【详解】三年级(上)第22讲 等差数列应用

三年级奥数等差数列小学三年级奥数专项练：等差数列知识要点】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。

2.特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。

3.名词：公差，首项，末项，项数按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

后项与前项的差就叫做这个数列的公差。

例如：1，2，3，4.是等差数列，公差是1；1，3，5，7.是等差数列，公差是2；5，10，15，20.是等差数列，公差是5.在等差数列中，有如下规律：通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差第几项=首项+（项数-1）×公差；项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 =平均数×项数平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷21) 一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______；2) 一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。

3) 一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。

计算下面的数列和：1) 1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＋25＝2) 1＋5＋9＋13＋…＋33＋37＋41＝3) 3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝拓展练：1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。

那么应插入哪些数？2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。

1) 2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有()项。

2) 2、8、14、20、……62这个数列共有（）项。

6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -这几个等差数列虽然都不一样，但它们的项数、和与中间数都是相同的：项数都是7，和都是112，中间数都是16．其实只要项数与和相同，中间数就自然相同了，因为我们学过公式：和=中间数×项数，那么中间数=和÷项数．也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数．这种通过公式反向求解的方法在等差数列的问题中非常常见．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1一个等差数列的第1项是21，前7项的和为105，这个数列的第10项是多少？分析：前7项的和是105，根据公式可以求出第几项呢？练习1一个等差数列的第1项是3，前11项之和为198，这个数列的第20项是多少？第1项 第2项 第7项 21第10项 和105第二十二讲 等差数列应用9个连续自然数的和是126，其中最小的数是多少？分析：这9个数是等差数列吗？如果是的话，公差是几？练习27个连续奇数之和为91，其中最小的数是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 当然，要使用公式：和=中间数×项数来解题的话，这个数列的项数必须是奇数．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？第1项第2项第15第21和为450和为819分析：如果知道任何两项具体的数值，就能算出公差．能不能找到这样的两项呢？练习3已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690．请问：这个等差数列的首项是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 但并不是所有的等差数列的项数都是奇数．当项数是偶数时，只能根据公式：和=（首项+末项）×项数÷2，算出首项与末项的和．如果再能求出首项与末项的差，便能求出首项与末项的具体数值了．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？分析：首项与末项的和是多少？差是多少？练习4把115表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是几？例题5已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750．请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？分析：通过“前15项之和为450”这个条件除了能知道“中间数”之外，还能知道其他一些信息吗？例题6在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609．小高发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列．请问小高正确的分数是多少？分析：思考下一共有几个人？改分前小高是第几个，改分后小高是第几个？89作业1. 已知一个等差数列的首项是17，前7项之和为161，这个数列的第11项是多少？2. 7个连续偶数之和为112，其中最小的那个数是多少？3. 8个连续奇数之和为112，其中最小的那个数是多少？ 课 堂 内 外根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒，……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求．这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：234636412222221+++++⋅⋅⋅+=-，直接写出数字来就是18446744073709551615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回．国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债．正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下．其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了．假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18446744073709551615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）．就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分．这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐．”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他．西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐．等比数列小故事4.把325表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是多少？5.已知一个等差数列的前11项之和为451，前19项之和为1235，这个数列的首项是多少？1011第二十二讲 等差数列应用1. 例题1答案：3详解：先求出第4项：105715÷=，所以公差为：()()2115412-÷-=，第10项为：()2121013-⨯-=． 2. 例题2答案：10详解：9个连续自然数是一个公差为1的等差数列，第5项为：126914÷=，所以最小的数为：14410-=．3. 例题3答案：3；9详解：先根据前15项之和，求出第8项为：4501530÷=．再根据21项之和，求出第11项为：8192139÷=．所以公差是：()()39301183-÷-=，首项为：()303819-⨯-=．4. 例题4答案：38详解：8个连续偶数构成的是公差为2的一个等差数列，最大数应该比最小数大2714⨯=，再算出最小数与最大数的和：2482862⨯÷=，所以最大数为：()6214238+÷=．5. 例题5答案：3；9详解：“前15项之和为450”，所以第1项与第15项之和为：45021560⨯÷=．同样地，算出第1项与第20项之和为75，都含有第1项，所以第20项比第15项大了756015-=，公差为：1553÷=，第15项比首项大31442⨯=，所以首项为：()604229-÷=．6. 例题6答案：99分详解：原来是最低的，加了21分之后应该变成最高的，公差是3，所以小组里共有7人．原来中间的数为609787÷=分，所以最后小高是99分．7. 练习1答案：60简答：第6项为：1981118÷=，公差为：()()183613-÷-=，第20项为：331960+⨯=． 8. 练习2答案：7简答：第4个是：91713÷=，最小数为7．9. 练习3答案：11简答：第7项为：5331341÷=，第8项为：6901546÷=，公差为5，则首项为：415611-⨯=．10. 练习4答案：7简答：最小数比最大数小9，且最小数与最大数之和为：11521023⨯÷=，则最小数为7． 11. 作业112 答案：37简答：第4项为161723÷=，而首项为17，那么公差为(2317)(41)2-÷-=，第11项为1721037+⨯=．12. 作业2答案：10简答：中间项即第4个数为112716÷=，则最小的是10．13. 作业3答案：7简答：()82112+⨯÷=首项末项，所以28+=首项末项，而对于8个连续奇数，末项比首项大2714⨯=，则首项为7．14. 作业4答案：28简答：这10个连续自然数构成一个公差为1的等差数列，()102325+⨯÷=首项末项，所以65+=首项末项，而首项又比末项小9，则首项为28．15. 作业5答案：11简答：第6项为4511141÷=，第10项为12351965÷=，则公差为(6541)(106)6-÷-=，首项为41(61)611--⨯=．。

