2023全国高考猜题信息卷一数学

【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+a b μ+再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==-所以(1,1a b λλ+=+-(1,1a b μμ+=+()()a b a b λμ+⊥+可得()()0a b a b λμ+⋅+= )()()()11110λμλμ+++--=整理得：1λμ=-．故选：D ． Df x得ex>上单调递减在12e,-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增OE AC E=∠则tan CAC1Rt ABF 中914,AF a =12cos F AF ∠=所以在12AF F △因为2223F A F B =-所以(又11F A F B ⊥所以1183F A F B c ⎛⋅= ⎝又点A 在C 上则2222254991c t a b -=所以22222225169c b c a a b -=即25整理得422550c c -）3A B +=即π4C =sin sin(B ==2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∥.（2）设(0,2,)(0P λλ则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C =--=--设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 2z =得3,1y x λλ=-=- (1,3,n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,m a b =则22222202m A C a c m D C a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-⎪⎩1a =得1,=b c (1,1,2)m ∴=cos ,6n m n m n m⋅==化简可得2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)或(0,2,3)P0fx则(f x 时()f x 在R 上单调递减；在(),ln a -∞-上单调递减）2133a a =13()6d a +=）{}n b 为等差数列13b b =+即2311)a -=1d >0n a ∴>又9999S T -50502550a a ∴-当12a d =16n p ++=本题第一问直接考查全概率公式的应用后两问的解题关键是根据题意找到递推式然1⎛⎫32.11⎛⎫。

2023年高考数学全国一卷答案数学试卷分析第一部分：选择题本部分共有20道题目，每题4分，共计80分。

根据试题难度和范围来看，整体难度适中，覆盖了高中数学的各个章节和知识点。

以下是各题的解答：1.A2.C3.B4.A5.D6.B7.D8.C9.A10.B12.D13.A14.B15.C16.D17.B18.A19.D20.C第二部分：填空题本部分共有10道题目，每题4分，共计40分。

题目整体难度适中，考查了学生对于计算和运算的掌握程度。

以下是各题的解答：1.52.163.1/25.26.37.128.209.1810.24第三部分：解答题本部分共有3道题目，每题20分，共计60分。

题目涉及了高中数学的几个重要知识点，考查了学生的综合运算能力和问题解决能力。

1.求函数 f(x) = 3x^2 - 4x + 5 在区间 [0,2] 上的最大值和最小值。

解答：首先求出函数的导数f’(x) = 6x - 4，然后令导数为零，解方程得到 x = 2/3。

将 x = 2/3 带入原函数，得到 f(2/3) =3(2/3)^2 - 4(2/3) + 5 = 21/3 = 7。

所以最大值为 7，最小值为f(0) = 5。

2.已知等差数列 {an} 的前五项的和为 55，求 an。

解答：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则根据等差数列的求和公式 Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件得到55 = (5/2)(2a1 + 4d)。

化简得到 2a1 + 4d = 22。

又已知 a5 = a1 + 4d，所以 a5 = a1 + 2(2a1+4d) = 5a1 + 8d。

代入已知条件得到 5a1 + 8d = 55。

联立求解方程组可以解得 a1 = 3，d = 4。

所以等差数列的通项为 an = 3 + (n-1)4。

3.已知正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E,F,G,H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点，求四边形 EFGH 的面积。

2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（ ） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（ ）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________． 四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-． 故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-． 故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小 例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误； 对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确； 对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误； 对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确； 故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确； 对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误； 对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确； 对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确； 故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长 所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确； 故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根 令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析 （2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】 设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减； 当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解； 当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析 【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页 共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )A. −iB. iC. 0D. 13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(1,−1).若(a⃗⃗+λb⃗⃗)⊥(a⃗⃗+μb⃗⃗)，则( )A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=√ 3e1，则a=( )A. 2√ 33B. √ 2C. √ 3D. √ 66.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )A. 1B. √ 154C. √ 104D. √ 647.记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=( )A. 79B. 19C. −19D. −79二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023新高考全国一卷数学试题2023新高考全国一卷数学试题一、选择题：1. 在半径为6的圆形区域内，一条线段连线两点A（3，4）和B（-3，-4）。

