2020高考数学猜题

绝密 启用前２０２０年普通高等学校招生全国统一考试(猜想卷)文科数学(考试时间:１２０分钟ꎻ试卷满分:１５０分)注意事项:１.答卷前ꎬ考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上ꎮ２.回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑ꎮ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ将答案写在答题卡上ꎮ写在本试卷上无效ꎮ３.考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回ꎮ第Ⅰ卷(选择题㊀共６０分)一㊁选择题:本题共１２小题ꎬ每小题５分ꎬ共６０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.１.设ｚ＝１＋３ｉ２－ｉ(ｉ为虚数单位)ꎬ则｜ｚ｜＝(㊀㊀)Ａ.１Ｂ.２Ｃ.２Ｄ.３２.已知集合Ｍ＝{ｘ｜ｘ２－ｘ－２<０}ꎬＮ＝{ｘ｜｜ｘ－２｜<１}ꎬ则ＭɘＮ＝(㊀㊀)Ａ.{ｘ｜－１<ｘ<２}Ｂ.{ｘ｜１<ｘ<２}Ｃ.{ｘ｜１<ｘ<３}Ｄ.{ｘ｜－１<ｘ<３}３.已知ａ＝(ｔａｎ２π５)０.１ꎬｂ＝ｌｏｇ３２ꎬｃ＝ｌｏｇ２(ｃｏｓ３π７)ꎬ则(㊀㊀)Ａ.ａ>ｂ>ｃＢ.ｂ>ａ>ｃＣ.ｃ>ａ>ｂＤ.ａ>ｃ>ｂ三角锥垛４.古希腊毕达哥拉斯学派的 三角形数 是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数ꎬ如１ꎬ３ꎬ６ꎬ１０ꎬ１５ꎬ .我国宋元时期数学家朱世杰在«四元玉鉴»中所记载的 垛积术 ꎬ其中的 落一形 堆垛就是每层为 三角形数 的三角锥的堆垛(如图所示ꎬ顶上一层１个球ꎬ下一层３个球ꎬ再下一层６个球ꎬ ).若一 落一形 三角锥垛有１０层ꎬ则该堆垛总共球的个数为(㊀㊀)Ａ.５５Ｂ.２２０Ｃ.２８５Ｄ.３８５５.下列图象中ꎬ可能是函数ｆ(ｘ)＝(ｅｘ＋ｅ－ｘ)ｓｉｎｘ图象的是(㊀㊀)６.用 算筹 表示数是我国古代计数方法之一ꎬ计数形式有纵式和横式两种ꎬ如图１所示.金元时期的数学家李冶在«测圆海镜»中记载:用 天元术 列方程ꎬ就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓 天元术 ꎬ即是一种用数学符号列方程的方法ꎬ 立天元一为某某 ꎬ意即 设ｘ为某某 .如图２所示的天元式表示方程ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ ＋ａｎ－１ｘ＋ａｎ＝０ꎬ其中ａ０ꎬａ１ꎬ ꎬａｎ－１ꎬａｎ表示方程各项的系数ꎬ均为筹算数码ꎬ在常数项旁边记一太 字或在一次项旁边记一 元 字ꎬ 太 或 元 向上每层减少一次幂ꎬ向下每层增加一次幂.高考錦書试根据上述数学史料ꎬ判断图３所示的天元式表示的方程是(㊀㊀)Ａ.ｘ２＋２８６ｘ＋１７４３＝０Ｂ.ｘ４＋２７ｘ２＋８４ｘ＋１６３＝０Ｃ.１７４３ｘ２＋２８６ｘ＋１＝０Ｄ.１６３ｘ４＋８４ｘ３＋２７ｘ＋１＝０７.执行如图所示的程序框图ꎬ输出Ｓ的结果是(㊀㊀)Ａ.－５０Ｂ.－６０Ｃ.－７２Ｄ.６０８.设ｘꎬｙ满足约束条件ｘ－ｙ＋１ȡ０ꎬｘ＋２ｙ－２ȡ０ꎬｘɤ３ꎬìîíïïïï则ｙｘ＋２的最大值是(㊀㊀)Ａ.－１１０Ｂ.１２Ｃ.４５Ｄ.５４９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ｜φ｜<π２)的周期为πꎬ其图象关于点(π１２ꎬ０)对称ꎬ有下述四个结论:①函数ｙ＝ｆ(ｘ)在[π１２ꎬπ６]上单调递减ꎻ②函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝５π１２对称ꎻ③函数ｙ＝ｆ(ｘ)的一个零点是－π１２ꎻ④函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象可由ｙ＝ｓｉｎ２ｘ的图象向左平移５π１２个单位长度得到.其中所有正确结论的编号是(㊀㊀)Ａ.①③④Ｂ.②③Ｃ.②④Ｄ.①④１０.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ过Ｆ２的直线与双曲线Ｃ的右支交于ＭꎬＮ两点.若｜Ｆ１Ｍ｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜ꎬ２Ｆ２Ｍң＋Ｆ２Ｎң＝０ꎬ则双曲线Ｃ的渐近线方程为(㊀㊀)Ａ.ｙ＝ʃ２ｘＢ.ｙ＝ʃ１２ｘＣ.ｙ＝ʃ４３ｘＤ.ｙ＝ʃ３４ｘ１１.中国古代数学家刘徽在«九章算术注»中记述:羡除ꎬ隧道也ꎬ其所穿地ꎬ上平下邪.如图所示的五面体ＡＢＣＤＥＦ是一个羡除ꎬ两个梯形侧面ＡＢＣＤ与ＣＤＥＦ相互垂直ꎬＡＢʊＣＤʊＥＦ.若ＡＢ＝１ꎬＥＦ＝２ꎬＣＤ＝３ꎬ梯形ＡＢＣＤ与ＣＤＥＦ的高分别为３和１ꎬ则该羡除的体积Ｖ＝(㊀㊀)Ａ.３Ｂ.４Ｃ.５Ｄ.６１２.设定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ)＝２ｆ(ｘ＋１)ꎬ且当ｘɪ[－１ꎬ０)时ꎬｆ(ｘ)＝－ｘ(ｘ＋１).若对任意ｘɪ[λꎬ＋¥)ꎬ不等式ｆ(ｘ)ɤ３４恒成立ꎬ则实数λ的最小值是(㊀㊀)Ａ.－１７８Ｂ.－９４Ｃ.－１１４Ｄ.－２３８第Ⅱ卷(非选择题㊀共９０分)二㊁填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３.已知ａꎬｂ为正实数ꎬ且满足４ａ＋１ｂ＝１ꎬ则ｂａ＋ｂ的最小值为.１４.已知ａ＝(ｃｏｓθꎬ０)ꎬｂ＝(ｓｉｎθꎬ１)ꎬ其中π６<θ<５π１２ꎬ则３２ａ－１２ｂ的取值范围是.１５.已知әＡＢＣ的三个内角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ其面积为Ｓ.若满足关系式ａ２＋ｂ２－ｃ２＝４２Ｓꎬ则ｔａｎ(π４－Ｃ)＝.１６.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ－２) (ｘ－ｎ＋１)＝ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ ＋ａｎｘｎꎬｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)(ｘ－ｎ)＝ｂ１ｘ＋ｂ２ｘ２＋ ＋ｂｎ＋１ｘｎ＋１ꎬ其中ｎɪＮ∗ꎬａｉɪＲ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬｂｉɪＲ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ＋１)ꎬ则ａ１ａｎ＝ꎬｂ１＋ｎｂ２＋ｎ２ｂ３＋ ＋ｎｎ－１ｂｎ＝.三㊁解答题:共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第１７~２１题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第２２㊁２３题为选考题ꎬ考生根据要求作答.(一)必考题:共６０分.１７.(１２分)据历年大学生就业统计资料显示:某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员㊁教师㊁金融㊁商贸㊁公司和自主创业等六大行业.２０２０届该学院有数学与应用数学㊁计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业ꎬ毕业生人数分别是７０人ꎬ１４０人和２１０人.现采用分层抽样的方法ꎬ从该学院毕业生中抽取１８人调查学生的就业意向.(Ⅰ)应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人?(Ⅱ)国家鼓励大学生自主创业ꎬ在抽取的１８人中ꎬ含有 自主创业 就业意向的有６人ꎬ且就业意向至少有三个行业的学生有７人.为方便统计ꎬ将至少有三个行业就业意向的这７名学生分别记为ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥꎬＦꎬＧꎬ统计如下表:学生ＡＢＣＤＥＦＧ就业意向公务员ˑʻˑʻʻˑˑ教师ˑʻˑʻʻʻʻ金融ˑˑʻʻʻˑˑ商贸ʻʻʻˑʻʻʻ公司ʻʻˑʻʻˑʻ自主创业ʻˑʻˑˑʻʻ其中 ʻ 表示有该行业就业意向ꎬ ˑ 表示无该行业就业意向.(１)试估计该学院２０２０届毕业生中有自主创业意向的学生人数ꎻ(２)现从ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥꎬＦꎬＧ这７人中随机抽取２人接受采访.设Ｍ为事件 抽取的２人中至少有一人有自主创业意向 ꎬ求事件Ｍ发生的概率.１８.(１２分)已知数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ满足２ａｎ－Ｓｎ＝２(ｎɪＮ∗).记ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎ.(Ⅰ)求数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(Ⅱ)设数列{ｃｎ}满足ｃｎ＝０ꎬｎ为奇数ꎬａｎ２ꎬｎ为偶数.{求ｂ１ｃ１＋ｂ２ｃ２＋ ＋ｂｎｃｎ.１９.(１２分)已知ＤꎬＥ分别是әＡＢＣ的边ＡＢꎬＡＣ上的一点ꎬＤＥʊＢＣ.将әＡＤＥ沿ＤＥ折起为әＡ１ＤＥꎬ使Ａ点位于Ａ１点的位置ꎬ连接Ａ１ＡꎬＡ１ＢꎬＡ１Ｃ.(Ⅰ)若ＤꎬＥ分别是ＡＢꎬＡＣ的中点ꎬ平面Ａ１ＢＣ与平面Ａ１ＤＥ的交线为ｌꎬ证明:ｌʅＡＡ１ꎻ(Ⅱ)若平面Ａ１ＢＣʅ平面ＡＢＣꎬәＡＤＥ与әＡＢＣ的面积分别为４和９ꎬＢＣ＝３ꎬ求三棱锥Ａ１￣ＡＢＣ的体积.２０.(１２分)已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ半焦距ｃ＝２ꎬ点Ｆ到右准线ｘ＝ａ２ｃ的距离为１２ꎬ过点Ｆ作双曲线Ｃ的两条互相垂直的弦ＡＢꎬＣＤꎬ设ＡＢꎬＣＤ的中点分别为ＭꎬＮ.(Ⅰ)求双曲线Ｃ的标准方程ꎻ(Ⅱ)证明:直线ＭＮ必过定点ꎬ并求出此定点坐标.２１.(１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝(ｌｎｘ)２＋ａ(ｘ－１)２－１ꎬ其中０<ａɤ１.(Ⅰ)判断函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(Ⅱ)设ｘ１ꎬｘ２是ｆ(ｘ)的两个零点ꎬ求证:ｘ１＋ｘ２>２.(二)选考题:共１０分.请考生在第２２㊁２３题中任选一题作答.如果多做ꎬ则按所做的第一题计分.２２.[选修４－４:坐标系与参数方程](１０分)已知在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθꎬｙ＝３ｓｉｎθ{(θ为参数)ꎬ直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｍ－２ｔꎬｙ＝１＋ｔ{(ｔ为参数).(Ⅰ)若ｍ＝１ꎬ求曲线Ｃ与直线ｌ的两个交点之间的距离ꎻ(Ⅱ)若曲线Ｃ上的点到直线ｌ距离的最大值为２５ꎬ求ｍ的值.２３.[选修４－５:不等式选讲](１０分)已知函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ＋ｔ｜＋｜ｘ－１｜－２ꎬｔɪＲ.(Ⅰ)当ｔ＝１时ꎬ解不等式ｆ(ｘ)ȡ２ꎻ(Ⅱ)若不等式ｆ(ｘ)－ｔ－２ȡ０恒成立ꎬ求实数ｔ的取值范围.。

2020年北京市高考数学猜题试卷（五）数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集U R =，{|1}M x x =<-，(){|20}N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是( )A. {|10}x x -≤<B. {|10}x x -<<C. {|21}x x -<<-D. {|1}x x <-2.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A.11a b> B. a b ->C. 22a b >D. 33a b <3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若l α⊥，l β⊥，则//αβ C. 若l α⊥，//l β，则//αβD. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥4. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，535.“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A B =，则ab的取值范围是( ) A. ()0,3B. ()1,3C. (]0,1D. (]1,27.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ） A.35B. 45-C. 3-D. 3-8.已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A. a b ⋅ B. b c ⋅C. a c ⋅D. 不能确定9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，过点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若20AB BF ⋅=，且12150F AF ∠=，则2e =( )A. 7-B. 7C. 7D. 7+10. 对于定义域为[0,1]的函数)(x f ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立；则称函数)(x f 为理想函数． 下面有三个命题： 若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ； 函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数；若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =，则00)(x x f =；其中正确的命题个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年河南省高考数学猜题大联考试卷（文科）（三）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|√x −1≤2}，N ={0,1，2，3}，则M ∩N =( )A. {0,1，2，3}B. {1,2，3}C. {1,2}D. {3}2. i 是虚数单位，复数z 满足：iz =3+i ，则z −=( )A. 1+3iB. 1−3iC. −1+3iD. −1−3i 3. 已知函数f(x)=x 2+(k −2)x 是[1,+∞)上的增函数，则k 的取值范围为( ) A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)4. 等差数列{a n }中，a 1+a 7=20，S 5=35，则a 20=( )A. 54B. 56C. 58D. 61 5. 已知a =log 32，b =log 3π，c =2√2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. b <a <cC. a <c <bD. c <a <b6. 如图，PA 是圆柱OO 1的一条母线，AB 是底面圆的一条直径，C 是底面圆周上一点，三棱锥P −ABC 的体积与圆柱OO 1的体积之比为1：3π，则tan∠CAB =( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 7. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点M 满足：∠F 1MF 2=60°，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则b =( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 28. 已知正实数p ，q ，r 满足：(1+p)(1+q)=(1+r)2，a =√pq ，b =p+q 2，c =√p2+q 22，则以下不等式正确的是( )A. r ≤aB. a ≤r ≤bC. b ≤r ≤cD. r ≥c9. 执行如图的程序框图，若输入的a =6，则输出的S 值为( )A. 60B. 48C. 24D. 1210. 过原点引y =e x +t 的切线，若切线斜率为1e ，则t =( )A. −eB. 1eC. 2eD. −2e11. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)图象的一条对称轴是x =−π3，且f(x)在(π12,π6)上是单调函数，则ω的最大值为( ) A. 5 B. 6 C. 10 D. 1212. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，M 是渐近线上位于第一象限上一点，|OM|=57|OF|，线段MF 交双曲线于Q ，射线OQ 平分∠MOF ，则双曲线的离心率为( )A. 75 B. 85 C. 2 D. 135二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 等比数列{a n }满足：a 1a 2a 21=1000，则lga 8=______．14. 正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是边BC 、CD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 15. 在区间[0,5]上随机取一个实数x ，满足x 2−2x ≤0的概率为______．16. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，△PBC 为正三角形，BC =2√3，则三棱锥P −ABC 外接球表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2bcosB ac=cosC c+cosA a．(1)求∠B ；(2)若△ABC 面积为S =2√3，外接圆直径为4，求△ABC 的周长．18. 三棱台ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =2，A 1B 1=A 1C 1=m ，A 1B =A 1C ，∠BAC =90°，M 为BC 中点．(1)证明平面A 1AM ⊥平面ABC ；(2)若∠BA 1C =90°，多面体A 1B 1C 1CB 的体积为√22，求m ．参考公式：V 台=13ℎ(S 1+S 2+√S 1S 2)．19. 曲线C ：y 2=2px(p >0)与曲线E ：x 2+y 2=32交于A 、B 两点，O 为原点，∠AOB =90°．(1)求p ；(2)曲线C 上一点M 的纵坐标为2，过点M 作直线l 1、l 2，l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，k 1+k 2=2，l 1、l 2分别交曲线C 于异于M 的不同点N ，P ，证明：直线NP 恒过定点．20. 序号m1 2 3 4 5 年份2015 2016 2017 2018 2019 平均寿命x75.4 76.3 76.6 76.7 77 年龄在60岁以上(不含60)人口数量占比y(%) 15.5 16.7 17.3 17.9 18.1 年龄在16岁以下(不含16)人口数量占比t(%) 17.9 17.7 17.8 17.8 17.6 劳动力(年龄在[16,60]之间)人口数量占比m(%)66.665.664.964.364.3小于65%，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份；(2)人口平均寿命的增长是造成人口老龄化的一个重要因素．由统计规律发现，60岁以上(不含60)人口数量占比y 与人口平均寿命x 拟合线性回归模型． ①求出线性回归方程(精确到0.01)；②到2025年该省人口预期平均寿命为80岁，16岁以下人口占比预期为17.5，计算2025年劳动力占比的预期值(精确到0.1)．参考数据公式：①b ̂=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx −2，a ̂=y −−b ̂⋅x −，②∑x i 5i=1y i =6534.72，③∑x i 25i=1=29186.3，④x −2=5836.96，⑤x −y −=1306.44．21. 已知：函数f(x)=x 2−2xlnx ．(1)证明：f(x)是增函数；(2)已知：0<x 1<1<x 2且f′(x 1)=f′(x 2)，证明：x 1+x 2>2．