☆7 O求解的方法在等差数列的问题中非常常见项和105CD这4个等著数列 之间有什么相同 的地方少练习1那么中间数=和十项数•也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数•这种通过公式反向 例题10 2N 25 分析：前7项的和是105，根据公式可以求出第几项呢?/0, 2 4fig 第:项 中间数都是16 •其实只要项数与和相同， 中间数就自然相同了，因为我们学过公式：和=中间数x 项数 8D 这几个等差数列虽然都不一样， 但它们的项数、和与中间数都是相同的： 项数都是7,和都是112 20P Sflo 28一个等差数列的第1项是3,前11项之和为198，这个数列的第20项是多少?第骑第2项 一个等差数列的第 1项是21,前7项的和为105，这个数列的第10项是多少?第二十二讲等差数列应用9个连续自然数的和是126,其中最小的数是多少?分析：这9个数是等差数列吗？如果是的话，公差是几?练习27个连续奇数之和为91,其中最小的数是多少?当然，要使用公式：和=中间数X项数来解题的话，这个数列的项数必须是奇数.例题3已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？和为819分析：如果知道任何两项具体的数值，就能算出公差.能不能找到这样的两项呢?练习3已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690.请问：这个等差数列的首项是多少?但并不是所有的等差数列的项数都是奇数•当项数是偶数时，只能根据公式：和=（首项+末项）X项数吃，算出首项与末项的和.如果再能求出首项与末项的差，便能求出首项与末项的具体数值了.第亡项和为450'."第项☆4是多少?少？(7^例题6例题5分析：首项与末项的和是多少？差是多少?表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少?分析：思考下一共有几个人？改分前小高是第几个，改分后小高是第几个?在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为分析：通过“前15项之和为450”这个条件除了能知道“中间数”之外，还能知道其他一些信息吗? 已知一个等差数列的前 15项之和为450，前20项之和为750.请问：这个数列的公差是多少？首项 3的等差数列，总分为 609.小高发现自己的 练习4把115表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是几?分数算少了，找老师更正后，加了 21分，这时他们的成绩还是一个等差数列.请问小高正确的分数是多等比数列小故事作业1. 已知一个等差数列的首项是17,前7项之和为161，这个数列的第11项是多少?2. 7个连续偶数之和为112，其中最小的那个数是多少?4. 325表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是多少?5.已知一个等差数列的前11项之和为451，前19项之和为1235，这个数列的首项是多少?答案：3详解：先求出第4项：105 7 15，所以公差为：21 15 4 1 2，第10项为：21 2 10 1 3 .2.例题2答案：10详解：9个连续自然数是一个公差为1的等差数列，第5项为：126 9 14，所以最小的数为：14 4 10 .3.例题3答案：3 ；9详解：先根据前15项之和，求出第8项为：450 15 30 •再根据21项之和，求出第11项为：819 21 39 .所以公差是：39 30 11 8 3，首项为：30 3 8 1 9 .4.例题4答案：38详解：8个连续偶数构成的是公差为2的一个等差数列，最大数应该比最小数大2 7 14，再算出最小数与最大数的和：248 2 8 62，所以最大数为：62 14 2 38 .5.例题5答案：3 ；9详解：“前15项之和为450”，所以第1项与第15项之和为：450 2 15 60 .同样地，算出第 1 项与第20项之和为75,都含有第1项，所以第20项比第15项大了75 60 15，公差为：15 5 3，第15项比首项大3 14 42，所以首项为：60 42 2 9 .6.例题6答案：99分详解：原来是最低的，加了21分之后应该变成最高的，公差是3,所以小组里共有7人.原来中间的数为609 7 87分，所以最后小高是99分.7.练习1答案：60简答：第6项为：198 11 18，公差为：18 3 6 1 3，第20项为：3 3 19 60.8.练习2答案：7简答：第4个是：91 7 13，最小数为7.9.练习3答案：11简答：第7项为：533 13 41，第8项为：690 15 46，公差为5,则首项为：41 5 6 11 .10.练习4答案：7简答：最小数比最大数小9,且最小数与最大数之和为：115 2 10 23，则最小数为7.答案：10简答：中间项即第4个数为112 7 16，则最小的是10.13.作业3答案：7末项比首项大简答：(首项末项)8 2 112，所以首项末项28，而对于8个连续奇数，2 714，则首项为7.14.作业4答案：28简答：这10个连续自然数构成一个公差为1的等差数列，(首项末项)10 2 325，所以首项末项65，而首项又比末项小9，则首项为28.15.作业5答案：11简答：第6项为4511141，第10项为12351965，则公差为(6541)(106)6，首项为41 (6 1) 6 11 .。