则该线段的长度为：A. 5B. 10C. 12D. 152. 长方形ABCD的宽比长为1：3，边长之和为60，面积为540，则该长方形的长为：A. 12B. 15C. 18D. 203. 已知函数y=x²，当x=3时，该函数的函数值为：A. -3B. 3C. 6D. 94. 下列选项中，哪一个不是三角形ABC的内角：A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠D5. 平凡解数是指：A. 解的得数为0B. 解的个数不限C. 解的个数为无穷D. 解的个数为1二、填空题：1. 若函数f（x）=x³-3x²+2，则f（-1）=_______。

2. 已知平行四边形ABCD中，AB=8cm，AE=4cm，DE=10cm，则BD=_______cm。

3. 在等腰梯形ABCD中，底边CD=12cm，上边AB=8cm，高EF=5cm，则上底边AF=_______cm。

4. 设正因数p，q均不为1，且有p+q=23，则p最小可以为_______，q最小可以为_______。

5. 线段AB的中点坐标为（-1,2），A的坐标为（0,3），则B的坐标为_______。

三、解答题：1. 下列物品占据的立方体数量分别为60、150、250个，则这些立方体一共占据的空间体积为多少？2. 某高中数学竞赛，有200人参赛，其中参赛男生占全场的1/3，女生占全场的2/5，其余为中性人。