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =a +√32t y =12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与x 轴交于P ，与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|⋅|PB|=2，求a ．23. 已知f(x)=|x −3|+|x +4|．(1)求不等式f(x)≤9的解集；(2)若f(x)的最小值是k ，且a 2+b 2=k 2，求证：9a 2+16b 2≥1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意，M={x|1≤x≤5}，故M∩N={1,2，3}，故选：B．利用交集定义求解．本题考查集合的交集的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由iz=3+i，得z=3+ii=(3+i)⋅(−i)=1−3i，∴z−=1+3i．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2+(k−2)x为开口向上的二次函数，其对称轴为x=−k−22，若函数f(x)=x2+(k−2)x是[1,+∞)上的增函数，则必有−k−22≤1⇒k≥0，即k的取值范围为[0,+∞)；故选：B．根据题意，由二次函数的性质分析f(x)的开口方向以对称轴，进而可得−k−22≤1，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查二次函数的单调性的性质，涉及函数单调性的定义，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设公差为d，则由{a1+a1+6d=205a1+10d=35，解得：{a1=1d=3，∴a20=a1+19d=58．故选：C．利用等差数列的通项公式和求和公式，列方程求解即可．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵log32<log33=1<log3π，∴a<b，∵2√2>2=log39>log3π，∴c>b，∴a<b<c．故选：A．6.【答案】A【解析】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，∠CAB =θ(0°<θ<90°)， 由∠ACB =90°，可得：S △ABC =12⋅2rcosθ⋅2rsinθ=r 2sin2θ，V P−ABC =13⋅r 2sin2θ⋅ℎ，V 柱=πr 2ℎ，∴13⋅r 2sin2θ⋅ℎπr 2ℎ=13π⇒sin2θ=1⇒θ=45°，tanθ=1．故选：A ．设圆柱的底面半径为r ，高为h ，∠CAB =θ(0°<θ<90°)，分别写出棱锥与圆柱的体积，结合已知求得θ，则答案可求．本题考查圆柱与棱锥体积的求法，训练了由已知三角函数值求角，是基础题． 7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，属于基础题． 设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，可得mn =4，再由椭圆的定义可得m +n =2a ，即可得解． 【解答】解：设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则mncos60°=2，可得mn =4，又m +n =2a ，(1)，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=m 2+n 2−2mncos60°=4(a 2−b 2)(2)， (1)式平方减去(2)式得：b 2=3，得：b =√3． 故选：C ． 8.【答案】B【解析】解：∵(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p +q +pq ≥1+2√pq +pq =(1+√pq)2， 得：1+r ≥1+√pq ⇒r ≥√pq ⇒a ≤r ，又(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p +q +pq ≤1+(p +q)+(p+q 2)2=(1+p+q 2)2， 得：1+r ≤1+p+q 2⇒r ≤p+q 2⇒r ≤b ，故选：B ．利用基本不等式的性质、配方法即可比较出大小关系．本题考查了基本不等式的性质、配方法、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得 i =3，S =6+63=8， i =2，S =8+82=12，i =1，S =12+12=24， 则输出的S 值为24． 故选：C ．由已知框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 10.【答案】D【解析】解：设切点坐标为(x 0,y 0)， 则y′=e x ⇒e x 0=1e ⇒x 0=−1， 又1e =y 0x 0=e x 0+t x 0=−(e −1+t)⇒t =−2e ．故选：D ．先设出切点，然后利用导数求出切线的方程，再将切点的横坐标代入，令其等于1e ，求出切点的横坐标，再根据切线过原点，结合斜率公式即可求出t 的值．本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，属于基础题． 11.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)图象的一条对称轴是x =−π3， ∴−ωπ3+φ=kπ+π2，即φ=kπ+π2+ωπ3，k ∈Z ．且f(x)在(π12,π6)上是单调函数， 显然对称轴在此区间的左侧． ∴ω⋅(−π3)+kπ+π2+ωπ3≥2nπ−π2，n ∈Z ，两边同时乘以−1，可得ω⋅π3−kπ−π2−ωπ3≤−2nπ+π2 ①，且ω⋅(π6)+kπ+π2+ωπ3≤2nπ+π2 ②，再把①②这2个式子相加，可得ω⋅π12≤π，∴ω≤12，即ω得最大值为12，故选：D ．由题意利用正弦函数的图象的对称性以及单调增区间，求出ω的最大值． 本题主要考查正弦函数的图象的对称性以及单调增区间，属于中档题． 12.【答案】B【解析】解：OQ 平分∠MOF 可得：|MQ||QF|=|OM||OF|=57， 又射线OM 所在直线方程为：y =b a x ，M′(a,b)是射线OM 上一点，且|OM′|=c =|OF|， 故OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =57OM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故M(57a,57b)， 设Q(x,y)，由MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =512MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{x =512(c +a)y =512b (其中c =√a 2+b 2) 代入双曲线方程得：25(c+a)2144a 2−25144=1⇒25(e +1)2144=169144⇒e =85．故选：B ．OQ 平分∠MOF 可得：|MQ||QF|=|OM||OF|=57，射线OM 所在直线方程为：y =bax ，M′(a,b)是射线OM 上一点，且|OM′|=c =|OF|，通过OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =57OM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出M(57a,57b)，推出Q 坐标代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，则a 1a 2a 21=a 1⋅a 1q ⋅a 1q 20=1000⇒(a 1q 7)3=1000⇒a 1q 7=10， ∴lga 8=lga 1q 7=lg10=1． 故答案为：1．利用等比数列通项公式列出方程，能求出lga 8=lga 1q 7=lg10=1．本题考查等比数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】4【解析】解：由题意可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+0 =2+2=4，故答案为：4．由题意可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+0， 运算求得结果．本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，得到 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，是解题的关键． 15.【答案】25【解析】解：由x 2−2x ≤0，解得：0≤x ≤2， 由几何概型可知所求概率为P =2−05−0=25． 故答案为：25．求解不等式可得x 的范围，再由测度比的长度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 16.【答案】24π【解析】解：如图，设△ABC 外心为O 1，AO 1交点BC 于M ，则M 为BC 中点， 则由正弦定理可得BCsin120∘=4=2AO 1，解得：AO 1=2， 且由△O 1BA 为正三角形得：O 1M =MA =1， 在正三角形PBC 中，PM =3，又由PA⊥平面ABC可得：O1O=12PA=12√PM2−MA2=√2，故R2=O1O2+O1A2=6，则S球=4πR2=24π．故答案为：24π．作出图象，由正弦定理可求得△ABC的外接圆半径AO1=2，结合图形，可求得外接球半径，即可求其表面积本题考查三棱锥外接球表面积，数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)2bcosBac =cosCc+cosAa⇒2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，∵sinB≠0，即cosB=12∴B=π3；(2)△ABC的面积S=12acsinB=2√3⇒ac=8，bsinB=4⇒b=2√3，由b2=a2+c2−2accosB⇒a2+c2−ac=12，(a+c)2=12+3ac=36，则a+c=6，∴△ABC的周长为6+2√3．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．(2)直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．18.【答案】解：(1)证明：∵M为BC中点，AB=AC=2，∴AM⊥BC，∵A1B=A1C，∴A1M⊥BC，∵AM∩A1M=M，∴BC⊥平面A1AM，∵BC⊂平面ABC，∴平面A1AM⊥平面ABC．(2)解：∵∠BA1C=90°，∴A1M=BC2=√2，AM=√2，AA1=2，∴∠A1MA=90°，由(1)知平面A1AM⊥平面ABC，∴A1M⊥平面ABC，故棱台的高为ℎ=√2，又S△ABC=2，S△A1B1C1=12m2，∵多面体A1B1C1CB的体积为√22，∴由V ABC−A1B1C1−V A1−ABC=13ℎ(12m2+m)=√22，把ℎ=√2代入得：m=1．【解析】(1)推导出AM⊥BC，A1M⊥BC，从而BC⊥平面A1AM，由此能证明平面A1AM⊥平面ABC．(2)推导出∠A1MA=90°，A1M⊥平面ABC，从而棱台的高为ℎ=√2，由多面体A1B1C1CB的体积为√22，得V ABC−A1B1C1−V A1−ABC=13ℎ(12m2+m)=√22，由此能求出m．本题考查面面垂直的证明，考查棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，可设A(a,a)，a >0， 则a 2=2pa ⇒a =2p ，把A(2p,2p)代入曲线C 得：(2p)2+(2p)2=32⇒p =2； (2)证明：由(1)得曲线C 的方程为y 2=4x ，即有M(1,2)， 设N(x 1,y 1)，P(x 2,y 2)， 则k 1=y 1−2x 1−1=y 1−2y 124−1=4y 1+2，同理k 2=4y2+2，k 1+k 2=2⇒4y 1+2+4y 2+2=2⇒y 1y 2=4(∗)，若直线NP 斜率为0，直线NP 的方程设为y =t 0，代入曲线C ，仅有一解，不合题意，舍去； 当m 存在时，设直线NP 的方程设为x =my +t ，把x =my +t 代入y 2=4x 整理得：y 2=4(my +t)⇒y 2−4my −4t =0， 且16m 2+16t >0，得{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4t ，代入(∗)式， 得：−4t =4⇒t =−1，故直线NP 的方程为x =my −1， 可得直线NP 恒过定点(−1,0)．【解析】(1)由对称性和条件可设A(a,a)，a >0，代入抛物线的方程和圆的方程，可得p ；(2)求得M 的坐标，设N(x 1,y 1)，P(x 2,y 2)，讨论直线NP 的斜率是否为0，设出直线NP 的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理，结合直线的斜率公式，以及直线方程恒过定点的求法，即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由图表可知：劳动力人数占比小于65%， 且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份是：2018，2019； (2)①x −=x 1+x 2+x 3+x 4+x 55=76.4，y −=y 1+y 2+y 3+y 4+y 55=17.1，b̂=∑x i 5i=1y i −5x −y−∑x i 25i=1−5x−2=6534.72−5×1306.4429186.3−5×5836.96=1.68，â=y −−b ̂⋅x −=17.1−1.68×76.4=−111.252， 故所求线性回归方程为：y ̂=1.68x −111.25； ②由①得y 关于x 的线性回归方程为ŷ=1.68x −111.25， x =80，求得ŷ=1.68×80−111.25=23.15． 故2025年劳动力占比的预期值为：(100−23.15−17.5)%≈59.4%．【解析】(1)直接由图表得结论；(2)①由表格中的数据求得b ^与a ^的值，可得y 关于x 的线性回归方程；②在①中求得的线性回归方程中，取x =80求得y 值，进一步可得2025年劳动力占比的预期值． 本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】证明：(1)g(x)=f′(x)=2x −2−2lnx ， 则g′(x)=2−2x =2(x−1)x，在区间(0,1)上，g′(x)<0；在区间(1,+∞)上，g′(x)>0．故g(x)最小值为g(1)=0，故f′(x)≥0，即f(x)是增函数．(2)由(1)知：f′(x)=2x −2−2lnx ，故2x 1−2−2lnx 1=2x 2−2−2lnx 2⇒x 2−x 1lnx 2−lnx 1=1⇒2⋅x 2−x 1lnx 2−lnx 1=2， 故欲证x 1+x 2>2，只需证：2⋅x 2−x1lnx 2−lnx 1=2<x 1+x 2， 等价于：lnx 2−lnx 1>2⋅x 2−x 1x1+x 2⇔ln x 2x 1>2⋅x 2x 1−1x 2x 1+1(∗) 令ℎ(x)=lnx −2⋅x−1x+1(x >1)，则ℎ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2(x+1)2>0，故ℎ(x)为增函数，x >1⇒ℎ(x)>ℎ(1)=0，而x 2x 1>1，故ℎ(x 2x 1)>0⇒ln x 2x 1>2⋅x 2x 1−1x 2x 1+1，即(∗)式得证．故原不等式成立．【解析】(1)求出导函数，然后再求解导数，判断函数的单调性，求出最小值，然后说明函数的单调性即可．(2)求出f′(x)=2x −2−2lnx ，欲证x 1+x 2>2，只需证：2⋅x 2−x1lnx 2−lnx 1=2<x 1+x 2，然后构造函数，ℎ(x)=lnx −2⋅x−1x+1(x >1)，通过函数的导数，判断函数的单调性，转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的应用，是难题．22.【答案】解：(1)由{x =a +√32t y =12t (t 为参数)，得直线l 的普通方程为x −√3y −a =0，∵ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴x 2+y 2=4y ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0．(2)易得P(a,0)，将{x =a +√32t y =12t (t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0中，得t 2+(√3a −2)t +a 2=0，由△>0，得−2√3−4<a <−2√3+4，∴t 1⋅t 2=a 2，由t 的几何意义，得|t 1⋅t 2|=a 2=|PA|⋅|PB|=2，∴a =±√2，经验证，a =√2不符合条件，故a =−√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换即可．(2)利用一元二次方程根与系数关系式，结合t 的几何意义求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：∵f(x)=|x −3|+|x +4|≤9，∴{x ≤−4−(x −3)−(x +4)≤9或{−4<x <3−(x −3)+(x +4)≤9或{x ≥3(x −3)+(x +4)≤9， ∴−5≤x ≤−4或−4<x <3或3≤x ≤4．∴不等式f(x)≤9的解集{x|−5≤x ≤4}．(2)∵f(x)=|x −3|+|x +4|≥|x −3−x −4|=7，当且仅当−4≤x≤3时，等号成立，∴f(x)的最小值为7，∴k=7．∴9a2+16b2=(9a2+16b2)⋅a2+b272=149(9+9b2a2+16a2b2+16)≥149(25+2√9b2a2⋅16a2b2)=1，当且仅当a2=21，b2=28时，等号成立，∴9a2+16b2≥1．【解析】(1)根据f(x)≤9，利用零点分段法解不等式即可；(2)根据条件，利用绝对值三角不等式，求出f(x)的最小值k，再利用基本不等式，即可证明9a2+16b2≥1成立．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

