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熵值法和层次分析法在权重确定中的应用一、本文概述权重确定作为决策分析的核心环节，其准确性和合理性直接影响到决策的质量和效果。
在众多权重确定方法中，熵值法和层次分析法因其独特的优势，被广泛应用于各种决策场景中。
本文旨在深入探讨熵值法和层次分析法在权重确定中的应用，分析两种方法的原理、特点、适用场景，并对比其优劣。
通过对这两种方法的深入研究，我们期望能为决策者提供更科学、更合理的权重确定方法，提高决策的有效性和准确性。
本文还将结合具体案例，对两种方法的实际应用进行展示，以便读者更好地理解和掌握这两种方法。
二、熵值法在权重确定中的应用熵值法是一种基于信息熵理论来确定权重的客观赋权方法。
在信息论中，熵是对不确定性的一种度量，它可以反映信息的无序程度或者信息的效用价值。
在权重确定中，熵值法通过计算各个评价指标的信息熵，来度量各个指标值的离散程度，从而确定各个指标的权重。
数据标准化处理：消除不同指标量纲的影响，对原始数据进行标准化处理，使得各指标值都处于同一数量级上。
计算指标熵值：根据标准化后的数据，计算每个指标的熵值。
熵值反映了该指标值的离散程度，熵值越大，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越小。
计算指标差异系数：用1减去熵值，得到指标的差异系数。
差异系数越大，该指标对综合评价的影响越大。
确定指标权重：根据差异系数的大小，确定各指标的权重。
差异系数越大，该指标的权重越大。
熵值法的优点在于其客观性强，不需要事先设定权重，而是根据数据的实际情况来确定权重。
熵值法也适用于多指标综合评价问题，能够有效地处理不同量纲的指标。
然而，熵值法也存在一定的局限性，例如它忽略了指标之间的相关性，并且对于数据的要求较高，需要数据量足够大且分布均匀。
在实际应用中，熵值法常常与其他方法相结合，如层次分析法、主成分分析法等，以提高权重确定的准确性和科学性。
通过综合运用这些方法，可以更加全面地考虑各种因素，使得权重确定更加合理和可靠。
层次分析法及其应用1概念层次分析法，就是将复杂问题中的各种因素通过划分出相互联系的有序层次，使之条理化。
根据对一定客观现实的判断，就每一层次指标相对主要性给予定量表示，利用数学方法确定重植，并通过排列结果，分析和解决问题。
层次分析法可应用于决策、评价、分析、预测。
2层次分析法的步骤和方法运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下五个步骤：建立层次结构模型构造判断矩阵一致性检验计算各层权重总体一致性检验下面依次分析2.1建立层次结构模型层次分析法强调决策问题的层次性，我们必须认清决策目标与决策因素之间的关系。
简单地说，就是处理各个因素之间的包含关系，再把它们放在一个层次结构图中。
一般地，我们把层次结构图分成3个层次：目标层：决策的目的、要解决的问题准则层：考虑的因素、决策的准则。
方案层：决策时的备选方案。
以选择旅游地作为问题，演示层次分析法的过程。
选择旅游地是决策目标那么应放在目标层。
同时我们在选择旅游地时会考虑到不同的因素，如景色、费用等，这些作为准则层。
最后，我们把各个景点纳入考虑的范围，就有方案层。
目标层准则层方案层O旅游目的地C 1景色C2费用C3居住C4饮食C5旅途P1桂林P2黄山P3北戴河2.2构造判断矩阵建立层次结构图，之后我们就必须讨论同一层因素的权重。
这时我们要得出c1,c2,c3……对O的影响权重，可把权重记为：。
重要性标度含义1 表示两个元素相比，具有同等重要性3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要2,4,6,8 表示中间值倒数若元素I与元素j的重要性之比为a ij,则元素j与元素I的重要之比为a ji=1/a ij这时我们就可以得到判断矩阵，也就是每两个因素的权重比假设我们得到的例子中判断矩阵是：W1/W1 W1/W2 ......W1/Wn 1 1/2 4 3 32 1 7 5 5W2/W1 W2/W2 ......W2/Wn (1) 1/4 1/7 1 1/2 1/3 (2)A= ..... 1/3 1/5 2 1 1..... 1/3 1/5 3 1 1Wn/W1 Wn/W2.......Wn/Wn如A(2,1)就表示，第一个因素与第二个因素的权重比。
层次分析法在地方政府投资项目决策中的应用研究作者：江俊龙来源：《价值工程》2013年第32期摘要：地方政府投资项目的选择对地区的经济发展及社会稳定等会产生重大影响。
适合的评价方法有助于做出合理的决策。
层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法，特别是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据情况下更为实用。