类等差（比）数列性质及其应用范广法（浙江省桐乡第二中学314511）sdhzmdq@一 类等差数列性质及其应用若{}n a 从第二项起，每一项与它的前一项的差小于（或大于）同一个常数d ，则{}n a 叫做类等差数列，d 叫类等差数列的公差. 设12n n S a a a =+++ ，则类等差数列{}n a 具有性质：若1n n a a d +<+，则1(1)n a a n d +-≤，1(1)2n n n S na d -+≤；若1n n a a d +>+，则1(1)n a a n d +-≥，1(1)2n n n S na d -+≤.此性质常用于一些不等式的证明，而此类不等式多以压轴题的形式出现，是高考中的难点，既考查基础知识又考查能力，对考生有很好的甄别与选拔功能.下面来探讨其应用.例1（2014年广西高考理科第22题）函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+． （Ⅱ）设11a =，1ln(1)n n a a +=+，证明:2322n a n n <++≤． （笔者注：本文证明更强的结论：2312n a n n ++≤≤） 简析：考虑到不等式2312n a n n ++≤≤等价于21132n n n a ++≤≤，此式两边都是等差数列的通项．根据类等差数列的性质，仅需证不等式组1111121113n n n n aa a a ++⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤+≤成立，又0n a >（可证）与1ln(1)n n a a +=+，即需证112233n n nn n n a a a a a a ++⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤即2ln(1)23ln(1)3n n n n n n a a a a a a ⎧+⎪+⎪⎨⎪+⎪+⎩≥≤成立，所以首先要研究当2a =，3a =时()f x 的单调性并找到()n f a 的正负（即()n f a 与(0)f 的大小）．简解：用数学归纳法易证03n a <<，不赘．当2a =时，()f x 在(0,3)上递增，()(0)0f x f >=即2ln(1)(03)2xx x x+><<+，从而2ln(1)2n n n a a a +>+，122n n n a a a +>+，11112n n a a +<+，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列，公差为为12，11(1)12n n a -+≤即21na n +≤①．当3a =时，()f x 在(0,3)上递减，()(0)0f x f <=即3ln(1)(03)3xx x x+<<<+，从而3ln(1)3n n n a a a +<+，133n n n a a a +<+，11113n n a a +<+，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等差数列，公差为为13，11(1)13n n a -+≤即32n a n +≤②，从而2312na n n ++≤≤．点评：由21132n n n a ++≤≤看出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与类等差数列有关，是解题的关键． 例2（2014年宁波二模理科第22题）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )n P n n (N )*∈n ，记线段P n P n +1的斜率为k n ，记12111n nS k k k =+++ ．对任意正整数n ，试证明：(35)(2)62n n n n n S ++<<． 简析：考虑到(35)6n n +、(2)2n n +分别是等差数列{}13n +与{}12n +的前n 项和，根据类等差数列的性质，仅需证11132n n n k +<<+成立，即证213ln(1)2131n n n <+<++，亦即证明23ln(1)23x xx x x<+<++在(0,1]x ∈上成立，此不等式用导数不难证明，不赘． 点评：由11132n n n k +<<+看出1n k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与类等差数列有关． 二 类等比数列性质及其应用类似地，若{}n a 从第二项起，每一项与它的前一项的比都小于（或大于）同一个非零常数q ，则{}n a 叫做类等比数列，q 叫类等比数列的公比.类等比数列{}n a 具有以下性质：若0n a >且0q >,则当2n ≥时，111n n n n a q a a q a +-<⇒<，111n n n naq a a q a +->⇒>.下面探讨类等比数列性质的应用.例3（2014年全国新课程卷Ⅱ理科第17题）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.简析：当n =1时，所证不等式成立；当2n ≥时，易知0n a >，13+>n n a a ，11113n na a +<⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的类等比数列， 111()3n n a -<，11211()33111121n n a a a --++<<-…+. 点评：舍弃递推式131n n a a +=+中的尾巴“1”，比较容易发现1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等比数列.例4（2012年广东高考理科第19题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，N*∈n ，且1a ，25a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1231112na a a ++<…+.简析：（Ⅲ）当n =1时，11a =，所证不等式成立；当2n ≥时，11221n n n S a ++=-+，1221n n n S a -=-+，两式相减得132n n n a a +=+．再由前问知121,5a a ==知，对一切正整数n 都有132,0n n n n a a a +=+>成立.从而11111323nn n n a a a +=<⋅+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的类等比数列，111()3n n a -<，从而11211()331111213n n a a a --++<<-…+. 点评：同样，舍弃递推式132n n n a a +=+中的尾巴“2n”，容易发现1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是类等比数列.例5（2013年华约自主招生压轴题）已知()(1)1x f x x e =--. （Ⅰ）求证：当0x >时，()0f x <； （Ⅱ）数列{}n x 满足11n n x x n x ee +=-，11x =，求证：{}n x 递减且12n nx >. 简析：（Ⅱ）可用数学归纳法证明0n x >.先证{}n x 递减：由上问知()(1)10n xn n f x x e =--<即1n n xxn e x e -<，又11n n x x n x ee +=-，从而1n n x xn n x e x e +<，1n n x x +<即{}n x 递减.再证12n nx >：当n =1时所证结论成立；当2n ≥时，要证12n nx >，只要证{}n x 是以12为公比的类等比数列，即证12n n x x +>．考虑到1020nn n x x x n e e e e x +-=>-，所以12n n x x +>，从而11122+>>=n n n n x x x ，112n n nx x +>>． 点评：由“12n n x >，11x =”可断定{}n x 是以12为公比的类等比数列；由2a bb a e e e b a+->-（2013年陕西高考压轴题中的结论）推出了020nn xx n e e e x ->-.若将类等差数列与类等比数列有机地结合起来，会编制一些数学味道很浓的压轴题（尽管其可不用上述性质解答），如：（2002年全国高考理科第22题）设数列{}n a 满足121+-=+n n n na a a ，1,2,3,n = .（Ⅱ）当13a ≥时，证明对所有的1n ≥，有 （ⅰ）2n a n +≥；（ⅱ）1211111112n a a a +++ +++≤.（模拟题）设数列{}n b 满足：1n b ≥，21(2)3n n n b b n b +=--+，1,2,3,n = .（Ⅰ）用数学归纳法证明：n b n ≥； （Ⅱ）设12111333 n nT b b b =++++++，求证：12n T <.。