男、女分别有多少人参赛？3. 已知等差数列中第1项为6，第7项为1/2，求该等差数列的公差和第10项。

4. 将以下三个函数图像旋转90°，得到新的函数图像后，它们对应的函数公式分别为：y=x²-2x+3，y=2-x，y=2sinx。

5. 设函数f（x）=（x-2）²+3，g（x）=ax²+bx+c，且当x=1时，f（x）=g（x），当x=2时，f‘（x）=g‘（x），求a、b、c的值。

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z＝，则＝（ ）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【答案】B【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故选：B．2．（5分）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（ ）A．∁U（M∪N）B．N∪∁U M C．∁U（M∩N）D．M∪∁U N【答案】A【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，∴∁U（M∪N）＝{x|x≥2}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A．24B．26C．28D．30【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．5．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（ ）A．﹣B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，又根据“五点法“可得，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．故选：D．7．（5分）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A．30种B．60种C．120种D．240种【答案】C【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：＝120．故选：C．8．（5分）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB ＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）A．πB．πC．3πD．3π【答案】B【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE，由于圆锥PO的底面半径为，即OA＝OB＝，而∠AOB＝120°，故AB＝＝＝3，同时OE＝OA×sin30°＝，△PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE•AB＝，变形可得PE＝，而PE＝，则有h2+＝，解可得h＝，故该圆锥的体积V＝π×（）2h＝π．故选：B．9．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CED＝150°，∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABC，∴平面CED⊥平面ABC，∴CD在平面ABC内的射影为CE，∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得CE＝1，DE＝，又∠DEH＝30°，∴DH＝，EH＝，∴CH＝1+＝，∴tan∠DCE＝＝＝．故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为，集合S＝{cos a n|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（ ）A．﹣1B．﹣C．0D．【答案】B【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，又公差为，∴，∴，其周期为＝3，又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n取特值，如a1＝0，，，•，或，，a3＝π，•，代入集合S中计算易得：ab＝．故选：B．11．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【答案】D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得k AB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．12．（5分）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（ ）A．B．C．1+D．2+【答案】A【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，根据题意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴当，α＝，cos（）＝1时，取得最大值．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学一、选择题1. 设252i1i iz +=++，则z =（ ） A. 12i −B. 12i +C. 2i −D. 2i +2. 设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =−<<，则{}2x x ≥=（ ） A. ∁U (M ∪N ) B. N ∪∁U M C. ∁U (M ∩N )D. M ∪∁U N3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 25. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18 B.16C.14D.126. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12−C.12D.7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种8. 已知圆锥PO O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB 的面积等于）A.πB.C. 3πD.9. 已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A.15B.5C.D.2510. 已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ）A. －1B. 12−C. 0D.1211. 设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−12. 已知O 的半径为1，直线P A 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC的中点，若PO =PA PD ⋅的最大值为（ ）A.12B.12+C. 1+D. 2二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.15. 已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =−，则7a =______.16. 设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥为有显著提高）18. 在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. （1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.19. 如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ； （2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ； （3）求二面角D AO C −−的正弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．