本文通过案例阐述了层次分析法的应用过程，为相关决策人员提供方法上的帮助。
Abstract： The selection of local government-invested projects plays an important role in the development and social stability of regions. Appropriate evaluation methods will help to make reasonable decisions. Analytic Hierarchy Process （AHP） is a multi-objective decision-making method which combines the qualitative analysis with quantitative analysis. Especially， it can be used in situation without complete data. The paper， by using of case illustrating， describes the application processes of AHP. And provide methodological assistance for decision-makers.关键词：层次分析法；地方政府投资项目；决策Key words： Analytic Hierarchy Process；local government-invested projects；decision-making中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）32-0003-02基金项目：本文是江苏省教育厅高校哲学社会科学基金项目《苏北地区公共服务项目风险分担机制研究》（项目编号：2012SJD630006）的阶段性成果。
层次分析法层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP），也称层级分析法[编辑]什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。
它是⼀种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析⽅法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实⽤性和有效性，很快在世界范围得到重视。
它的应⽤已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、⾏为科学、军事指挥、运输、农业、教育、⼈才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与⼈对⼀个复杂的决策问题的思维、判断过程⼤体上是⼀样的。
不妨⽤假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景⾊、费⽤和居住、饮⾷、旅途条件等⼀些准则去反复⽐较这3个候选地点．⾸先，你会确定这些准则在你的⼼⽬中各占多⼤⽐重，如果你经济宽绰、醉⼼旅游，⾃然分别看重景⾊条件，⽽平素俭朴或⼿头拮据的⼈则会优先考虑费⽤，中⽼年旅游者还会对居住、饮⾷等条件寄以较⼤关注。
其次，你会就每⼀个准则将3个地点进⾏对⽐，譬如A 景⾊最好，B次之；B费⽤最低，C次之；C居住等条件较好等等。
最后，你要将这两个层次的⽐较判断进⾏综合，在A、B、C 中确定哪个作为最佳地点。
[编辑]层次分析法的基本步骤1、建⽴层次结构模型。
在深⼊分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性⾃上⽽下地分解成若⼲层次，同⼀层的诸因素从属于上⼀层的因素或对上层因素有影响，同时⼜⽀配下⼀层的因素或受到下层因素的作⽤。
最上层为⽬标层，通常只有1个因素，最下层通常为⽅案或对象层，中间可以有⼀个或⼏个层次，通常为准则或指标层。
当准则过多时(譬如多于9个)应进⼀步分解出⼦准则层。
2、构造成对⽐较阵。
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上⼀层每个因素的同⼀层诸因素，⽤成对⽐较法和1—9⽐较尺度构造成对⽐较阵，直到最下层。
层次分析决策法1. 简介层次分析决策法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种多目标决策技术，1970年由美国运筹学家Thomas L. Saaty提出。
这个方法可以帮助决策者将复杂的问题分解成一系列的层次结构，通过比较和判断，确定各个层次元素之间的权重，最终进行综合评价和决策。
AHP方法的特点是能够考虑到多个因素之间的相对重要性，并量化这些因素的权重。