等差数列三年级奥数题摘要：1.等差数列的概念和基本性质2.等差数列求和公式3.三年级奥数等差数列求和习题及答案4.提高等差数列求和题目的解题技巧正文：一、等差数列的概念和基本性质等差数列是指一个数列，其中每个相邻的元素之差相等。

等差数列的基本性质包括：1.等差数列中任意两个相邻元素的差值相等；2.等差数列中任意两个元素之差的值都是相同的；3.等差数列中元素的和与项数成正比。

二、等差数列求和公式等差数列求和公式是指将一个等差数列的所有元素相加得到的总和的计算公式。

等差数列求和公式为：S = n * (a1 + an) / 2其中，S 表示等差数列的和，n 表示等差数列的项数，a1 表示等差数列的第一个元素，an 表示等差数列的最后一个元素。

三、三年级奥数等差数列求和习题及答案1.习题：一个等差数列的前5 个元素分别为1, 3, 5, 7, 9，求这个等差数列的和。

答案：S = 5 * (1 + 9) / 2 = 252.习题：一个等差数列的前10 个元素分别为2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20，求这个等差数列的和。

答案：S = 10 * (2 + 20) / 2 = 110四、提高等差数列求和题目的解题技巧1.观察题目中的已知条件，如元素个数、首项和末项等，确定等差数列的性质；2.利用等差数列求和公式，将已知条件代入公式计算；3.注意数列中可能出现的公差为0 的情况，此时等差数列的所有元素都相等，和为元素个数乘以任意一项。

通过以上提纲和正文内容，我们可以了解到等差数列的概念和基本性质，以及等差数列求和公式的应用。

同时，我们通过三年级奥数等差数列求和习题及答案，学会了如何利用等差数列求和公式解决实际问题。

等差数列认识（教师版）三年级奥数第一篇：等差数列认识 (教师版)三年级奥数2013春季第一讲等差数列认识| 三年级·提高班·教师版 | 第1讲2013春季教学目标1、认识简单的数列；2、掌握什么是等差数列；3、会求解简单的等差数列和；知识点拨1、如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列，这个数叫做等差数列的公差。

2、等差数列求和：（首项+末项）×项数÷23、求项数：（末项-首项）÷公差+14、求末项：首项+（项数-1）×公差(一)课堂引入1.学生学情分析：（1）三年级暑假对数列有过认识，并且三年级孩子比较喜欢找规律，并且对找规律比较擅长，所以可以从此入手，让孩子认识等差数列。

