决策论层次分析法讲义

9.4 层次分析法（AHP法）
（1）层次分析法的求解步骤
第一步：确定决策目标，建立层次结构模型。

第二步：由决策人两两比较构造判断矩阵。

第三步：求取判断矩阵的最大特征值和特征向量。

第四步：判断矩阵的一致性检验。

第五步：层次总排序。

（2）应用举例
例9-2下面应用层次分析法，利用各种定性、定量指标之间的相对重要程度，对瓶罐玻璃行业中72家企业进行绩效评价，首先计算出19个指标在企业绩效中的权重，之后对企业进行绩效打分及排序。

并指出影响企业绩效优劣的关键指标，以期决策者在这些方面提出改进，为企业增强自身核心竞争能力、参与全行业的竞争、制定可持续发展战略奠定基础。

层次分析模型讲义人们在日常生活中常常会碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，吃中餐、西餐或是自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或是去山水甲天下的桂林。

如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了。

从事各种职业的人也经常面对各种决策：一个厂长，要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。

人们在处理上面这些决策的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但一个共同点就是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。

在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人们的主观选择也起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来实质上的困难。

美国科学家萨蒂（T. L. Saaty）等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的使用方法，称为层次分析法（AHP）。

这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。

下面以假期旅游为例介绍层次分析法的基本步骤和应用实例。

例：假期旅游，有321,,P P P 三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途等一些准则去反复比较那三个候选地点，最终决策去哪个旅游地。

一、建立层次结构模型层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维判断过程大体上是一样的。

一般分为目标层、准则层和方案层。

此例中，首先，你会确定这些准则在你的心目中占有多大比重，如果醉心旅游，自然会更看重景色；而平时俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用；中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄予较大关注。