年全国Ⅰ卷高考理科数学猜题卷（四）B.D.函数y =f(x)与y =g(x)的图象如图所示，则函数y =f(x)⋅g(x)的图象可能是( )B.D.若函数f(x)={(x −a)2,(x ≤0)x +1x +a,(x >0)的最小值为f(0)，则实数a 的取值范围（ ）[−1, 0] B.[−1, 2]C.[0, 2]D.[1, 2]设实数x ，y 满足条件{4x −y −10≤0x −2y +8≥0x ≥0,y ≥0 ，若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为12，则2a +3b 的） A.83B.256C.4D.113在封闭的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V ）A.9π2 B.4πC.6πD.32π312. 若椭圆x 2a 2+y 2b2=1的焦点在x 轴上，过点(1, 12 )作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（ ） A.x 24+y 25=1 B.x 29+y 24=1 C.x 29+y 25=1D.x 25+y 24=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知(x −ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为________cm ．双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线√3x +y =0的对称点A 是双曲线C 上的点，则双曲线C 的离心率为________．已知函数f(x)=x −(a +1)lnx −ax (a ∈R ，且a <1)，g(x)=12x 2+e x −xe x ，若存在x 1∈[e, e 2]，使得对任意x 2∈[−2, 0]，f(x 1)<g(x 2)恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或以暗算步骤△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 依次成等差数列．（1）若向量m →=(3, sinB)与n →=(2, sinC)共线，求cosA 的值；（2）若ac =8，求△ABC 的面积S 的最大值．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0, 10)，[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附参考公式与：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为梯形，平面PAD ⊥平面ABCD ，BC // AD ，PA ⊥PD ，AB ⊥AD ，∠PDA =60∘，E 为侧棱PD 的中点，且AB =BC =2，AD =4． （1）求证：CE // 平面PAB ；（2）求二面角A −PB −C 的余弦值．设O 为坐标原点，已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，抛物线C 2:x 2=−ay 的准线方程为y =12．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设过定点M(0, 2)的直线t 与椭圆C 1交于不同的两点P ，Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围．已知函数f(x)=ax +bx （其中a ，b ∈R ）在点（1, f(1)）处的切线斜率为1． （1）用a 表示b ；（2）设g(x)=f(x)−lnx ，若g(x)≥1对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果g(x 1)=g(x 2)，证明：x 1+x 2≥2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑[选修4-4参数方程与极坐标]在极坐标系中，已知圆C的圆心C(√2, π4)，半径r=√3．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若α∈[0, π4)，直线l的参数方程为{x=2+tcosα,y=2+tsinα（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|2x−1|−|x+2|．（1）解不等式f(x)>0；（2）若∃x0∈R，使得f(x0)+2m2<4m，求实数m的取值范围．此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】球内较多面绕球的体都连表面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】多面体水水转体表常育的最短距离问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲体的某性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】导数求根数的最助【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或以暗算步骤【答案】此题暂无答案【考点】数三的最用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】独根性冬验离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面射量空解析湖何惯的应用椭圆水明心率直线常椭圆至合业侧值问题抛物线正算准方程椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题导数求根数的最助【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑[选修4-4参数方程与极坐标]【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】绝对值射角不等开【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年河北省衡水中学高考数学猜题卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3}2．设i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为（1，2），则z=（）A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i3．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%4．已知平面向量和的夹角为60°，，，则=（）A．20 B．12 C．D．5．设等差数列{a n}的前n项为S n，已知S13＞0，S14＜0，若a k•a k+1＜0，则k=（）A．6 B．7 C．13 D．146．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．40 B．C．D．7．已知函数，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，若f（x）＞0对恒成立，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．249．在2020年至2020年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2020年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A．m（1+q）4元B．m（1+q）5元C．元D．元10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（）A． B． C．D．12．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为．14．实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．15．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是．16．已知三棱锥P﹣ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．18．参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x（元/kg）10 20 30 40 50 60年销量y（kg）1150 643 424 262 165 86 z=2lny 14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9（参考数据：，，）（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x n，y n），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==， =﹣n••．19．如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心，半径r=3．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．2020年河北省衡水中学高考数学猜题卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A中x的范围，确定出整数解得到A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即A={0，1，2，3}，由B中不等式变形得：lnx＜lne，解得：0＜x＜e，即B=（0，e），则A∩B={1，2}．故选：C．2．设i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为（1，2），则z=（）A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数在复平面内对应的点为（1，2），得到=1+2i，化简即可【解答】解：复数在复平面内对应的点为（1，2），则=1+2i，∴z=2﹣i，故选：B．3．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%【考点】B8：频率分布直方图．【分析】本题为对等高条形图，题目较简单，注意阴影部分位于上半部分即可．【解答】解：由图可知，女生喜欢理科的占20%，男生喜欢理科的占60%，显然性别与喜欢理科有关，故选为C．4．已知平面向量和的夹角为60°，，，则=（）A．20 B．12 C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义先求出=1，然后利用向量模长与向量数量积的关系进行转化求解即可．【解答】解：向量和的夹角为60°，，，∴||=2， =2×1×=1，∴2=+4+4=4+4+4=12，∴=2，故选：D5．设等差数列{a n}的前n项为S n，已知S13＞0，S14＜0，若a k•a k+1＜0，则k=（）A．6 B．7 C．13 D．14【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据等差数列{a n}的前n项和公式，利用项的性质，列出不等式组，求出a7＞0，a8＜0，即得k的值．【解答】解：根据题意，S13＞0，S14＜0，得，即，∴，∴；又a k•a k+1＜0，∴k=7．故选：B．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．40 B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体直三棱柱割去一个等高底面不等的三棱锥，由此求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱柱BCE﹣AGF割去一个三棱锥A﹣BCD所得的图形，如图所示；∴V几何体CDEFGA=×4×4×4﹣××（×4×4）×4=．故选：B．7．已知函数，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，若f（x）＞0对恒成立，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的周期性求得ω，结合题意求得cos（x+φ）＞，结合x+φ∈（﹣+φ， +φ），可得﹣≤﹣+φ，且+φ≤，由此求得φ的取值范围，综合得出结论．【解答】解：令f（x）=1，求得cos（ωx+φ）=1，∵函数，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，故函数f（x）的最下正周期为=，∴ω=，f（x）=2cos（x+φ）．若f（x）＞0对恒成立，即cos（x+φ）＞．又当x∈（﹣，）时， x+φ∈（﹣+φ， +φ），∴﹣≤﹣+φ，且+φ≤，∴﹣≤φ≤﹣．综合可得，﹣＜φ≤﹣，故选：B．8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24【考点】EF：程序框图．【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．9．在2020年至2020年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2020年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A．m（1+q）4元B．m（1+q）5元C．元D．元【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q）4，2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q）3，2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q）2，2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q），由此利用等比数列前n项和公式能求出到2020年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，取回的金额．【解答】解：2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q）4，2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q）3，2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q）2，2020年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2020年6月1日本息和为：m（1+q），∴到2020年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是：S=m（1+q）（1+q）+m（1+q）2+m（1+q）3+m（1+q）4==．故选：D．10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b 的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（）A． B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1，可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），利用排除法即可得到答案．【解答】解：令f（x）=x3﹣3x2+x+1，则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），∴f（，1）=0，f（1﹣）=0，f（1+）=0，∵sgn（x）=，∴sgn（f（1））=0，可排除A，B；又sgn（f（1﹣））=0，sgn（f（1﹣））=0，可排除C，故选D．12．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，令h（x）=，且t=h（x），则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，求导h′（x）==0，解得：x=e，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，解得：a＞1，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为1，．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】验证α=﹣1，1，，，时，是否满足函数y=xα的定义域为R且为奇函数即可．【解答】解：∵α∈{﹣1，1，，， }，∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为[0，+∞），不满足题意；当α=时，函数y=的定义域为R且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为[0，+∞），不满足题意；综上，使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为：1，．故答案为：．14．实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x﹣y过点A时，z取得最大值，由：可得A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：2×2﹣1=3．故答案为：3．15．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆上点到原点距离d=，从而|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，圆上点到原点距离为d，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为根号，∴d=，∴|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|∴||＜|a|＜，即1＜|a|＜3，解得 1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）．16．已知三棱锥P﹣ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P﹣ABC球半径为R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R=OP，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则S△ABC==，解得r=1 ∵三棱锥P﹣ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4．∴，∴PA=2如图，设球心为O，M为△ABC的外接圆的圆心，则OM=则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R==．三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=8π．故答案为：8π三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；（Ⅱ）由于△BCD面积为，得到•BC•BD•sin =，得到BD，再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos，再由DA=DC，即可得到边AB的长．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得sin∠BDC==，则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=．又由DA=DC，则∠A=．（Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则•BC•BD•sin=，解得BD=．再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos=1+﹣2××=，故CD=，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．18．参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x（元/kg）10 20 30 40 50 60年销量y（kg）1150 643 424 262 165 86 z=2lny 14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9（参考数据：，，）（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x n，y n），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==， =﹣n••．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；（2）求得样本中心点（，），则==≈﹣0.10，由=﹣•=15.05≈15，即可求得线性回归方程，则；（3）年利润L（x）=x•=x•，求导，令L′（x）=0，即可求得年利润L（x）的最大值．【解答】解：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；（2）由==35， ==11.55，==≈﹣0.10，由=﹣•=15.05≈15，=x+=15﹣0.10x，线性回归方程为： =15﹣0.10x，则y关于x的回归方程==，∴y关于x的回归方程==；（3）年利润L（x）=x•=x•，求导L′（x）=•（1﹣x•），令导L′（x）=0，解得：x=20，由函数的单调性可知：当x=20时，年利润的预报值最大，∴定价为20元/kg时，年利润的预报值最大．19．如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，由勾股定理得AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．（2）连结AE，CE，则AG为三棱锥A﹣BCE的高，GC为△BCE的高，利用V E﹣ABC=V A﹣BCE，能求出三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，在多面体中，由AC=，得AG2+CG2=AC2，∴AG⊥GC，又GC∩BE=G，GC，BE⊂平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．（2）解：连结AE，CE，则AG为三棱锥A﹣BCE的高，GC为△BCE的高，在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，∴，∴V E﹣ABC=V A﹣BCE==2．20．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b=，所以a=2，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤=，（k=±时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心，半径r=3．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，由垂径定理能求出圆C的极坐标方程．（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），由已知求出点Q的极坐标为（，θ），由此能求出点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，由垂径定理得|ON|=|OC|cos（），∴|OM|=2×3cos（），即ρ=6cos（）为所求圆C的极坐标方程．（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），∵P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，∴点Q的极坐标为（，θ），由于点Q在圆上，所以ρ=6cos（）．故点P的轨迹方程为ρ=10cos（）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，求得﹣＜a＜．。