此为切入点！（2）数列计算和中，学生已经经历了凑整求和，所以在学习等差数列求和时，并不陌生，可以以此切入！此为难点！2.引入-高斯‘神速求和’的故事讲故事：高斯出生于一个贫困家庭，幼时家境贫困，但是异常聪明。

就在像大家这么大的时候，一次老师出了一道非常难得数学题：把1到100的自然数加起来，和是多少？正在同学们苦思冥想的时候，高斯略加思索就说出了答案。

同学们你们知道答案是多少吗？你们知道高斯用了什么方法巧妙地计算出来的吗？情景1：学生对高斯的故事可能会比较熟悉，或许会清楚1到100的自然数之和，对于这种情况，可以根据学生回答的情况，提问——你们谁知道高斯用了什么方法巧妙地计算出来的呢？情景2：这个问题，学生回答会比较困难，在此情况下，问:同学们想不想像高斯这样厉害，掌握这种巧妙的方法呢？那么，我的小高斯们，下面我就先来认识下等差数列。

| 三年级·提高班·教师版 | 第1讲2013春季(二)探索新知(一)等差数列的认识例题精讲例1：1、3、5、7、9、（）【教学建议】等差数列的认识。

先让孩子去找规律填数，并让孩子去总结其中的规律所在，并能用合适的语言表达。

三年级等差数列题型及解题方法
一、等差数列的基本概念
1. 定义
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母公式表示。