综合评价作业某市共有四所医院,需要通过医疗质量指标、医疗工作量指标和医疗工作效率指标等3个方面共7个具体指标(如图1),建立合理的模型对医院质量进行评价.图1. 目标树该市某年4所医院的相关指标实际值如表1所示.表1. 四所医院相关指标值第一章导论§1.1 综合评价的基本概念§1.2 常规的两个评价实例§1.3 评价指标的选取§1.4 数据的无量纲化方法§1.5 指标权重的确定§1.6 常见的综合方法第二章层次分析法§2.1 层次分析法的思想和原理§2.2 预备的数学知识§2.3 层次分析法的步骤§2.4 层次分析法的应用案例第三章模糊综合评判法§3.1 模糊综合评判法的简介§3.2 预备的数学知识§3.3 模糊综合评判法的步骤§3.4 模糊综合评判法的应用案例第四章灰色综合评价法§4.1 灰色综合评价法的思想和原理§4.2 灰色综合评价法的步骤§4.3灰色关联分析法的应用案例第五章误差分析§5.1 误差分类§5.2 误差修正第一章导论§1.1 综合评价的基本概念一、评价(evaluation)通过对照某些标准来判断观测结果.评价是人类社会中一项经常性的,极为重要的认识活动.比如:评价哪所高等院校的声誉高?哪个学生的素质高?哪个企业的效益好?二、综合评价(synthetical evaluation)所谓的多指标综合评价,就是指通过一定的数学函数(或称综合评价参数)将多个评价指标值“合成”为一个整体性的综合评价值, 再据此择优或者排序.注意:1. 评价的依据是指标;2. 评价的基本条件是信息;3. 评价最主要的功能是排序;4. 评价的本质是凭借一些可以直接观察、测量的指标,去推断不可观察、测量的性能.三、综合评价的基本条件1. 有高质量的内容丰富的信息源.(1) 信息收集(一手,二手):完整、准确、及时、适用、经济.(2) 信息的处理.a. 离群值(outlier):过大,过小的极端值,往往由过失误差造成,不要轻易地去掉.需反复检查加以纠正.若找不出原因,则增加观测次数或用专门的统计工具删掉.b. 缺失数据(missing data):进行缺失值估计.方法有经验法,均值替代法,回归法,期望最大法(EM)等.c. 定性资料或等级资料的定量化.2. 提倡现成历史资料的综合利用.四、综合评价的一般步骤1. 确定评价对象2. 明确评价目标3. 组织评价小组4. 确定评价指标体系5. 选择评价方法6. 建立评价模型7. 评价结果分析五、评价的分类1. 评价手段:定量评价(quantitative evaluation)和定性评价(qualitative evaluation).2. 评价模式:传统评价和线代评价3. 评价方式:预评价(pre-event evaluation),中期评价(interim evaluation)和终结评价(after-event evaluation).4. 评价领域:六、评价方法的发展历程1. 20世纪60年代,模糊评价方法.(对主观或定性指标进行评价)2. 20世纪70~80年代,层次分析法、数据包络分析法等.3.20世纪80~90年代,灰色综合评价法、人工神经网络评价法等.评价过程中,不同的评价方法,评价的结果可能不唯一,有时甚至相左.究竟选择哪一种评价方法,要注意以下几点:1. 选评价者最熟悉的方法;2. 该评价方法有坚实的理论基础;3. 简洁明了,降低算法的复杂性;4. 所选的评价方法能正确的反映评价对象和评价目的.注意:对于应用者来说,最迫切的问题往往不是建立一个新的评价方法,更重要的是如何从纷繁复杂的方法中,选择出最合适的方法.§1.2 常规的两个评价实例所谓的常规的评价方法,是指一方面,不涉及模糊数学、运筹学、多元统计分析等其它学科的方法;另一方面,在各类文献资料中常见.例1.1 综合国力的评价.20世纪60年代,人们开始尝试对综合国力进行定量分析研究.I.P.考尔是第一个对综合国力进行定量测算的学者.他把度量国力状况的指标,选取为人口、国土面积、钢消费量、能源消费量、国民生产总值、总军事实力等6项(见表1.1).将各国占世界总数的比重作为处理对象,按事先确定的权重加权平均,其结果作为该国综合国力的总得分,由此进行各国的比较.用公式可表示为6611,(1,2,,)ijj i i i i ix y w w j n X ====∑∑. 式中符号含义为:n 参评国家个数; :ij x 第j 国第i 项指标值; :i X 第i 项指标世界总计值;:j y 第j 国综合国力总得分.表1.1 综合国力评价指标和权数即:综合国力→构成要素分解→指标选择→指标值转换→权数确定→多指标综合→比较结果排序.例1.2 新生婴儿缺氧状况的Apgar 评分方法.首先根据医学理论与临床经验,选择心率、呼吸等5个体征作为评价指标,并赋予相等的权重;然后依据理论与实践,确定各个指标三个评价等级的界限及0、1、2三个分值的平分标准,建立如表1.2所示的评分标准;最后确定以累加法累计某评估对象各指标评分,并确定正常、轻度缺氧、中度缺氧三个等级的数量界限.通过实践检验,该模型仍然是产科临床用以判断新生儿有无窒息及窒息程度的常用方法.表1.2 新生儿Apgar 评分标准注:以累加法累计总分,8~10分为正常值,4~7分为轻度缺氧,0~3分为中度缺氧. 解释:§1.3 评价指标的选取对某事物进行评价时,必然要考查诸多因素的影响.这些因素中有些是可控的,有些是不可控的;有些是独立的,有些是相互关联的;有些对评价结果影响小,有些对评价结果影响大.