决策模型层次分析法
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多目标决策分析层次分析法多实例解析模型教案
四、多目标决策的求解过程
❖ 第一步，提出问题。 ❖ 第二步，阐明问题。 ❖ 第三步，构造模型。 ❖ 第四步，分析评价。 ❖ 第五步，择优实施。
1）提出问题
❖ 第一步，提出问题。目标高度概括。
2）阐明问题
❖ 第二步，阐明问题。使目标具体化，要确定 衡量各目标达到程度的标准。即属性以及属 性值的可获得性，清楚地说明问题的边界与 环境。
③ 具有最优化决策规则的连续型多目标决策 问题
3. 两类多目标决策问题的对照表
多属性决策问题
多目标决策问题
决策变量 方案集
属性集
离散型 X {x1, x2 ,, xm } Y {y1, y2 ,, yn } 或 F { f1, f2 ,, fn}
连续型，x (x1, x2,, xN )
X x | gi (x) 0, i 1,2,, m, x R N
(1) 层次分析法概述
❖ 层 次 分 析 法 （ Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是20世纪70年代由 美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评价 决策法。
❖ 将决策者对复杂系统的评价决策思维过程 数学化,保持决策者思维的一致性。
❖ 先分解后综合的系统思想
在决策中使用AHP法的优点：
❖ 适用性 选择和判断 反映了对问题的认识 ❖ 简洁性 应用只需掌握简单的数学工具
特征: 分解、判断、综合 ❖ 实用性 定性与定量结合
优化技术 应用范围广 ❖ 系统性 复杂问题
系统的各个组成部分与相互关系
(2) 层次分析法的基本步骤
❖ 建立层次结构模型； ❖ 构造判断矩阵； ❖ 层次单排序及一致性检验； ❖ 层次总排序及一致性检验。
3）构造模型
❖ 第三步，构造模型。选择决策模型的形式， 确定关键变量以及这些变量之间的逻辑，估 计各种参数，并在上述工作的基础上产生各 种备选方案。
层次分析法原理及应用步骤
层次分析法原理及应用步骤层次分析法（Analytic Hierarcy Process，简称AHP）是一种定性分析与定量分析相结合的多目标决策分析方法。
对于结构复杂的多准则、多目标决策问题，是一种有效的决策分析工具。
其基本思想，是根据问题的性质和要达到的目标，将问题按层次分析成各个组成因素，再按支配关系分组成有序的递阶层次结构。
对同一层次内的因素，通过两两比较的方式确定诸因素之间的相对重要性权重。
下一层次的因素的重要性，既要考虑本层次，又要考虑到上一层次的权重因子逐层计算，直至最后一层一般是要比较的各个方案权重大小。
运用进行决策时，大体上应分为四个步骤进行：（1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构；（2）对同一层次的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵；（3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。
下面分别说明这四个步骤的实现方法。
（1）层次结构的建立首先要把问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。
在这个结构模型下，复杂问题被分解成人们称之为元素的组成部分。
这些元素又按照其属性分成若千组，形成不同层次。
同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。
这些层次大体上可以分为三类：1、最高层这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或者理想结果，因此也称目标层。
2、中间层这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则，因此也称为准则层3、最低层表示为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或者方案层。
上述各个层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支持下一层次的所有元素而仅仅支持其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽程度有关，一般它可以不受限制。
层次分析法原理
层次分析法原理
层次分析法是一种定量分析方法，用于解决多目标决策问题。
该方法通过建立一个层次化的结构模型，将复杂的决策问题分解为多个层次，并对各层次之间的关系进行比较和评价，最终得出最优的决策方案。
层次分析法的基本原理是将决策问题中的各个因素以及它们之间的关系构建成一棵树状结构。
首先，确定决策问题的总目标，再将总目标分解为若干个次目标。
然后，将次目标进一步分解为若干个准则。
在每个准则下面，又可以分解为若干个子准则。
一直进行下去，直到最底层的指标或要素无法再分解。
在层次分析法中，决策者需要对每个层次进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
比较的方法可以是两两比较、两两排序或设置量化的比较尺度。
通过比较和评价，可以得到每个层次下各个因素的权重或重要程度。
最后，利用权重进行计算，可以将不同层次的因素加权求和，从而得到各个决策方案的综合评价值。
根据综合评价值的大小，确定最优的决策方案。
层次分析法的优点是能够有效地将决策问题分解为层次结构，避免了因素之间的混淆和模糊性。
同时，该方法还考虑了不同因素之间的相对重要性，能够更准确地评价不同方案的优劣。
总结起来，层次分析法通过构建层次结构模型，并对各个层次
进行比较和评价，以得出最优的决策方案。
它适用于复杂的决策问题，并能够提供定量化的决策依据。
层次分析法的操作流程
层次分析法的操作流程
层次分析法的操作流程主要包括以下四个步骤：
1.建立递阶层次结构模型：首先，明确决策的目标，然后将决策的目标、
考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层。
最高层是决策的目的、要解决的问题，通常只有一个因素；最低层是决策时的备选方案或对象层；中间层是考虑的因
素、决策的准则，可以有一个或多个层次。
当准则过多时，应进一步分解出子准则层。
这样，就形成了一个递阶层次结构模型。
2.构造判断矩阵：从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响）
上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1~9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
这一步是为了确定各因素之间的相对重要性。
3.层次单排序及一致性检验：对于每一个成对比较阵，计算其最大特征根
及对应特征向量，然后利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率进行一致性检验。
若检验通过，则特征向量（归一化后）即为权向量；
若不通过，则需重新构造成对比较阵。
这一步的目的是确定各因素或方案的权重。
4.层次总排序及一致性检验：在完成各层次单排序的基础上，计算各层元
素对系统目标的合成权重，并进行总排序。
最后，对排序结果进行一致性检验。
这一步是为了得出各备选方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。
层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法，它将决策者的经验判断与定量分析结合起来，能够有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