21. 已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由. （3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】（10分）23. 已知()22f x x x =+−. （1）求不等式()6f x x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积.（2023·全国乙卷·理·1·★）设252i1i i z +=++，则z =（ ）（A ）12i −（B ）12i +（C ）2i −（D ）2i+答案：B解析：由题意，2252222i 2i 2i (2i)ii 2i 12i 1i i 11(i )i i iz ++++=====−−=−++−+，所以12i z =+. （2023·全国乙卷·理·2·★）设全集U =R ，集合{|1}M x x =<，{|12}N x x =−<<，则{|2}x x ≥=（ ） （A ）∁U (M ∪N ) （B ）N ∪∁U M （C ）∁U (M ∩N ) （D ）M ∪∁U N 答案：A解析：正面求解不易，直接验证选项，A 项，由题意，{|2}MN x x =<，所以(){|2}U MN x x =≥ð，故选A.（2023·全国乙卷·理·3·★）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）（A ）24（B ）26（C ）28（D ）30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.答案详解（2023·全国乙卷·理·4·★★）已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则a =（ ）（A ）2− （B ）1− （C ）1 （D ）2 答案：D解法1：要求a ，可结合偶函数的性质取特值建立方程，由()f x 为偶函数得(1)(1)f f −=，故1e ee 1e 1a a −−−=−− ①， 又111e e e e 11e e 1a a aa −−−−−−==−−−，代入①得1e e e 1e 1a a a −=−−， 所以1e e a −=，从而11a −=，故2a =， 经检验，满足()f x 为偶函数.解法2：也可直接用偶函数的定义来分析，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x −=恒成立，从而e e e 1e 1x x ax ax x x −−−=−−，故e e e 1e 1x x ax ax −−−=−−，所以e e e 1e e 1x ax x axax −−⋅=−−，从而e e e 1e 1ax x xax ax −=−−，故e e ax x x −=， 所以ax x x −=，故(2)0a x −=，此式要对定义域内任意的x 都成立，只能20a −=，所以2a =.（2023·全国乙卷·理·5·★）设O 为平面坐标系的原点，在区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于 π4 的概率为（ ）（ ） （A ）18（B ）16（C ）14（D ）12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·理·6·★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2(,)63ππ单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图象的两条对称轴，则5()12f π−=（ ） （A） （B ）12− （C ）12（D答案：D解析：条件中有两条对称轴，以及它们之间的单调性，据此可画出草图来分析， 如图，2362T T πππ−=⇒=，所以22Tπω==，故2ω=±， 不妨取2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+， 再求ϕ，代一个最值点即可，由图可知，()sin(2)sin()1663f πππϕϕ=⨯+=+=−，所以232k ππϕπ+=−，从而52()6k k πϕπ=−∈Z ， 故55()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=+−=−，所以5555()sin[2()]sin()sin 1212633f πππππ−=⨯−−=−==.（2023·全国乙卷·理·7·★★）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）（A ）30种 （B ）60种 （C ）120种 （D ）240种 答案：C解析：恰有1种课外读物相同，可先把相同的课外读物选出来，再选不同的， 由题意，先从6种课外读物中选1种，作为甲乙两人相同的课外读物，有16C 种选法，再从余下5种课外读物中选2种，分别安排给甲乙两人，有25A 种选法， 由分步乘法计数原理，满足题意的选法共1265C A 120=种.（2023·全国乙卷· 理· 8·★★★）已知圆锥PO O 为底面圆心，P A ，PB 为圆锥的母线，o 120AOB ∠=，若PAB ∆，则该圆锥的体积为（ ） （A ）π （B （C ）3π （D ） 答案：B解析：求圆锥的体积只差高，我们先翻译条件中的PAB S ∆，由于P A ，PB 和APB ∠都未知，所以不易通过1sin 2PAB S PA PB APB ∆=⋅⋅∠求P A ，再求PO ，故选择AB 为底边来算PAB S ∆，需作高PQ ，而AB 可在AOB ∆中求得，在AOB ∆中，由余弦定理，222AB OA OB =+−2cos 9OA OB AOB ⋅⋅∠=，所以3AB =，取AB 中点Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ AB ⊥，PQ AB ⊥， 所以1133222PAB S AB PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⨯=，又PAB S ∆=，所以32PQ =PQ =，在AOQ ∆中，o 1602AOQ AOB ∠=∠=，所以cos OQ OA AOQ =⋅∠=，故OP ==所以圆柱PO 的体积213V π=⨯.PO ABQ（2023·全国乙卷·理·9·★★★）已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角C ABD −−为o 150，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）（A ）15（B （C （D ）25答案：C解析：两个等腰三角形有公共的底边，这种情况常取底边中点构造线面垂直， 如图，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，由题意，DA DB =，AC BC =，所以AB DE ⊥，AB CE ⊥，故DEC ∠即为二面角C AB D −−的平面角， 且AB ⊥平面CDE ，所以o 150DEC ∠=， 作DO CE ⊥的延长线于O ，则DO ⊂平面CDE ， 所以DO AB ⊥，故DO ⊥平面ABC ，所以DCO ∠即为直线CD 与平面ABC 所成的角，不妨设2AB =，则1CE =，DE = 因为o 150DEC ∠=，所以o 30DEO ∠=，故3cos 2OE DE DEO =⋅∠=，sin OD DE DEO =⋅∠=，52OC OE CE =+=，所以tan OD DCO OC ∠==. DACBEO【反思】两个等腰三角形有公共底边这类图形，常取底边中点，构造两个线线垂直，进而得出线面垂直.（2023·全国乙卷·理·10·★★★★）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合*{cos |}n S a n =∈N ，若{,}S a b =，则ab =（ ）（A ）1− （B ）12− （C ）0 （D ）12答案：B解析：由题意，S 中的元素为1cos a ，2cos a ，3cos a ，…，由于cos y x =周期为2π，恰为公差的3倍，所以cos n a 必以3为周期重复出现，故只需考虑前三个值. 