它不仅可以用于个人决策，还可以应用于团队决策、组织管理、项目评估等方面。
2. AHP方法的步骤AHP方法主要包含以下几个步骤：2.1 建立层次结构首先，需要将问题分解成一个个层次结构。
层次结构可以由目标、准则、子准则等组成，具体根据问题的复杂程度而定。
2.2 构造判断矩阵判断矩阵是一个正互反矩阵，用于比较和判断各个层次元素之间的相对重要性。
通过两两比较，决策者可以根据专业知识和经验，给出相对权重的判断。
在构造判断矩阵时，通常使用1-9的尺度，表示两个元素之间的重要程度。
1表示两个元素之间的重要程度相同，9表示一个元素相对于另一个元素非常重要。
2.3 计算权重和一致性检验利用判断矩阵，可以计算出各个层次元素的权重。
首先，对判断矩阵进行归一化处理，得到归一化判断矩阵。
然后，通过对归一化矩阵的列向量求和，得到各个层次元素的权重。
为了检验判断矩阵的一致性，需要计算一致性指标CI（Consistency Index）。
如果CI的值接近于0，则认为判断矩阵的一致性较好；如果CI的值过大，则需要进行调整。
2.4 综合评价和决策根据各层次元素的权重，可以进行综合评价和决策。
比如，可以计算出各个方案的综合得分，选择得分最高的方案作为最优决策。
3. AHP方法的应用AHP方法可以应用于各种决策问题，例如：•项目选择与评估：通过比较和判断各个方案的重要性，选择最适合的项目进行投资。
•组织管理：根据组织的目标和准则，确定各个层次的重要程度，并进行决策和评估。
层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例(1)层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种常用的多目标决策方法，其基本原理是通过给出决策问题中不同因素间的关系以及它们对决策目标的重要程度，确定最优解决方案。
本文将从基本原理、实施步骤和应用实例三个方面，介绍层次分析法。
一、基本原理层次分析法认为，决策问题的因素是层次结构的，将不同因素按照其在层次结构中的不同层次排序，形成一张决策层次结构图。
该图中，最上层为决策目标，中间层为决策因素，最下层为叶子节点，表示待选方案。
AHP方法对决策问题进行逐层分解，将复杂的问题分成一些相对较简单的问题，或者将整体问题中的某个方面作为指标来考虑，逐步确定各个因素的权重，从而得到最终的决策。
二、实施步骤层次分析法的实施步骤包括：1. 确定决策目标和因素。
确定决策问题的目标和所有的决策因素。
2. 构造层次结构。
将决策目标和因素排成树状结构。
3. 设定判断矩阵。
对于每一个层次结构中的因素，设定其与其他因素相比较的判断矩阵。
4. 计算权重值。
利用各个因素的判断矩阵，计算出各个因素对于目标的权重值。
5. 一致性检验。
检验所得权重值是否满足一致性。
若不满足，则需要重新修改判断矩阵。
6. 评估备选方案。
通过计算各个因素的权重，评估备选方案。
三、应用实例以选购一款汽车为例，利用层次分析法进行决策。
1. 确定决策目标和因素。
决策目标为选购一款最适合自己的汽车。
决策因素包括车身外观、内饰、动力性能、品牌口碑、价格等。
2. 构造层次结构。
将决策目标和因素按照层次关系排成树状结构。
3. 设定判断矩阵。
如对比“车身外观”和“内饰”，可以设定判断矩阵，用1~9的数字表示汽车外观对自己来说更重要，或是内饰对自己更重要等等。
4. 计算权重值。
根据判断矩阵的数值，计算出各个决策因素的权重值。
5. 一致性检验。
利用特定的一致性检验方法，检验所得判断矩阵是否满足一定的一致性条件。
数学在决策中的应用———层次分析法学习应用数学后，我结合海运学院的相关专业，寻找数学应用的相关领域时，被利用数学进行决策的层次分析法吸引住了，现在将所学习到的和所想到的做了总结，并将我学习层次分析法的心得分享一下。
首先简单的介绍一下层次分析法，层次分析法(Analytic Hierarchy Process ，简称AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法[1]。
层次分析法是一种定性与定量相结合、系统化的决策方法。
它将决策者的主观判断与实践经验导入模型，并进行量化处理，体现了决策中分析、判断、综合的基本特征。
该方法首先将复杂问题按支配关系分层，然后两两比较每层各因素的相对重要性，最后确定各个因素相对重要性的顺序，按顺序做出决策。
层次分析法的具体方法和步骤如下。
[2]1． 建立层次结构模型通过深入分析实际问题，将问题分解成三个层级，即目标层、准则层(要素层)和方案层 ，同一层次的因素对上层因素有影响，同时又支配下层因素。
目标层是最高层，通常只有 1 个因素，最下层通常为方案措施，要素层可以不止一层，当要素过多时( 譬如多于 9 个) ，可以进一步分解出子要素层，并建立关联，见图1。
2. 构造判断(成对比较)矩阵从第二层开始，把同一层级的因素用成对比较法和一定比较尺度构造判断矩阵 A ，直到最后一层。