我们有必要对影响因素进行分析,力图分清主次,抓住主要因子,剔除次要因子:一方面,使得评价模型简单化,能就事件的主流或本质进行评价;另一方面,节省计算量,提高模型的精度与准确度.一、指标及指标体系指标:根据研究的对象和目的,能够确定地反映研究对象某一方面情况的特征依据.指标体系:由一系列相互联系的指标所构成的整体.它能够综合反映出对象各个方面的情况.二、建立指标体系应遵循的原则1. 宜少不宜多,宜简不宜繁;2. 指标应具有独立性;3. 指标应具有代表性和差异性(可比性);4. 指标可行.三、建立指标体系的方法1. 经验方法.(大多评价中采用经验法,即专家调研法)2. 数学方法.(单因素分析法,多元相关分析,多元回归分析,逐步回归法,岭回归法,条件广义方差极小,极大不相关,典型指标法)3. 文献资料分析选优法.四、选取评价指标的前提及与指标相关的问题:1. 对被评价事物的发展的内在机理要比较清楚;2. 指标的制定多为评价者与有关专家共同确定,带有一定的主观性;3. 用定量的方法给予筛选;(主讲典型指标法)4. 逆指标需要转化成正指标;5. 定性指标需要转化成定量指标;6. 即使指标都是定量指标,仍然需要进行无量纲化.五、单相关系数选取典型指标法步骤若评价指标过多,则可将相近的指标聚成类(可查阅聚类分析),然后,在每一类中选取若干个典型指标,其方法可以用条件广义方差极小或极大不相关,但计算量相当大.用单相关系数选取典型指标法,该方法较为粗略,但简单,具体步骤如下:1. 设反映事物同一侧面或聚为同一类的指标为n 个,分别为12,,,n a a a ;被评价的对象为m 个.计算n 个指标之间的相关系数矩阵R (对称矩阵).111212122212n n m m mn r r r r r r R r r r ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中,ij r -指标i x 与指标j x 的相关系数,ij S r =,11()()mij ki i kj j k S x x x x m ==--∑,(ij s 是指标i x 与指标j x 的协方差)11.mi k i k x x n ==∑(样本均值)2. 计算每一个指标与其它1n -个指标的决定系数(相关系数的平方)的平均值2i r ,即2211(1),1,2,,.1ni ij j r r i n n ==-=-∑2i r -反映了i x 与其它1n -个指标的相关程度.注意:之所以用相关系数的平方,是为了防止相关系数为负,无法直接相加求平均.若相关系数均为正,则可以直接用相关系数.3. 比较2i r 的大小, 令221max k i i nr r ≤≤=,则选k x 作为12,,,n a a a 的典型指标.需要的话,在余下的1n -个指标里继续选取.(此时,相关系数矩阵为原来的矩阵去掉第k 行,第k 列后剩下的1n -阶矩阵.)六、例题(用典型指标法确立下列评价指标系)例1.3 我国各地区普通高校高等教育发展水平的综合评价. (仅从567,,x x x 中选取典型指标) (P14)1. 指标567,,x x x 反映了高教发展水平的同一个侧面,即教职工的情况.写出他们的相关系数矩阵55565765666775767710.998590.5598810.550011r r r R r r r r r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2. 求i x 与其余2个指标的相关系数的平均值,5,6,7.i r i =51(10.998590.559881)0.77924,31r =++-=- 同理, 670.7743,0.55495.r r == 3. 比较,5,6,7.i r i =的大小.5r 最大,故选5x 做为567,,x x x 的典型指标.若再选一个,需从67,x x 中选取.而67,x x 的相关性为0.55001,无法再用上边的方法选,但从相关系数矩阵可以看出,56570.99859,0.55988,r r ==故可选7.x§1.4 数据的无量纲化方法I.P.考尔在综合国力评价时选了6个指标,显然,这6个指标是异量纲的,且数值差异很大,直接相加是不合适的,也没有实际意义.考尔将各个指标实际值与世界总计值比较,把指标值转换为无量纲的相对数——比重(ij ix X ),同时数值大小规范在[0,1]内,这种去掉指标量纲的过程称为数据的无量钢化过程.无量钢化之后的数据称为指标的评价值.数据的无量钢化过程——指标的实际值转化为评价值的过程,或者从数学的角度来看,就是找到指标的评价值和实际值之间的一种函数关系.思考:ij ix X 的具体表示的含义.一、数据的无量钢化方法1. 直线型: 阈值法,标准化法,比重法.2. 折线法: 凸折线,凹折线,三折线.3. 曲线法. 二、阈值法阈值——临界值.比如:极大值,极小值,满意值,不允许值等. 阈值法——指标的实际值和阈值相比得到的指标评价值的方法.此外,实际中也有将指标的实际值除以该指标的第一个值或均值,分别称为指标的初始化和均值化.(灰色综合评价法中数据的无量钢化用到的是均值化法) 三、标准化法,i i x x y S -=其中11,n i i x x S n ===∑ 与阈值法相比,标准化法有如下特点: 1. 