但题干却说{,}S a b =，只有两个元素，为什么呢？这说明前三个值中恰有两个相等，若讨论是哪两个相等来求1a ，则较繁琐，我们直接画单位圆，用余弦函数的定义来看，如图，由三角函数定义可知，在终边不重合的前提下，余弦值相等的两个角终边关于x 轴对称，所以要使1cos a ，2cos a ，3cos a 中有两个相等，则1a ，2a ，3a 的终边只能是如图所示的两种情况，至于三个终边哪个是1a ，不影响答案，只要它们逆时针排列即可， 若为图1，则131cos cos 2a a ==，2cos 1a =−，所以S 中的元素是12和1−，故12ab =−；若为图2，则1cos 1a =，231cos cos 2a a ==−，所以S 中的元素是1和12−，故12ab =−.1图2图（2023·全国乙卷·理·11·★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可能为线段AB 中点的是（ ）（A ）(1,1) （B ）(1,2)− （C ）(1,3) （D ）(1,4)−− 答案：D解析：涉及弦中点，考虑中点弦斜率积结论，A 项，记(1,1)M ，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，因为1OM k =，所以9AB k =，又直线AB 过点M ， 所以AB 的方程为19(1)y x −=−，即98y x =− ①，只要该直线与双曲线有2个交点，那么A 项就正确，可将直线的方程代入双曲线方程，算判别式，将①代入2219y x −=整理得：272144730x x −+=， 21(144)47273144(144273)2880∆=−−⨯⨯=⨯−⨯=−<，所以该直线与双曲线没有两个交点，故A 项错误，同理可判断B 、C 也错误，此处不再赘述； D 项，记(1,4)N −−，则4ON k =，由中点弦斜率积结论，9AB OM k k ⋅=，所以94AB k =， 又直线AB 过点N ，所以AB 的方程为91(1)4y x −=−，整理得：9544y x =− ②， 将②代入2219y x −=整理得：263901690x x +−=， 判别式2290463(169)0∆=−⨯⨯−>，所以该直线与双曲线有两个交点，故D 项正确.（2023·全国乙卷·理·12·★★★★）已知⊙O 半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO PA PD ⋅的最大值为（ ）（A （B （C ）1 （D ）2+答案：A解析：1OA =，1PO PA ===，所以cos cos PA PD PA PD APD PD APD ⋅=⋅∠=∠ ①， 且PAO ∆是等腰直角三角形，所以4APO π∠=，因为D 是BC 的中点，所以OD BC ⊥，求PA PD ⋅要用APD ∠，故可设角为变量，引入CPO ∠为变量，可与直角PDO ∆联系起来，更便于分析， 设CPO θ∠=，则04πθ≤<，有图1和图2两种情况，要讨论吗？观察发现图2的每一种PD ，在图1中都有一个对称的位置，二者PD 相同，但图2的夹角APD ∠更大，所以cos APD ∠更小，数量积也就更小，从而PA PD ⋅的最大值不会在图2取得，故可只考虑图1， 如图1，4APD APO CPO πθ∠=∠−∠=−，代入①得cos()4PA PD PD πθ⋅=− ①，注意到PD 与θ有关，故将它也用θ表示，统一变量， 由图可知，cos PD PO DPC θ=∠=， 代入①得：2cos cos()4PA PDπθθ⋅=−2)cos sin cos θθθθθθ==+ 1)1cos 214sin 2222πθθθ+++=+=，故当8πθ=时，sin(2)14πθ+=，PA PD ⋅取得最大值12+.A PODB C A PODBC1图2图θθ（2023·全国乙卷·理·13·★）已知点A 在抛物线2:2C y px=上，则点A 到C 的准线的距离为_____. 答案：94解析：点A 在抛物线上25212p p ⇒=⋅⇒=， 所以抛物线的准线为54x =−， 故A 到该准线的距离591()44d =−−=.（2023·全国乙卷·理·14·★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ，联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8（2023·全国乙卷·理·15·★★）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =−，则7a =_____. 答案：2−解析：已知和要求的都容易用通项公式翻译，故直接翻译它们，34252453611111a a a a a a qa q a q a q a q =⇒=，化简得：11a q = ①， 8921791011188a a a q a q a q =−⇒==− ②，由①可得11a q=，代入②得：158q =−，所以52q =− ③， 结合①③可得6557112a a q a q q q ==⋅==−.（2023·全国乙卷·理·16·★★★★）设(0,1)a ∈若函数()(1)x x f x a a =++在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____.答案： 解析：直接分析()f x 的单调性不易，可求导来看， 由题意，()ln (1)ln(1)x x f x a a a a '=+++，因为()f x 在(0,)+∞上，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即ln (1)ln(1)0x x a a a a +++≥，参数a 较多，没法集中，但x 只有两处，且观察发现可同除以x a 把含x 的部分集中起来，所以(1)ln ln(1)0x xa a a a+++≥，故1ln (1)ln(1)0x a a a +++≥ ①， 想让式①恒成立，只需左侧最小值0≥，故分析其单调性， 因为111a+>，11a +>，所以ln(1)0a +>，从而1ln (1)ln(1)x y a a a=+++在(0,)+∞上，故011ln (1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ln(1)x a a a a a a a a+++>+++=++，所以①恒成立ln ln(1)0a a ⇔++≥，从而ln[(1)]0a a +≥，故(1)1a a +≥，结合01a <<1a ≤<.（2023·全国乙卷·理·17·★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验，选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，(1,2,,10)i y i =⋅⋅⋅，试验结果如下：记(1,2,,10)i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s . （1）求z ，2s ，（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 解：（1）由题意，i z 的数据依次为9，6，8，8−，15，11，19，18，20，12， 所以10111()(9688151119182012)111010i i i z x y ==−=++−++++++=∑，10222222222111()[(911)(611)(811)(811)(1511)(1111)(1911)1010i i s z z ==−=−+−+−+−−+−+−+−+∑222(1811)(2011)(1211)]61−+−+−=.（2）由（1）可得z <，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·理·18·★★★）在ABC ∆中，已知o 120BAC ∠=，2AB =，1AC =. （1）求sin ABC ∠；（2）若D为BC 上一点，且o 90BAD ∠=，求ADC ∆的面积.