ji j i ij n n ij a a a a A 1,0,)(=>=⨯，其中i ，j=（1,2,3，……，n ）矩阵 A 中，aij 表示因素 i 与因素 j 对上一层因素的重要性之比，aij 表示因素j 与因素i 的重要性之比，且aij= 1 / aji 。
对于aij 的值，Saaty 等建议引用数字 1 至 9 及其倒数作为标度，见表1。
如果按照图1所示因素构造一个判断矩阵B ，即用B1,B2,B3表示A 的判断矩阵，如图2：图1 层次结构模型 图2 A 的判断矩阵B表1 各标度数值含义用个简单的例子来说，如果A 代表我们要买一台船用发电机，B1代表功能强；B2代表价格低；B3代表维修容易。
如果其中我们认为价格低B2比功能强B1重要，维修容易B3比功能强B2明显重要则我们得到的B 为：各标度数值含义 aij 的值 含义 1 因素i 与因素j 一样重要 3 因素i 比因素j 略重要 5 因素i 比因素j 明显重要 7 因素i 比因素j 强烈重要 9 因素i 比因素j 极端重要2,4,6,8 表示上述相邻判断的中间值 151213513223111321B B B B B B A B查得其实理想构造矩阵就是典型的正互反矩阵。
而且应该满足：),,1(,.n k j i a a a ik jk ij <≤=但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。
因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
有一种说法：对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。
对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求矩阵的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大[3]。
另外一种是由定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n ；定理：n 阶正互反矩阵A 的最大特征根n ≥λ，当且仅当n =λ时，A 为一致阵[4]。
所以有了一个一致性检验指标CI ： 1)(max --=n nA CI λ其中λmax 为矩阵A 的最大特征值，一致阵中λmax=n 。
也就是说，这个层次分析法实则是将构造矩阵与一致阵进行比较，比较两者的相似程度。
当λmax 越接近n ，CI 越小，则一致性越好。
判断矩阵的维数 n 越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵的一致性要求，引入特征值RI ，查找相应的平均随机一致性指标RI ，对应n = 1，…，9，Saaty 给出了RI 的值，如表2所示：机一致性指标 RI 的取值RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵:随机地从1至9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λ'max ，并定义：1max '--=n nRI λ使用更为合理的 CR 作为衡量判断矩阵的一致性指标，并计算一致性比值CR ：RICICR =j j ij k b CC ∑==31通常认为，当 CR ＜0.1时比较矩阵 A 具有一致性，或者说其不一致程度是可以接受的; 否则就需要调整矩阵 A ，直到达到满意的一致性为止，然后把最大特征值对应的特征向量标准化，使各分量都大于 0 且和等于 1，这个标准化后的向量就是权向量，代表每一要素对上层指标影响的程度大小。
在一致性计算中我们从公式里看出，需要求得构造矩阵A 的最大特征值，Saaty 教授建议运用最大特征值λmax 所对应的归一化的特征向量作为矩阵A 的权向量。
计算权向量有特征向量法和算数平均法，还有几何平均法和最小二乘法等。
这里通过特征向量法来说明，依然求B 矩阵的特征值与特征向量，得到最大的特征值λ=3.0037，其对应的特征向量w=（0.3288，0.9281，0.1747）归一化后的权向量：W=（0.2297，0.6483，0.1220）此时可以计算CI=（3.0037-3）/(3-1)=0.0019; CR=0.0019/0.58=0.0032，均符合条件，意味着不用对构造矩阵进行修改。
层次分析法权重的计算和判定当我们需要做某些决定时，需要计算每个方案的权值，继续用上面的例子来说明： A 代表我们要买一台船用发电机，B1代表功能强；B2代表价格低；B3代表维修容易。
C1代表沃尔沃；C2代表奔驰；C3代表三菱；C4代表潍柴；一般来说我们都需要通过计算方案层的权重，进行决策。
层次B 包括B1，B2，B3三个因素，假设它们相对于总层次A 的排序权重值分别为b1，b2，b3;层次C 包括C1，C2，C3，C4四个因素，假设这四个因素相对于Bj的排序权重值分别为C1j，C2j，C3j，C4j(j=1，2，3)，那么C层各因素的总排序权重值(k=1，2，3，4)。
