2015.08.22 数列概念及表示方法+等差数列

什么是等差数列的意思概念介绍等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么你对等差数列了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是等差数列的内容，希望大家喜欢!什么是等差数列等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。

首项a1=1，公差d=2。

前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

注意：以上n均属于正整数。

等差中项等差中项即等差数列头尾两项的和的一半。

但求等差中项不一定要知道头尾两项。

等差数列中，等差中项一般设为A(r)。

当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。

A(m)+A(n)=2×A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且为数列的平均数。

并且可以推知n+m=2×r。

且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n。

则a(m+n)=0。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

等差数列的基本性质(1)数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).(2)在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶-S奇 = nd，S 奇÷S偶=an÷a(n+1);当项数为(2n-1)(n∈ N+)时，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=项数*a(中) ，S奇÷S偶=n÷(n-1).(3)若数列为等差数列，则Sn，S2n -Sn ，S3n -S2n，…仍然成等差数列，公差为n^2d .(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1。

等差数列的概念及其通项公式一、基础知识1. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示) 将条件概括地说，就是a n =a n-1=d (n ≥2)2.通项公式：3.等差中项：如果在 a 与b 之间插入一个数 A ,使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

2a b A +=，即 2A =a +b 任何两个数都存在等差中项且唯一。

4. 等差数列的性质（1） 若｛a n ｝是等差数列，则a n =an +b ,特别地，若a =0, 则｛a n ｝是常数列。

（2）若｛a n ｝是等差数列，则 a m ＝a n ＋(m －n )d ，m ，n ∈N*，即（3）若{}n a 是等差数列，且q p n m N q p n m +=+∈+,,,,，则=+n m a a q p a a +二、典型例题分析【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：a 1=8,d =5-8=2-5=-3.又因为n =20，所以由等差数列的通项公式，得a 20=8+(20-1)×(-3)=-49.（2）a 1=-5,d =-9-(-5)=-4得数列通项公式为a n =-5-4(n -1).令-401=-5-4(n -1)成立,解之,得n =100，即-401是这个数列的第100项.【例2】．已知等差数列{a n }中，（1）a 7＋a 9＝16，a 4＝1，求a 12的值;（2）已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13.解：（1）方法一由a 7＋a 9＝16，得116816,a d a d +++=即121416a d +=，178a d +=又 a 4＝1，∴ 131a d +=解方程组 117831a d a d +=⎧⎨+=⎩，得117474a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以 12177111544a =-+⨯= 1(1)n a a n d=+-方法二 由于a 8是a 7和a 9的等差中项，则79882a a a +==， ∵ a 12+a 4＝a 8＋a 8＝2 a 8=15.∴ a 12＝2a 8－a 4＝15.（2）由m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ，得a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13.∵ a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，∴ 4a 13＝48，∴a 13＝12.【例3】在-1与7之间插入三个数a ,b ,c ，使这五个数成等差数列，求此数列。

等差数列的概念新浪博客等差数列是一种常见的数列，指的是数列中相邻两项之间的差值都是相等的。

也就是说，一个数列如果满足每一项都比前一项增加相同的差值，那么这个数列就是等差数列。

等差数列可以用通项公式表示，通项公式是指根据数列中的某一项的位置来计算该项的数值。

设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d其中，n为项数，a1为首项，d为公差。

等差数列具有一些特点和性质，下面分别进行介绍。

1. 等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和是指数列中前n项的和。

设前n项和为Sn，则其表达式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。

2. 等差数列中任意三项的关系：在等差数列中，任意三项的关系可以用如下公式表示：an = am + (n - m) * d其中，an为第n项，am为第m项，d为公差。

3. 等差数列前n项和与首项、末项的关系：等差数列前n项和与首项、末项之间存在着一种关系：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1 + (n - 1) * d) * n / 2 = n * (2 * a1 + (n - 1) * d) / 24. 等差数列的性质：等差数列具有以下性质：4.1 等差数列前n项和与项数n的关系：等差数列前n项和Sn与项数n之间存在着一种关系：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。

4.2 等差数列中间项个数：在等差数列中，首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，其中的中间项（不包括首项和末项）的个数为n-2。