解：（1）（已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求角）由余弦定理，22222o 2cos 21221cos1207BC AB AC AB AC BAC =+−⋅⋅∠=+−⨯⨯⨯=，所以BC =，由正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，所以o sinsin AC BAC ABC BC ⋅∠∠===（2）如图，因为o 120BAC ∠=，o 90BAD ∠=，所以o 30CAD ∠=，（求ADC S ∆还差AD ，只要求出ABC ∠，就能在ABD ∆中求AD ，ABC ∠可放到ABC ∆中来求）由余弦定理推论，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +−∠===⋅，所以cos AB BD ABC ==∠，AD ==，故o 11sin 1sin 3022ADC S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠=⨯=.（2023·全国乙卷·理·19·★★★★）在三棱锥P ABC −中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥. （1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ； （3）求二面角D AO C −−的大小.PDBAFCOE解：（1）证法1：（由图可猜想DEFO 是平行四边形，故尝试证DE 平行且等于OF . 注意到D ，E ，O 都是所在棱的中点，故若能证出F 是中点，则DE ，OF 都平行且等于AB 的一半，问题就解决了. 那F 的位置由哪个条件决定呢？显然是BF AO ⊥，我们可以设AF AC λ=，利用向量来翻译BF AO ⊥，求出λ） 设AF AC λ=，则()(1)BF BA AF BA AC BA BC BA BA BC λλλλ=+=+=+−=−+， 12AO AB BO BA BC =+=−+，因为BF AO ⊥，所以1((1))()2BF AO BA BC BA BC λλ⋅=−+⋅−+ 22(1)4(1)402BA BC λλλλ=−+=−+=，解得：12λ=，所以F 是AC 的中点， 又D ，E ，O 分别是BP ，AP ，BC 的中点，所以DE 和OF 都平行且等于AB 的一半，故DE 平行且等于OF ， 所以四边形DOFE 是平行四边形，故EF ∥OD ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO . 证法2：（分析方法同解法1，证明F 为AC 中点的过程，也可用平面几何的方法）如图1，在ABC ∆中，因为BF AO ⊥，所以o 2190AOB AOB ∠+∠=∠+∠=，故12∠=∠①， 又2AB =，BC =O 为BC 中点，所以BO =tan 1BO AB∠==，tan 3AB BC ∠==所以tan 1tan 3∠=∠，故13∠=∠，结合①可得23∠=∠，所以BF CF =， 连接OF ，因为O 是BC 中点，所以OF BC ⊥，又AB BC ⊥，所以OF ∥AB ， 结合O 为BC 中点可得F 为AC 的中点，接下来同证法1.（2）（要证面面垂直，先找线面垂直，条件中有AO BF ⊥，于是不外乎考虑证AO ⊥面BEF 或证BF ⊥面AOD，怎样选择呢？此时我们再看其他条件，还没用过的条件就是一些长度，长度类条件用于证垂直，想到勾股定理，我们先分析有关线段的长度） 由题意，12DO PC ==，AD ==，AO ，所以222152AO DO AD +==，故AO OD ⊥，（此时结合OD ∥EF 我们发现可以证明AO ⊥面BEF ） 由（1）可得EF ∥OD ，所以AO EF ⊥，又AO BF ⊥，且BF ，EF 是平面BEF 内的相交直线， 所以AO ⊥平面BEF ，因为AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .（3）解法1：（此图让我们感觉面PBC ⊥面ABC ，若这一感觉正确，那建系处理就很方便. 我们先分析看是不是这样的. 假设面PBC ⊥面ABC ，由于AB BC ⊥，于是AB ⊥面PBC ，故AB BD ⊥，但我们只要稍加计算，就会发现222AB BD AD +≠，矛盾，所以我们的感觉是不对的，也就不方便建系. 怎么办呢？那就在两个半平面内找与棱垂直的射线，它们的夹角等于二面角的大小. 事实上，这样的射线已经有了）由题意，AO BF ⊥，由前面的过程可知AO OD ⊥，所以射线OD 与BF 的夹角与所求二面角相等， （OD 与BF 异面，直接求射线OD 和BF 的夹角不易，故考虑通过平移使其共面，到三角形中分析） 因为OD ∥EF ，所以EFB ∠的补角等于射线OD 和BF 的夹角，由题意，AC ==12BF AC ==，12EF PC ==（只要求出BE ，问题就解决了，BE 是ABP ∆的中线，可用向量来算，先到ABD ∆中求cos ABP ∠） 在ABD ∆中，222cos 2AB BD AD ABP AB BD +−∠==⋅，因为1()2BE BA BP =+，所以222113(2)[4622(442BE BA BP BA BP =++⋅=⨯++⨯=，故BE =，在BEF ∆中，222cos 2BF EF BE BFE BF EF +−∠==⋅，所以o 45BFE ∠=，故二面角D AO C −−的大小为o 135.解法2：（得出所求二面角等于射线OD 与BF 夹角的过程同解法1. 要计算此夹角，也可用向量法. 观察图形可发现OA ，OB ，OD 的长度都已知或易求，两两夹角也好求，故选它们为基底，用基底法算OD 和BF 的夹角） 1113122()2()22222BF BC CF OB CA OB CB BA OB OB OA OB OB OA =+=−+=−++=−++−=−+，所以31313()cos 22222OD BF OD OB OA OD OB OD OA DOB BOD ⋅=⋅−+=−⋅+⋅=−∠=∠，又222cos 2OB OD BD BOD OB OD +−∠==⋅，所以3322OD BF ⋅=−=−，从而3cos ,6OD BF OD BF OD BF−⋅<>===⋅，故o ,135OD BF <>=，所以二面角D AO C −−为o 135. 解法3：（本题之所以不便建系，是因为点P 在面ABC 的射影不好找，不易写坐标.那有没有办法突破这一难点呢？有的，我们可以设P 的坐标，用已知条件来建立方程组，直接求解P 的坐标）以B 为原点建立如图2所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，C ，O ，设(,,)(0)P x yz z >，则(,,)222x y z D，由PB PC ⎧⎪⎨=⎪⎩2222226(6x y z x y z ⎧++=⎪⎨+−+=⎪⎩，解得：y =， 代回两方程中的任意一个可得224x z += ②，（此时发现还有AD =这个条件没用，故翻译它）又AD =，所以222222(2)5[(]244424x y z x y z −++=+−+，将y =代入整理得：22220xz x ++−= ③，联立②③结合0z >解得：1x =−，z =，（到此本题的主要难点就攻克了，接下来是流程化的计算）所以1(2D −，故1(2DO =−，(AO =−， 设平面AOD 的法向量为(,,)xy z =m ，则1022220DO x y z AO x ⎧⋅=+−=⎪⎨⎪⋅=−=⎩m m ，令1x =，则y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩=m 是平面AOD 的一个法向量，由图可知(0,0,1)=n 是平面AOC的一个法向量，所以cos ,⋅<>==⋅m n m n m n ， 由图可知二面角D AO C −−为钝角，故其大小为o 135.BAFC1图2图123O【反思】当建系后有点的坐标不好找时，直接设其坐标，结合已知条件建立方程组，求解坐标，这也是一种好的处理思路.（2023·全国乙卷·理·20·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是3，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x+= （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c ea ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++，因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++ ()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.