在操作过程中，需要注意保持层次结构的清晰和逻辑连贯，同时确保判断矩阵的一致性和准确性。
数学建模(层次分析法(AHP法))
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。 层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面 深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层 次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问 题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建 立一个合理的层次结构。
例1. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析
要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、
政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标 准下的优劣排序。借助这种排序，最终作 出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对 于每个中间标准的优劣排序一般是不一致 的，因此，决策者首先要对这7个标准的重 要度作一个估计，给出一种排序，然后把6 种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出 来，最后把这些信息数据综合，得到针对 总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这 个权重向量，决策就很容易了。
常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一 、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指
在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等。
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
例1. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析
要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、
政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标 准下的优劣排序。借助这种排序，最终作 出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对 于每个中间标准的优劣排序一般是不一致 的，因此，决策者首先要对这7个标准的重 要度作一个估计，给出一种排序，然后把6 种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出 来，最后把这些信息数据综合，得到针对 总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这 个权重向量，决策就很容易了。
常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一 、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指
在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等。
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
决策模型层次分析法
1 3 4
1 1 1 4
B4 1 3 1 1 B5 1 1 1 4
1 4 1 1
4 4 1
(3) max
(3.006, 3.002, 3, 3.009, 3)
权向量矩阵
0.595 0.082 0.429 0.634 0.167 W (3) 0.276 0.236 0.429 0.192 0.167
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个
选 择
1 1/ 2
2
1
旅 A 1/ 4 1/ 7
游 地
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
A~成对比较阵
1 2
1/ 2 1
1/ 3
1
A是正互反阵
3 1 1
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
O(选择旅游地)
C1 景色
C2 费用
的权向量为 w( 2 )
(w1(
2)
,,
w( 2 ) n
)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色) 的成对比较阵
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
…Cn
1 2 5
B1 1/ 2 1
2
1/ 5 1/ 2 1
1 1/ 3 1/8
B 2
3
1
1/ 3
8 3 1
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
成对比较阵和权向量
1 1/ 2 4
成对比较的不一致情况
A
2
1
7
a 1/ 2 (C :C ) 一致比较
12
12
不一致
界定决策问题的主要方法
决策问题界定的主要方法包括类别分析法、类比分析法、假设
分析法和层次分析法。
1. 类别分析法是对问题进行分类的一种方法，主要用于澄清、界定和区分问题情景。
具体操作包含逻辑区分和逻辑归类这两个过程。
2. 类比分析法通过建立类比的标准和模型，比较问题的成因、特征与类别等因素，以发现此问题与其他问题的相似性、相关性、差异性，并以此为基础，对问题的性质和类型进行确认。
3. 假设分析是对与决策问题相关的因素尤其是相互冲突的因
素进行设定，然后进行创造性的综合，以期对问题有一个比较全面的认识。
4. 层次分析主要用于帮助认定问题的三种原因：可能的原因、合理的原因和可行原因。
希望以上信息对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。
层次分析法建模
层次分析法建模层次分析法(AHP)是一种用于多准则决策的定量分析方法，最早由美国学者托马斯·S·萨亚基提出，常用于解决复杂的决策问题。
AHP方法通过构建层次结构模型，并运用专家主观判断与数学计算相结合的方法，评估多个准则的重要性，并最终选择最佳方案。
AHP方法的优势在于，能够将主观因素与客观因素相结合，充分考虑决策者的主观意见，并且能够提供较为可靠的决策结果。
下面将介绍AHP 方法的建模过程。
首先，我们需要明确决策的目标是什么。
然后，将目标拆分成若干个层次，形成一个层次结构。
层次结构通常包括目标层、准则层和方案层。
目标层表示最终的决策目标，准则层表示实现目标所必须满足的准则，而方案层则表示可以选择的方案。
例如，假设我们要购买一辆新车，目标层为“购买一辆适合自己的车”，准则层可以包括“价格”、“品牌口碑”、“性能”等，方案层可以包括“A品牌的小型车”、“B品牌的中型车”等。
接下来，我们需要对每个层次的准则和方案进行两两比较，以确定其重要性。
比较的方法是两两比较矩阵。
对于准则层，我们可以将每个准则之间的重要性按照9点标度进行比较，其中1表示两个准则具有相同的重要性，9表示一个准则比另一个准则重要性高很多。
对于方案层，我们可以将每个方案与每个准则之间的重要性进行比较。
比较的结果可以用一个判断矩阵表示。
然后，我们需要计算每个层次的权重。
