浙江省高考数学猜题卷(理科)

一、单选题二、多选题1. 已知为锐角，且，则=（ ）A．B．C．D．2. 函数（b ＞0，a ∈R）在点处的切线斜率的最小值是（ ）A ．2B．C．D ．13. 已知平行四边形中，点为的中点，， （），若，则（ ）A ．1B ．2C．D．4. 已知函数满足，且，则（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25.已知侧棱长为的正四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，且球心在底面正方形上，则球的表面积为（ ）A．B．C．D ．6.下列只有一个是函数的导函数的图象，则（）A．B．C．D ．或7. 已知外接圆面积为，，则周长的最大值为（ ）A．B．C ．3D．8. 已知，，若，则（ ）A ．1B．C．D．9. 已知向量，满足，，且，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．或D．与的夹角为45°10. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）A ．等差数列，若，则B ．等比数列，若，则C．若为数列前n 项和，则，仍为等差数列D．若为数列前n 项和，则，仍为等比数列11. 下列函数，在区间上单调递增的是（ ）2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷四） (2)2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷四） (2)三、填空题四、解答题A．B．C．D．12. 已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D ．的真子集个数是713. 双曲线的左右焦点分别为，，过作直线与双曲线有唯一交点，若 ，则该双曲线的离心率为 ___________ .14. 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为____________．15.长方体的个顶点都在球的表面上，为的中点，，，异面直线与所成角的余弦值为，且四边形为正方形，则球的体积为__________．16. 为一正四棱柱，过三点作一截面，求证：截面对角面．17. 如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．18. 某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p ，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X ．(1)若，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y 的分布列；(2)已知，集合{概率最大}，且A 中仅有两个元素，求．19.已知函数；(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若正数a 使得对恒成立.求a 的取值范围；(3)设函数，讨论其在定义域内的零点个数．20.如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.21. 2022年11月21日到12月18日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某机构将关注这件赛事中40场比赛以上的人称为“足球爱好者”，否则称为“非足球爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：足球爱好者非足球爱好者合计女2050男15合计100(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为足球爱好与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“足球爱好者”和“非足球爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“足球爱好者”的概率．附：，其中．。

WORD 完满格式2017 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50 分）1.(2017年浙江)已知会合P={x|-1 ＜ x＜ 1} ， Q={0＜ x＜ 2} ，那么 P∪Q=（）A．（ 1， 2）B．（ 0， 1）C．（ -1 ， 0）D．（ 1， 2）【分析】利用数轴，取P， Q全部元素，得P∪Q=（ -1 ， 2） .2. (2017年浙江 ) 椭圆x2y2）+=1 的离心率是（9413525A．3B．3C．3D．99-452.B 【分析】 e= 3=3.应选 B．3. (2017 年浙江 ) 某几何体的三视图如下图（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）（第 3 题图）A．1B．3C．31 D ．3322223. A 【分析】依据所给三视图可复原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所1π×12 1π以，几何体的体积为V=3×3×（2+2×2×1） = 2 +1. 应选 A.x≥0，4. (2017年浙江)若x，y知足拘束条件x+y- 3≥0，则 z=x+2y 的取值范围是（）x- 2y≤0，WORD 完满格式A． [0 ， 6]B． [0 ， 4]C． [6 ，+∞）D．[4，+∞）4. D【分析】如图，可行域为一开放地区，所以直线过点(2,1) 时取最小值4，无最大值，选 D．5. (2017 年浙江 ) 若函数f2M，最小值是m，则 M–( x)= x + ax+b在区间 [0 ， 1] 上的最大值是（）mA．与a相关，且与b相关B．与a相关，但与b没关C．与a没关，且与b没关D．与a没关，但与b相关a a25. B【分析】由于最值 f （ 0）=b， f （ 1） =1+a+b，f （ - 2） =b- 4中取，所以最值之差必定与 b 没关 . 应选 B.6.(2017 年浙江 ) 已知等差数列 { a n} 的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件6. C【分析】由S4+ S6-2 S5=10a1+21d-2（5a1+10d）=d，可知当d＞0时，有S4+S6-2S5＞0，即 S4+ S6>2S5，反之，若S4+ S6>2S5，则d＞0，所以“ d>0”是“ S4+ S6>2S5”的充要条件，选 C．7. (2017年浙江)函数y=f(x)的导函数y=f ′（ x）的图象如下图，则函数y=f ( x)的图象可能是（）（第 7 题图）7. D【分析】原函数先减再增，再减再增，且x=0 位于增区间内 . 应选 D.1 8.(2017 年浙江 ) 已知随机变量ξi知足P（ξi =1）=p i，P（ξi =0）=1–p i，i =1，2．若 0<p1<p2<2，则（）E ξ E ξ D ξ D ξ2)B E ξ E ξ D ξ D ξ2)A． (1)＜(2)，(1)＜(． (1)＜(2)，(1)＞(E ξ E ξ D ξ D ξ2)D E ξ E ξ D ξ D ξ2)C． (1)＞(2)，(1)＜(． (1)＞(2)，(1)＞(8. A 【分析】∵E( ξ1)= p1，E( ξ2)= p2，∴E( ξ1) ＜E( ξ2) ，∵D( ξ1 )= p1(1- p1) ，D( ξ2)= p2(1- p2) ，∴D(ξ1)- D(ξ2)=( p1- p2)(1- p1- p2)＜0.应选A．9.(2017 年浙江 ) 如图，已知正四周体D–ABC（全部棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别BQ CR为 AB， BC， CA 上的点， AP=PB，= =2，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–PQC RA的平面角为α，β，γ，则（）（第 9 题图）A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α9.B 【分析】设 O为三角形 ABC中心，则 O 到 PQ距离最小， O到 PR距离最大， O到 RQ10.(2017 年浙江 ) 如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝ 2，CD＝ 3，AC与BD→→→→→→）交于点 O，记I1=OA·OB，I2=OB·OC，I3=OC·OD，则（（第 10 题图）A．I 1＜I 2＜I 3 B ．I 1＜I 3＜I 2C．I 3＜I 1＜I 2D．I 2＜I 1＜I 310. C 【分析】由于∠ AOB=∠COD＞90°， OA＜ OC，OB＜ OD，所以→·→＞ 0＞→·→＞OB OC OA OB→→OC ·OD . 应选 C.非选择题部分（共100 分）11. (2017年浙江 ) 我国古代数学家刘徽创办的“割圆术”能够估量圆周率π，理论上能把π 的值计算到随意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π 的值精准到小数点后七位，其结果当先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S ，6 S6=．33【分析】将正六边形切割为 6 个等边三角形，则S =6×（111.22×1×1×sin 60 °）63 3=．212. (2017年浙江 ) 已知a，b∈R，（ a+bi ）2=3+4i （i是虚数单位）则a2+b2=___________，=___________.ab22=3，2，a -b a =412.5 2【分析】由题意可得a2-b 2+2abi=3+4i ，则ab=2，解得b2=1，则 a2+b2=5，ab=2.13.325432，，则 a =________，(2017 年浙江 ) 已知多项式（ x+1）（ x+2）=x +a x +a x +a x +a x+a123454a5=________．13.16 4 【分析】由二项式睁开式可得通项公式为Cr 3x r2-m2-mr+m Cm2·2= Cr 3·Cm2·2 ·x，2分别取 r=0 ， m=1和 r=1 ， m=0可得 a4=4+12=16，取 r=m，可得 a5=1×2=4．14.(2017 年浙江 ) 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延伸线上一点，BD=2，连结CD，则△ BDC的面积是___________，cos∠ BDC=___________.1510BE 114. 24【分析】取 BC中点 E，由题意， AE⊥BC，△ABE中，cos∠ABE=AB=4，∴cos1115115∠DBC=- 4，sin ∠DBC=1- 16= 4，∴S△BCD=2×BD×BC×sin∠DBC=2 . ∵∠ ABC=2∠BDC，211010∠BDC-1= 4，解得 cos∠BDC= 4或 cos∠B DC=- 4（舍去） .∴cos∠ABC=cos 2∠BDC=2cos1510综上可得，△ BCD 面积为2，cos∠BDC= 4 .15. (2017 年浙江 ) 已知向量a，b知足 | a|=1,| b|=2,则 | a+b|+| a- b| 的最小值是 ________，最大值是 _______．15.4，2 5 【分析】设向量a，b的夹角为θ，由余弦定理有 | a- b|=12+22- 2×1×2×cos θ=5-4 cos θ， | a+b|=12 +22- 2×1×2×cos( π- θ ) =5+4cos θ，则| a+b|+|a- b|=5+4cos θ +5-4co sθ ，令y=5+4cos θ+ 5-4cosθ ，则2=10+22∈[16,20]，据此可得 (|a+b|+| a- b|)max20y25-16cos θ==25,(|a+b|+|a- b|)min=16=4，即 | a+b|+|a- b|的最小值是4，最大值是 2 5．16. (2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，一般队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中起码有1 名女生，共有 ______种不一样的选法．（用数字作答）16. 660【分析】由题意可得，“从8 名学生中选出队长 1 人，副队长1 人，一般队员 2人构成 4 人服务队”中的选择方法为C4 8×C1 4×C1 3（种）方法，此中“服务队中没有女生”的选法有 C4 6×C1 4×C1 3（种）方法，则知足题意的选法有C4 8×C1 4×C1 3- C46×C1 4×C1 3=660（种） .417. (2017 年浙江 ) 已知 a R ，函数 f （ x ）=|x+ x -a|+a 在区间 [1 ， 4] 上的最大值是 5，则 a的取值范围是 ___________ ．