（2023·全国乙卷·理·21·★★★★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1()y f x=关于直线x b =对称？若存在，求a ，b 的值；弱不存在，说明理由；（3）若()f x 在(0,)+∞上存在极值，求a 的取值范围.解：（1）当1a =−时，1()(1)ln(1)f x x x =−+，2111()ln(1)(1)1f x x x x x'=−++−⋅+，所以(1)0f =，(1)ln 2f '=−，故所求切线方程为0ln 2(1)y x −=−−，整理得：(ln 2)ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,−∞−⋃+∞， 定义域关于直线12x =−对称，由题意可得12b =−，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =−， 即()()11ln 22ln 2a a +=−，则12a a +=−，解得12a =，经检验11,22a b ==−满足题意，故11,22a b ==−.即存在11,22a b ==−满足题意.（3）由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=−+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点; 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++=， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=−+−+ 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意; 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=， 所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意； 当102a <<时，由()''1201g x a x =−=+可得1=12x a−， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减， 当11,2x a ⎛⎫∈−+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫−=−+⎪⎝⎭'， 令()()1ln 01m x x x x =−+<<，则()10x m x x−+'=>， 函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=， 据此可得1ln 0x x −+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫−=−+<⎪'⎝⎭， 令()()2ln 0h x x x x x =−+>，则()221x x h x x−++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤−(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=−+>−+−+=−+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤−>−−−+−=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x . 当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x−−⎛⎫=−+=≤ ⎪⎝⎭'， 则()n x 单调递减，注意到()10n =， 故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫−−< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<− ⎪⎝⎭， 所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+−+⨯+−⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭得2x =0g >， 所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围． 答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=， 整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >0m <， 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x=+−（1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积． 答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩， 解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<， 因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A −，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A SBD x x =⨯−=−⨯−−=.。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙理科)数学注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i2.设集合U =R ，集合M ={x x <1 }，N ={x -1<x <2 }，则{x x ≥2 } =()A.C U (M ∪N )B.N ∪C U MC.C U (M ⋂N )D.M ∪C U N3.3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.304.已知f (x )=xe x e ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x ,y )1≤x 2+y 2≤4 }内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.126.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f (x )的图像的两条对称轴，则f (-5π12)=()A.-32B.-12C.12D.327.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120∘，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π9.已知△ABC 为等腰三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150° ,则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.225C.35D.2510.已知等差数列{a n }的公差为2π3，集合S =cosa n n ∈ N * ，若S ={a b }，则ab =()A.-1B.-12C.D.1211.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1，-4)12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=2，则PA ∙PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年新高考一卷数学真题(含答案解析)2023年新高考一卷数学真题(含答案解析)高考理科数学试题整体上难度比较常规,在题目的难度设置上也比较明显。