2π⋅10e．．．2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！【试题1】某地区在高三第二轮复习组织一次大型调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数f(x)=1-(x-88)2200(x∈(-∞,+∞))，则下列命题不正确的是A.某地区这次考试的数学平均数为88分B.分数在120分以上的人数与分数在56分以下的人数相同C.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同D.某地区这次考试的数学标准差为10【猜题理由】正态分布在新课标中，只要求它的基本性质，特别是正态曲线的对称性，而这些在现在高考命题是可操作的.【解答】由题意可知，μ=88，σ2=100，∴σ=10，由正态分布曲线的对称性可知仅C不正确.故选C.【试题2】三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC的射影为O满足OA+OB+OC=0，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，P A=6，则此三棱锥体积最大值是A．36 B.48 C.54 D.72【猜题理由】动态几何问题能有效地考查考生的能力，而且本题利用向量这一工具，使三棱锥体积最大值问题顺利地解决，具有较强的综合性.为正三棱锥. 设 AB=x ，则 AO= x【解答】∵ OA + OB + OC =0，∴O 为⊿ABC 的重心.又 A 点在侧面 PBC 上的射影 H 是△PBC 的垂心，∴P HPH⊥BC ，而 PA 在侧面 PBC 上的射影为 PH ，∴PA⊥BC ，又而 PA 在面 ABC 上的射影为 PO ，∴AO⊥AODCBBC. 同理可得 CO⊥AB ，∴O 是△ABC 的垂心. 由于⊿ABC 的重心与垂心重合，所以⊿ABC 为等比三角形，即三棱锥 P-ABC3 ，∴PO=x 2 1 336― ，∴V= ×3 3 4x 1x 2×36― =3 12108x 4―x 6，令 f (x )=108x 4―x 6，则 f ノ(x )=6x 3(72―x 2)，∴当 x ∈(0，62)时 f (x )递增；当 x ∈(62，6 3)时 f (x )递减，故 x =6 2时 f (x )取得最大值 36. 故选 A ．【试题 3】若关于的方程 x 2―(a 2+b 2―6b )x + a 2+b 2+2a ―4b +1=0 的两个实数根 x 1，x 2 满足 x 1≤0≤x 2≤1，则 a 2+b 2+4a 的最大值和最小值分别为17 A ． 和 5+4 5B. ― 和 5+4 22 75 C. ― 和 1221D. ― 和 15―4 52PbA Oa【猜题理由】本题在函数、方程、线性规划的交汇处命题，有效地考查了函数与方程思想方法，以及解答线性规划的基本方法.【解答】令 f (x )= x 2―(a 2+b 2―6b )x + a 2+b 2+2a ―4b +1，则由题意有 f (0)=25a 2+b 2+2a ―6b +1≤0 且 f (1)=2a +2b +2≥0 ， 即 (a +1)2+(b ―2)2≤4 且a +b +1≥0 ，在直角坐标平面a Ob 上作出其可行域如图所示，而a 2+b 2+4a =(a +2)2+b 2―4 的几何意义为|PA|2―4（其中 P(a ，b )为可行域内任意的一点，A(―2，0)). 由图可知，当 P 点在直线 l ：a +b +1=0 上且AP⊥l 时取得最小值；当 P 点为 AC(C 为圆(a +1)2+(b ―2)2≤4 的圆心)的延长线与圆 C 的交点时达到最大值. 又 A 点的直线 l 的距离为1 2，7|AC|=5 ， 所 以 a 2+b 2+4a 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 ― 和 (+2)2―4=5+4 5.故选 B ．【试题 4】已知函数 f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的图象经过原点，且在 x =1 处取得极值，直线 y =2x +3 到曲线 y =f (x )在原点处的切线所成的夹角为450.(1)求 f (x )的解析式；(2)若对于任意实数 α 和 β 恒有不等式| f (2sinα)―f (2sinβ)|≤m 成立，求 m 的最小值(3)若 g (x )=xf (x )+tx 2+kx +s ，是否存在常数 t 和 k ，使得对于任意实数 s ，g (x )在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在 x 0(x 0>1)使得 g (x )在[1，x 0]上递减？若存在，求出 t + k 的取值范围；若不存在，则说明理由.【猜题理由】 本题在函数和导数、以及线性规划的交汇处命题，具∴1=tan450= b ―2有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放度，情景新颖.【解答】(1)由题意有 f (0)= c =0，f ノ(x )=3 x 2+2ax +b ，且 f ノ(1)=3+2a +b =0.又曲线 y =f (x )在原点处的切线的斜率 k =f ノ(0)= b ，而直线 y =2x +3到它所成的夹角为 450，1+2b ，解得 b =― 3. 代入 3+2a +b =0 得 a =0.故 f (x )的解析式为 f (x )=x 3― 3x .(2)∵对于任意实数 α 和 β 有 2sinα，2sinβ∈[－2，2].由 f ノ(x )=3x 2―3=3(x ―1) (x +1)可知，f (x )在(－∞，―1]和[1，＋∞)上递增；在[－1，1]递减.又 f (―2)= ―2，f (―1)= 2，f (1)= ―2，f (2)= 2，∴f (x )在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2 和 2.∴对于任意实数 α 和 β 恒有| f (2sinα)―f (2sinβ)|≤4.故 m ≥4，即 m 的最小值为 4.(3)∵g (x )=x (x 3― 3x )+tx 2+kx +s = x 4+(t ―3)x 2+kx +s ，∴ g ノ ( x )= 4x 3+2(t ―3)x +k ，∴要使 g (x )在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在 x 0(x 0>1)使得 g (x )在[1，x 0]上递减，只需在[－3，―2]和[1，x 0]上 g ノ(x )≤0，而在[－1，0]上 g ノ(x )≥0.令 h (x )= g ノ(x )，则 h ノ(x )= 12 x 2+2(t ―3)，当 t ―3≥0 时，h ノ(x )在6]和[3―tR上恒为非负，此时显然不存在这样的常数t和k，∴t―3<0.当t―3<0时，g(x)在(－∞，―3―t6，+∞)上递增，而3―t3―t在[―，―]上递减.66∴要使h(x)在[－3，―2]和[1，x]上h(x)≤0，而在[－1，0]上h(x)≥0，只需h(―2)=―32―4(t―3)+k⎧h(―2)=―32―4(t―3)+k≤0，⎪h(―1)=―4―2(t―3)+k≥0，⎨h(0)=k≥0，⎪h(1)=4+2(t―3)+k≤0，⎩t<3，⎧4t―k+20≥0，⎪2t―k―2≤0，kA(―3，8)B(―5，0)Ot即⎨k≥0，⎪2t+k―2≤0，⎩t<3，作出可行域如图所示，由图可知，当直线t+k=z过A点时z取得最大值5，当直线t+k=z过B点时z取得最大值―5.故存在这样的常数t和k，其取值范围为[－5，5].【试题5】“建设创新型国家”是2006年3月份召开的“两会”（全国人大、政协）的主要议题.某公司为了响应党中央的号召，决定投资创新科技的研发，经调查有两个可投资意向的项目：A项目是国家重点扶持尖端型创新科技研发的项目，每年需要研发的经费5a万元，若能申请国家扶持成功，则在近三年内每年可得到国家的研发经费a万元，在研发的第n年能研发成功的概率组成以2为公比、0.01为首项的等比数列，2010年后将失去研发价值，若能研发成功在2026年以前（包括2026年）每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益10a万元；B 项目是该公司的垄断的基础型创新研发的项目，每年需要研发的经费2a 万元，在当年内能研发成功的概率组成以0.1为公差、0.1为首项的等差数列，估计3年后将失去研发价值，若能研发成功在2015年（包括2015年）以前每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益3a万元.并且项目研发上马后就不会在中途停止研发，直到没有研发价值的时候为止.在全国范围内另外有1个像该公司具有研发A项目实力的公司准备在2006年投资研发A项目，若在某一年有几个公司同时研发成功，则以后A项目的所有的经济效益由同时研发成功的这几个公司均分.请你帮助该公司作出决策：在2006年应该投资研发哪一个项目？并说明你的理由.【猜题理由】本题取材于社会热点问题，情景新颖，背景公平，具有较好的教育意义，而且能较好地考查考生灵活地运用所学的概率知识来分析解决实际问题的能力，体现了新课标的理念.【解答】（1）若该公司投资研发A项目，则：若该公司在2006年研发成功，其经济效益期望为Eξ=200a×0.01×(1―0.01)+100a11×0.01×0.01≈1.99a万元.Eξ21=190a ×0.02×(1―0.02)+ a ×0.02×0.02≈3.762a 万元. Eξ31=180a ×0.04×(1―0.04) + a ×0.04×0.04≈7.056a 万元.Eξ41=170a ×0.08×(1―0.08)+ a ×0.08×0.08≈13.056a 万元. 若该公司在 2006 年没有研发成功，而另一个公司在 2006 年研发成功，于是该公司的经济效益期望为 Eξ12=―4a ×(1―0.01)×0.01≈―0.0396a 万元.若该公司在 2007 年研发成功，其经济效益期望为190 2若该公司在 2007 年没有研发成功，而另一个公司在 2007 年研发成功，于是该公司的经济效益期望为 Eξ22=―8a ×(1―0.02)×0.02≈―0.0784a 万元.若该公司在 2008 年研发成功，其经济效益期望为180 2若该公司在 2008 年没有研发成功，而另一个公司在 2008 年研发成功，于是该公司的经济效益期望为 Eξ32=―12a ×(1―0.04)×0.04 ≈―0.1536a万元.若该公司在 2009 年研发成功，其经济效益期望为170 2若该公司在 2009 年没有研发成功，而另一个公司在 2009 年研发成功，于是该公司的经济效益期望为 Eξ42=―17a ×(1―0.08)×0.08≈―0.2944a万元.Eξ51=160a ×0.16×(1―0. 16)+ a ×0. 16×0. 16≈23.552a 万元. ―19.5354a若该公司在 2010 年研发成功，其经济效益期望为1602若该公司在 2010 年没有研发成功，则该公司总要损失 22 a 万元，于是该公司的经济效益期望为 Eξ52=―22a ×(1―0. 01―0. 02―0. 04―0. 08―0.16)≈―15.18a 万元.所以该公司投资研发 A 项目的经济效益期望为 Eξ11+ E ξ12+ E ξ21+ E ξ22+ Eξ31+ Eξ32+ Eξ41+ Eξ42+ Eξ51+ Eξ52≈33.67 a 万元.其 投 资 的 期 望 为 4a [0.01+(1 ― 0.01)×0.01]+ 8a [0.02+(1 ―0.02)×0.02]+ 12a [0.04+(1 ― 0.04)×0.04]+17a [0.08+(1 ―0.08)×0.08]+22a {1―[0.01+(1 0.01)×0.01]―[0.02+(1 ―0.02)×0.02]―[0.04+(1 ― 0.04)×0.04]―[0.08+(1 ― 0.08)×0.08]=19.5354a其投资的经济效益期望的平均效率为33.67a≈1.723538，平均每年11.22333a的经济效益期望为 ≈11.22333 万元.5（2）设该公司投资研发 B 项目的经济效益为 η 万元，则ξ的可能取值为27a ，24a ，21a ，―6a . 而 P(η=27a )= 0. 1，P(η=24a )= 0. 2，P(η=21a )=0. 3， P(η=―6a )= 0. 7，∴Eη=27a ×0.1+24a ×0.2+21a ×0.3―6a ×0.3=12 a 万元.A(―7其投资的期望为2a×0.1+4a×0.2+6a×0.7=5.2a万元.其投资的经济效益期望的平均效率为2.3076923，平均每年的经济效益期望为4a万元.尽管A项目的投资经济效益期望的平均效率比B项目略低，但总的经济效益期望和平均每年的经济效益期望比B项目高得多，故应建议该公司在2006年投资研发A项目.【试题6】在直角坐标平面中，ΔABC的两个顶点AB的坐标分别为7a，0)，B(77a，0)(a>0)，两动点M，N满足MA+MB+MC=0，|NC|=7|NA|=7|NB|，向量MN与AB共线.(1)求ΔABC的顶点C的轨迹方程；(2)若过点P(0，a)的直线与(1)轨迹相交于E、F两点，求PE·PF的取值范围；(3)(理科作)若G(―a，0)，H(2a，0)，Q点为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ(λ>0)，使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【猜题理由】本题本题在平面向量和解析几何的交汇处命题，重点考查了解析几何的基本思想方法，体现最新《考试大纲》的要“构造有一定的深度和广度的数学问题”高考命题要求.【解答】(1)设(x，y)，∵MA+MB+MC=0，∴M点是ΔABC的重心，代入 x 2―y 2而 x 1，x 2 是方程的两根，∴x 1+x 2= ，x 1x 2= .x 1x 2= =4a 2(1+ )∈(－∞， 4a 2)∪(20a 2，＋∞).3x y∴M( ， ).3 3又| NA |=| NB |且向量 MN 与 AB 共线，∴N 在边 AB 的中垂线上，∴N(0，y ). 3而| NC |= 7| NA |，∴4x 2+ y 2= 791 1 y 2a 2+ y 2，即 x 2― =a 2. 7 9 3(2)设 E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，过点 P(0，a )的直线方程为 y =kx +a ，3 =a 2 得 (3―k 2)x 2―2akx ―4a 2=04∴Δ=4a 2k 2+16a 2(3―k 2)>0，即 k 2<4. ∴k 2―3<1，∴k 2―3 >4 或 4k 2―3<0.2ak ―4a 2 3―k 23―k 2∴ PE · PF =(x 1 ， y 1―a )·(x 2 ， y 2―a )= x 1x 2+kx 1·kx 2=(1+k 2)―4a 2(1+k 2)4 3―k 2k 2―3故 PE · PF 的取值范围为(－∞，4a 2)∪(20a 2，＋∞).(3) 设 Q(x 0，y 0) (x 0>0，x 0>0)，则 x 02―y 02=a 2，即 y 02=3(x 02―a 02).当 QH⊥x 轴时，x 0=2a ，y 0=3a ，∴∠QGH= ，即∠QHG= 2∠QGH ，x 0―2a ，tan∠QGH= y 0x 0+a ，1―tan 2∠QGH =x 0+a x 0+a ) 2(x 0+a )2―y 0 2 = 2y 0(x 0+a ) y 0(x 0+a )2―3(x 02―a 02) x 0―2ayπ4故猜想 λ=2，使∠QHG=λ∠QGH 总成立.当 QH 不垂直 x 轴时，tan∠QHG=― y 02y 0∴ tan2∠QGH= 2tan∠QGH1―( y 0 = 2y 0(x 0+a )=― = tan∠QHG.π π又 2∠QGH 与∠QHG 同在(0， )∪( ，π)内，∴2∠QGH=∠QHG.2 2故存在 λ=2，使 2∠QGH=∠QHG 恒成立.【试题 7】在直角坐标平面中，过点 A 1(1，0)作函数 f (x )=x 2(x >0)的切线 l 1，其切点为 B 1(x 1，y 1)；过点 A 2(x 1，0)作函数 g (x )=e x (x >0)的切线l 2，其切点为 B 2(x 2，y 2)；过点 A 3(x 2，0)作函数 f (x )= x 2(x >0)的切线 l 3，其切点为 B 3(x 3，3)；如此下去，即过点 A 2k―2(x 2k―2，0)作函数 f (x )=x 2(x >0)的切线 l 2k―1，其切点为 B 2k―1 (x 2k―1，y 2k―1)；过点 A 2k―1 (x 2k―1，0)作函数g (x )= e x (x >0)的切线 l 2k ，其切点为 B 2k (x 2k ，y 2k )；….(1)探索 x 2k―2 与 x 2k―1 的关系，说明你的理由，并求 x 1 的值；x 4+1 x 6+1 x 2n +1 【解答】 ）∵f ノ(x )=2x ，∴切线 l 2k―1 的方程为 y ―x 2k―12=2 x 2k―1(x ―x 2k―1)，=e x = e x(2)探索 x 2k―1 与 x 2k 的关系，说明你的理由，并求 x 2 的值；(3)求数列{x n }通项公式 x n ；1(4)是否存在实 t ，使得对于任意的自然数 n 和任意的实数 x ，不等式x 2+12 3 n 6+ + +…+ ≤3tx 4―4tx 3―12tx 2+33t ― 恒成立？若存在，求t出这样的实数 t 的取值范围；若不存在，则说明理由.【猜题理由】本题以导数为背景，命制出数列与函数、导数、不等式的 综合试题，重点考查数列的基本思想方法，综合较强，与高考的压轴题 的难度相当，具有较强的预测性.（1又切线 l 2k―1 过点 A 2k―2(x 2k―2，0)，∴0―x 2k―12=2 x 2k―1(x 2k―2―x 2k―1)，且 x 2k―1>0，∴x 2k―1=2 x 2k―2.∴x 1=2.