例如数列公式就是一个等差数列，其中公差公式。

2. 通项公式
对于等差数列公式，其通项公式为公式，其中公式为首项（数列的第一项），公式为项数，公式为公差。

例如，在等差数列公式中，公式，公式，那么第公式项公式。

3. 求和公式
等差数列的前公式项和公式为公式或者公式。

例如，求等差数列公式的和。

这里公式，公式，公式。

先求项数公式，由公式可得公式，解方程公式，
即公式，解得公式。

再根据求和公式公式，可得公式。

二、三年级等差数列常见题型及解题方法
1. 求数列中的某一项
题目：在等差数列公式中，求第公式项是多少？
解析：
首先确定这个等差数列的首项公式，公差公式。

根据通项公式公式，当公式时，公式
先计算括号内公式，再计算公式，最后公式。

所以第公式项是公式。

2. 求数列的项数
题目：等差数列公式，这个数列有多少项？
解析：
已知公式，公式，公式。

根据通项公式公式，可得公式。

先展开括号得到公式，
移项可得公式，即公式，解得公式。

所以这个数列有公式项。

3. 求数列的和
题目：求等差数列公式的和。

解析：
这里公式，公式，公式。

方法一：根据求和公式公式，先求公式，公式
，则公式。

方法二：根据公式，公式。

第22讲 数列中的插项问题一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）在和3之间插入n 个数，使这个数组成和为的等差数列，则（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】设构成的等差数列为，则，，项数为，．由等差数列的前项和公式列式求解．【详解】设构成的等差数列为，则，，项数为，．由，解得．故选：B ．2．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n 个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②③④其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据等差数列的性质和数列求和的方法逐一判断：，可得①的正误；在数列中是第项，可得②的正误；由，，得，可得③的正误；分组求和得，可得④的正误.9-2n +21-n ={}n a 19a =-23n a +=2n +221n S +=-n {}n a 19a =-23n a +=2n +221n S +=-()()()()1222262122n n n a a n S +++++⨯-===-5n ={}n a 2n n a =1a 2a 11x 1112a x a ，，2a 3a 2122,x x 221223,,,a x x a n a 1n a +123,,,,n n n nn x x x x ⋯123,1,,,,,n n n n nn n a x x x x a +⋯{}n b 1112212233132334,,,,,a x a x x a x x x a ,,,,⋯{}n b n S 12132n n n nn x x x n -++⋯+=⋅1066a b =723072b =5514337S =111222n nn n n n n nn x a a x x x x n n +++++⋯+=⋅=⋅10a {}n b 10129++++ 1166a b =1278a b =667811127222b b a a b ++==()()()551210112122919299S a a a x x x x x x =+++++++++++⎡⎤⎣⎦【详解】①,故①正确；②在数列中是第项，所以，故②错误；③，，故③正确；④，故④正确.故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质和数列求和，弄清插入的项数是解题关键，属于较难的题目.3．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，在，之间插入n 个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（ ）A ．211B ．232C ．247D ．256【答案】D 【分析】依题意，到为止，新的数列共有项，计算出截止到共有91项，将前100项分为3部分，一部分，之前的1一部分，之后的1一部分，求和即可.【详解】依题意，到为止，新的数列共有项，由于，即截止到共有91项，故数列的前100项的和为，故选：D.【点睛】关键点点睛：理解的意义，将数列的前100项分为三部分是解题的关键.4．（2021·全国·高二专题练习）在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（ ）1111122232222n n n n nn n n n n nn x a a x x x n n x n n +-++++++⋯+=⋅=⋅=⋅=⋅10a {}n b 1012955++++= 1055a b =1166a b =111266781112127872223072222b b a a a b b +++=⇒====()()()551210112122919299S a a a x x x x x x =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()()()210018119222312229222382114337=++++⨯+⨯++⨯=-+⨯+= {}n a 21n a n =-n a 1n a +{}n b 1a 2a 3a 4a {}n b n a ()12n n +13a 113a a 13a 13a n a ()11232n n n ++++⋯+=1314912⨯=13a {}n b 1251121312925622++⨯+⨯+={}n b {}n b ,a b n ,a b 12,,,,n a a a a b 12n a a a +++=A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，利用倒序相加法求得所求表达式的值.【详解】令，倒过来写，两式相加得，故，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，即，考查倒序相加法，属于基础题.5．（2021·全国·高二课时练习）等比数列的通项公式为，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列，那么162是新数列的 A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项【答案】C 【分析】根据求出，再由题意可知，即可求出新数列的对应项数.【详解】数列的通项公式为，令，解得，由题可知，，，，即162是新数列的第项.故选C .【点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质,根据题意建立起数列和数列的项数对应关系是解题关键.二、多选题6．（2021·吉林松原·()n a b +()2n a b +(1)()2n a b ++(2)()2n a b ++12n n S a a a a b =+++++ 11n n n S b a a a a -=+++++ ()()22n S n a b =++()()22n n a b S ++=()()122n n n a b aa a S ab ++++=-+=121n n a a a a -+=+= {}n a 123n n a -=⋅{}n b {}n b 123162n n a -=⋅=n 32n n a b -={}n b {}n a 123n n a -=⋅123162n n a -=⋅=5n =11a b =()242221a b b +-==()()3732323121n n n n a b b a b b -+-+-==⋯⋯==513a b ∴={}n b 13{}n a {}n b高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据题意求出n ，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.【详解】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得，而，所以，故A 正确，B 错误；，令，则，，，所以，故D 正确，C 错误，故选：AD .7．