对于准则层，我们可以通过计算准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各准则的权重。
对于方案层，我们可以通过计算方案与准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各方案的权重。
最后，我们可以通过计算方案的综合得分来确定最佳方案。
综合得分可以通过将每个方案的权重与各准则的权重相乘并求和得到。
AHP方法的建模过程相对简单，但是需要决策者对各准则和方案之间的重要性进行准确评估。
因此，选择合适的专家和确保专家对决策问题有足够的了解是非常重要的。
总之，层次分析法是一种用于多准则决策的定量分析方法。
多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型
2
程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法 ．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 n 个因素 C1 , C 2 , , C n 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。 採用的方法是：每次取两个因素 C i 和 C j 比较其对目标因素 O 的影响，并用 aij 表示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
分析：
W1 W2 若重量向量 W 未知时， 则可由决策者对物体 M 1 , M 2 , , M n 之间两两相比关系， W n 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致 的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量 W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离 一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向 量 W 也相差不大的道理：由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件） ，但用特征根来求特征向量 时， 应回答充分条件： 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 A 的最大特征根 max n 时， A 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A 的特征根 和特征向量 W 连续逼近一致阵 A 的特征根 和特征向量 W 时，即： 由 lim k
程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法 ．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 n 个因素 C1 , C 2 , , C n 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。 採用的方法是：每次取两个因素 C i 和 C j 比较其对目标因素 O 的影响，并用 aij 表示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
分析：
W1 W2 若重量向量 W 未知时， 则可由决策者对物体 M 1 , M 2 , , M n 之间两两相比关系， W n 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致 的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量 W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离 一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向 量 W 也相差不大的道理：由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件） ，但用特征根来求特征向量 时， 应回答充分条件： 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 A 的最大特征根 max n 时， A 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A 的特征根 和特征向量 W 连续逼近一致阵 A 的特征根 和特征向量 W 时，即： 由 lim k
层次分析法分析(AHP)及实例教程
02
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如 成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市 场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价 指标，如市场份额、创新能力、资源 利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层， 表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、 层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造 判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检 验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一 致性指标RI，判断判断矩阵的一 致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时， 需要对判断矩阵进行调整，包括 调整元素值、重新构造判断矩阵 等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量 和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的 影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指 标，减少主观判断对决策结果的影响。
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如 成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市 场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价 指标，如市场份额、创新能力、资源 利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层， 表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、 层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造 判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检 验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一 致性指标RI，判断判断矩阵的一 致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时， 需要对判断矩阵进行调整，包括 调整元素值、重新构造判断矩阵 等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量 和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的 影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指 标，减少主观判断对决策结果的影响。
