值的方法技巧求解特征值是线性代数中的一个重要问题，它在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将讨论求解特征值的方法和技巧。

特征值的定义是在线性代数中非常基础的概念。

对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量（实数或复数），则λ称为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量之间具有一一对应的关系。

1. 特征多项式法：特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。

对于一个n×n的矩阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = |A-λI| = det(A-λI)其中，I是n×n单位矩阵，det表示行列式。

特征多项式的根就是矩阵A的特征值。

通过计算特征多项式的根，我们可以求解矩阵A的所有特征值。

2. 幂法：幂法是求解矩阵特征值中的最大特征值的一种有效方法。

它的基本思想是通过反复迭代使一个向量v不断与矩阵A相乘，直到收敛到矩阵A的最大特征值对应的特征向量。

具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = Av0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最大特征值对应的特征向量。

3. 反幂法：反幂法是求解特征值中的最小特征值的一种方法。

它与幂法的思想相似，只是在每一次迭代中，需要对向量进行归一化处理。

具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = (A-1)v0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最小特征值对应的特征向量。

4. QR算法：QR算法是一种迭代算法，用于计算矩阵的所有特征值。

它的基本思想是通过反复进行QR分解将矩阵A转化为上三角矩阵，使得其特征值可以从对角线上读出。

具体步骤如下：1) 将矩阵A进行QR分解，得到A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵；2) 将上一步得到的R矩阵再进行QR分解，得到新的矩阵A1=Q1R1；3) 重复步骤2，直到A收敛到上三角矩阵。

第四章 多自由度系统

第四章 多自由度系统

频率方程为 则频率方程为：
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上