（2021·湖南·永州市第一中学高三月考）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）()*n n ∈N 1n +n {}n a {}n a n n S 520212a =620212a =6320213259S =⨯+64202123S =-520212a =2021a n 1n +n ()12n n +1n +()()212n n ++()()()121202122n n n n +++≤≤63n =()6316320162+=520212a=123621234520211636226126021222222S =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+++++ 1236212562261260212=+⨯+⨯+⨯++⨯ 1236262261260212T =⨯+⨯+⨯++⨯ 23463262261260212T =⨯+⨯+⨯++⨯ 123462632622222212T T -=-⨯++++++⨯ 642128T =-64202123S =-()*n n ∈N 123,,,,k x x x x 1212n k a x x x =+++++ {}n a n n SA ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时第次得到数列1，，2 此时所以，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得则 又 所以 ，故B 项正确；由B 项分析可知即，故C 项错误.12n k +=133n n a a +=-()2332n a n n =+()133234n n S n +=+-1k =3k =7k =15k =n 123,,,,k x x x x 21n k =-12n k +=123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ ()33132n n a -=+()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+133n n a a +=-()()331333122n nn a -=+=+()2332n a n n ≠+123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.8．（2021·全国·高三月考）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数：，，使，，，成等差数列；…；在和出之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，…，记数列的前项和为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据新数列的定义方式可知，在原数列前项中添加了项，所以，A 项正确；对于B ，根据等差数列的前项和公式即可判断B 项错误；对于C ，先判断是等差数列中的第三项，即可求出的值，C 项错误；对于D ，根据，即可利用分组求和和错位相减法求出，D 项正确．【详解】对于A ，在数列中是第项，所以，A 项正确；对于B ，，B 项错误；对于C ，，C 项错误；对于D ，由选项B 知，所以2339424n n +=+-()133234n n +=+-}{n a 2n n a =1a 2a 11x 1a 11x 2a 2a 3a 21x 22x 2a 21x 22x 3a n a 1n a +n 1n x 2n x nn x n a 1n x 2n x nn x 1n a +}{n b 1a 11x 2a 21x 22x 3a 31x 32x 33x 4a }{n b n n S 836a b =112132n n n n nn n a x x x a n -++++⋅⋅⋅++=⋅38320b =456401S =}{n a 8123728++++= 836a b =n 38b 837389,,,,a b b a 38b )()(1112132232n n n n nn n n x x x n a a n --+++⋅⋅⋅+=+⋅-+=⋅456401S =8a }{n b 812736+++⋅⋅⋅+=836a b =)()()()()(111121222232222nn nn n n n n nn n n aa n a x x x an ++-++++++++⋅⋅⋅++===+⋅9889838822512222256320999a ab a --=+⋅=+⨯=+≠)()(1112132232n n n n nn n n x x x n a a n --+++⋅⋅⋅+=+⋅-+=⋅，D 项正确.故选：AD ．9．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k 的值可能为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】ABD 【分析】根据题意，找到等差数列中的项在新的等差数列中的位置，进而可求得n 与k 的关系，根据，即可求得答案.【详解】由题意得：插入个数，则，，，所以等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且角标是以1为首项，k +1为公差的等差数列，所以，因为是数列的项，所以令，当时，解得，当时，解得，当时，解得，故k 的值可能为1,3,7，故选：ABD三、填空题10．（2021·全国·高二课时练习）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次“扩展”，得到数列1，，，…，，4，并记)()()(45129112122818288S a a a x x x x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎦⎣)()()()(2901710822231222822237216401=++⋅⋅⋅++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-+⨯+={}n a ()*k k ∈N {}n b 9b {}n a {}n a {}n b **,n N k N ∈∈()*k k ∈N11ab =22k a b +=323k a b +=434k a b +=⋅⋅⋅{}n a {}n b 1(1)(1)n n k a b +-+=9b {}n a **1(1)(1)9,,n k n N k N +-+=∈∈2n =7k =3n =3k =5n =1k =1x 2x t x，其中，．则数列的通项公式______．【答案】【分析】根据题意可得，即可判断为等比数列，进而求出通项公式.【详解】由，可得，所以，则数列是首项为，公比为3的等比数列，故，所以．故答案为：.11．（2021·云南·富宁县第一中学高二月考（理））已知数列的前项和为，且对于任意，总有.若在与之间插入个数，使个数组成等差数列，则当公差满足时的值为_______________.【答案】4【分析】先根据已知求出，由题得，代入即得，解不等式即得解.【详解】∵，∴当时，，，化为，当时，，解得.∴数列是等比数列，首项为2，公比为2.∴.由题意可得等差数列：，，，…，，，∴，()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21n t =-*N n ∈{}n a n a =31n +()1131n n a a +-=-{}1n a -()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()()2111122log 1144t t n x x x x x a x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎤=⋅⎡⎣⎦g g 3333312214log 324t n x x x a ⋅⋅⋅=-g g ()1131n n a a +-=-{}1n a -2121log 413a -=-=13n n a -=31nn a =+31n +{}n a n n S *n ∈N ()21n n S a =-k a 1k a +k 2k +d 34d <<k 2nn a =()11k k a a k d +=++()21kk d =+2341k k <<+22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=1n =1122a a =-12a ={}n a 2n n a =k a k a d +2k a d +k a kd +1k a +()11k k a a k d +=++∴，∴，，解得，.故答案为：412．（2021·江西省南城一中高一月考（文））在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，则插入的这个正数的积为_____.【答案】【分析】结合等比数列的性质直接求解即可.【详解】由题意得，等比数列由项，且.根据等比数列性质有，所以插入的这个正数的积为.故答案为:13．（2021·全国·模拟预测（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.【答案】3【分析】当时，若有n 个1，由题知，数列共有项，当时，，则在第63个1后面跟第2个x 就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x ，从而根据前项的和为求得x .【详解】当时，若有n 个1，由题知，数列共有项，当时，，则在第63个1后面跟第2个x 就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x ，故该数列的前项的和为，解得.()1221k k k d +=++()21k k d =+2341kk <<+4k =165d =1100n ()2+n n 10n 2n +121,100n a a +==()22212212...10n n n n a a a a a ++++==n 10n 10n1,,1,,,1,,,,1,,,,,1,,x x x x x x x x x x x n 1n +n ,x 20185928,x ＝2n ≥(1)(121)2n n n n +++++-= 63n =636420162⨯=201820185928,2n ≥(1)(121)2n n n n +++++-= 63n =636420162⨯=20182018631(201863)5928x ⨯+-=3x =故答案为：314．