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的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
定义一致性指标: CI n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模
拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下
w1
w1
w1
w2
w2
w2
A
w1
w2
的正互反阵A称一致阵，如
wn
wn
w1
w2
w1
wn
w2
wn
wn
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量
• A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对
比较阵A，建议用对应于最大特征根
通过一致 性检验
>> a=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2 ,1,1;1/3,1/5,3,1,1] a = 1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个
选 择
1 1/ 2
2
1
旅 A 1/ 4 1/ 7
游 地
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
A~成对比较阵
1 2
1/ 2 1
1/ 3
1
A是正互反阵
3 1 1
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
O(选择旅游地)
C1 景色
C2 费用
一. 层次分析法的基本步骤
分解
建立
实际问题
多个因素
层次结构
确定 诸因素的相 计算 对重要性
判断
权向量
综合决策
设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量。其线性组合：
y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数。
w1,w2, … wn是权重系数，其满足： wi0 ,
• 将决策问题分为：目标层O，准则层C，方案层P；
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验
最大特征根=5.073
准则层对目标的成对比较阵
0.128 0.682 0.142 0.174 0.667
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地)
目标层
w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
准则层 方案层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
0.595 0.082 0.429 0.634 0.167 W (3) 0.276 0.236 0.429 0.192 0.167
层次分析模型
背 • 日常工作、生活中的决策问题 景 • 涉及经济、社会等方面的因素
• 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)
• AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法
的权向量为 w( 2)
(w1(2) ,
, w ) (2) T n
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色) 的成对比较阵
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
…Cn
1 2 5
B1 1/ 2 1
2
1/ 5 1/ 2 1
1 1/ 3 1/8
B 2
3
1
1/ 3
8 3 1
C1 C2 C3
组公计 织关算 能能机 力力操
作
C4 C5 C6
气身 质高
C7 C8
要求：
1、每队要加上队号；
2、根据结构图建立一个对应聘人员的综合评 价函数。
3、内容包括变量设置、成对比较矩阵，CI、 RI等一致性检验步骤。最后得到的权重向量。
注意组合一致性检验。
…Bn
最大特征根 1
2
… n
权向量
w1(3)
w2(3)
… wn(3)
• 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
（2）考虑第3层对第2层
由1–9尺度得
1 2 5
1 1 3 1 8
1 1 3
B1 1 2
1
2 B2 3
1
1 3
B3
2
1 3
1 5 1 2 1
8 3 1
1 3 1 3 1
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
成对比较阵和权向量
1 1/ 2 4
成对比较的不一致情况
A
21 : C2 ) 一致比较
不一致
a 4 (C :C )
13
13
a 8 (C :C )
23
23
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
W ( 1) w1, w2 , wn
• 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
作业4： 招聘工作人员
某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需 要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由 此建立层次结构如下图所示。
A层
招聘人员综合情况
B层
知识 B1
能力 B2
外表 B3
经外法 济语律 C层 知 知 知 识识识
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
令aij wi / wj
w1
w1
w1 w2
w2
A
w1
w2 w2
w (w1, w2 , wn )T ~ 权向量
wn
wn
w1 w2
w1
wn
w2
wn
wn
wn
成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2, , n
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地)
目标层
w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）
•每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。
例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每
一准则的权重。
0.109
（4）组合一致性检验
0.264 0.476
CI (3) 0.003 0.001 0 0.005 00.054 0.00176
0.098 0.109
RI (3) 0.58 CR(3) 0.016 0.00176 0.019 0.1
0.58
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
（1）成对比较 度）从的x1大,x2小,…，xn按中照任以取下xi标与度xj比给较xi/它xj赋们值对：于y贡献（重要程 xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大” 当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。