94417. （ - ∞， 2]【分析】 x ∈[1,4],x+x ∈[4,5] ，分类议论：①当 a ≥5时， f （ x ）=a-x- x4944+a=2a-x- x ，函数的最大值2a-4=5 ，∴ a=2，舍去；②当 a ≤4时， f （ x ） =x+x -a+a=x+ x ≤5，此时命题建立； ③当 4＜ a ＜ 5 时，[f(x)] max =max{|4-a|+a,|5-a|+a}|4- a|+a ≥ |5 -a|+a ，，则|4-a|+a=5 9 9a 的取值范围是（ - ∞， 9 或 |4-a|+a ＜ |5-a|+a ，解得 a= 或 a ＜ . 综上可得，实数 ] ． |4-a|+a=5 2 22 18. (2017 年浙江 ) 已知函数 f （ x ） =sin 2x – cos 2x –23sin x cos x （x ∈ R ）．（ 1）求 f （ 2π）的值．3（ 2）求 f （ x ）的最小正周期及单一递加区间．2π 3 2π 118. 解：（ 1）由 sin 3 = 2 ， cos 3 =- 2，f （ 2π 3 2 - （- 1 2 3 1 ）．）=（ ） ） -2 3× ×（-3 2 2 2 22π 得 f （ 3 ） =2．（2）由 cos 2x=cos2x-sin 2x 与 sin 2x=2sin xcos x，π得 f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin(2x+6 ) ．所以 f(x) 的最小正周期是π．ππ 3π由正弦函数的性质得2 +2k π≤ 2x+ 6 ≤ 2 +2k π， k ∈ Z ，解得π+k π≤ x ≤ 3π+2k π， k ∈Z ，62π3π所以， f （ x ）的单一递加区间是[+k π，+2k π] ，k ∈Z ．6219. (2017 年浙江 ) 如图，已知四棱锥 P – ABCD ，△ PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BC ∥AD ， CD ⊥ AD ， PC =AD =2DC =2CB ， E 为 PD 的中点．PEA DB C（第 19 题图）（1）证明： CE∥平面PAB；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．19.解：（ 1）如图，设PA中点为F，连结EF，FB．由于 E， F分别为 PD， PA中点，1所以 EF∥AD 且 EF=2AD，1又由于 BC∥AD， BC= AD，2所以 EF∥BC 且 EF=BC，即四边形 BCEF为平行四边形，所以 CE∥BF，所以 CE∥平面PAB．（2）分别取BC， AD的中点为M， N，连结 PN交 EF 于点 Q，连结 MQ.由于 E， F， N 分别是 PD， PA，AD的中点，所以Q为 EF 中点，在平行四边形BCEF中， MQ∥CE.由△ PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由 DC⊥ AD， N是 AD的中点得 BN⊥ AD．所以 AD⊥平面 PBN，由 BC// AD得 BC⊥平面 PBN，那么平面 PBC⊥平面 PBN．过点 Q作 PB的垂线，垂足为 H，连结 MH．MH是 MQ在平面 PBC上的射影，所以∠QMH是直线 CE与平面 PBC所成的角．设 CD=1．在△ PCD中，由 PC=2， CD=1，PD= 2得 CE=2，1在△ PBN中，由 PN=BN=1， PB=3得QH= ，41在 Rt△MQH中，QH=，MQ=2，4所以 sin ∠=2，QMH8所以直线 CE与平面 PBC所成角的正弦值是2 8 ．20. (2017年浙江 ) 已知函数f (x)=（–-x12x-1 ） e（x≥）．x2（1）求f ( x) 的导函数；（2）求f ( x) 在区间 [ 1，+∞) 上的取值范围．220. 解：（ 1）由于（x–2x-1 ）′ =1-1，（ e-x）′=-e -x，2x-11-x-x (1-x)(2x-1-2)e-x1所以 f （ x） =（ 1-2x-1 ）e- （x– 2x-1 ） e =2x-1(x ＞2).(1-x)(-x2x-1-2)e（2）由f′( x)=2x-1=05解得 x=1 或 x=2．由于x 115552（2，1）1（1，2）2（2，+∞）f ′( x)–0+0–f （ x）1 -11-5 e2↘↗e2↘221 2 -x11 - 1所以 f （ x ）在区间 [ 2，+∞) 上的取值范围是 [0 ，2e 2] ．21. (2017 年浙江 ) 如图，已知抛物线 x 2=y ，点 A （ - 1，1），B （3，9），抛物线上的点 p(x,y)(- 12 4 2 4 23＜ x ＜ ) ．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ． 2（第 19 题图）（ 1）求直线 AP 斜率的取值范围；（ 2）求 |PA| ·|PQ| 的最大值． 21. 解：（ 1）设直线 AP 的斜率为 k ，x 2- 141k=1 =x- 2，x+2由于 -1 3-1 ， 1）．2 ＜ x ＜ ，所以直线 AP 斜率的取值范围是（2kx-y+1 1k+ =0，（2）联立直线 AP 与 BQ 的方程2 49 3x+ky- 4k- 2=0，-k 2+4k+3解得点 Q 的横坐标是 x Q = 2(k 2+1) ． 由于 ||= 1+k 2(x+ 1 )= 1+k 2(k+1) ，PA 2(k-1)(k+1) 2| PQ |=2 Q ，1+k (x -x)=- k 2+1所以 |PA| ·|PQ|= -(k-1)(k+1)3．令 f(k)=-(k-1)(k+1)3，由于 f ′(k)= -(4k-2)(k+1) 2，所以 f ( k ) 在区间 (-1,1 1) 上单一递加，( ,1) 上单一递减，22所以当k 1， |PA| ·|PQ| 获得最大27 =．21622. (2017年浙江)已知数列{x n}足x1=1，x n=x n+1+ln(1+x n+1)（n∈ N*）．*明：当n∈ N ，（1） 0＜x n+1＜x n；x n x n+1（2） 2x n+1-x n≤2；1 1（3）2n-1≤x n≤2n-2．22.解：（ 1）用数学法明x n＞ 0．当 n=1， x1=1>0．假 n=k ， x k>0，那么 =+1 ，若 x k+1≤0， 0＜k=x k+1 +ln（1+xk+1）≤0，矛盾，故xk +1＞0．n k x所以 x n＞ 0（n∈ N*）．所以 x n=x n+1+ln （ 1+x n+1）＞ x n+1，所以 0＜ x n+1＜ x n（n∈ N*）．（2）由 x n=x n+1+ln （ 1+x n+1），得 x n x n+1-4x n+1+2x n=x n+12-2x n+1+（ x n+1+2） ln （ 1+x n+1） .函数 f （x） =x2-2x+ （ x+2）ln （ 1+x）（x≥0），2x 2+x+ln （ 1+x）＞ 0（x＞ 0），f ′（ x） =x+1函数 f （ x）在 [0 ，+∞] 上增，所以 f （ x）≥ f （ 0） =0，2-2x n+1+（ x n+1+2） ln （1+x n+1） =f （ x n+1）≥ 0，所以 x n+1x n x n+1*故 2x n+1-x n≤（ n∈ N）．2（3）因 x n=x n+1+ln （ 1+x n+1）≤ x n+1+x n+1=2x n+1，1所以 x n≥2n-1，x n x n+1由2≥2x n+1-x n，1 111得 - ≥2（ - ）＞0，x n+1 2x n 21 1 1 1n-1（1 1n-2，所以 -≥ 2（- ）≥⋯≥ 2- ）=2 x n2x n-1 2x1 2(完整版)浙江高考理科数学试题和解析 11 / 11 WORD 完满格式故 x n ≤ 1n-2 ．21 1 *）．综上， n-1 ≤ x n ≤ n-2 （n ∈ N 2 2..整理分享 ..。

数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的使用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则 A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222•=+ C.y x yx lg lg lg lg 222+=• D.y x xy lg lg )lg(222•=答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法；6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解水平；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•。

2008年浙江省高考数学猜题卷注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分共4页，满分150分.考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上. 3．请将第一部分的答案填在答题卷上，第二部分的解答写在规定的区域内，否则答题无效.第一部分 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若集合{1,sin }A θ=，1{,2}2B =，则“56πθ=”是“1{}2AB =”的 （ ）A. 充要条件.B. 必要不充分条件.C. 充分不必要条件.D. 既不充分也不必要条件.2．已知等于则)3(),2(3)(3f f x x x f ''+= （ ）A.11B.－6C.9D.－９3．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x , y )在直线x ―y ＝2的下方区域的概率为 （ ）A.61 B.125 C.91 D.92 4．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,两两不重合的直线，给出下列四个命题：①αγβγα，则，若⊥⊥∥β； ②m n m ,,αα⊂⊂若∥n ,β∥αβ则,∥β； ③α若∥l l 则，,αβ⊂∥β； ④l n m l ,,,===αγγββα 若∥m ,则m ∥n . 其中真命题的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5．如图：在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ． 36．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24x y =上的点P 到该抛物线的焦点的距离为5，则点P 的横坐标为 （）A. B.4或－4C. D. 47．若对任意长方体M ，都存在一个与M 等高的长方体N ，使得N 与M 的侧面积之比和体积之比都等于t ，则t 的取值范围是 （ ）A BCHA ．10≤<tB ．1≥tC ．21≤≤tD ．2≥t8．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若AB C ∆的面积22)(b a c S --=，则2t an C等于（ ）A ．21B ．41C ．81D ．1 9. 若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当 14x ≤≤时,yx的取值范围 （ ） A .1[,1)4- B . 1[,1]4- C .1(,1]2- D .1[,1]2-10．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图像为直线1l ，“供给—价格”函数的图像为直线2l ，它们的斜率分别为21,k k ，1l 与2l 的交点P 为“供给—需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线1l 、2l 的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为 （ ）A.021>+k kB. 021=+k kC. 021<+k kD. 21k k +可取任意实数第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．不需要写出解答过程，把答案直接填在答题卷相应位置上。