(2)又 g ノ(x )=( e x ) ノ= e x ，∴切线 l 2k 的方程为 y ―e x 2k2 k(x ―x 2k )，而切线l 2k 过点 A 2k―1(x 2k―1，0)，∴0―e x 2k2k(x 2k―1―x 2k )，且 x 2k >0，∴x 2k = x 2k―1+1. ∴x 2=x 1+1=3.(3)由(1) (1)可知 x 2k = x 2k―1+1 = 2x 2k―2+1，即 x 2k +1= 2(x 2k―2+1)，∴数列{x 2k +1}为等比数列，且首项为 4，∴x 2k +1=4×2k―1，即 x 2k =2k+1―1.而 x 2k ― 1=2 x 2k ― 2=2(2k ―1)= 2k+1 ― 2 ， 故 数 列 {x n } 通 项 公 式 为⎧2 ―2 (n 为奇数)， x n =⎨⎩ 2―1 (n 为偶数).(4) (理)令 S n = + + +…+x 2+1 x 4+1 x 6+1 x 2n +1 22 23 24∴ S n = S n =― n ∴S n =1――2n+2 )―(1― n +22n+1 )=n +1 2n+2 >0，∴数列{ S n }递增.又当 n ≥6 时，2n+1=2(1+1) n =2(1+C +C +C +C +…+C +Cn +C )>4(1+C +C )>2(n 2+n ) ，∴0< n +2 +C n ―1 < n +22n+1 2(n 2+n ) ，而 n lim ∞ n n nn +3 2 n +2 21 12 3n+ + +…+ ， 2 23 24 252n+21 2 3 n 1 2 3 n= + + +…+2n+1 ，两式相减得1 1 123 + + + 2 22 23 24 25+…+n n ― 2n+1 2n+2= 1 1 [1― ] 4 2n1 1―22n+2 =1 21n(1― )― ，2n 2n+21 nn +2=1― .2n 2n+1 2n+1n +3∴S n+1― S n =(1―1 2 1 3 n ―3 n ―2n nn n n n1 2 →=0，∴n lim ∞S n =1.→t x )= 12t (x 3 ― x 2 ― 2x )=∴h (x )min = t ― .x +4n +22(n 2+n )6令 h (x )= 3tx 4 ― 4tx 3 ― 12tx 2+33t ― ， 则 h ノ (12tx (x +1)(x ―2)，∴当 t <0 时，h (x )在(―∞，―1)和(0，2)上递增，在(―1， 0)和(2，+∞)上递减，此时不存在这样的实数 t .当 t >0 时，h (x )在(―∞，―1)和(0，2)上递减，在(―1， 0)和(2，+∞)上递增，开始∴h (x )在 x =―1 或 x =2 处取得极小值，而(1)输入 x =4，y =2，z =0，n =16 6h (―1)=―5t +33t ― ，h (2)=―32t +33t ― ，t t(4)x =x +36t(2)n 为偶数？是(3)否n =n +1∴对于任意的自然数 n 和任意的实数 x 不6等式恒成立等价于 t ― ≥1，t(5)(6)n =n +1x =4x(7) y =y +2而 t >0，所以有 t 2―t ―6≥0，解得 t ≥3 或(8)t ≤―2 (舍).z = z +y否故存在这样的实数 t ，其取值范围为 t ≥3.(9) n =2007?(10)是打印 x ，z结束⎪4x(n =2k )，⎩n⎪⎩4x n (n =2k )，【试题 8】右图是某计算机的程序框图.(1)求打印出来的 x 的值；(2)求打印出来的 z 的值；(3)若将程序框图中的语句(9)“n =2007?”改为“z ≥1?”，则张三同学说这是死循环(即一直无限的算下去而没有结果 )，而李四说不会是死循环，你认为哪个同学说的正确？并说出你的理由.【猜题理由】本题以程序框图作背景，情景新颖，而且体现了新课标的 理念，与新课标联系紧密，是新课程教材（现行教材）向新课标教材过 渡时期的优秀试题.【解答】 (1) 从数列角度来看，语句(4)( 即“ x =x +3 ”) 可以理解为x n+1=x n +3(其中 n ∈N *)，语句(6)（即“x =4x ”）可以理解为 x n+1=4x n (其中 n ∈ N ) ， 而 语 句 (2) ～ (6) 是 一 个 小 循 环 ， 执 行 的 程 序 是⎧⎪x n +3 (n =2k ―1)，x n+1=⎨ (k ∈N). 同理语句(2)～(9)是一个大循环，其终止条件为“n =2007”.⎧⎪x n +3 (n =2k ―1)，于是问题转化为：在数列{x n }中，x 1=4，x n+1=⎨ (k∈N)，求 x 2007.∴x 2n+2= x 2n+1+3=4 x 2n +3，即 x 2n+2+1=4 x 2n +4=4 (x 2n +1)， 令 a n = x 2n +1 ， 则 a n=1=4a n ， ∴ 数 列 { a n } 为 等 比 数 列 ， 且a 1=x 2+1=(x 1+3)+1==8，∴a n ==8×4n―1=2×4n .y y 2n+1”)执行的程序是 z 2n+1= z 2n―1+，则 z 2n―1 为数列{c n }的前项和，∴z 2n―1= x 2n―1+4 x 3+4 x 5+4+ y 2n―1x 2n―1+4 42 43两边同乘以 得 z 2n―1=故 x 2n =2×4n ―1，∴x 2n―2=2×4n―1―1，∴x 2n―1=4 x 2n―2=4(2×4n―1―1)=2×4n ―4.故 x 2007= x 2×1004―1= 2×41004―4= 22009―4，即打印出来的 x 的值为22009―4.(2)由于经过语句 (2)～(7)的小循环后， n 为偶数才执行语句 (7)(即“y =y +4”)，从数列角度来看，它可以理解为 y 2n+1=y 2n―1+2(其中 n ∈N *).令 b n = y 2n―1，则 b n+1=b n +2，数列{b n }为等差数列，且 b 1= y 1=2，∴b n ==2+2(n ―1) =2 n .∴y 2n―1=2 n .此时语句(8) (即“z = z + . 于x +4 x 2n+1+4是令 c n = y 2n―1 y 3 y 5+ +…2 3 n= + +…+ ， 4n1 123 n ―1 n+ +…++ ，4 4 43 44 4n 4n+1z 2n―1= = 1 = ― ，∴z 2n―1= ― .故 z 2007=z 2×1004―1= (3)由于对于任意的自然数 n ，都有 z 2n―1= ― <1，即不存在两式相减得3 2 1 1 1 n+ + +…+ ―4 42 43 44 4n 4n+142+ 1 1 (1―16 4n―1 1 1―4)― n 4n+1111n7 3n +1 7 12n +4= + (1― )―42 12 4n―1 4n+1 48 3×4n 36 9×4n7 3013 7 3013―，即打印出来的 x 的值为 ― .36 9×22006 36 9×220067 12n +436 9×4n自然数 n ，使得 z 2n―1≥ 1.所以张三同学说的是对的.1．设f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导函数为f'(x),且对任意正数x均有f'(x)>f(x)，x(Ⅰ)判断函数F(x)=f(x)在(0,+∞)上的单调性；x(Ⅱ)设x，x∈(0,+∞)，比较f(x)+f(x)与f(x+x)的大小，并证明你的121212xxx + xxf ( x )f ( x + x + L + x ) ，结论；（Ⅲ）设 x ， x ， L x ∈ (0, + ∞) ，若 n ≥ 2 ，比较 f ( x ) + f ( x ) + L + f ( x ) 与1 2n12nf ( x + x + L + x ) 的大小，并证明你的结论.1 2n解：(Ⅰ)由于 f '( x ) > f ( x) 得， xf '( x) - f ( x) > 0 ，而 x > 0 ，则 xf '( x ) - f ( x ) > 0 ，xx则 F '( x ) = xf '( x) - f ( x) > 0 ，因此 F ( x ) = f ( x) 在 (0, + ∞) 上是增函数.x 2x(Ⅱ)由于 x ，x ∈ (0, + ∞) ，则 0 < x < x + x ，而 F ( x ) = f ( x) 在 (0, + ∞) 上是1 2112增函数，则 F ( x ) < F ( x + x ) ，即 f ( x 1 ) < f ( x 1 + x 2 ) ，∴ ( x + x ) f ( x ) < x f ( x + x )1121 2 1 1 1 21 12（1），同理 ( x + x ) f ( x ) < x f ( x + x ) （2）122212（1）+（2）得： ( x + x )[ f ( x ) + f ( x )] < ( x + x ) f ( x + x ) ，而 x + x > 0 ，1212121212因此 f ( x ) + f ( x ) < f ( x + x ) .1212（Ⅲ）证法 1: 由于 x ，x ∈ (0, + ∞) ，则 0 < x < x + x + L + x ，而 F ( x ) = f ( x) 1 2112n在 (0, + ∞) 上 是 增 函 数 ， 则 F ( x ) < F ( x + x + L + x ) ， 即11 2 n1 <1 2 n x x + x L + x1 12n∴ ( x + x + L + x ) f ( x ) > x f ( x + x + L + x )12n1112n同理 ( x + x + L + x ) f ( x ) > x f ( x + x + L + x )12n2212n……………( x + x + L + x ) f ( x ) > x f ( x + x + L + x )1 2nnn12n以上 n 个不等式相加得：( x + x + L + x )[ f ( x ) + f ( x ) + L f ( x )] > ( x + x + L + x ) f ( x + x + L + x )1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n而 x + x + L + x > 01 2nf ( x ) + f ( x ) + L f ( x ) > f ( x + x + L + x )1 2n12n证法 2：数学归纳法（1）当 n = 2 时，由（Ⅱ）知，不等式成立；（2）当 n = k (n ≥ 2) 时，不等式 f ( x ) + f ( x ) + L f ( x ) > f ( x + x + L + x ) 成12n12n立，即 f ( x ) + f ( x ) + L f ( x ) > f ( x + x + L + x ) 成立，12k12k则当 n = k + 1 时， f ( x ) + f ( x ) + L f ( x ) + f ( x ) > f ( x + x + L + x ) + f ( x )12kk +112kk +1再由(Ⅱ)的结论, f ( x + x + L + x ) + f ( x ) > f [( x + x + L + x ) + x ]1 2kk +112kk +1f ( x + x + L + x ) + f ( x 12kk +1) > f ( x + x + L + x + x 1 2 kk +1)因此不等式 f ( x ) + f ( x ) + L f ( x ) > f ( x + x + L + x ) 对任意 n ≥ 2 的自然数 12n12n均成立.tan ∠APB = - ，求椭圆方程.2 2 1 2∴ tan 2α = tan(∠APC + ∠CPB) =ya 2 - x 2 x 2+ y 2 - a 22．设椭圆 x 2 + y 2 = 1 (a > b > 0) 的两焦点坐标分别为 F 1（ -4, 0) 和 F 2 (4, 0) ， a 2b 2它与 x 轴的两交点分别为 A 、B ，点 P 为椭圆上一点，若 F 1P⊥PF 2，52解：由于∠F 1PF 2=900，则 F F 2 = PF 2 + PF 2 = ( P F + PF )2 - 2 P F PF ，1 21 2 1 2 1 2∴ PF PF = 2a 2 - 32 = 2b 2 ， 设 点12P ( x , y) 在 第 一 象 限 ， 则yS ∆PF 2F 1 = 1 1PF PF = F F ⨯ y 2 1∴ y = b 2 ，由于 tan ∠APC = AC = a + x ，4PCyPAF1O C F 2 Bxtan ∠CPB = CB = a - x，PC ya + x a - x - y 2ay= 1 -y 2a2-c2y8y2b22而x2+y2=1，∴x2=a2-a2y2a2b2b2tan∠APB=2ayx2+y2-a2=2a2ab2ab2ab25==-=-=-(1-)yb2∴a=5，故所求的椭圆方程为x2+y2=1.259(一)设U为全集，A、B是U的两个子集，则与集合是（）一定相等的(A)A∩B(B)A∪B(C)(D)(理由)：摩根公式：在教材中虽未指出，但多次出现，以培养学生的发现能力、观察能力，意在考查集合的子、交、并、补、韦恩图等概念，以及灵活的解题能力。

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！【试题1】某地区在高三第二轮复习组织一次大型调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数)),((1021)(200)88(2∞+-∞∈⋅=--x e x f x π，则下列命题不正确．．．的是 A. 某地区这次考试的数学平均数为88分B.分数在120分以上的人数与分数在56分以下的人数相同C. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同D. 某地区这次考试的数学标准差为10【猜题理由】正态分布在新课标中，只要求它的基本性质，特别是正态曲线的对称性，而这些在现在高考命题是可操作的.【解答】由题意可知，μ=88，σ2=100，∴σ=10，由正态分布曲线的对称性可知仅C 不正确.故选C.【试题2】三棱锥P-ABC 中，顶点P 在平面ABC 的射影为O 满足++=0，A 点在侧面PBC 上的射影H 是△PBC 的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是A ．36 B.48 C.54 D.72【猜题理由】动态几何问题能有效地考查考生的能力，而且本题利用向量这一工具，使三棱锥体积最大值问题顺利地解决，具有较强的综合性.【解答】∵OA +OB +OC =0，∴O 为⊿ABC 的重心.又A 点在侧面PBC 上的射影H 是△PBC 的垂心，∴PH ⊥BC ，而PA 在侧面PBC 上的射影为PH ，∴PA⊥BC ，又而PA 在面ABC 上的射影为PO ，∴AO ⊥BC. 同理可得CO ⊥AB ，∴O 是△ABC 的垂心. 由于⊿ABC 的重心与垂心重合，所以⊿ABC 为等比三角形，即三棱锥P-ABC 为正三棱锥. 设AB=x ，则AO=x3，∴PO=36―x 23，∴V= 13×34x 2×36―x 3= 112108x 4―x 6，令f (x )=108x 4―x 6，则f ノ(x )=6x 3(72―x 2)，∴当x ∈(0，62)时f (x )递增；当x ∈(62，63)时f (x )递减，故x =62时f (x )取得最大值36. 故选A ．【试题3】若关于的方程x 2―(a 2+b 2―6b )x + a 2+b 2+2a ―4b +1=0的两个实数根x 1，x 2满足x 1≤0≤x 2≤1，则a 2+b 2+4a 的最大值和最小值分别为A ．12和5+4 5 B. ―72和5+4 5 C. ―72和12 D. ―12和15―4 5 【猜题理由】本题在函数、方程、线性规划的交汇处命题，有效地考查了函数与方程思想方法，以及解答线性规划的基本方法.【解答】令f (x )= x 2―(a 2+b 2―6b )x + a 2+b 2+2a ―4b +1，则由题意有f (0)= A B D C P HOa2+b2+2a―6b+1≤0且f(1)=2a+2b+2≥0，即(a+1)2+(b―2)2≤4且a+b+1≥0，在直角坐标平面a O b上作出其可行域如图所示，而a2+b2+4a=(a+2)2+b2―4的几何意义为|PA|2―4（其中P(a，b)为可行域内任意的一点，A(―2，0)). 由图可知，当P点在直线l：a+b+1=0上且AP⊥l时取得最小值；当P点为AC(C为圆(a+1)2+(b―2)2≤4的圆心)的延长线与圆C的交点时达到最大值. 又A点的直线l的距离为12，|AC|=5，所以a2+b2+4a的最大值和最小值分别为―72和(5+2)2―4=5+4 5.故选B．【试题4】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极值，直线y=2x+3到曲线y=f(x)在原点处的切线所成的夹角为450.(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意实数α和β恒有不等式| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤m成立，求m的最小值(3)若g(x)=xf(x)+tx2+kx+s，是否存在常数t和k，使得对于任意实数s，g(x)在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0(x0>1)使得g(x)在[1，x0]上递减？若存在，求出t+ k的取值范围；若不存在，则说明理由.【猜题理由】本题在函数和导数、以及线性规划的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放度，情景新颖.【解答】(1)由题意有f(0)=c=0，fノ(x)=3x2+2ax+b，且fノ(1)= 3+2a+b=0.又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=fノ(0)= b，而直线y=2x+3到它所成的夹角为450，∴1=tan450=b―21+2b，解得b=―3. 代入3+2a+b=0得a=0.故f(x)的解析式为f(x)=x3―3x.(2)∵对于任意实数α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2].由fノ(x)=3x2―3=3(x―1) (x+1)可知，f(x)在(－∞，―1]和[1，＋∞)上递增；在[－1，1]递减.又f(―2)= ―2，f(―1)= 2，f(1)= ―2，f(2)= 2，∴f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2和2.∴对于任意实数α和β恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤4.故m≥4，即m的最小值为4.(3)∵g(x)=x(x3―3x)+tx2+kx+s=x4+(t―3)x2+kx+s，∴gノ(x)= 4 x3+2(t―3)x+k，∴要使g(x)在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0(x0>1)使得g(x)在[1，x0]上递减，只需在[－3，―2]和[1，x0]上gノ(x)≤0，而在[－1，0]上gノ(x)≥0.令h(x)= gノ(x)，则hノ(x)= 12 x2+2(t―3)，当t―3≥0时，hノ(x)在R 上恒为非负，此时显然不存在这样的常数t 和k ，∴t ―3<0.当t ―3<0时，g (x )在(－∞，―3―t 6]和[3―t 6，+∞)上递增，而在[―3―t6，―3―t 6]上递减.∴要使h (x )在[－3，―2]和[1，x 0]上h (x )≤0，而在[－1，0]上h (x )≥0，只需h (―2)= ―32 ―4 (t ―3)+k⎩⎪⎨⎪⎧h (―2)=―32―4 (t ―3)+k ≤0，h (―1)=―4―2 (t ―3)+k ≥0，h (0)= k ≥0，h (1)= 4+2 (t ―3)+k ≤0，t <3，即⎩⎪⎨⎪⎧4t ―k +20≥0，2 t ―k ―2≤0，k ≥0，2t +k ―2≤0，t <3，作出可行域如图所示，由图可知，当直线t + k = z 过A 点时z 取得最大值5，当直线t + k = z 过B 点时z 取得最大值―5.故存在这样的常数t 和k ，其取值范围为[－5， 5].【试题5】 “建设创新型国家”是2006年3月份召开的“两会”（全国人大、政协）的主要议题. 