22等差数列

分析1 通过观察、分析，找到两数列公共项的规律、特点，进而求其前n项和．解法1 观察归纳法：数列为：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，……数列为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，……观察可知，两个数列的公共项依次为：1，7，13，19，25，31，……，可以看出数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，所以{an}的前n项和为点评观察题中的两个数列均为等差数列，所以它们的公共项具有规律性，通过列举得到由两个数列的公共项构成的数列，进而求得{an}的前n项和.在找公共项的时候，比较好的办法是在公差大的数列里面来找，因为间隔小，且项与项间隔相等.该解法适用于象该考题一样，比较简单的两数列公共项问题.分析2 分析两个等差数列的首项和公差的特征，找到两个数列的公共项所构成的新数列仍是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数的规律求解.解法2 特征分析法：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.分析3 因为该题是两个等差数列的公共项问题，从公共项的本质看，即公共项就是两个数列相同的项，也就是说关于m，n的二元等式2n-1=3m-2的不定方程存在整数解，利用数的整除性解不定方程来解.解法3 解不定方程法：因为两数列与存在公共项，设2n-1=3m-2，m，n∈N*，则3m=2n+1，即因为2，3互质，所以n+2一定是3的倍数，不妨设n+2=3k，k∈N*，则n=3k-2，所以m=2k-1.由于2n-1=2(3k-2)-1=6k-5，3m-2=3(2k-1)-2=6k-5，所以两数列的公共项就是6k-5，k ∈N*，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评该解法在求解的过程中，利用了整数分解的方法，即提取公因式、配凑得到是解题的关键.象该高考题这样的两个等差数列的公共项问题，解不定方程法是一种通法，从上面的解法，我们可以得到结论：若两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同.分析4 对于两个等差数列的公共项问题，还有没有更一般的方法？因为公共项就是两个数列中的相同项，我们从中选取一个数列，一般选取数列中的项增加“较快”的数列，假如该数列的第n项是两个数列的公共项，然后逐一递推验证该数列的第n+1项、第n+2项、…是否是两个数列的公共项，进一步从中找到规律，得到两个数列的公共项从小到大排列的数列{an}的通项公式.解法4 “递推找项法”：记bn=2n-1，cn=3n-2.因为两数列与存在公共项，设bm=cn，即2m-1=3n-2，m，n∈N*.由cn=3n-2，所以由可知cn+1∉{bm}，即cn+1不是两个数列的公共项.cn+2=3(n+2)-2=3n+6-2=3n-2+6=2m-1+6=2(m+3)-1，由m+3∈N*，可知cn+2∈{bm}，所以cn+2是两个数列的公共项.因此，若ak=bm=cn，则ak+1=bm+3=cn+2.所以ak+1-ak=bm+3-bm=2(m+3)-1-(2m-1)=6，且a1=1，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评由上述过程总结“递推找项法”求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一般步骤：(1)设bm=cn=ak，从中得到项数m，n的等式关系；(2)在项增加“较快”的数列(如{cn})中依次验证某个相同项(如cn)后面的递推项(如cn+1、cn+2…)，并将其项的表达式与另一个数列({bn})的通项公式相比较，断定后面的递推项是否是另一个数列({bn})的项，从而发现项ak后面的项；(3)发现ak+1、ak之间的递推关系得出数列{an}的通项公式.3 “通法”提炼由此可以看出，对于求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}问题，“递推找项法”相对于解不定方程法更易于大家理解和接受，可以说，“递推找项法”是求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一种“通法”.其实远不止于此，“递推找项法”除了能解决两个等差数列的公共项问题以外，还可以解决比如两个等比数列的公共项问题，一个等差数列与一个等比数列的公共项问题，乃至一个等差数列或等比数列与完全多项式型数列的公共项问题.4 应用拓展4.1 两个等差数列的公共项问题例1 数列{bn}与{cn}的通项公式分别为bn=5n-1，cn=2n+2，它们的公共项由小到大排列得到数列{an}，求数列{an}的通项公式.解析数列{bn}的增加“较快”，所以依据数列{bn}递推找公共项.设bm=cn，即5m-1=2n+2，m，n∈N*.由bm=5m-1，所以由可知bm+1∉{cn}，即bm+1不是两个数列的公共项.bm+2=5(m+2)-1=5m+10-1=5m-1+10=2n+2+10=2(n+5)+2，由n+5∈N*，可知bm+2∈{cn}，所以bm+2是两个数列的公共项.因此，若ak=bm=cn，则ak+1=bm+2=cn+5.所以ak+1-ak=bm+2-bm=5(m+2)-1-(5m-1)=10，且a1=4，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以4为首项，以10为公差的等差数列，所以{an}的通项公式为an=4+(n-1)×10=10n-6.。