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n 项和为，若 ，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e|+|b ·e|，则a ·b 的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2019高考猜题金卷（理科）数学(绝对原创、全国通用) 0530一．选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|{|3,0},xA x yB y y x A B ====>*定义为图中阴影部分的集合，则A B*（ D ） A ．{|02}x x << B ．{|12}x x <≤C ．{|012}x x x ≤≤≥或D ．{|012}x x x ≤≤>或2．已知复数2201021,11iZ z z z i=++++-则为（ C ）A ．1+iB ．1-iC ．iD ．-i3．若sin cos tan (0),2πααααα+=<<∈则（ C ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 4．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为 ( D ) A. 18 B. 108 C. 216 D. 432 5．经过圆22(1)(1)x y -++=2的圆心C ，且与直线2x+ y=0垂直的直线方程是 （ C ）A ．2x+ y －1=0B ．2x+y+l=0C ．x －2y －3=0D ．x －2y+3=06．在等差数列{n a }中，S n 是其前n 项和，若37112a a a ++ =60，则S 13等于 （ A ）A ．195B ．200C ．205D ．2107．函数()y f x =是奇函数且过点（—1，3），函数1()()y fx y f x -==是函数的反函数，则1(2)f x -+的图像必过点（ A ）A ．（—5，1）B ．（—3，3）C ．（—3，1）D ．（—5，3） 8．设x,y 满足约束条件360212020,0x y x y x y y x y --≤⎧--⎪-+≥⎨-⎪≥≥⎩则的取值范围是（ D ）A ．91[,]42--B ．91(,][,)42-∞--+∞ C ．91(,)42-- D ．91(,)(,)42-∞--+∞ 9．a 、b 、c 为正实数则命题“长分别为a 、b 、c 的三条线段可以构成三角形”是命题“2222()a b c ab bc ca ++<++”的（ A ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件10.在标准正态总体N(0, 1)中，已知9762.0)98.1(=Φ，则标准正态总体在区间)98.1,98.1(-内取值的概率是 ( D )A.0.9672B.0.9706C.0.9412D.0.9524 11．设函数3()12f x x x =-，则下列结论正确的是（ D ）A ．函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增B ．函数()f x 的极小值是-12C ．函数()f x 的图象与直线10y =只有一个公共点D ．函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16y =12．已知函数|lg |010()13105x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若a 、b 、c 均不相等且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ C ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，15）D ．（20，24）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,a b 是两个非零向量，且||||a b ==||a b + ，则向量b 与a b -的夹角为56π． 14．在6(1)(2)x x --的展开式中含3x 的项的系数是 －55 。

2021年高考理科数学实战猜题卷全国卷版答案以及解析一、选择题 1.答案：B解析：由题意知集合{}2|1{1038}B x x n n A ==-∈=-，，，，，则{}03P A B ==，，所以P 的子集有224=(个)，故选B. 2.答案：D 解析：由222i (1i)z -=+，得22i 2i z -=⋅，得1i1i iz -==--，故选D. 3.答案：B解析：由题意，得30150015001000n=⨯+，解得50n =.故选B.4.答案：B解析：易得函数()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，2e e ()()x xf x f x x ---==-，()f x ∴为奇函数，排除A ；1(1)e e 0f -=->，∴排除D ；()()24ee 2e )'e (xx x x x x f x x --+--=3(2)e (2)e x xx x x --++=，2x ∴>时，)'(0f x >，∴排除C.故选B. 5.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（包含边界）所示，目标函数3z x y =+可化为133z y x =-+，作出直线13y x =-并平移，由图可知当直线经过点(2,0)时，在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值2，无最大值.故选C.解析：若乙是第一名，则乙说的是真话，因此丙是第一名，矛盾；若丙是第一名，则乙说的是真话，因此乙是第一名，矛盾；若丁是第一名，则丙说的是真话，因此丙是第一名，矛盾；若甲是第一名，经验证符合题意，则第一名是甲.故选A. 7.答案：B解析：由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥P ABC -，易求得11111222ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△，11122APC S AC AP =⋅=⨯△，11122PBC S BC BP =⋅=⨯△，由AP BP ==，AB =1132222PABS AB ==△，所以该几何体的各个面中PAB △的面积最大，为32.8.答案：D解析：由题意得2艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇的组建方法有122532C C A 60⋅=种，2艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇的组建方法有222532C C A 60⋅=种，由分类加法计数原理可知共6060120+=种组建方法，故选D. 9.答案：A解析：因为偶函数()f x 在区间()1-∞-，上单调递增，所以()f x 在区间(1)+∞，上单调递减.因为33log e log 20>>，所以3311log e log 2<，2ln 3log 3<，即12a b <<-<，又112211log log 254c =>=，所以1a b c <<-<，又()2()()log 3f b f b f =-=，所以()()()f a f b f c >>.故选A.解析：如图所示，设线段AB 的中点为()00P x y ，，分别过A P B ，，三点作准线l 的垂线，垂足分别为''A Q B ，，，由题意得''4AA BB AB +==，'22'AA BB PQ +==.又018PQ y =+，0128y ∴+=，0158y ∴=.11.答案：B解析：对于①，()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，故①正确；对于②，因为πππ1sin 12232f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2f ⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的最大值，故②错误；对于③，把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数π()sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③正确.故选B. 12.答案：C解析：法一：如图，取点E ，F 分别满足13AE AB =，2AF AC =，连接EF ，则123AD AB AC AE AF αβαβ=+=+.因为1αβ+=，所以点D 在直线EF 上，当且仅当AD EF ⊥时，||AD 取得最小值，此时，设AC b =，因为sin 3sin C B =，所以由正弦定理得33AB AC b ==.又90A =︒，所以AF AE EF AD ⋅=⋅，即AE AF AD EF ⋅=，得FD ，所以1sin sin 21sin sin 2ABDACDAB AD BADS AB BAD S AC DAC AC AD DAC ⋅∠∠===∠⋅∠△△33sin 33cos 2AD AFD AD AF FD AFD FD AF ⋅∠====∠，故选C.法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.由sin 3sin C B =，得||3||AB AC =，所以可设1(0)C ，，(30)B ，，()D x y ，，又123AD AB AC αβ=+，所以()(30)2(01)(2)3x y αβαβ=+=，，，，，所以2x y αβ=⎧⎨=⎩，又1αβ+=，所以220x y +-=，所以点D 为直线220x y +-=上的点.过点A 作直线220x y +-=的垂线，当垂足为D 时，||AD 取得最小值，此时直线AD 的方程为12y x =，由12220y xx y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，得4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即4255D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，此时332ABD D ACD D S y S x ==△△. 二、填空题 13.答案：12解析：由题意得2(42)+=a b ，，因为(1)λ=c ，，(2)+c a b ，所以124λ⨯=，即12λ=. 14.答案：3解析：设AB 的中点为E ，连接1ED ，则易知11BE C D ，11BE C D =，∴四边形11EBC D 是平行四边形，11BC ED ∴，1AD E ∴∠为直线1AD 与1BC 所成的角.四边形ABCD 是正方形，BA AD ∴⊥，1DD ⊥底面ABCD ，1BA DD ∴⊥，又1AD DD D =，BA ∴⊥平面11AA D D ，1BA AD ∴⊥，1AED △是直角三角形.设11122DD AB A B a ===，则1AD，13ED a =，111cos AD AD E ED ∴∠==15.答案：1解析：不妨设点P 在双曲线右支上.由双曲线的定义可得12PF PF -=又12PF PF +=1PF =2PF =又124F F =， 所以2221212PF PF F F +=，即12PF F △为直角三角形，所以1212112PF F S PF PF ==△. 16.答案：(116)，解析：()af x x x=+，222'()1a x a f x x x -∴=-=.当0a 时，对任意的()14x ∈，，()0'f x >，此时，函数()y f x =在区间()14，上单调递增，函数()y f x =在区间()14，上没有最小值；当0a >时，令()22'0x af x x -==，可得x =当0x <<时，)'(0f x <，当x )'(0f x >，此时，在()0+∞，上函数()y f x =的最小值点为x由题意可得14<，解得116a <<.因此，实数a 的取值范围是(116)，. 三、解答题17.解析：(1)因为()122n n n n a a a +-=，所以12(1)n n n a a n++=， 得121n n a an n+=⋅+.…………………………………………………2分 设nn a b n=，则12n n b b +=. 因为0n a ≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=.…………………………………………………4分 又1111a b ==，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列， 故12n nn a b n-==，()1*2n n a n n -=⋅∈N .…………………………………………………6分 (2)由(1)可知135235n na n n n-+-=+-，…………………………………………………8分 故()()()01123152325235n n S n -=+⨯-++⨯-+++-()0112223(12)5n n n -=+++++++-237212nn n -=+-.…………………………………………………12分18.解析：(1)在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，AC BC C =，所以CD ⊥平面ABC .又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，…………………………………………………2分 因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥，又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD .又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD .………………………………………5分 (2)由(1)可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以π4DEC ∠=，故1CD CE ==. 如图，作EFCD 交BD 于点F ，由(1)知EA EB EF ，，两两垂直，以E 为原点，EA EB EF，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则()000E ，，，()100A ，，，()010B ，，，()011D -，，， 易知平面BCD 的一个法向量1(100)=n ，，，………………………………………………7分 又(110)AB =-，，，(111)AD =--，，， 设平面ABD 的法向量为2()x y z =n ，，， 则220AB x y AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩n n ， 令1x =，得2(112)=n ，，，…………………………………………………9分所以121212cos ⋅==⋅n n n n n n ，由图可知该二面角为锐角， 所以二面角A BD C --…………………………………………………12分19.解析：(1)由题意得451000450n =，解得100n =.………………………………………2分 (2)补充完整的22⨯列联表为…………………………………………………4分22100(45202510)8.1289 6.63555457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为选择科目与性别有关.………………………………………………6分 (3)从45名女生中按照分层抽样的方法随机抽取9名女生，所以这9名女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”.则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则4449C 1(0)C 126P X ===，135449C C 10(1)C 63P X ===，225449C C 10(2)C 21P X ===， 315449C C 20(3)C 63P X ===，4549C 5(4)C 126P X ===，…………………………………………9分所以X 的分布列为1101020520012341266321631269EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………12分 20.解析：(1)由已知得，2c =，2b =，则2228a b c =+=，所以椭圆E 的方程为22184x y +=，…………………………………………………2分离心率c e a =…………………………………………………3分 (2)x 轴上存在定点()20M -，，使MP MQ ⊥.………………………………………4分 理由如下：将y kx m =+代入22184x y +=，得222()8x kx m ++=，化简得()222214280k x kmx m +++-=. 由()()222(4)421280km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+.…………………………………………………6分设()00P x y ，，则022821km kx k m-==-+，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==， 故84,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设()14Q y -，，则14y k m =-+，所以(44)Q k m --+，.………………………………9分 设(0)M t ，，则()()200184(2)(2) 0kMP MQ x t y t y t t m⋅=-⋅--=+++=，，，得2t =-. 所以x 轴上存在定点(20)M -，，使MP MQ ⊥.………………………………………12分21.解析：(1)()f x 的定义域为(0)+∞，，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. (i)若2a，则()0f x '，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0)+∞，单调递减.…………………………………………………2分(ii)若2a >，令()0f x '=得，x =或x =当20a a x ⎛⎛⎫+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<； 当x ⎝⎭时，()0f x '>. 所以()f x 在20aa ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减， 在⎝⎭单调递增.…………………………………………………5分 (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12x x ，满足210x ax -+=，所以121x x =， 不妨设12x x <，则21x >.…………………………………………………7分 由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.……………………………………9分 设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0)+∞，单调递减，又()10g =，从而当1()x ∈+∞，时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.……………………………………12分 22.解析：（1）直线l 的极坐标方程是π6θ=，化为直角坐标方程为y .…………………………………………………1分由2cos sin x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得曲线C的普通方程为22(2)(1x y -++=，即22460x y x +-++=，…………………………………………………3分 根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C的极坐标方程为24cos sin 60ρρθθ-++=.………………………………5分 （2）因为直线10:l θθ=与直线l 垂直， 所以直线1l 的一个极坐标方程为5π()3θρ=∈R .……………………………………………7分 将5π3θ=代入曲线C的极坐标方程，得214602ρρ⎛-⨯+⨯+= ⎝⎭， 即2560ρρ-+=，解得12ρ=，23ρ=，因为||||OM ON >，所以||3OM =.…………………………………………………10分 23.解析：（1）令210x +=，得12x =-，令30x a +=，得3ax =-.易知当132a -=-时，不合题意.当132a -<-，即32a >，…………………………………1分当12x >-时，()1f x x a =-+-；当132a x --时，()51f x x a =---； 当3ax <-时，()1f x x a =-+.故当3a x =-时，()f x 取得最大值，且max 2()153f x a =-=，解得9a =.…………………………………………………3分若132a ->-，即32a <，当12x <-时，()1f x x a =-+；当123ax --时，()51f x x a =++； 当3ax >-时，()1f x x a =-+-.故当3a x =-时，()f x 取得最大值，且max 2()153f x a =-+=，解得6a =-.综上，a 的值为9或6-.…………………………………………………6分 （2）因为0a >，所以9a =， ()|21||39|f x x x =+-+， 831()51032182x x f x x xx x ⎧⎪+<-⎪⎪=----⎨⎪⎪-->-⎪⎩，，，，…………………………………………………8分 由|()|5f x >得|8|53x x +>⎧⎨<-⎩或|510|513 2x x -->⎧⎪⎨--⎪⎩或|8|512x x -->⎧⎪⎨>-⎪⎩， 解得13x <-或112x -<-或12x >-. 故不等式|()|5f x >的解集为(13)(1)-∞--+∞，，.………………………………10分。

2023届新高考数学金榜押题卷（3）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{1,2}A =-，{}2|430B x x x =-+=，则()U A B =ð( ) A.{1,3}B.{0,3}C.{2,1}-D.{2,0}-2.若复数z 满足()42i (3i)z +=-=( )==+=b4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( )A.15B.110C.115D.1205.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是( ) A.8B. C.D.6.已知的图象关于点(1,0)对称，且对任意x ∈R ，都有(1)(3)f x f x -=-成立，当[1,0)∈-时，，则(2021)f =(). A.-8B.-2C.0D.27.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了43(1)y f x =-2()2f x x =完整的体系.其中卷第五《商功》中记载了如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何?”其意思为“现在有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，无宽，上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少?”(1丈为10尺).该问题中涉及的几何体如图所示，在多面体中，//EF 平面的中点G 在底面ABCD 上的射影为矩形的中心,4,3,2,1O AB BC EF OG ====，则异面直线与CF 所成角的余弦值为( )A.C.8.已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥，122AF F S =V ，则椭圆C 的方程为( )A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y +=D.2212016x y += 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.222a b ab +≥B.a b +≥1b +>2a b≥10.已知函数()sin(2)f x x ωϕ=+（ω为正整数，π||2ϕ<）的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法正确的是( ) A.6π-是函数()f x 的一个零点 B.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称 C.方程1()2f x =在[0,π]上有三个解 ABCDEF,ABCD EF ABCDBDD.函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减11.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，则下列说法正确的是( ) A.若实数1x ，2x 是()f x 的两个不同的极值点，且满足1212x x x x +=，则0a >或6a <-B.函数()f x 的图象过坐标原点的充要条件是0c =C.若函数()f x 在R 上单调，则23b a ≤D.若函数()f x 的图象关于点(1,(1))f 中心对称，则3a =-12.正四面体PABC 中，点,M N 分别满足1,2PM PA PN PB λ==uuu ruu r uuur uu r，其中[0,1]λ∈，则下列说法正确的有( ) A.当12λ=时，//MN 平面ABC B.不存在λ使得MN PC ⊥C.异面直线BM 与PCD.若正四面体的棱长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n a n S -=，则2023a =________.14.()82112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.（用数字作答）15.已知双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，O 为坐标原点.若点M 的横坐标为1，则OM 16.