某公司为了响应党中央的号召，决定投资创新科技的研发，经调查有两个可投资意向的项目：A项目是国家重点扶持尖端型创新科技研发的项目，每年需要研发的经费5a万元，若能申请国家扶持成功，则在近三年内每年可得到国家的研发经费a万元，在研发的第n年能研发成功的概率组成以2为公比、0.01为首项的等比数列，2010年后将失去研发价值，若能研发成功在2026年以前（包括2026年）每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益10a万元；B 项目是该公司的垄断的基础型创新研发的项目，每年需要研发的经费2a 万元，在当年内能研发成功的概率组成以0.1为公差、0.1为首项的等差数列，估计3年后将失去研发价值，若能研发成功在2015年（包括2015年）以前每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益3a万元. 并且项目研发上马后就不会在中途停止研发，直到没有研发价值的时候为止.在全国范围内另外有1个像该公司具有研发A项目实力的公司准备在2006年投资研发A项目，若在某一年有几个公司同时研发成功，则以后A项目的所有的经济效益由同时研发成功的这几个公司均分. 请你帮助该公司作出决策：在2006年应该投资研发哪一个项目？并说明你的理由.【猜题理由】本题取材于社会热点问题，情景新颖，背景公平，具有较好的教育意义，而且能较好地考查考生灵活地运用所学的概率知识来分析解决实际问题的能力，体现了新课标的理念.【解答】（1）若该公司投资研发A项目，则：若该公司在2006年研发成功，其经济效益期望为Eξ11=200a×0.01×(1―0.01)+100a ×0.01×0.01≈1.99a万元.若该公司在2006年没有研发成功，而另一个公司在2006年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ12=―4a ×(1―0.01)×0.01≈―0.0396a 万元.若该公司在2007年研发成功，其经济效益期望为E ξ21=190a ×0.02×(1―0.02)+1902a ×0.02×0.02≈3.762a 万元. 若该公司在2007年没有研发成功，而另一个公司在2007年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ22=―8a ×(1―0.02)×0.02≈―0.0784a 万元.若该公司在2008年研发成功，其经济效益期望为E ξ31=180a ×0.04×(1―0.04) +1802a ×0.04×0.04≈7.056a 万元. 若该公司在2008年没有研发成功，而另一个公司在2008年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ32=―12a ×(1―0.04)×0.04 ≈―0.1536a 万元.若该公司在2009年研发成功，其经济效益期望为E ξ41=170a ×0.08×(1―0.08)+1702a ×0.08×0.08≈13.056a 万元. 若该公司在2009年没有研发成功，而另一个公司在2009年研发成功，于是该公司的经济效益期望为E ξ42=―17a ×(1―0.08)×0.08≈―0.2944a 万元.若该公司在2010年研发成功，其经济效益期望为E ξ51=160a ×0.16×(1―0. 16)+1602a ×0. 16×0. 16≈23.552a 万元. 若该公司在2010年没有研发成功，则该公司总要损失22 a 万元，于是该公司的经济效益期望为E ξ52=―22a ×(1―0. 01―0. 02―0. 04―0. 08―0.16)≈―15.18a 万元.所以该公司投资研发A 项目的经济效益期望为E ξ11+ E ξ12+ E ξ21+ E ξ22+ E ξ31+ E ξ32+ E ξ41+ E ξ42+ E ξ51+ E ξ52≈33.67 a 万元.其投资的期望为4a [0.01+(1―0.01)×0.01]+ 8a [0.02+(1―0.02)×0.02]+12a [0.04+(1―0.04)×0.04]+ 17a [0.08+(1―0.08)×0.08]+ 22a {1―[0.01+(1―0.01)×0.01]―[0.02+(1―0.02)×0.02]―[0.04+(1―0.04)×0.04]―[0.08+(1―0.08)×0.08]=19.5354 a其投资的经济效益期望的平均效率为33.67a19.5354a≈1.723538，平均每年的经济效益期望为11.22333a 5≈11.22333万元. （2）设该公司投资研发B 项目的经济效益为η万元，则ξ的可能取值为27a ，24a ，21a ，―6a . 而P(η=27a )= 0. 1，P(η=24a )= 0. 2，P(η=21a )= 0. 3， P(η=―6a )= 0. 7，∴E η=27a ×0.1+24a ×0.2+21a ×0.3―6a ×0.3=12 a 万元.其投资的期望为2a×0. 1+ 4a×0.2+ 6a×0.7=5.2 a万元.其投资的经济效益期望的平均效率为2.3076923，平均每年的经济效益期望为4a万元.尽管A项目的投资经济效益期望的平均效率比B项目略低，但总的经济效益期望和平均每年的经济效益期望比B项目高得多，故应建议该公司在2006年投资研发A项目.【试题6】在直角坐标平面中，ΔABC的两个顶点AB的坐标分别为A(―77a，0)，B(77a，0)(a>0)，两动点M，N满足MA+MB+MC=0，|NC|=7|NA|=7|NB|，向量MN与AB共线.(1)求ΔABC的顶点C的轨迹方程；(2)若过点P(0，a)的直线与(1) 轨迹相交于E、F两点，求PE·PF的取值范围；(3)(理科作)若G(―a，0)，H(2a，0)，Q点为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ(λ>0)，使得∠QHG=λ∠QGH 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【猜题理由】本题本题在平面向量和解析几何的交汇处命题，重点考查了解析几何的基本思想方法，体现最新《考试大纲》的要“构造有一定的深度和广度的数学问题”高考命题要求.【解答】(1)设(x，y)，∵MA+MB+MC=0，∴M点是ΔABC的重心，∴M(x 3，y 3). 又|NA |=|NB |且向量MN 与AB 共线，∴N 在边AB 的中垂线上，∴N(0，y 3). 而|NC |=7|NA |，∴x 2+49y 2=717a 2+19y 2，即x 2―y 23 =a 2. (2)设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，过点P(0，a )的直线方程为y =kx +a ， 代入x 2―y 23 =a 2得 (3―k 2)x 2―2akx ―4a 2=0∴Δ=4a 2k 2+16a 2(3―k 2)>0，即k 2<4. ∴k 2―3<1，∴4k 2―3>4或4k 2―3<0. 而x 1，x 2是方程的两根，∴x 1+x 2=2ak 3―k 2，x 1x 2=―4a 23―k 2. ∴PE ·PF =(x 1，y 1―a )·(x 2，y 2―a )= x 1x 2+kx 1·kx 2=(1+k 2) x 1x 2=―4a 2(1+k 2)3―k 2=4a 2(1+4k 2―3)∈(－∞， 4a 2)∪(20a 2，＋∞). 故PE ·PF 的取值范围为(－∞，4a 2)∪(20a 2，＋∞).(3) 设Q(x 0，y 0) (x 0>0，x 0>0)，则x 02―y 023 =a 2，即y 02=3(x 02―a 02).当QH ⊥x 轴时，x 0=2a ，y 0=3a ，∴∠QGH=π4，即∠QHG= 2∠QGH ，故猜想λ=2，使∠QHG=λ∠QGH 总成立. 当QH 不垂直x 轴时，tan ∠QHG=―y 0x 0―2a，tan ∠QGH=y 0x 0+a，∴tan2∠QGH=2tan ∠QGH 1―tan 2∠QGH=2y 0x 0+a1―(y 0x 0+a) 2=2y 0(x 0+a )(x 0+a )2―y 0 2=2y 0(x 0+a )(x 0+a )2―3(x 02―a 02)=―y 0x 0―2a= tan ∠QHG.又2∠QGH 与∠QHG 同在(0，π2)∪(π2，π)内，∴2∠QGH=∠QHG.故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG 恒成立.【试题7】在直角坐标平面中，过点A 1(1，0)作函数f (x )=x 2(x >0)的切线l 1，其切点为B 1(x 1，y 1)；过点A 2(x 1，0)作函数g (x )=e x (x >0)的切线l 2，其切点为B 2(x 2，y 2)；过点A 3(x 2，0)作函数f (x )= x 2(x >0)的切线l 3，其切点为B 3(x 3，y 3)；如此下去，即过点A 2k ―2(x 2k ―2，0)作函数f (x )=x 2(x >0)的切线l 2k ―1，其切点为B 2k ―1 (x 2k ―1，y 2k ―1)；过点A 2k ―1 (x 2k ―1，0)作函数g (x )= e x (x >0)的切线l 2k ，其切点为B 2k (x 2k ，y 2k )；….(1)探索x 2k ―2与x 2k ―1的关系，说明你的理由，并求x 1的值；(2)探索x2k―1与x2k的关系，说明你的理由，并求x2的值；(3)求数列{x n}通项公式x n；(4)是否存在实t，使得对于任意的自然数n和任意的实数x，不等式1x2+1+2x4+1+3x6+1+…+nx2n+1≤3tx4―4tx3―12tx2+33t―6t恒成立？若存在，求出这样的实数t的取值范围；若不存在，则说明理由.【猜题理由】本题以导数为背景，命制出数列与函数、导数、不等式的综合试题，重点考查数列的基本思想方法，综合较强，与高考的压轴题的难度相当，具有较强的预测性.【解答】（1）∵fノ(x)=2x，∴切线l2k―1的方程为y―x2k―12=2 x2k―1(x―x2k―1)，又切线l2k―1过点A2k―2(x2k―2，0)，∴0―x2k―12=2 x2k―1(x2k―2―x2k―1)，且x2k―1>0，∴x2k―1=2 x2k―2.∴x1=2.(2)又gノ(x)=( e x)ノ=e x，∴切线l2k的方程为y―e k x2=e k x2(x―x2k)，而切线l2k过点A2k―1(x2k―1，0)，∴0―e k x2= e k x2(x2k―1―x2k)，且x2k>0，∴x2k= x2k―1+1. ∴x2=x1+1=3.(3)由(1)(1)可知x2k= x2k―1+1 =2x2k―2+1，即x2k+1=2(x2k―2+1)，∴数列{x2k +1}为等比数列，且首项为4，∴x2k +1=4×2k―1，即x2k =2k+1―1.而x2k―1=2x2k―2=2(2k―1)= 2k+1―2，故数列{x n}通项公式为x n =⎩⎨⎧223+n ―2 (n 为奇数)， 222+n ―1 (n 为偶数).(4) (理)令S n =1x 2+1+ 2x 4+1+3x 6+1+…+n x 2n +1= 122+223+324+…+n2n +1， ∴12S n = 123+224+325+…+n2n +2， 两式相减得12S n = 122+123+224+325+…+n 2n +1―n2n +2 =14[1―12n ]1―12―n2n +2=12(1―12n )―n2n +2， ∴S n =1―12n ―n 2n +1 =1―n +22n +1.∴S n +1― S n =(1―n +32n +2)―(1―n +22n +1)=n +12n +2>0，∴数列{ S n }递增. 又当n ≥6时，2n +1=2(1+1) n =2(1+C1n +C 2n +C 1n +C 3n +…+C n ―3n +Cn ―2n+Cn ―1n+C n n)>4(1+C 1n +C 2n)>2(n2+n )，∴0<n +22n +1<n +22(n2+n )，而lim n →∞n +22(n2+n )=0，∴lim n →∞S n =1. 令h (x )= 3tx 4―4tx 3―12tx 2+33t ―6t，则hノ(x )= 12t (x 3―x 2―2x )=12tx (x +1)(x ―2)，∴当t <0时，h (x )在(―∞，―1)和(0，2)上递增，在(―1， 0)和(2，+∞)上递减，此时不存在这样的实数t .当t >0时，h (x )在(―∞，―1)和(0，2)上递减，在(―1， 0)和(2，+∞)上递增，∴h (x )在x =―1或x =2处取得极小值，而h (―1)=―5t +33t ―6t ，h (2)=―32t +33t ―6t，∴h (x )min = t ―6t.∴对于任意的自然数n 和任意的实数x 不等式恒成立等价于t ―6t≥1，而t >0，所以有t 2―t ―6≥0，解得t ≥3或t ≤―2 (舍).故存在这样的实数t ，其取值范围为t ≥3.【试题8】右图是某计算机的程序框图. (1)求打印出来的x 的值； (2)求打印出来的z 的值；(3)若将程序框图中的语句(9)“n =2007?”改为“z ≥1?”，则张三同学说这是死循环(即一直无限的算下去而没有结果)，而李四说不会是死循环，你认为哪个同学说的正确？并说出你的理由.【猜题理由】本题以程序框图作背景，情景新颖，而且体现了新课标的理念，与新课标联系紧密，是新课程教材（现行教材）向新课标教材过渡时期的优秀试题.【解答】(1)从数列角度来看，语句(4)(即“x =x +3”) 可以理解为x n +1=x n +3(其中n ∈N *)，语句(6)（即“x =4x ”）可以理解为x n +1=4x n (其中n ∈N )，而语句(2)～(6)是一个小循环，执行的程序是x n +1=⎩⎪⎨⎪⎧x n +3 (n =2k ―1)，4x n(n =2k )，(k ∈N). 同理语句(2)～(9)是一个大循环，其终止条件为“n =2007”.于是问题转化为：在数列{x n }中，x 1=4，x n +1=⎩⎪⎨⎪⎧x n +3 (n =2k ―1)，4x n (n =2k )，(k∈N)，求x 2007.∴x 2n +2= x 2n +1+3=4 x 2n +3，即x 2n +2+1=4 x 2n +4=4 (x 2n +1)， 令a n = x 2n +1，则a n =1=4a n ，∴数列{ a n }为等比数列，且a 1=x 2+1=(x 1+3)+1==8，∴a n ==8×4n ―1=2×4n .故x2n=2×4n―1，∴x2n―2=2×4n―1―1，∴x2n―1=4x2n―2=4(2×4n―1―1)= 2×4n―4.故x2007=x2×1004―1= 2×41004―4= 22009―4，即打印出来的x的值为22009―4.(2)由于经过语句(2)～(7)的小循环后，n为偶数才执行语句(7)(即“y=y+4”)，从数列角度来看，它可以理解为y2n+1=y2n―1+2(其中n∈N*).令b n= y2n―1，则b n+1=b n+2，数列{b n}为等差数列，且b1= y1=2，∴b n==2+2(n―1) =2n.∴y2n―1=2n.此时语句(8) (即“z= z+yx+4”)执行的程序是z2n+1= z2n―1+y2n+1x2n+1+4. 于是令c n=y2n―1x2n―1+4，则z2n―1为数列{c n}的前项和，∴z2n―1=y3x3+4+y5x5+4+…+y2n―1x2n―1+4=242+343+…+n4n，两边同乘以14得14z2n―1=243+344+…+n―14n+n4n+1，两式相减得34z2n―1=242+143+144+…+14n―n4n+1=142+116(1―14n―1)1―14―n4n+1=142+112(1―14n―1)―n4n+1=748―3n+13×4n，∴z2n―1=736―12n+49×4n.故z2007=z2×1004―1=736―30139×22006，即打印出来的x的值为736―30139×22006.(3)由于对于任意的自然数n，都有z2n―1=736―12n+49×4n<1，即不存在自然数n，使得z2n―1≥1.所以张三同学说的是对的.1．设()f x 的定义域为(0,)+∞,()f x 的导函数为()f x ',且对任意正数x 均有()()f x f x x'>， (Ⅰ) 判断函数()()f x F x x=在(0,)+∞上的单调性； (Ⅱ) 设1x ，2x (0,)∈+∞，比较12()()f x f x +与12()f x x +的大小，并证明你的结论；（Ⅲ）设1x ，2x ，L n x (0,)∈+∞，若2n ≥，比较12()()()n f x f x f x +++L 与12()n f x x x +++L 的大小，并证明你的结论.解：(Ⅰ)由于()()f x f x x '>得，()()0xf x f x x'->，而0x >，则()()0xf x f x '->， 则()F x '=2()()0xf x f x x '->，因此()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数. (Ⅱ)由于1x ，2x (0,)∈+∞，则1120x x x <<+，而()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数，则112()()F x F x x <+，即112112()()f x f x x x x x +<+，∴121112()()()x x f x x f x x +<+（1），同理 122212()()()x x f x x f x x +<+（2）（1）+（2）得：12121212()[()()]()()x x f x f x x x f x x ++<++，而120x x +>， 因此 1212()()()f x f x f x x +<+.（Ⅲ）证法1: 由于1x ，2x (0,)∈+∞，则1120n x x x x <<+++L ，而()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数，则112()()n F x F x x x <+++L ，即121112()()n nf x x x f x x x x x +++<++L L ， ∴ 121112()()()n n x x x f x x f x x x +++>+++L L 同理 122212()()()n n x x x f x x f x x x +++>+++L L……………1212()()()n n n n x x x f x x f x x x +++>+++L L以上n 个不等式相加得：12121212()[()()()]()()n n n n x x x f x f x f x x x x f x x x +++++>++++++L L L L而120n x x x +++>L12()()()n f x f x f x ++L >12()n f x x x +++L证法2：数学归纳法（1）当2n =时，由（Ⅱ）知，不等式成立；（2）当n k =(2)n ≥时，不等式12()()()n f x f x f x ++L >12()n f x x x +++L 成立，即12()()()k f x f x f x ++L >12()k f x x x +++L 成立，则当1n k =+时， 121()()()()k k f x f x f x f x ++++L >12()k f x x x +++L +1()k f x + 再由(Ⅱ)的结论, 12()k f x x x +++L +1()k f x +121[()]k k f x x x x +>++++L12()k f x x x +++L +1()k f x +121()k k f x x x x +>++++L因此不等式12()()()n f x f x f x ++L >12()n f x x x +++L 对任意2n ≥的自然数均成立.yxOF 2F 1PBAC2．设椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两焦点坐标分别为F 1（4,0)-和F 2(4,0)，它与x 轴的两交点分别为A 、B ，点P 为椭圆上一点，若F 1P ⊥PF 2，5tan 2APB ∠=-，求椭圆方程.解：由于∠F 1PF 2=900，则222212121212()2F F PF PF PF PF PF PF =+=+-， ∴22122322PF PF a b =-=，设点P (,)x y 在第一象限，则2121121122PF F S PF PF F F y ∆==⨯ ∴24b y =，由于tan AC a x APC PC y +∠==，tan CB a xCPB PC y-∠==， ∴2222222tan 2tan()1a x a xay y y APC CPB a x x y a y α+--=∠+∠==-+--而22221x y a b+=，∴22222a y x a b =-22222222222225tan 822(1)aya ab ab ab APB a x y a cy y b yb∠====-=-=-+--- ∴ 5a =，故所求的椭圆方程为221259x y +=.(一)设U 为全集，A 、B 是U 的两个子集，则与集合一定相等的是（ ）(A)A ∩B (B)A ∪B (C) (D)(理由)：摩根公式：在教材中虽未指出，但多次出现，以培养学生的发现能力、观察能力，意在考查集合的子、交、并、补、韦恩图等概念，以及灵活的解题能力。