0.128 0.682 0.142 0.174 0.667
Aw w
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
定义一致性指标: CI n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模
拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下
w1
w1
w1
w2
w2
w2
A
w1
w2
的正互反阵A称一致阵，如
wn
wn
w1
w2
w1
wn
w2
wn
wn
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量
• A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对
比较阵A，建议用对应于最大特征根
通过一致 性检验
>> a=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2 ,1,1;1/3,1/5,3,1,1] a = 1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个
选 择
1 1/ 2
2
1
旅 A 1/ 4 1/ 7
游 地
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
A~成对比较阵
1 2
1/ 2 1
1/ 3
1
A是正互反阵
3 1 1
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
O(选择旅游地)
C1 景色
C2 费用
一. 层次分析法的基本步骤
分解
建立
实际问题
多个因素
层次结构
确定 诸因素的相 计算 对重要性
判断
权向量
综合决策
设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量。其线性组合：
y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数。
w1,w2, … wn是权重系数，其满足： wi0 ,
• 将决策问题分为：目标层O，准则层C，方案层P；
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验
最大特征根=5.073
准则层对目标的成对比较阵
0.128 0.682 0.142 0.174 0.667
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地)
目标层
w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
准则层 方案层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
0.595 0.082 0.429 0.634 0.167 W (3) 0.276 0.236 0.429 0.192 0.167
层次分析模型
背 • 日常工作、生活中的决策问题 景 • 涉及经济、社会等方面的因素
• 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)
• AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法
的权向量为 w( 2)
(w1(2) ,
, w ) (2) T n
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色) 的成对比较阵
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
…Cn
1 2 5
B1 1/ 2 1
2
1/ 5 1/ 2 1
1 1/ 3 1/8
B 2
3
1
1/ 3
8 3 1
C1 C2 C3
组公计 织关算 能能机 力力操
作
C4 C5 C6
气身 质高
C7 C8
要求：
1、每队要加上队号；
2、根据结构图建立一个对应聘人员的综合评 价函数。
3、内容包括变量设置、成对比较矩阵，CI、 RI等一致性检验步骤。最后得到的权重向量。
注意组合一致性检验。
…Bn
最大特征根 1
2
… n
权向量
w1(3)
w2(3)
… wn(3)
• 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
（2）考虑第3层对第2层
由1–9尺度得
1 2 5
1 1 3 1 8
1 1 3
B1 1 2
1
2 B2 3
1
1 3
B3
2
1 3
1 5 1 2 1
8 3 1
1 3 1 3 1
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
成对比较阵和权向量
1 1/ 2 4
成对比较的不一致情况
A
21 : C2 ) 一致比较
不一致
a 4 (C :C )
13
13
a 8 (C :C )
23
23
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
W ( 1) w1, w2 , wn
• 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
作业4： 招聘工作人员
某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需 要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由 此建立层次结构如下图所示。
A层
招聘人员综合情况
B层
知识 B1
能力 B2
外表 B3
经外法 济语律 C层 知 知 知 识识识
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
令aij wi / wj
w1
w1
w1 w2
w2
A
w1
w2 w2
w (w1, w2 , wn )T ~ 权向量
wn
wn
w1 w2
w1
wn
w2
wn
wn
wn
成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2, , n
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地)
目标层
w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）
•每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。
例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每
一准则的权重。
0.109
（4）组合一致性检验
0.264 0.476
CI (3) 0.003 0.001 0 0.005 00.054 0.00176
0.098 0.109
RI (3) 0.58 CR(3) 0.016 0.00176 0.019 0.1
0.58
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
（1）成对比较 度）从的x1大,x2小,…，xn按中照任以取下xi标与度xj比给较xi/它xj赋们值对：于y贡献（重要程 xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大” 当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。
0.128 0.682 0.142 0.174 0.667