利用了原是数据的所有的信息; 2. 要求数据量大;3. 数据有正,有负,且有的超出了[0,1]区间,为了更符合习惯,将其转化为“百分数”形式.如601006010.10i i i x xx x y S S--=+⨯=+⨯注意:这种“百分数”转化不同于一般的百分数.因为个别极端值可转化超出[0,100].此外,也有将均值转化为50的;此外,多元统计方法中,大多用标准化.例1.4 某次考试中统计结果及甲乙两考生的成绩原始数据及用标准化法无量钢化后的数据如表1.4所示.(为了方便,没有给出全班同学的具体成绩,而最终也应该计算每个同学无量钢化的成绩)表1.4 甲乙两考生成绩的相关数据通过标准化公式60100601010i i i x x x xy S S--=+⨯=+⨯将数据无量钢化.从无量钢化后的成绩可以看出,甲的成绩要比乙的成绩好.尽管原始成绩中,乙在数学和化学上比甲高出6分,甲在物理上比乙高4分,但这4分的“含金量”显然要高.注意:有人认为成绩是分数,无单位,且都是百分制,不用无量钢化!直接相加即可.但是每门科目试题的难易程度,分量不一定相同,因而,分值的含金量也不一定相同.§1.5 指标权重的确定一、权的定义(定性描述)对于评价目标来说,评价指标之间的相对重要性是不同的.评价指标之间这种相对重要性的大小,称为权重系数,简称权重或者权,一般用w表示.例1.5 医院工作质量的评价.注意:.然而,同一组指标值,赋予不同的权重系数,会导致不同的甚至截然相反的结论.因此,权重的确定是评价中最棘手的问题,确定时应特别谨慎.二、确定权重的方法确定权重也称加权,它表示对某指标重要程度的定量分配.根据计算权数时数据的来源不同,加权的方法大体可分为两种:1. 主观赋权法(其原始数据主要由专家根据经验判断得到):专家评分法,成对比较法,Satty’s权重法(层次分析法中用到).2. 客观赋权法(其原始数据由各指标在评价中的实际数据形成):模糊定权法,秩和比法,熵权法,相关系数法(变异系数,复相关系数的倒数).注意:1. 并不是只有客观赋权法才是科学的方法,主观赋权法同样也是科学的方法.“主观”与“随意”是两个不同的概念.2. 目前,权数确定的方法主要采用专家咨询的经验判断法.比如,评为投票表决法方便易行,是一种可以采用的方法.3. 但是,为了提高科学性,也可采用其它确定权重的方法,比如层次分析法中的Satty’s权重法,是目前使用较多的一种方法.三、权的综合从各种角度来考虑评价问题,即使是同一组指标,也会引出不同的权.对于通过各种各样方法给出的同一组指标的权,如何综合给出一个合适的权?这便是权的综合问题.例如n w nw (1)(2)(1)(2)1,1,2,,.i i i nj jj w w w i n ww ===∑例1.6 评价各地区高教发展水平最终选了7个指标每个指标分别得到了2个权重如表1.5,请利用上述方法,给出综合后的权重.表1.5高教发展水平指标权重的综合注:(1)(2)10.147601j j j w w ==∑.§1.6 常见的综合方法常见的综合评价方法都与平均值有关,如算术平均,几何平均等.不常规的方法,则不用求平均值. 一、四种常见的综合法1. 累加法(1pi i x =∑)2. 连乘法(1pi i x =∏)3. 加乘法(11in m ij j i x ==∑∏,评价指标按其联系分成若干个小组,首先求各小组评分之和,再将各小组评分连乘.ij x ——第i 个小组第j 个指标的平分值,n i ——第i 个小组中包含的指标的项数, m ——指标小组数.4. 加权法(1pi i i S w =∑)(主要讲加权法)二、加权法1. 算术平均1211111.n i n i x x x x n n nn==+++∑ 2. 加权算术平均11221.ni in n i w xw x w x w x ==+++∑注意:此加权算术平均概括了许多方法.比如,121n w w w n====时,就是算术平均; 若对12,,,n x x x 中的最大值和最小值的权赋予0,则记为我们熟悉的去掉一个最高分,去掉一个最低分.3. 几何平均11nn ii x==∏4. 加权几何平均12121.i nnw w w w i n i x x x x ==∏注意:1. 人们总认为加权算术平均比普通的算术平均要好,其实不然,这是习惯势力的影响.若12,,,n x x x 彼此之间的相关系数很大,那么任何两个加权算术评价之间的相关性亦很大,所以,加权就没有意义了.平均值的上述性质很早就被人发现了.2. 当指标i x 是比例型的,无单位,无量纲,如贫困人口的比例,受教育人口的比例等可以用算术加权.当指标i x 是比值型的,如劳动生产率,单位可以是元/人.年或万元/人.年,量纲不同,算术加权产生的影响是明显的,此时,用几何平均或加权几何平均就能消除此影响.第二章层次分析法§2.1 层次分析法的思想和原理一、多目标决策1. 多目标决策内容多目标决策方法是从20世纪70年代中期发展起来的一种决策分析方法.在社会经济系统的研究控制过程中我们所面临的系统决策问题常常是多目标的,这些目标之间相互作用和矛盾,使决策过程相当复杂,决策者常常很难轻易作出决策.这类具有多个目标的决策就是多目标决策.2. 多目标决策主要用到的方法(1) 化多为少法(2) 分层序列法(3) 直接求非劣解法(4) 目标规划法(5) 多属性效应法(6) 层次分析法(7) 重排序法(8) 多目标群决策和多目标模糊决策等二、层次分析法概述1. 