2020年全国普通高等学校统一招生考试（新课标II 卷）押题猜想卷数 学（文）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么M N =I （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,3D ．{}2,3,4 【答案】C【解析】 {}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=Q ，因此，{}2,3M N =I ，故选：C.2. 复数i i 1z =-的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2- 【答案】B【解析】i i 1z =-(1)(1)(1)i i i i --=-+--111222i i -==-, 所以复数z 的虚部为12-. 故选：B3．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D. 又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（ ）A ．13B ．16C ．19D ．136【答案】B【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa ，Bb ，)Cc ，(Aa ，Bc ，)Cb ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ac ，Bb ，)Ca ，(Ac ，Ba ，)Cb ，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac ，Ba ，)Cb ，只有1个，∴田忌获胜的概率为16p =． 故选：B. 5.已知向量,a b v v 满足5,4,61a b b a ==-=v v v v ,则a v 与b v 的夹角θ=( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B【解析】由||b a -=r r ()2226126125254cos 1661b a a a b b θ-=⇒-⋅+=⇒-⨯⨯+=r r r r r r . 解得1cos 2θ=-.因为[]0,180θ∈︒,故θ=120°. 故选：B6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D 【答案】D【解析】∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为y =，∴b a=∴双曲线的离心率为e c a === 故选：D ．7．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（ ）A ．2B ．3CD ．【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆的面积为23R R ππ=∴=222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+则2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C --++-=+222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理：2220a c b ac +-+=根据余弦定理：22212cos cos 1202a c b ac B ac B B +-==-∴=-∴∠=︒故b 为最长边：2sin 3b R B ==故选B .8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．i>5B ．i<5C ．i>4D ．i<4【答案】D【解析】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．22 B 3C 5D ．72【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =， 则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为2-；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+ ()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x Q 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当[)0,x Îp 时，()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q ，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 42x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ， 3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③.故选：B11．已知1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】 由已知得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-，又2F 到直线1PF 的距离等于b ，即2F H b =，由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥，可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，故选：B. 12.已知是定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，且当[)0,1x ∈时，()1x f x x =-，则函数()()2sin g x f x x π=+在区间()3,5-上的所有零点之和为（ ）A ．13B ．18C ．15D ．17【答案】C【解析】由()()20f x f x -+=知()f x 关于()1,0成中心对称.又()f x Q 为奇函数，则()f x 周期为2.易知，()()()()10,350,10===-=f f f f作出函数()f x 在区间()3,5-图像如图所示.所以()2sin x x ϕπ=-在()3,5-间，所有零点之和为()()()8404210123415+++-+-+-+++++=.故选C第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】 由题可得：1'()2f x x x =+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=14．已知实数,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则y x 的最小值为（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【解析】如图所示：画出可行域 00y y k x x -==-，看作点到原点的斜率 根据图像知，当31,22x y ==-时，有最小值为13-15．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________. 【答案】9-【解析】由(0,)2πα∈，且4tan 23α=， 得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α=-（舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+． 故答案为：9-．16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，，，则直线1AA 与平面1A BD 所成的角为______.【答案】60o【解析】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，， 则()221113322A D ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，312BD =+=，115142AB =+= 在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos 22BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以111sin 1222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin h AA θ== 所以60θ=o .故答案为：60o 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{n S n}的前10项和． 【答案】（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ， 又∵d ≠0，可得a 1=-5d ； 而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6． （2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，所以n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 18．2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP 总量y （万亿元）的折线图. 注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与年份代码t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP 的总量. 附注：参考数据：71492.01i i y ==∑，70.29y =，712131.99i i i t y ==∑()()271172165.15iii i t t y y ==--≈∑∑.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）详见解析（2）y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+;预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i t t y y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元. 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连接交与，连接.因为为的中点，，所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，因为为的中点， 所以. 又因为，，所以平面.（Ⅱ）由四边形为平行四边形，知，所以为等边三角形，所以， 所以，即，即.因为平面，所以. 又因为，所以平面，所以为与平面所成的角，即，所以.20．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(2,0)C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，12OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求抛物线的方程；（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）320x y ++=或320x += 【解析】（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0．（*）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则221212244y y x x p==． 因为12OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋8＝0． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． …6分设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x m ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又222121(1)(1632)AB m y m m =+-=+- ② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m =所以，直线l 的方程为20x ++=，或20x -+=． …12分21．已知函数3211()1(,)32f x x ax bx a b =+++∈R ，其导函数设为()g x . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，试用,a b 表示()()12f x f x +；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()g x 的极值点恰为()f x 的零点，试求()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()()31226a f x f x ab +=-+；（Ⅲ）(,0)-∞ . 【解析】（Ⅰ）()2g x x ax b =++，24a b ∆=-.若0∆≤，()0g x ≥，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；若>0∆，方程()0g x =有两个不等实根12a x -=，22a x -=()f x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增 ；（Ⅱ）因()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（Ⅰ）知240a b ∆=->，且12x x a +=-，222122x x a b +=-，()()120g x g x ==.于是，()()()()()()221212121212223363x x a b f x f x g x g x x x x x +=++++++ ()()322222636a b a a b a ab =-+-+=-+. （Ⅲ）由()22224a a g x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，则()g x 的极值点为2a x =-.于是，02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即33102482a a ab -+-+=.显然，0a ≠，则226a b a=+.由（Ⅱ）知，240a b ∆=->，24a b <，则22264a a a +<，解得0a <或a > 于是，()()321222066a a f x f x a a ⎛⎫+=-++= ⎪⎝⎭. 故()f x ，()g x 的所有极值之和为()22222246412a a a a b h a a a-=+-=-+=，因()226a h a a-'=-，若a >()0h a '<，()h a在)+∞上单调递减，故()0h a h<=.若0a <，知a >时有()0h a '<，则()h a在(,-∞上单调递增，在()上单调递减，故()(h a h ≤=. 因此，当0a <时，所求的取值范围为,2⎛-∞- ⎝⎦.当a >时，所求的取值范围为(),0-∞， 综上，()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围是(),0-∞ .（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '. （1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 【答案】（1）直线l '的普通方程为7x y -=； （2）点P 到直线l '的距离的最小值为2，此时点P 的坐标为(3,1)-. 【解析】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩,又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 23．已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)()9,3-;(2)[1,3] 【解析】(1)函数()|3|2f x x =+-,不等式||()4f x ＜即为()44f x -<< 即4324x -<+-<,即有2|3|6x -<+<.因为|3|0x +>恒成立 所以|3|6x +<,即636x +﹣＜＜,可得93x ﹣＜＜ 则原不等式的解集为()9,3-.(2)若x R ∀∈,2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立,可得2|3||1|41x x t t +--≤-++恒成立 由|3||1||(3)(1)|4x x x x +--≤+--=,可得2414t t -++≥,即2430t t -+≤. 解得13t ≤≤.则实数t 的取值范围是[1,3].。