数列的概念1.数列的定义与通项公式（1）数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，即,,,,,,321 n a a a a 简记为数列}.{n a 其中，1a 称为数列的首项，n a 称为数列的第n 项。

（2）数列的通项公式：如果数列}{n a 的前n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，可以记为).)((*∈=N n n f a n 填空题要写出数列的通项公式要记得写成“)(n f a n =”的形式。

如：已知数列}{n a 的前n 项和为,13-=n n S 那么该数列的通项公式为.321-⋅=n n a2.数列的前n 项和n S（1）,21n n a a a S +++= （2）n S 与n a 的关系：⎩⎨⎧≥-==-,2,,1,11n S S n S a n n n .例：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）n n S n 322-=； （2）1322+-=n n S n .答案：（1）54-=n a n ；（2）..2,54,1,0⎩⎨⎧≥-==n n n a n3.数列的单调性①递增数列：对于任意,*∈N n 均有.1n n a a >+②递减数列：对于任意,*∈N n 均有.1n n a a <+例：已知数列}{n a 是递增数列，且,2n n a n λ+=则实数λ的取值范围为_________.答：).,3(+∞-4.求数列的最大项（或最小项）（1）利用数列的单调性：求n n a a -+1.例：若),()54(2n n a n n +=求数列}{n a 第几项最大.解：)1)(8)(51()54()()54(]1)1[()54(2211+--=+-+++=-++n n n n n n a a n n n n n ， ∴当71≤≤n 时，01>-+n n a a ；当8=n 时，01=-+n n a a ；当9≥n 时，01<-+n n a a .>>=<<<<∴1098721a a a a a a ，∴}{n a 中第8项或第9项最大.（2）利用相邻项的关系求解：若n a 最大，则⎩⎨⎧≥≥+-11n n n n a a a a ；若n a 最小，则⎩⎨⎧≤≤+-11n nn n a a a a .5.数列是关于项数n 的函数，其定义域是正整数集或它的子集，其图像是一些离散的点。

“数列”就是一列数，也就是一列数排成一列。

“等差”就是差相等，也就是相邻两数的差相等。

特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，...和1，0，1，0，1，0，...的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况。

内1、概念及基本公式在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，......依此类推。

我们把等差数列第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，等差数列知识结构模块一：等差数列初步知识精讲内容分析而相邻两项的差则被称为公差。

在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系，请看下图：在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？第5项比第2项大几个公差呢？第7项比第1项大几个公差呢？第17项比第9项大几个公差呢？更重要的是，首项其实就是第一项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于（项数-1）.由此，我们就知道末项减去首项等于（项数-1）个公差的和，因此由此可以得到等差数列的通项公式：同时我们还可以得到以下这些公式：【例1】⑴一个等差数列共有13项。

每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？⑵一个等差数列共有13项。

每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？【难度】★【答案】⑴57；⑵9【解析】分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大？⑴解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-1333⨯+=2433+=57⑵解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13因为每一项都比它的前一项小2，所以首项最大由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-13-33⨯=24-33=9【总结】在运用公式时，审题要审清楚，不同的说法要相应的改变公式的加减。

第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。

要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。

解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。

引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。

首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。

所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。

2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？答:（25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。

例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。

解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。

数列常用性质公式等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn --4．等差中项：,,,2a bA a A b +=⇔成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )等差数列前n 项和公式6.等差数列的前n 项和公式（1）2)(1n n a a n S += （2）2)1(1dn n na S n -+= （3）n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式（4）{}n a 为等差数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-（k 项的和）是等差数列. 公差为2k d7.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值8．（1）在等差数列{}n a 中,当项数为2n 时,1,n n S aS S nd S a +-==奇偶奇偶（中间两项）,当项数为2n -1时,,1nS nS S a S n -==-奇偶奇偶（中间项） (2).若等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数),则1212n nn n a S T b ++=.或1212--=n n n n T S b a等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比q （q ≠0），即：1-n n a a=q （q ≠0）2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.a ,G, b 成等比数列 6．性质：若m+n=p+q ，m n p q a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和9．等比数列的前n 项和公式：（1） ∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q qa a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.（2）{}n a 是等比数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-（k 项的和）是等比数列. 公比为k q 。