4.3 等差数列中的极差：等差数列中的极差为两个相邻项之间的差值，即d。

4.4 等差数列的性质：等差数列中，两个相邻项之间的差值永远保持不变，称为公差。

等差数列中的任意几项的和与项数之间存在着一种确定的关系。

等差数列一、数列的概念及简单表示法【知识梳理】1．数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．【说明】（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项．【说明】数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的．3．数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是．【说明】．4．数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：①有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列②无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列（2）根据数列项的大小分：①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．②递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．③常数数列：各项相等的数列．④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．5．数列的通项公式与前n项和：（1）数列的通项公式：如果数列的的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．如数列：0，1，2，3，…的通项公式为；1，1，1，1，…的通项公式为；的通项公式为．【说明】①并不是所有数列都能写出其通项公式；②一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是；③数列通项公式的作用：求数列中任意一项，检验某数是否是该数列中的一项；④数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．（2）：指逐个相加之和，通常用表示，即；【说明】：①，②，故(必要时请分类讨论)．注意：（1）；（2）6．数列的表示方法：（1）通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．（2）列表法：相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，…，用表示第项，……，依次写出得数列．（3）图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：即项数以为坐标在平面直角坐标系中做出点．相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（4）递推公式法：如果已知数列，且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：数列：-3，1，5，9，13，…可用递推公式：，表示．数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…可用递推公式：，，表示．【例题精讲】例1．在数列1，1，2，3，5，8，，21，34，55，…中，等于（）A. 11B. 12C. 13D. 14例2．已知数列中，，则数列通项公式__________ .【巩固练习】1．已知数列的通项公式为则=__________ .2．数列的一个通项公式为（）A.B.C.D.二、数列的函数特性【知识梳理】1．数列与函数：（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上：数列可以看成以正整数集（或它的有限子集，2，3，…）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数,如果（1，2，3，…，，…）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式：数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点：数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式．2．3．三、等差数列II【知识梳理】1．等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．【说明】（1）两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数a，b的等差中项存在且唯一；（2）三个数成等差数列的充要条件是．2．【例题精讲】例1．求等差数列数列6，9，12，…，300的项数．【巩固练习】1．已知数列的前n项和，则=__________ ．四、等差数列的通项公式【知识梳理】1．等差数列的通项公式：首项为，公差为的等差数列的通项公式为：【说明】（1）通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了；（2）通项公式中共涉及四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．2．等差数列通项公式的推广：已知等差数列中，第项为，公差为，则：证明：∵∴∴由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况．【例题精讲】例1．已知数列的前n项和为，数列的前n项和为．（1）若，求p的值．（2）取数列的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列，求数列的通项公式．【巩固练习】1．已知数列满足且是等差数列，是等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．五、等差数列的性质【知识梳理】1．等差数列的性质，等差数列中，公差为，则：（1）若，且,则；特别地，当时；（2）下标成公差为的等差数列的项组成的新数列仍为等差数列，公差为；（3）若数列也为等差数列，则,（为非零常数）也是等差数列；（4）仍是等差数列；（5）数列（为非零常数）也是等差数列；（6）【例题精讲】例1．在等差数列中，.求数列的通项公式例2．某种汽车，购买时费用为10万元；每年交保险费、汽油费等合计9千元；汽车的维修费第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增．问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最小）？提示：年平均费用=．例3．数列的前n项和为，且满足．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若数列是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．【巩固练习】1．等差数列中，已知，求的值六、等差数列与一次函数的关系【知识梳理】1．等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)：等差数列中，，令，则：（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点；（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点；①当时，一次函数单调增，为递增数列；②当时，一次函数单调减，为递减数列．【例题精讲】例1．已知数列，且，（1）求证：是等差数列；（2）求所在的直线方程．【巩固练习】1．在等差数列中，其前项和记为，（1）若，则；（2）若，则．2．设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足. (1)若，求及； (2)求的取值范围．一、选择题（共60分，每小题5分）1、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，则a 4等于( )A ．5B ．6C ．7D ．92、已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．73、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2nD ．2(n －1)4、等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( )A ．是公差为d 的等差数列B ．是公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对5、在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( )A.12B.13C ．－12D ．－136、在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝( )A ．45B ．41C ．39D ．37X k b 1 . c o m7、等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x ，则a 101＝( )课后巩固1．数列的一个通项公式为__________ ．2．数列……的一个通项公式为（）A.B.C.D.3．在等差数列{an}中，求n及公差d．4．已知等差数列中，首项，公差d为整数，且满足．求．5．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数6．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1＝10，b1＝90，a2＋b2＝100，那么数列{a n＋b n}的第2012项的值是__________7．若=1，=2，，（n≥3），计算{}的前几项，并猜想其通项公式=__________ . 8．已知数列对于任意，，有，若，则__________ ．9．（北京海淀区二模文）数列的首项，且，则的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 810．上海松江一模)已知数列的前n项和__________ ．11．上海徐汇一模)已知数列=__________ .。