已知函数e ()xf x x=，，当21x x >时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为____________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(0,)x ∈+∞()()112221f x ax f x ax x x --<17.（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为. （1）若12S =，，证明：12n n S a +=-；（2）在（1）的条件下，若，数列{}n b 的前n 项和为，求证12311112nT T T T ++++<. 18.（12分）已知菱形ABCD 的边长为2，，E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .(1)若CDE △，求DE 的长. (2)4DF =，求.19.（12分）某工厂统计了某产品的原材料投人x (万元)与利润y (万元)间的几组数据如下： (1)根据经验可知原材料投人x (万元)与利润y (万元)间具有线性相关关系，求利润y (万元)关于原材料投人x (万元)的线性回归方程.(2)当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为多少万元?附：ˆb=y bx =-.20.（12分）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.n S 122n n S S +=+2log n n b a =n T 60DAB ∠=︒sin DFC ∠PA PB =（1）求证：平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，，5PA =，求二面角正余弦值. 21.（12分）已知O 是平面直角坐标系的原点，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且OAB △的重心G 在曲线29620x y -+=上.(1)求抛物线C 的方程；(2)记曲线29620x y -+=与y 轴的交点为D ，且直线AB 与x 轴相交于点E ，弦AB 的中点为M ，求四边形DEMG 面积的最小值.22.（12分）已知函数e (1)()ea axx f x -=(其中e 为自然对数的底数，a ∈R ). (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)若，方程()10f x a +-=有两个不同的实数根，求证：22122e x x +>.//OE 3PO =C AE B --0a >12,x x答案以及解析1.答案：D解析：集合，所以{1,1,2,3}A B =-，所以.故选D. 2.答案：D解析：由()()()()286i 42i (3i)3216i 24i 12142i 42i42i 20z ------====-++-=3.答案：B解析：由222||27+=++⋅=a b a b a b ，解得，所以4.答案：B解析：设1A ，2A 分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B 表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p ， 则()1123205P A ==，()225P A =，()1P B A p =∣，()2120P B A =∣， 则由全概率公式得：()()()()()11223210.085520P B P A P B A P A P B A p =+=⨯+⨯=∣∣，解得110p =，故选：B. 5.答案：A解析：本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，轴截面顶角为(0π)θθ<<，则24ππ3rl r =，得43l r =，所以3πsinsin 244r l θ==>=，因为为锐角，所以π24θ>，即，则θ为纯角，所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为22114822l =⨯=.故选A.6.答案：B解析：因为的图象关于点(1,0)对称，所以函数的图象关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，所以()()f x f x -=-，{1,3}B =(){2,0}U A B =-ð1⋅=a b cos<,>⋅==a b a b a b 2θπ2θ>(1)y f x =-()f x ()f x又对任意，都有(1)(3)f x f x-=-成立，所以，所以(4)(2)[()]()f x f x f x f x+=-+=--=，即函数是周期为4的周期函数，因为当[1,0)x∈-时，，所以2(2021)(1)(1)2(1)2f f f==--=-⨯-=-，故选B.7.答案：D解析：本题考查数学文化、异面直线所成角.如图，分别取的中点,,P Q R，连接，则,////ER CF QR BD，所以(或其补角)为异面直线BD与所成角.1522QR BD===.由题意知四边形为等腰梯形，则由等腰梯形的性质知EQFQ==ER CF==，所以在EQRV中，由余弦定理，得222cos2ER QR EQQREER QR+-∠==⋅D.8.答案：A解析：因为点A在椭圆上，所以122AF AF a+=，把该等式两边同时平方，得222121224AF AF AF AF a++=.又12AF AF⊥，所以222124AF AF c+=，则222122444AF AF a c b=-=，即，所以12212122AF FS AF AF b===△.因为x∈R(2)()()f x f x f x+=-=-()f x2()2f x x=,,AD BC CD,,,,,EP PQ QF QR RE EQ QRE∠CFPQFE2122AF AF b=是直角三角形，1290F AF ∠=︒，且O 为的中点，所以121||2OA F F c ==.不妨设点A 在第一象限，则230AOF ∠=︒，所以1,2A c ⎫⎪⎪⎝⎭，所以122121112222AF F S F F c c =⋅==△，即24c =，故2226a b c =+=，所以椭圆C 的方程为22162x y +=，故选A. 9.答案：AD解析：对于A ，因为220,0,0a b ab ≥≥>，所以222a b ab +≥，因此A 项正确；对于B ，取1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 项不正确；对于C ，取1a b ==-，122b +=-<=，因此C 项不正确；对于D ，因为0,0ba >>，，因此D 正确. 10.答案：ABD解析：由题意得，2π3π3π,242T ω⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，解得23<43ω<，又ω为正整数，所以1ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数()sin 2sin 23π6ππ6g x f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由题意，函数()g x 的图象关于原点对称，故ππ()3k k ϕ-=∈Z ，即π()3πk k ϕ=+∈Z .又π||2ϕ<，所以0k =，π3ϕ=，所以()s 23πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 选项πππsin 2sin 00663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；B 选项：5π5πsin 2sin 1121ππ232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B 正确；C 选项：令3π2t x =+，因为[0,π]x ∈，所以7π,33πt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，显然1sin 2t =在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦12AF F △12F F ab >2a b +≥=内只有5π6，13π6两个解，故C 错误； D 选项：当,62ππx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π4π3π2,,3332π2πx ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 11.答案：ABD解析：A 选项2()32f x x ax b '=++，由题意知实数1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两个不等实根，所以24120a b ∆=->，且1223a x x +=-，123bx x =，由1212x x xx +=，得2b a =-，所以260a a +>，解得0a >或6a <-，所以A 正确.B 选项：若函数()f x 的图象过坐标原点，则(0)0f c ==，故充分性成立；反之，若0c =，则(0)0f c ==，故函数()f x 的图象过坐标原点，必要性成立.故B 正确. C 选项：若函数()f x 在R 上单调，则2()320f x x ax b '=++≥恒成立，所以24120a b -≤，即23b a ≥，故C 不正确.D 选项：因为函数()f x 的图象关于点(1,(1))f 中心对称，所以(1)(1)2(1)f x f x f ++-=，即3(1)x ++232(1)(1)(1)(1)(1)2(1)a x b x c x a x b x c a b c +++++-+-+-+=+++，整理得2(3)0a x +=，所以3a =-，所以D 正确. 12.答案：AD解析：对于A ，如图1，当12λ=时，点,M N 分别是,PA PB 的中点，//MN AB .又AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，故选项A 正确；对于B ，如图2，将正四面体PABC 放在正方体内，由正方体的结构特征可知AB PC ⊥，所以当,M N 分别是,PA PB 的中点时，MN PC ⊥，即存在λ使得MN PC ⊥，故选项B 错误；对于C ，如图1，取AC 的中点E ，连接,,ME BM BE ，则//PC ME ，异面直线BM与PC 所成角即为BME ∠.在BME △中，设1ME =，则BE BM ==由余弦定理得cos BME∠==C错误；对于D，如图2，把正四面体放入正方体中，由正四面体的棱长为2，所以正方体的外接球的直径为，故选项D正确，故选AD.13.答案：202321-解析：因为2n na n S-=，所以当1n=时，由11121a S a==-，得11a=；当2n≥时，()11221n n n n na S S a n a n--=-=--+-，化简得121n na a-=+，即()1121n na a-+=+，所以数列{}1na+是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nna+=，所以21nna=-，所以2023202321a=-.14.答案：182解析：因为()88822111122x x x x xx x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝+⋅⎭⎭=，其中81xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的通项为8821881C Crr r r rrT x xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，令4r=得81xx⎛⎫+⎪⎝⎭的常数项为48C70=，令822r-=-，即5r=得81xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式中2x-的系数为58C56=.34π3=所以()82112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为70256182+⨯=.故答案为：182. 15.答案：)+∞解析：由题知24,a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩解得2222,2,,ab bc a =⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以双曲线22:144x y C -=.设直线l 的方程为y kx m =+，联立22,1,44y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()2221240k x kmx m ----=，所以()()222Δ(2)4140km k m =----->，所以22440m k -+>，16.