起源(1) 美国的运筹学家匹兹堡大学教授T.L.Satty(萨蒂)于20世纪70年代初为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价法,提出的一种层次权重决策分析方法(AHP-Analytic Hierarchy Process).(2) 该方法于1982年引入中国.2. 本质层次分析法是依据序标度,将系统因素按支配关系分组以形成有序的递阶层次结构,通过两两比较判断的方式确定每一层次中因素的相对重要性,然后在递阶层次结构内进行合成以得到决策因素相对于目标的重要性的总顺序,从而为决策提供确定性的判据.3. 忧缺点优点: 既采用具有适应环境的灵活性的“相对标度”,同时又充分利用了专家的经验和判断,并能对误差作出估计,能较好地解决公共决策系统中的问题.缺点: 就是对目标准则难易保证互斥性和完备性.注意:AHP是一种定性和定量相结合,系统化的层次化的分析方法.对那些对定量要求不高的问题,取得较好的结果,而对于那些对定量要求高的问题,不太合适.4. 应用a. 日常工作,生活中的决策问题.(决策就是面临多种方案时,依据一定的标准,选择某一种方案.)(1) 海尔,新飞,容声,雪花四种冰箱中选购一种.考虑:信誉,价格,功能,耗电量.(2) 桂林,黄山,北戴河选择一个旅游景点.考虑:景色,费用,居住,饮食,交通.(3) 在一本高校中选择一所学校.考虑: , ,…….(4) 找工作.考虑:贡献,收入,发展,声誉,关系,位置.b. 经济和社会等方面的决策问题:能源的政策和分配,经济计划与管理,人才的选拔与评价,科研选题,城市规划,方案排序,产业结构,教育,医疗,环境,军事等.(1)(2)(3)§2.2 预备的数学知识层次分析法中用到较多的数学知识是线性代数的知识,具体如下: 一、正互反阵(层次分析法中的判断矩阵就是正互反阵)对于n 阶方阵A ,若满足:10,,ij ij jia a a >=则称A 为正互反阵.注意:1. 正互反阵中主对角线上的元素全是1,即1.ni i n λ==∑2. 正互反阵中,1,ij ji a a ⋅=但并不是对任意的,,i j k ,都有.ik kj ij a a a ⋅=3. 对于任意的,i k ,恒有,.ik kk ik ii ik ik a a a a a a ⋅=⋅= 例2.11124331261755112,,14.1121211111A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵B 中,232112137,12,4,b b b b ====所以,21132321138,.b b b b b ⋅=≠⋅ 二、正互反阵的性质1. 正互反阵A 的最大特征根是单根,其对应的向量为正向量(可以作为权向量).2. n 阶正互反阵A 的最大特征值max n λ≥.(即12max n n λλλλ++++=,max 0n λ-≤.)三、一致阵A 为正互反阵,若对于任意的,i j ,都有,ik kj ij a a a ⋅=则称正互反阵A 为一致阵. 比如例2.1中,A 是一致阵(所有的二阶正互反阵必定是一致阵),而B 不是一致阵. 四、一致阵的性质若(),ij n n A a ⨯=为一致阵,则 1. ()1;R A =2. A 的唯一非零特征根为;n3. A 的任意的列向量是对应于n 的特征向量;4. A 的归一化特征向量可以作为权向量. 五、一致阵的判定1. 定义A 为正互反阵,则当max n λ=时,或者是(,,1,2,,.)ij ik jk a a a i j k n ==称A 为完全一致阵;当max n λ>时,C 不是完全一致阵,若A 满足一定的条件, 则称A 为满意一致阵.注意:(1). 2n ≤时,正互反阵均为完全一致阵; (2). 3n ≥时,正互反阵不一定是完全一致阵. 2. 满意一致阵的判定需要的预备知识:CI (Coherence Index)——一致性指标;(A 的最大特征值(max n λ≥)以外的其余特征值的负平均,即max 1nCI n λ-=-.)一致性指标CI 的值越大,表明成对比较阵偏离完全一致阵性的程度越大;CI 的值越小,表明成对比较阵越接近于完全一致性. 但是,在实操作中人们发现,成对比较阵的阶数n 越小,人为造成的偏离完全一致性指标CI 的值便越小;n 越大,人为造成的偏离完全一致性指标CI 的值便越大,故应放宽对高维成对比较阵的一致性要求.为确定A 的不一致程度的容许范围,于是Satty 引入了所谓的随机一致性指标RI .其定义及计算的过程如下:定义:RI (Random Index)——平均随机一致性指标(用计算机模拟1000个n 阶互反阵,分别求出其一致性指标,再取平均,即121000nCI CI CI RI +++=,其值可查,如下表格:表2.1 RI 的取值(1) 对于固定的n ,随机构造正互反阵A ,其元素()ij a i j <从19和119中随机选取.(2) 计算A 的一致性指标,因此A 非常不一致,此时CI 值相当大. (3) 构造相当多的A ,用它们的CI 平均值作为随机一致性指标.(4) Satty 对于不同的n (115n =),用100500个样本A 计算出上表所列出的n 阶矩阵的随机一致性指标作为修正值.CR (Coherence Ratio)——一致性比率(CICR RI=),判断矩阵的一致性指标CI 与同阶判断矩阵的平均随机一致性指标RI 之比称为随机一致性比率.