§2.2 等差数列 A

等差数列教学设计一、教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。

二、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。

三、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

四、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。

五、教学过程：（一） 创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。

这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子）⑴、0 5 10 15 20 … …⑵、48 53 58 63⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5⑷、10072 10144 10216 10288 10360教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。

（学生积极讨论。

得到结论，教师指名回答）共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。

师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。

（二）设置问题，形成概念等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。

师：等差数列的概念中的几个关键点是什么？生（思考、讨论）：第2项、每一项与它的前一项、同一个常数教师在进一步强调。

师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？学生讨论后得出结论：数学语言：d a a n n =--1 ）2(≥n 或 d a a n n =-+1 n (≥1)(学生通过讨论，从而不断完善自己的认知结构)师：同学们能否举一些等差数列的例子？（学生争先恐后地发言，教师随机指定两名学生回答。

河北省迁安一中数学必修五：2.2等差数列数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中二、教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

三、教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们先学习一类特殊的数列。

[探索研究]由学生观察分析：4，5，6，7，8，9，10（1）3，0，-3，-6，-9，•••• （2）1/10,2/10,3/10,4/10, (3)1，1，1，1， •••••• （4）看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

[等差数列的概念]等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是1，-3，-0.1，0。

注意：⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{n a },若 n a －1-n a =d (d 是与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差；(3)若d =0, 则该数列为常数列．[等差数列的通项公式]提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？⑴、我们是通过研究数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。

下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。

由学生经过分析写出通项公式：① 猜想得到这个数列的通项公式是3+=n a n② 猜想得到这个数列的通项公式是)1)(3(3--+=n a n③ 猜想得到这个数列的通项公式是n a n 1.0=④ 猜想得到这个数列的通项公式是1=n a⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项1a 和公差d ，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳： ,12d a a =-,23d a a =- ,34d a a =-…所以 ,12d a a +=,23d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,34d a a +=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=……思考：那么通项公式到底如何表达呢？得出通项公式：以1a 为首项，d 为公差的等差数列}{n a 的通项公式为：d n a a n)1(1-+= 或 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a 和公差d ，那么这个等差数列的通项n a 就可以表示出来了。

等差数列导学案学习目标：1、理解等差数列的概念；2、掌握等差数列的通项公式；3、能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题教学重难点：重点：等差数列概念的理解，通项公式的推导及应用；难点：等差数列通项公式的推导•一.自主学习1、设计问题，创设情景（数青蛙）①1, 2, 3, 4, 5,...②1, 2, 3, 4, 5,...③2, 4, 6, 8, 10,...④4, 8, 12, 16, 20,...问题1：观察上述数列的变化规律，它们有什么共同特点?数列从第2项起，_____________________________________2、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.3、想一想判断下面几个数列是否为等差数列①1, 3, 5, 7, 9,...②3, 0, -3 , -6 , -9 , -12 ,③-5 , -3 , 0 , 4 ,...④1,1 ,1,1,1 , 1 ,...4、等差数列的通项公式如果等差数列｛a n｝的首项是a ,公差是d,则等差数列的通项公式为a n=a〔+( ) d,n€ N*.二.互学组内交流(解决下面两个问题)各小组在组长的组织下，认真开展学习交流，完成自主学习内容及问题探究，要求每人必须发言，最后组内形成共识并作好记录，推荐一位发言代表.i等差数列的定义思考：(1)定义中的有几个要点?(2) 公差d是哪两个数的差？(3) 等差数列定义的数学表达式(递推式)：_______________2、等差数列通项公式a n 推导(法二)三．导学1、概括本节知识要点(揭示规律)①等差数列的定义②等差数列的通项公式2、运用规律，解决下列问题(1) 求等差数列8,5,2,…的第20项.(2) 等差数列-5,-9,-13,…的第几项是-401?(3) 在等差数列中，已知$=10,弘=31,求首项a i与公差d四．自测练习1.判断下列各数列是否为等差数列(1) 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , ...(2) -3 , -3 , -3 , -3 , -3 , ...(3) 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , ...(4) a-d , a , a+d .2、在等差数列｛a n｝中,a i=13,a3=12,若a n=2,求n.3、等差数列｛a n｝中，a i+a=10, a4=7,求数列｛a n｝的公差.五. 反思总结。