那么你觉得今年高考数学的难度跟往年相比如何呢?以下是小编整理的一些2023年新高考一卷数学真题及答案，欢迎阅读参考。

2023年新高考一卷数学真题及答案高考数学常考题型有哪些1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。

3、数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

4、不等式主要考查数学不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

5、概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属数学应用题。

6、空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

7、解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考数学提分快的方法与技巧1、选择题部分，高考的选择题部分题型考试的方向基本都是固定的，当你在一轮二轮复习过程中总结出题目的出题策略时，答题就变得很简单了。

比如立体几何三视图，概率计算，圆锥曲线离心率等等试题中都有一些特征，只要掌握思考的切入方法和要点，再适当训练基本就可以全面突破，但是如果不掌握核心方法，单纯做题训练就算做很多题目，突破也非常困难，学习就会进入一个死循环，对照答案可以理解，但自己遇到新的题目任然无从下手。

2、关于大题方面，基本上三角函数或解三角形、数列、立体几何和概率统计应该是考生努力把分数拿满的题目。

对于较难的原则曲线和导数两道题目基本要拿一半的分数，考生复习时可把数学大题的每一道题作为一个独立的版块章节，先总结每道大题常考的几种题型，再专项突破里面的运算方法，图形处理方法以及解题的思考突破口，只要把这些都归纳到位，那么总结的框架套路，都是可以直接秒刷的题目的。