若0.10CR <时,便认为成对比较阵具有可以接受的一致性.当0.10CR ≥时,就需要调整和修正成对比较阵,使其最终满足0.10CR <,从而具有满意的一致性.例2.2 判断112433175511213111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的一致性. 解 求B 的最大特征值为max 5.0735λ=≠,则其不是完全一致阵. 又max 50.018,51CI λ-==-查表得 1.12RI =,故 0.0180.0160.1,1.12CI CR RI ===<即B 通过一致性检验,为满意一致阵. 六、正互反阵最大特征值和特征向量的简化计算(和法,方根法,特征值法,最小二乘法,幂法)正互反阵如果是完全一致阵,则其任一列向量都是特征向量,正互反阵如果是满意一致阵,则其列向量都应近似等于特征向量,可取其在某种意义下的平均.例2.3 求矩阵126114211164A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的最大特征值和其对应的特征向量. 方法一(和法):先将A 的列向量归一化,即1260.60.6150.5451140.30.3080.36420.10.0770.09111164A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦, 再将归一化后的矩阵的列向量取算术平均,或每行做和后再归一化,得0.5870.3240.089ω⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因为1.7690.5871 1.7690.9740.2860.9740.324() 3.00930.5870.3240.0890.2860.089A λωλωλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而该矩阵的最大特征值和对应的特征向量的精确值为:0.5880.322, 3.0100.090ωλ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二(方根法):1. 计算该矩阵每一行元素的乘积(1,2,3)i M i =.123112,2,.24M M M ===2. 计算(1,2,3)i M i =的n 次方根.1232.289, 1.260,0.347.M M M ====== 3. 令123()T ωωωω=,并将ω归一化.(2.289 1.2600.347)T =,其归一化后的向量为(0.5880.3230.089)T ω=.又因为0.58810.323()30.5880.3230.0890.089A λωλωλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.§2.3 层次分析法的步骤一、明确问题在分析社会、经济以及科学管理等领域的问题时,首先要对问题有明确的认识,弄清问题的范围,了解问题所包含的因素,确定出因素之间的关联关系和隶属关系.二、建立层次结构模型根据对问题的分析和了解,将问题所包含的因素,按照是否共有某些特征进行归纳成组,并把他们之间的共同特性看成是系统中新的层次中的一些因素,而这些因素本身也按照另外的特征再进行分组,并把他们之间的共同特性看成是更高层次的因素,直到最终成为单一的最高层次因素.同一层各因素从属于上一层因素,或对上一层因素有影响,同时又支配下一层因素或受到下层因素的影响,而层内各因素基本上相对独立.最上层为目标层(一般只有一个因素),最下层为方案层或对象层/决策层,中间可以有一个或几个层次,通常为准则层或指标层.即目标层O—准则层C—方案层P.当准则层因素过多(例如多于9个) 时,应进一步分出子准则层.注意:建立一个好的层次结构对于解决问题极为重要,要有主要决策层参与.三、建立两两比较的判断矩阵并做一致性检验1. 建立判断矩阵判断矩阵表示针对上一层次某因素,本层次与它有关的因素之间相对重要性的比较.一般取如下的形式:在层次分析法中,为了使判断定量化,关键在于设法使任意两个因素对于某一个因素的相对优越程度得到定量的描述.一般对单一准则来说,两个因素进行比较总能判断出优劣.层次分析法从层次结构模型的第二层开始,对于从属于或者影响及上一层每个因素的同一层的相关因素,采用成对比较法和1~9标度法,建立了该层相关因素对上一层每个因素的成对比较阵,直到最下层.判断矩阵(成对比较阵)()ij n n A a ⨯=,ij a -比较尺度,ij a 取值为1,2,,9及其相反数111,,,29.为了便于定性到定量的转化,规定:相同——两个元素对某个属性具有同样的重要性; 稍强——两个元素比较,一个比另一个稍微有利; 强——两个元素比较,一个比另一个更为有利;明显强——两个元素比较,一个比另一个有利,且在实践中证明; 绝对强——两个元素比较,一个比另一个重要程度明显. 2,4,6,8——指两相邻程度之间的中间值,需要折中时用.注意:(1) 成对比较阵是评价的数量依据.判断矩阵中的ij a 是根据资料数据、专家的意见和系统分析人员的经验经过反复研究后确定的.