答案：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦解析：由题可知，当21x x >时，不等式()()22111222x f x ax x f x ax -<-恒成立，设22()()e x g x xf x ax ax =-=-，则()g x 在(0,)x ∈+∞上是增函数，则()e 20x g x ax '=-≥在(0,)+∞上恒成立，即e 2x a x ≤在(0,)+∞上恒成立.令e ()x m x x =，则2(1)e ()x x m x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增.所以min 2()(1)e a m x m ≤==，所以e2a ≤. 17.答案：（1）见解析 （2）见解析解析：（1）因为12S =，122n n S S +=+， 所以()1222n n S S ++=+，124S +=，所以数列{}2n S +是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以122n n S ++=，122n n S +∴=-，当2n ≥时，122n n S -=-，12n n n n S S a --==， 当1n =时，112a S ==满足上式， 所以2n n a =，所以12n n S a +=-成立. （2）由（1）知2n n a =，2log n n b a n ==，所以(1)2n n n T +=， 则12112(1)1n T n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭， 所以1231111n T T T T ++++=11111111212122233411n n n ⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++-=⨯-< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以12311112nT T T T ++++<成立. 18.答案：解析：(1)依题意，得60BCD DAB∠=∠=︒. 因为CDE △的面积1sin 2S CD CE BCD=⋅⋅∠=所以122CE ⨯=1CE =. 在CDE △中，由余弦定理得DE ===(2)方法一：连接BD .依题意，得30,60ACD BDC ∠=︒∠=︒， 设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒，在CDF △中，由正弦定理得sin sin CF DFACD θ=∠，4DF =，所以sin 2CF DF θ==，所以cos θ()1sin sin 30+2DFC θ∠=︒==方法二：连接BD .依题意，得30ACD ∠=︒，60BDC ∠=︒， 设CDE θ∠=，则0060︒<<︒，设4CF x =4DF =，则DF =，在CDF △中，由余弦定理，得2222cos DF CD CF CD CF ACD =+-⋅∠，即227416x x =+-，解得x =x =.又因为12CF AC ≤=x ≤，所以所以9DF=， 在中，由正弦定理得sin sin CD DFDFC ACD=∠∠， 所以. 19.答案：(1)221040y x =- (2)1160万元()18284858688855=⨯++++=，()1770800830850900830,5y =⨯++++= 所以()()()51521ˆii i ii xx y y bxx ==--=-∑∑()()()()2222360130012037022(3)(1)013-⨯-+-⨯-++⨯+⨯==-+-+++所以83022851040a y bx =-=-⨯=-， 所以线性回归方程为221040y x =-.x =CDF △sin DFC ∠=(2)当100y=⨯-=(万元)，x=时，2210010401160即当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为1160万元20.答案：（1）证明见解析（2）1113解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为AP PB⊥.=，所以PD AB因为PO为三棱锥P ABC-的高，所以PO⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以PO AB⊥.又,=，所以AB⊥平面POD.PO PD⊂平面POD，且PO PD P因为OD⊂平面POD，所以AB OD⊥，又AB ACOD AC，因为OD⊂/平面PAC，AC⊂平面PAC，所以//OD平⊥，所以//面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以//DE PA，因为DE⊂/平面PAC，PA⊂平面PAC，所以//DE平面PAC.又,=，OD DE⊂平面ODE，OD DE D所以平面//ODE平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以//OE平面PAC.（2）连接OA，因为PO⊥平面ABC，,OA OB⊂平面ABC，所以PO OA⊥，⊥，PO OB所以4=.OA OB易得在AOB △中，30OAB ABO ∠=∠=︒，所以1sin30422OD OA =︒=⨯=，322cos3024432AB AD OA ==︒=⨯⨯=， 又60ABC ABO CBO ∠=∠+∠=︒，所以在Rt ABC △中，tan 6043312AC AB =︒=⨯=.以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(43,0,0)B ，(0,12,0)C ，(23,2,3)P ，333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面AEC 的法向量为(,,)x y z =n ，则00AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即33302120x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩， 令23z =，则(1,0,23)=-n .设平面AEB 的法向量为()111,,x y z =m ，则00AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即111133302430x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令12z =，则(0,3,2)=-m . 所以43|cos ,|||||13⋅〈〉==⋅n m n m n m .设二面角C AE B --的大小为θ，则24311sin 11313θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.21.答案：(1)22x y =0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，显然直线AB 的斜率存在，设:AB y kx =+22x py =联立，消去y 得2220x pkx p --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，则212122,x x pk x x p +==-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，所以022,32,3pk x pk p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且20032x y =22341293p k =⋅+即222221pk p p k +=+，整理得()2211pk p p -=-对任意的k 恒成立，故1p =，所求抛物线C 的方程为22x y =.(2)由题知10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0k ≠，M x k =，G x =23=.又弦AB 的中点为M ，△=OG OM ==//ME .点D 到直线AB 的距离1d =DG =1122k k k ⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以四边形DEMG 的面积25111132123212k k S k k k ⎛⎫⎛⎫=++=+≥⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==22.答案：(1)1ey = (2)见解析解析：(1)当1a =时，e(1)()e xx f x -=， 则121(),(2)e ex x f x f --=='， 因此()'20f =，故曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为1ey =. (2)由题意知方程e 0ax x a --=有两个不同的实数根12,x x . 对于函数e (0),e (1)ax ax y x a a y ax --=>=-'-，令e (1)0ax y ax -=->'，解得1x a <，令e (1)0ax y ax -=-<'，解得1x a >，则函数e ax y x a -=-在区间1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以11e 0a a -->，得21ea <.又当0x <时，e 0ax x a --<，所以方程e 0ax x a --=的两个不同的实数根12,x x 均大于0.当0x >时，方程e 0ax x a --=即方程ln ln e e x ax a -=，则原问题等价于ln ln x ax a -=有两个不同的正实数根12,x x . 令()ln ln (0)g x x ax a x =-->， 则1()(0)g x a x x->'=，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设12x x <，则1210x x a<<<.令21()(),0,G x g x g x x a a⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则22()2201(2)G x a a x ax a =->-'=-，因此()G x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 从而当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x <，所以()()1212g x g x g x a⎛⎫=<- ⎪⎝⎭， 因为2121,,x x aa⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，函数()g x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a >-，即122x x a+>， 则()2122212222e 2x x x x a ++>>>， 故原命题得证.。

浙江省2012届高考5月份押题密卷理 科 数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V S h =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数⎩⎨⎧><=，，0,ln 0,)(x x x e x f x 则=)]1([e f fA ．e 1B ．eC ．e1- D ．e - 【解析】∵f (1e )=1ln e =—1< 0； ∴=)]1([e f f f (—1)=11e e-=【答案】A2．已知集合{}1,1M =-，11242x N x Z+⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0- 【解析】略． 【答案】D3．已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂，，，m γ⊥，则有A ．αγ⊥且//m βB ．αγ⊥且l m ⊥C ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【解析】m m αγαγ⊂⊥⇒⊥，，又l m l γ⊂⇒⊥． 【答案】B4．函数3sin (0)y x ωω=>在区间[0,]π恰有2个零点，则ω的取值范围为 A ．1ω≥B ．12ω≤<C ．13ω≤<D ．3ω<【解析】由题知：3sin 0y x ω==在区间[0,]π恰有2个解，即sin 0x ω=在区间[0,]π恰有2个解，亦即x k ωπ=，∴,()k x k Z πω=∈，由题将ω=1，2带入排除即可的ω=1满足，ω=2不满足．【答案】 B5．已知正三棱柱'''ABC A B C -的正视图和侧视图如图所示．设ABC ∆，'''A B C ∆的中心分别是O 、O '，现将此三棱柱绕直线OO '旋转（包括逆时针方向和顺时针方向），射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积记为()S x ，则函数()S x 的最大值和最小正周期分别是A ．