对于总层次排序也需要进行一致性检验，一致性指标CI和RI分别为()3kW j j j j j j b RI RI b CICI ∑∑====3131,，其中CIj 是C 层元素对应于bj 的单排序一致性检验指标，RIj 是相应的平均随机一致性指标，则层次总排序随机一致性比值∑∑===3131j j j j jj b RI b CI CR ，当CR ≤0.1 时，我们可以认为层次排序结果基本符合一致性条件，否则必须对判断矩阵加以调整，直到一致性检验合格为止[5]。
获得同一层次各要素权重后，就可以计算各级要素对总体的综合权重。
决策问题处理过程中,若果第1层因素为1个,第2, 3层依次是n, m,那么第2,3层对第1,2层对应得到的权向量依次是列向量得到的矩阵：那么第三层对应于第一层得到的组合权向量[6]:在来创建方案层对每个Bj 的构造矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1213131421212133211232111432111C C C C C C C C B C ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12141314213121343122322111432122C C C C C C C C B C⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1233421122331211123121111432133C C C C C C C C B C其中Cj （j=1,2,3,）表示方案层对Bj （j=1,2,3,）的构造矩阵。
现在计算各方案的权向量与特征值：C 层对B1的权向量Wc1=（0.3509,0.3509,0.1890,0.1091） λ1=4.0104 CI1=0.0035 C 层对B2的权向量Wc2=（0.2772,0.4673,0.1601 ,0.0954） λ2=4.0310 CI2=0.0103 C 层对B3的权向量Wc3=（0.1409,0.1409,0.2628 ,0.4554） λ3=4.0140 CI3=0.0047 其中CIj （j=1,2,3）表示每个矩阵Cj 的一致性检验指标。
B 层对A 的构造矩阵的权向量W=（0.2297,0.6483,0.1220）λ=3.0037则方案层中每个方案的综合权值Ccj （j=1,2,3,4）为：Cc1=0.3509*0.2297+0.2772*0.6483+0.1409*0.1220=0.2775Cc2=0.3509*0.2297+0.4673*0.6483+0.1409*0.1220=0.4007Cc3=0.1890*0.2297+0.1601*0.6483+0.2628*0.1220=0.1793Cc4=0.1091*0.2297+0.0954*0.6483+0.4554*0.1220=0.1425层次总排序随机一致性比值：CR=(0.0035*0.2297+0.0103*0.6483+0.0047*0.1220)/（0.90*0.2297+0.9*0.6483+0.9*0.1220）=0.0089由计算结果可以看出权重向量WC=（0.2775,0.4007,0.1793,0.1425），其中C2得分最高，推荐购买奔驰，C4得分最低，不推荐购买潍柴。
这样就把一个选择决策通过量化计算得到一个结果。
但是在计算过程中我觉得每个方案最后的权值完全取决于构造矩阵中每个元素的值，这就对建立构造矩阵的过程和方法提出了很高的要求，这样就需要我们在做决策之前建立一个庞大的数据系统去确定各个元素之间的关系，用来制定ij a 的值，不然建立的构造矩阵是没有说服力的。
我认为层次分析法的发展方向就是如何建立合理可靠的构造矩阵。
但是一旦建立了相对准确的构造矩阵，用层次分析法能够简单的算出各个元素的权值，方便我们做出决策，也能更容易得看出各个元素之间的关系。
在这里仅将最近对层次分析法的认识和对该方法学习的一些心得做了简单叙述并结合自己的专业虚构了一个购买发电机的案例，加深了对该方法的认识和学习。
望今后能再接再厉，取得一定的突破。
参考文献：[1] 百度百科[2] 赵宝卿,李娜.基于层次分析法的内部审计外包内容决策研究.《审计与经济研究》,2013年第一期.[3] 刘成明.面向复杂系统决策的层次分析权重处理方法及其应用研究.吉林大学硕士学位论文.2006年5月.[4] 高继文.基于AHP的家庭购车方案评价.中国科技大学硕士学位论文.2014年5月[5] 网上资料.无出处[6] 邓雪,李佳铭.层次分析法权重计算方法分析及其应用研究.《数学的实践与认识》.2012年4月.Vol.42,No.7（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