(2) 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.2. 一致性检验(1) 对每个成对比较阵,计算其最大特征根max λ和特征向量(和法、根法、幂法等)1n W W W →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 利用一致性指标CI (Consistency Index),随机一致性指标RI 和一致性比率CICR RI=做一致性检验.(3) 若通过检验,即0.1CR <,则将上层计算出的特征向量1n W W W →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭归一化后作为j B 到j A 的权向量,即单排序权向量.(4) 若0.1CR <不成立,则需重新调整成对比较阵,直至符合一致性检验.。

层次分析模型讲义人们在日常生活中常常会碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，吃中餐、西餐或是自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或是去山水甲天下的桂林。

如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了。

从事各种职业的人也经常面对这样或那样的决策：一个厂长，要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。

人们在处理上面这些决策的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但一个共同点就是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。

在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人们的主观选择也起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来实质上的困难。

T. L. Saaty 等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的使用方法，称为层次分析法（AHP ）。

这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。

下面介绍层次分析法的基本步骤和应用实例。

例1：假期旅游，有321,,P P P 三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途等一些准则去反复比较那三个候选地点，最终决策去哪个旅游地。

一、建立层次结构模型层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维判断过程大体上是一样的。

此例中，首先，你会确定这些准则在你的心目中占有多大比重，如果醉心旅游，自然会更看重景色；而平时俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用；中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄予较大关注。

其次，你会就每一个准则将三个地点进行对比，譬如1P 景色最好，2P 次之；2P 费用最低，3P 次之等。

层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。

它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。

§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。

运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。

下面分别说明这四个步骤的实现过程。

1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。

在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。

这些元素又按其属性及关系形成若干层次。

上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。

这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。

（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。

（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。

每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。

这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。

例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。