2.2 等差数列一、教学目标：知识与技能：1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.过程与方法：1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.情感、态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.二．重点难点重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.难点：(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.三、教材与学情分析本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)(1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…;(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….请你们来写出上述四个数列的第7项.生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.师作差是否有顺序，谁与谁相减？生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列. 这就是我们这节课要研究的内容.（二）推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示). （1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列{a n}，若a n-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d 叫做公差.师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力) 生 从“第二项起”和“同一个常数”. 师 很好！师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生 数列(1)通项公式为5n -5，数列(2)通项公式为5n +43，数列(3)通项公式为2.5n -15.5，…. 师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.［合作探究］ ：等差数列的通项公式师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得什么?生 a 2-a 1=d ,即a 2=a 1+d .师 对，继续说下去!生 a 3-a 2=d ,即a 3=a 2+d =a 1+2d ; a 4-a 3=d ,即a 4=a 3+d =a 1+3d ; ……师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a n =a 1+(n -1)d .师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ，便可求得其通项a n 了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：因为a 2-a 1=d ,a 3-a 2=d ,a 4-a 3=d ,…,a n -a n -1=d .将它们相加便可以得到：a n =a 1+(n -1)d .师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了. ［教师精讲］ 由上述关系还可得：a m =a 1+(m-1)d , 即a 1=a m -(m-1)d .则a n =a 1+(n -1)d =a m -(m-1)d +(n -1)d =a m +(n -m)d ,即等差数列的第二通项公式a n =a m +(n -m)d .(这是变通的通项公式) ，由此我们还可以得到nm a a d n m --=. （三）例题剖析【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？分析（1）师这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?生1 这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.师好!下面我们来看看第（2）小题怎么做. 分析（2）生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为a n=-5-4(n-1). 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项. 师刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是a n,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).说明:(1)强调当数列｛a n｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式a n，判断是否存在正整数n，使得a n=-401成立.【例2】已知数列{a n}的通项公式a n=p n+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？例题分析：师由等差数列的定义，要判定{a n}是不是等差数列，只要根据什么?生只要看差a n-a n-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.师说得对，请你来求解.生当n≥2时，〔取数列{a n}中的任意相邻两项a n-1与a n(n≥2)〕a n-a n-1=(p n+1)-［p(n-1)+q］=p n+q-(p n-p+q)=p为常数, 所以我们说{a n}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.师这里要重点说明的是：(1)若p=0，则{a n}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….(2)若p≠0，则a n是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，a n)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项a n=p n+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知a 1=3，d =7-3=4.∴该数列的通项公式为a n =3+(n -1)×4，即a n =4n -1(n ≥1，n ∈N *).∴a 4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39. 评述：关键是求出通项公式.(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.解：根据题意可知a 1=10，d =8-10=-2.所以该数列的通项公式为a n =10+(n -1)×(-2)，即a n =-2n +12，所以a 20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n 值，使得a n 等于这个数.解：根据题意可得a 1=2，d =9-2=7.因而此数列通项公式为a n =2+(n -1)×7=7n -5.令7n -5=100，解得n =15.所以100是这个数列的第15项.(4)-20是不是等差数列0， 213-，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 解：由题意可知a 1=0，213=d ,因而此数列的通项公式为2727+-=n a n . 令202727-=+-n ，解得747=n .因为202727-=+-n 没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.六、课堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n -a n -1=d (n ≥2);其次要会推导等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d (n ≥1).师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道a n ，a 1，d ，n 中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式a n =a m +(n -m)d 和a n =p n +q(p 、q 是常数)的理解与应用.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。

第二章数列2.4等差数列一、学习目标1．知识与技能1.理解等差数列的概念.（重点）2.了解等差数列的项与序号之间的规律.3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用.（难点）4.理解等差数列的性质.（重点）2.过程与方法培养学生观察、分析、归纳、推理的能力．通过强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力3.情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，培养学生主动探索的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯．二．重点难点教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用．教学难点：对等差数列中“等差”两字的把握，通项公式的推导．三．专家建议通过学习等差数列，应用累加法推导等差数列的通项公式，体会累乘加的意义并结合等差数列的定义给学生渗透一次函数讨论的数学思想,通过学习等差数列分析讨论的方法培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法.四．教学方法自学----练习---点拨-巩固训练五．教学过程●新课导入得到数列：6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000.你发现这个数列有什么特点？请进入本节的学习！●新知探究探究点1：等差数列定义 请看下面的一些数列：鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5,…；① 某月星期日的日期为 2,9,16,23,30；②一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm)为 89,83,77,71,65,59,53,47. ③ 思考：上面几个数列有什么共同的特点？提示：对于数列①，从第2项起每一项与前一项的差都等于0.5； 对于数列②，从第2项起每一项与前一项的差都等于7； 对于数列③，从第2项起每一项与前一项的差都等于-6.这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 例1.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n-5,这个数列是等差数列吗?解:因为当n ≥2时,a n -a n-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3,所以数列{a n }是等差数列,且公差为3. 思考1：当公差d =0时，{a n }是什么数列？ 提示：仍是等差数列.思考2：将有穷等差数列{a n }的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.提示：是等差数列,公差与原数列的公差互为相反数.思考3：如果说“一个数列从第2项起,相邻两项的差是同一个常数”,那么这个数列是等差数列吗? 提示：这个数列不一定是等差数列,等差数列中的“差”是有顺序的,必须是“从第2项起,每一项与前一项的差”.而“相邻两项的差”,这里的“相邻”可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一项,如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1,但此数列不是等差数列.探究点2：等差数列通项公式由此归纳出等差数列的通项公式为{}()()12132432132114311,-,-,-,.+,2,23,n a a d a a d a a d a a d a a d a a d a d d a d a a d a d d a d =====+=++=+=+=++=+ 如果等差数列的首项是公差是，那么根据等差数列的定义得到 因此a n=a1+(n-1)d.这个公式还可以用下面的方法得到.由等差数列的定义得a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,……a n-1-a n-2=d,a n-a n-1=d.将这n-1个式子的等号两边分别相加，得a n-a1=(n-1)d,即a n=a1+(n-1)d. 这种用叠加求通项公式的方法叫做叠加法。