3πB ．6πC ．8，3πD ．8，23π【解析】由题意可知，要使得俯视图最大，需当三棱锥柱的一个侧面在水平平面内时，此时俯视图面积最大，如图所示，俯视图为矩形AA CC ''，且4,BD A '==则AC =tan 3022⨯=，故面积最大为248⨯=．当棱柱在水平面内滚动时，因三角形ABC 为正三角形，当绕着OO '旋转60后 其中一个侧面恰好在水平面，其俯视图的面积也正好经历了一个周期， 所以函数()S x 的最小正周期为3π．【答案】C6．已知α为锐角，则“31sin >α且31cos >α”是“9242sin >α”的A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】由于α为锐角，注意到“31sin =α或31cos =α”时均有：“9242sin =α”，反之也成立．不妨设31sin =α的解为1αα=，设31cos =α的解为2αα=． 结合图像由单调性可知31sin >α且31cos >α的解为：21ααα<<(21,αα关于4π对称)，故21222ααα<<（παα=+2122）， 由于9242sin 2sin 21==αα，故9242sin >α成立，即充分性成立． 由于α为锐角，故以上过程可逆推，即必要性也成立． 综上得：“31sin >α且31cos >α”是“9242sin >α”的充分必要条件．【答案】A7．设向量a ，b ，c 满足|a|=|b|1=，a b 12=，( a —c )( b —c )0=，则|c|的最大值为A B C D ．1 【解析】法一：（几何法）如下图：a OA =，b OB =，c OC =． 由题意有∠AOB 3π=，点C 在圆M 上．当点C 达到点D 时，maxmaxsincos66cODOM AM ππ==+=+．法二：（建系法或称坐标法）如下图建系，设点C 坐标为（x ，y ）．设a OA ==⎝，12⎫⎪⎭，b OB ==⎝，12⎫-⎪⎭，c OC =(x =，)y ．则：()()3a c b c x ⎛-⋅-=- ⎝，12y x ⎫-⋅⎪⎭⎝，12y ⎫--⎪⎭0=．化简得：2214x y ⎛+= ⎝⎭． 即图中圆M ． 当点C 达到点D 时，maxmaxsincos66cODOM AM ππ==+=+．【答案】A8．如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n 个数，分别 是1，3，5，…，12-n ；（2）从第二行起，各行中的 每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n 行． 问：当2012=n 时，第32行的第17个数是 A ．372 B ．3622012+C ．362D ．322 【解析】本题规律不易发现．规律一：（偶数行）第2m 行的第一个数是22mm ⨯．如2412=⨯，43222=⨯．规律二：（一行内）第n 行数的相邻两个数之间相差2n． 由以上规律得：第32行的第1个数是32361622⨯=，相邻两个数之间相差322，第32行的第17个数是36323721622+⨯=．【答案】A9．在高等数学中有如下定义：函数()y f x =的导数()f x '叫作函数()y f x =的一阶导数，类似地，把y =()f x '的导数叫作函数()y f x =的二阶导数．现若有函数()1s i n c o s 3s i n 33f x a x b x x =++在3x π=处取得极大值，则b 的范围为A．b <B ．12b >C．12b << D．b <【解析】由题中提示知：二阶导数（记为()f x ''）与极值有关． 由导数定义有：()()()limx f x x f x f x x∆→''+∆-''=∆．（0x ∆>）对于极值左右两边来说：当为极大值点时，()0f x x '+∆<，()0f x '>． 所以有()0f x ''<成立．()cos sin33cos3f x a x b x x '=-+，()sin 3cos 9sin3f x a x b x x ''=---． 令03f π⎛⎫'=⎪⎝⎭得：6a =．令303f b π⎛⎫''=+< ⎪⎝⎭得：b < 【答案】A10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．直线 【解析】如图，A 点为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP 的中点，故AM=MP ，此时M 的轨迹为以A 圆心,半径为AM 的圆．如图，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径，在F 1P 截得|MP |=|MA |，1PF r =设，111MF PM MF MA r F A ∴+=+=>，由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点，以|F 1A |为焦距，以r 为长轴 的椭圆．如图，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径，过P 点延长使得|MP |=|MA |，则有1MF PM r -=，1MF MA r FA ∴-=<．由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点的双曲线的右支． 若M 落在以A 为端点在x 轴上的射线上，也满足条件， 此时轨迹为一条射线，不是直线．【答案】D非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知i 是虚数单位，设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点为_______． 【解析】()()()()1213i 32i 13i 97i32i 32i 32i 11z z -+--===--+， 对应点为911⎛⎝，711⎫-⎪⎭．【答案】911⎛ ⎝，711⎫-⎪⎭12．在10）（y x -的展开式中，系数最小的项为第___________项． 【解析】∵101011010()(1)r r r r r r rr T C x y C xy --+=-=-， 当r =5时，显然10(1)r rC -最小，∴系数最小的项是第6项【答案】613．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 值为__________．【解析】先列举几个如下：i =2，S =3，P =11312=+； i =3，S =6，P =11113612123+=++++；i =4，S =10，P =1111113610121231234++=++++++++；i =5，S =15，P = ……． 观察上面几式易得规律．考察一个数列求和：P =1111121231234123i+++⋅⋅⋅++++++++++⋅⋅⋅+． 可从通项着手：()()1121121123112n a i i i i i i i ⎛⎫====- ⎪++++⋅⋅⋅+++⎝⎭．故1111111122123344511P i i i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令291,19110P i i =->⇒<+．故当20i =时，跳出程序．【答案】2014．设袋中有8个形状、大小完全相同的小球，其中2个球上标有数字0，3个球上标有数字1，另3个球上标有数字2．现从中任取3个球，用随机变量ξ表示这3个球上数字的最大值与最小值之差．则ξ的数学期望=ξE ． 【解析】由题知ξ=0，1，2．且5622)0(38===C P ξ，56272)1(382313131213=⋅⋅+⋅+==C C C C C C P ξ， 5627)1()0(1)2(==-=-==ξξξP P P ． 故=ξE )0(0=⨯ξP +)1(1=⨯ξP +)2(2=⨯ξP =5681． 【答案】568115．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，3AB =，且AB 中点的纵坐标为12，则p 的值为 ． 【解析】设直线为：2p x my =+，代入抛物线得：2220y mpy p --=．221A B A B y y mp y y p+==⎧⎨=-⎩，又：AB ==，即：21343mp p =⎧±⇒== 【答案】3416．已知实数x 、y 满足205040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a的最小值为________________． 【解析】作出可行域如下所示：则()()2222222221xy xy x y a x y x yx yy x+++≥==++++．设yt x=（表斜率），则[2t ∈，]4，则152t t ⎡+∈⎢⎣，174⎤⎥⎦， 故max2915x y y x ⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪+ ⎪⎝⎭，所以95a ≥． 即min 95a =． 【答案】9517．已知函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，给出下列三个命题：①函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；②存在实数p 和q ，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立； ③关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．则是真命题的有______________．（不选、漏选、选错均不给分）【解析】①知识储备：函数y =f (x )的图像关于x 轴上的点（b ，0）成中心对称的充要条件是f (b +x )+f (b —x )=0． 代入知①正确； ②()()()()()2a xb a f x cx b c x b x b -==-+-+-，由函数()kf t t t=+（0k >）的性质知()()f t orf t ≥≤- 故函数()()()a f x cx b x b =-+-为有界函数（即有上下界，亦即有最值）．所以②正确；③方程()()20g x m f x n =-=⎡⎤⎣⎦中的m 、n 同号， 所以()0g x =有两个解（对与()f x 来说）． 可设()f x A =±，（A 0>） 令()()()2a xb f x A x b c-==-+，则()()20A x b a x b Ac ---+=（ⅰ），对称轴为2a x A=，2214a A c ∆=-； 同理令()()()2a xb f x A x b c-==--+，则()()20A x b a x b A c -+-+=（ⅱ），对称轴为2a x A=-，2224a A c ∆=-． 由题要想有四个解，则221240a A c ∆=∆=->．方程（ⅰ）的两个解之和为aA，方程（ⅱ）的两个解之和为a A -．若解集为{}4,2,0,3--，则不满足上面条件． 所以③错．【答案】①②三、解答题：本大题共7小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．（Ⅰ）求0B 的大小； （Ⅱ）当034B B =时，求cos cos AC -的值． 【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=． 由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=．因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ……………7分（Ⅱ）设cos cos A C x -=， ①由（Ⅰ）及题设知sin sin A C +=②由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． 又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -=17分19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1(,n n S pS q p q +=+为常数，*n N ∈），1232,1,3a a a q p ===-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数,m n ，使1221m n mn S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）由题意，知2132,,S pa q S pS q =⎧⎨=⎩++ 即32,333,p q q p p q =⎧⎨-=⎩+++ 解之得1,22p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩．…2分1122n n S S +∴=+，① 当2n ≥时，1122n n S S -=+，②①-②得，()1122n n a a n +=≥， ………………………………4分又2112a a =，所以()*112n n a a n +=∈N ，所以{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，所以212n n a -=． …………………………………………………7分 （Ⅱ）由②得，12(1)124(1)1212n n n S -==--，由1221mn m n S m S m +-<-+，得 114(1)221214(1)2m nmn mm --<+--+，即2(4)422(4)221n m n m m m --<--+， ……………………10分 即212(4)221n mm >--+，因为210m +>，所以2(4)2n m ->， 所以4m <，且122(4)24n m m <-<++，()*因为*m ∈N ，所以1m =或2或3． …………………………………… 12分 当1m =时，由()*得，2238n <⨯<，所以1n =； 当2m =时，由()*得，22212n <⨯<，所以1n =或2；当3m =时，由()*得，2220n <<，所以2n =或3或4， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：（1，1）、（2，1）、（2，2）、（3，2）、（3，3）、（3，4）．…………………………14分20．（本小题满分15分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′，DD ′⊥ 底面ABCD ，∠DAB =60°，AB =2AD ，DD ′=3AD ，E 、F 分 别是AB 、D ′E 的中点． （Ⅰ）求证：DF ⊥CE ；（Ⅱ）求二面角A —EF —C 的余弦值． 【解析】（Ⅰ）,60AD AE DAE DAE =∠=∴△为等边三角形，设1AD =，则1,2,90DE CE CD DEC ===∴∠=， 即CE DE ⊥． ………………………………………3分DD '⊥底面ABCD ， CE ⊂平面ABCD ， 'CE DD ∴⊥．''''CE DECE DD E CE DD CE DF DF DD E DE DD D ⊥⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊆⎪⎭⎪=⎭平面平面． ……………………6分 （Ⅱ）取AE 中点H ，则12AD AE AB ==，又60DAE ∠=，所以△DAE 为等边三角形． 则DH AB ⊥，DH CD ⊥．分别以'DH DC DD 、、所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设1AD =，则1113(0,0,0),(,0),(,0),'(0,0,3),(,),(0,2,0)2222442D E A D F C -． 31333(,,),(0,1,0),(,,0)44222EF AE CE=--==-．设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则1304420x y z y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩， 取1(23,0,1)n =． ……………10分 平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z =，则13042302x y z x y ⎧-+=⎪⎪-=， 取2(33,3,2)n =． …………………………………12分13130401320,cos 21=⋅=>=<n n α． 所以二面角A EF C --的余弦值为13-． …………………………15分21．（本小题满分15分）如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A 、B ，右焦点为F ，且1AF FB ⋅=，1OF =． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 作直线l 1，l 2，直线l 1与椭圆分别交于点M 、N ，直线l 2与椭圆分别交于点P 、Q ，且2222MP NQ NP MQ +=+，求四边形MPNQ 的面积S 的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则由题意知1=c ， 又∵,1=∙即.2,1))((222=∴-==-+a c a c a c a ∴1222=-=c a b ，故椭圆的方程为：1222=+y x ． ………………………………………………4分 （Ⅱ）设),(),,(),,(),,(Q Q P P N N M M y x Q y x P y x N y x M ．+=．即：22222222)()()()()()()()(Q M Q M P N P N Q N Q N P M P M y y x x y y x x y y x x y y x x -+-+-+-=-+-+-+-整理得：0=--++--+Q N P M Q M P N Q N P M Q M P N y y y y y y y y x x x x x x x x 即0))(())((=--+--Q P M N Q P M N y y y y x x x x ． 所以21l l ⊥． (注：证明21l l ⊥，用几何法同样得分)①若直线21,l l 中有一条斜率不存在，不妨设2l 的斜率不存在，则可得x l ⊥2轴， ∴2,22==PQ MN ，故四边形MPNQ 的面积22222121=⨯⨯==MN PQ S ． ②若直线21,l l 的斜率存在,设直线1l 的方程：)0)(1(≠-=k x k y ，则由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x 得：0224)12(2222=-+-+k x k x k ． 设),(),,(2211y x N y x M ，则1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x ．12)1(2212)22(4)124(14)(1122222222212212212++=+--++=-++=-+=k k k k k k kx x x x k x x k MN同理可求得，222)1(22k k PQ ++=．故四边形MPNQ 的面积：1916211242)1(2212)1(222121222222±=⇔≥+++=++⨯++⨯==k kk k k k k MN PQ S 取“=” ．综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为916． ……………………… 15分22．（本小题满分14分）已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（Ⅰ）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（Ⅱ）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】（Ⅰ）2()2f x x bx c '=++，)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)，∴(3)0f =，且(3)4f '=， 即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． 则321()33fx x x x =-+-． 故22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x xx x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪ 其图像如图所示．当214x x -=时，x =（ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m-； （ⅱ）当12m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当12m >时，()g x 最大值为2m m -．（Ⅱ）方法一：2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-，则(1)2ln h x t x t +-=-， (22)2l n 21h x x +=+，当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立，由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--，∴11t -<<， 又当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<．……………………………………14分方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y 的图像，其图像为线段AB （如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ， ∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<， 又当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分方法三：2()ln(1)h x x =-， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ①由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+， 即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立， 令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23tx +=-， 则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0t ϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． ………………………………14分。

浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(2)题设，若平面上点满足对任意的，恒有，则一定正确的是A ．B ．C ．D ．第(3)题已知中，C 为直角，若分别以边CA ，CB ，AB 所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知集合，集合，则的子集个数为（ ）A ．8B ．3C ．2D ．1第(5)题已知为虚数单位，复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题函数图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）A ．3B ．C ．D ．第(8)题函数的极值点是（ ）A ．0B ．1C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．.B ．由“第行所有数之和为”猜想：.C．第20行中，第11个数最大.D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.第(2)题下列结论正确的是（）A．经验回归直线恒过样本点的中心，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B．在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数D．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得．依据的独立性检验，则变量x与y独立第(3)题设，，则下列计算正确的是（）A．B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是______．第(2)题已知，则的最大值为___________第(3)题已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某工厂预算用56万元购买单价为5千元（每吨）的原材料和2千元（每吨）的原材料，希望使两种原材料的总数量（吨）尽可能的多，但的吨数不少于的吨数，且不多于的吨数的倍，设买原材料吨，买原材料吨，按题意列出约束条件､画出可行域，并求､两种原材料各买多少才合适.第(2)题如图1所示，长方体，底面是正方形，为中点，图2是该几何体的左视图.（1）求四棱锥的体积；（2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由.第(3)题已知.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，证明：.第(4)题第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．第(5)题已知为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求.。