绝密★启用前2020年高考数学仿真猜题卷 山东卷（二）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第1卷一、选择题1.已知集合(){}22 log 2A x y x x ==--，B =N ，则A B I =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}10-, 1.答案：C解析：222020(2,1)x x x x A -->∴+-<∴=-又Q B N =，所以{0}.A B =I 2.若复数z 满足(1)i 3i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3iC ．3-D ．3i -2.答案：A解析：因为3i(1)i 3i 123i iz z +-=+⇒=+=-，所以23i z =+，所以其虚部为3.故选：A. 3.下列描述中正确的个数是( )①“1x =”是“2320x x -+=”的充要条件 ②“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件 ③“5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的充分不必要条件④若命题2000:,10p x x x ∃∈++<R ，则2:,10p x x x ⌝∀∉++…R A.1 B.3 C.2 D.43.答案：A解析：由2320x x -+=，可知1x =或2x =，①错误；当“20a a +≠”时，“0a ≠且1a ≠-”，故“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件，②正确；“5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的既不充分也不必要条件，③错误；特称命题的否定是全称命题，且只否定结论，可知④错误. 4.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56，45，35，12，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（ ） A ．725B ．25C ．1225D ．14254.答案：D解析：第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以154326555P =⨯⨯=,第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关， 所以1543341)655525P =⨯⨯-⨯=（． 所以该选手能进入第四关的概率为5435433141655655525⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭．5.已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围为( ) A. (],0-∞ B. (],0-∞ C. [)0,2 D. (),2-∞ 5.答案：A解析：依题意可知，直线与圆相交或相切．22220x y x y a ++-+=即为()()22112x y a ++-=-，解得0a ≤．故选：A ． 6.已知曲线()32236f x ax ax x =++(0a ≠，且a 为常数)在点11(,)A x y 与2122(,)()B y x x x ≠处的切线12l l ,互相平行，则直线AB 恒过定点( )A.(0)0,B.16,22a -⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.123,22a -⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(1)3a -,6.答案：B解析：由题意可得()2666f x ax ax '=++，所以直线12l l ，的斜率分别为211666k ax ax =++，222666k ax ax =++.又直线1l 与2l 平行，所以12k k =，即221122666666ax ax ax ax ++=++， 因为0a ≠，12x x ≠，所以121x x +=-，从而()211x x =-+，所以()()12f x f x +()()()32321111112362131616ax ax x a x a x x a =++-+++-+=-，由此可知线段AB 的中点坐标为16,22a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为a 为常数，所以直线AB 恒过定点16,22a -⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选B.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点及右顶点分别为,F M ，若N 为双曲线左支上一动点（异于左顶点），且22||||||||NM NF MF NF -=恒成立，则双曲线的离心率为( )B.2C. D.47.答案：B解析：过点N 作x 轴垂线，垂足为P ，因为22||||||||NM NF MF NF -=，所以22||||||||PM PF MF NF -=，所以(||||)(||||)||||PM PF PM PF MF NF +-=，设()00,N x y ，2220,||c c a b NF x a a ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，当点P 在线段FM 上时，||||||PM PF NF -=且0||||2PM PF a c x -=--，当点P 在MF 的延长线上时，||||||PM PF NF +=且0||||2PM PF a c x +=--，所以002c x a a c x a ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，所以2c a a a c⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，即双曲线的离心率为2.8.已知圆锥SO 的侧面积是底面积的2倍，AC 与BD 是底面内互相垂直的两条直径，过BD 与SC 平行的平面与SA 交于点E ，则异面直线BE 与CD 所成角的余弦值是( ) A.34B.13C.238.答案：A解析：设圆锥SO 的底面半径为r ，母线长为l ，则22ππr rl =，解得2l r =，连接OE ，由//SC 平面,BDE SC ⊂平面SAC ，平面SAC I 平面=BDE OE ，所以//SC OE ；由O 是BD 的中点，得E 是SA 的中点；由//AB CD ，得ABE ∠是BE 与CD 所成角.ABE △中，易得,,BE AB AE r ===，由余弦定理得222cos 2AB BE AE ABE AB BE +-∠==⋅2222223224r r r r +-=⋅.故选A.二、填空题9.设()()()sin cos 2f x a x b x παπβ=++++，其中a b αβ、、、为非零常数．若()20191f =，则()2020f =________. 9.答案：3解析：()()()sin πcos π2f x a x b x αβ=++++∵()()()2019sin 2019πcos 2019π2sin cos 21f a b a b αβαβ=++++=--+=∴，解得sin cos 1a b αβ+=.()()()2020sin 2020πcos 2020π2sin cos 2f a b a b αβαβ=++++=++∴, 则()2020123f =+=∴.10.若512(1x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-12，则实数a =___________.10.答案：-1解析：512(1x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Q 的展开式中的常数项为23555C 2C 12,1a a -=-∴=-.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F .过点()2,0的直线l 与抛物线分别交于A B ,两点，则4AF BF +的最小值为 . 11.答案：13解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y 由抛物线的定义，知11AF x =+，21BF x =+.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，则434315AF BF +=+⨯=. 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为()2(0)y k x k =-≠. 联立得方程组224()y k x y x=-=⎧⎨⎩，整理，得()22224440k x k x k -++=.由根与系数的关系可得124x x =.所以4AF BF +()12141x x =+++1245x x =++513≥= (当且仅当1244x x ==时等号成立)所以4AF BF +的最小值为13.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.M 为BC 的中点,则三棱锥1A BMD -的外接球半径为_________,外接球体积为_________.12.解析：如图,连接1,AC AC ,因为BMD △在正方形ABCD 中,M 为BC 的中点,所以BMD △的外接圆圆心'O 即AC 上靠近点A 的四等分点,过'O 作底面ABCD 的垂线,交1AC 于点O,易知1AC 垂直于平面1BA D ,且经过1BA D △的外心,所以点O 即三棱锥1A BMD -的外接球球心,易得点O 为1AC 上靠近点A 的四等分点,则111'42OO CC ==,连接,'OD O D则外接球的半径2R OD ===,所以外接球的体积34π3V R ==.三、多项选择题13.小凯利用上下班时间跑步健身,随身佩戴的手环记录了近11周的跑步里程(单位:km)的数据,绘制了下面的折线图:根据折线图,下列结论正确的是( ) A.剔除第8周的数据,周跑步里程逐周增加 B.周跑步里程的极差小于20千米C.周跑步里程的平均数低于第7周对应的跑步里程数D.周跑步里程的中位数为第5周对应的跑步里程数 13.答案：BCD解析：剔除第8周的数据,每周的跑步里程逐周有增有减,A 错误;周跑步里程的极差比20千米小,B 正确;周跑步里程的中位数为第5周对应的跑步里程数,D 正确;第7周对应的跑步里程数为15千米,观察数据,周跑步里程的平均数比15千米小,C 正确.14.已知向量(1,2),(2,4)a b =-=-r r,则( ) A.//a b r rB.()5a b a +⋅=-r r rC.()b a b ⊥-r r rD.2a b =r r14.答案：ABD解析：因为142(2)⨯=-⨯-,所以//a b r r,又(1,2)a b +=-r r ,所以()5a b a +⋅=-r r r ,(3,6)a b -=-r r ,()0b a b ⋅-≠r r r ,所以C 错误,a b a b ==r r r r,故选ABD.15.在ABC △中,三边长分别为,2,4a a a ++,最小角的余弦值为1314,则下列说法正确的是( )A.a 的值为2B.ABC △C.ABC △D.ABC △为钝角三角形且最大角为120°15.答案：BCD解析：由条件知长为a 的边对应的角最小,设为A ,长为2a +的边对应的角为B ,长为4a +的边对应的角为C ,则由余弦定理,得222(2)(4)13cos 2(2)(4)14a a a A a a +++-==++,解得3a =或2a =-(舍去),A 错误;三边长分别为3,5,7,且sin A =,所以ABC △的面积1572S =⨯⨯=,B 正确;由sin sin a cA C=可得sin C ,C 正确;2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,120C ∠=︒,故D 正确.故选BCD. 16.在数列{}n a 中,*123311,2,3,(1)1(N )n n n a a a a a n ++===+-=∈,数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列结论正确的是( ) A.数列{}n a 为等差数列 B.1810a =C.173a =D.31146S =16.答案：BD解析：依题意得,当n 是奇数时,311n n a a ++-=即数列{}n a 中的偶函数构成以22a =为首项,1为公差的等差数列,所以182(91)110a =+-⨯=,当n 是偶数时,311n n a a +++=,所以531n n a a +++=,两式相减,得51n n a a ++=,即数列{}n a 中的奇数项从3a 开始,每隔一项的两项相等,即数列{}n a 的奇数呈周期变化,所以174355a a a ⨯+==,在311n n a a +++=中,令2n =,得531a a +=,因为33a =,所以172a =-,对于数列{}n a 的前31项,奇数项满足357927293147331,1,1,3a a a a a a a a a ⨯++=+=+====L ,偶数项构成以22a =为首项,1为公差的等差数列,所以3115(151)1731521462S ⨯-=+++⨯+=,故选BD 四、解答题17.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且3105100a S ==，. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()11111,2n n n n a a b b b ++-==，求数列{}n b 的通项公式. 17.答案：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得112510(101)101002a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由（1），得11111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫-==⨯- ⎪-+-+⎝⎭，则2n …时，()()()()12132431n n n b b b b b b b b b b =+-+-+-++--L 11111111114322133557232142n n n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 而112b =代入上式适合，故数列{}n b 的通项公式是4342n n b n -=-. 解析：18.已知函数2()cos cos f x x x x =+. 1.求()3f π的值及()f x 的最小正周期； 2.若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．18.答案：1.由已知2()cos cos 3333f ππππ=+13144=+=. 因为()fx 1cos 222x x +=+π1sin(2)62x =++，所以函数()f x 的最小正周期为π． 2.由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得, ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z . 所以，函数()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． 当0k =时, 函数()f x 的单调增区间为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，则ππ[0,],36m ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，所以实数m 的最大值为π6.解析：19.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒,求二面角A PB C --的余弦值. 19.答案：(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得,AB AP CD PD ⊥⊥. 由于//AB CD ,故AB PD ⊥,从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)在平面PAD 内作PF AD ⊥,垂足为F ,由(1)可知,AB ⊥平面PAD ,故AB PF ⊥,可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点,FA u u u r 的方向为x 轴正方向,||AB u u u r 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由(1)及已知可得(A P B C .所以(PC =u u u r,CB PA ==u u u r u u u r ,(0,1,0)AB =u u ur .设(,,)n x y z =r是平面PCB 的法向量,则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r即0,0,y ⎧+-=⎪=取11y =-,则(0,1,n =-r 为平面PCB 的一个法向量. 设222(,,)m x y z =u r是平面PAB 的法向量,则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r即22200z y =⎪=⎩ 可取21x =,则(1,0,1)m =u r为平面PAB 的一个法向量.则cos ,||||n m n m n m ⋅==r u rr u r r u r <>所以二面角A PB C --的余弦值为. 解析：20.某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握,提高命题质量,对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩(满分300分),将数据分成7组:[)[)[)[)[)[)[]160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300并整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,求直方图中x 的值;(2) 用频率估计概率,从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个,记理综成绩位于区间[220,260)内的个数为y ,求y 的分布列及 数学期()E y(3)若变量S 满足()0.6827P S μσμσ-<≤+≈且(22)0.9545P S μσμσ-<≤+≈,则称S 近似服务从正态分布2(,)N μσ,若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布(225,225)N ,则给予这套试卷好评,否则差评.试问:这套试卷得到好评还是差评?20.答案： (1)由(0.0020.00950.01100.01250.00500.0025)201x ++++++⨯=,得0.0075x =(2)用频率估计概率,可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个,理综成绩位于[220,260)内的概率为(0.01250.0075)200.4+⨯=所以随机变量y 服从二项分布(3,0.4)B ,故33()C 0.40.6(0,1,2,3)kk k P y k k -==⋅⋅= 故y 的分布列为(3)记该市高三考生的理综成绩为z由题意可知(210240)(200240)20(0.1100.0125)0.470.6827P z P z <<≤<<=⨯+=< 又(195255)(180260)20(0.00950.01100.01250.0075)0.810.9545P x P z <≤≤<<=⨯+++=< 所以z 不近似服从正态分布(225,225)N ,所以这套试卷得到差评. 解析：21.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，直线1y =与C 的两．（1）求椭圆C 的方程；（2）分别过12,F F 作12,l l 满足12//l l ，设12,l l 与C 的上半部分分别交于,A B 两点，求四边形21ABF F 面积的最大值．21.答案：（1）易知椭圆过点，所以228113a b+=，①， 又12c a =∵②，222a b c =+，③，① ② ③得224,3a b ==， 所以椭圆的方程为22143y x +=（2）设直线1:1l x my =-，它与C 的另一个交点为D ， 与C 联立，消去x ，得22(34)690m y my +--=，2144(1)0m∆=+>，||AD=又2F∵到1l的距离为d，所以2ADFS=△，令1t=≥，则21213ADFStt=+△，所以当1t=时，最大值为3，又2212111111(||||)(||||)||222ADFABF FS BF AF d AF DF d AB d S=+⋅=+⋅=⋅=△四边形∵所以四边形21ABF F面积的最大值为3解析：22.已知函数2()xf x e e=+.（1）求函数2()f xe在2x=处的切线方程；（2）若不等式2()()f x y f x y me x++-≥对任意的[)0,x∈+∞,[)0,y∈+∞都成立，求实数m的取值范围.22.答案：解：（1）设2222()()1x xf x e e et xe e e+===+，则2'()xet xe=，当2x=时，22(2)12ete=+=，22'(2)1ete==，∴函数()f x在2x=处的切线方程为22y x-=-，即0x y-=.（2）根据题意可得222x y x ye e e me x+-++≥对任意的[0,)x∈+∞，[0,)y∈+∞都成立，当0x=时，不等式即为220y ye e e-++≥，显然成立；当0x>时，设2()2x y x yg x e e e+-=++，则不等式222x y x ye e e me x+-++≥恒成立，即为不等式2()g x me x≥恒成立，2222()2()2222x y x y x y y x xg x e e e e e e e e e e e+--=++=++⨯=+Q≥(当且仅当0y=时取等号)，∴由题意可得2222xe e me x+≥，即有2222222x xe e e eme x e x++=⋅≥对(0,)x∈+∞恒成立，令2()xe eh xx+=，则2222()(1)'()x x xxe e e x e eh xx x-+--==，令'()0h x =，即有2(1)0x x e e --=，令2()(1)x m x x e e =--，则'()(1)x x x m x e x e xe =+-=， 当0x >时，'()0x m x xe =>，()m x ∴在(0,)+∞上单调递增， 又22(2)(21)0m e e =--=Q ，2(1)0x x e e ∴--=有且仅有一个根2x =， 当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，∴当2x =时，()h x 取得最小值，为222(2)2e e h e +==，∴2222m e e ⨯=≤．∴实数m 的取值范围(,2]-∞.解析：。