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列，，，，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新数列的通项公式为________．【答案】【分析】根据首项和第三项构造方程求得新等差数列的公差，利用等差数列通项公式可得结果.【详解】设的公差为，则，解得：，是以为首项，为公差的等差数列，.故答案为：.15．（2021·全国·高二课时练习）在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则______________．【答案】【分析】根据等差中项的定义，结合题中操作的性质、等差数列的性质进行求解即可.【详解】扩充次后所得数列为，因此从到是等差数列，项数为，且中间项为；从到也是等差数列，项数为，且中间项为；根据等差数列的性质可得.故答案为：【点睛】5-132-2-12-{}n a n a =32344n -d {}n a d ()732522d =---=34d ={}n a ∴5-34()332351444n a n n ∴=-+-=-32344n -191591357913t t n n S n S =()72132nt ++-n 31,,2,,3,,,,2tt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1321n +23t 21n +32t+()()()3722121321322n nn nt t S ++=+++-=+-()72132nt ++-关键点睛：掌握如果等差数列的项数为，它的前项和是项数与中间项的乘积这一性质是解题的关键.16．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插个数，，，，使，，，，，成等差数列.这样得到新数列；，，，，，，，，，，记数列的前项和为，有下列判断：①；②；③；④，其中正确的判断序号是______.【答案】①③【分析】根据等差数列的性质和数列求和的方法逐个分析判断，对于①，由题可知，从而利用等差数列的性质可求出 的值；对于②，在数列中是第 项，从而可判断，对于③，由于，然后利用等差数列的性质可得结果，对于④，由于 ，再利用等差数列前项和公式求解【详解】①由题意得，所以，故①正确；②在数列中是第 项，所以，，故②错误；③，故③正确；④，故④错误；故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：此题考查等差数列性质的应用，解题的关键是理解是数列中的第项，即21n +n {}n a 2n n a =1a 2a 11x 1a 11x 2a 2a 3a 21x 22x 2a 21x 22x 3a ⋅⋅⋅n a 1n a +n 1n x 2n x ⋅⋅⋅nn x n a 1n x 2n x ⋅⋅⋅nn x 1n a +{}n b 1a 11x 2a 21x 22x 3a 31x 32x 33x 4a ⋅⋅⋅{}n b n n S 107232b =⨯1066a b =11232n n n nn x x x n -++⋅⋅⋅+=⋅135521S =+11661278,a b a b ==72b 10a {}n b 1012955+++⋅⋅⋅+=1122n nnn n nn x x x x x n +++⋅⋅⋅+=⋅551210112122919299()[()()]S a a a x x x x x x =++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+n 11661278,a b a b ==11121066781112722232222b b a a b +++====⨯10a {}n b 1012955+++⋅⋅⋅+=1055a b =1166a b =1122n nnn n nn x x x x x n +++⋅⋅⋅+=⋅111223222n n n n n a a n n n +-+++=⋅=⋅=⋅551210112122919299()[()()]S a a a x x x x x x =++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()2100182223122292=++⋅⋅⋅++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()()1191322382121=-+⨯+>+n a {}n b (1)2n n +，考查理解能力和计算能力，属于较难题17．（2021·全国·高二单元测试）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第次得到数列1，，，…，，4，并记，其中，.则的通项___________.【答案】【分析】先由，结合题意得到，再设求出，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据，可得，设，即，可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，故，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.18．（2021·湖南望城·高二期末）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为__________.【答案】【分析】(1)2n n n a b +=n 1x 2x i x ()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅ 21n t =-*n ∈N {}n a n a =31n +()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅ 132n n a a +=-13()n n a t a t ++=+1t =-{}1n a -33()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅ ()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭13()n n a t a t ++=+132n n a a t +=+1t =-{}1n a -2121log 413a -=-=313n n a -=31,nn a n N +=+∈31n +132根据等比数列的通项公式即可先求出公比的关系式，再根据等比数列的通项公式可知即可求出．【详解】由题意设这13个数组成依次递增的等比数列为，满足，，即有．故答案为：．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于容易题．19．（2021·江西省石城中学高一月考（理））已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入n 个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，….记数列的前n 项和为，有下列判断：①；②；③；④.其中正确的判断序号是______.【答案】①③④【分析】根据等差数列的性质和数列求和的方法逐一判断：①，可得①的正误；②在数列中是第项，可得②的正误；③由，，得，可得③的正误；④分组求和得，可得④的正误.【详解】①,故①正确；②在数列中是第项，所以，故②错误；③，，故③正确；122q =451a a q ={}n a 1131,2a a ==122q ∴=143512a a q ==132{}n a 2n n a =1a 2a 11x 1a 11x 2a 2a 3a 21x 22x 2a 21x 22x 3a n a 1n a +1n x 2n x nn x n a 1n x 2n x nn x 1n a +{}n b 1a 11x 2a 21x 22x 3a 31x 32x 33x 4a {}n b n S 11232n n n nn x x x n -+++=⋅ 1066a b =723072b =5514337S =111222n nn n n n n nn x a a x x x x n n +++++⋯+=⋅=⋅10a {}n b 10129++++ 1166a b =1278a b =667811127222b b a a b ++==()()()551210112122919299S a a a x x x x x x =+++++++++++⎡⎤⎣⎦ 1111122232222n n n n nn n n n n nn x a a x x x n n x n n +-++++++⋯+=⋅=⋅=⋅=⋅10a {}n b 1012955++++= 1055a b =1166a b =111266781112127872223072222b b a a a b b +++=⇒====④，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查等差数列的性质和数列求和，属于较难的题目.20．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）数列其中在第个1与第个1之间插入个，若该数列的前2020项的和为7891，则________.【答案】4【分析】当时，前个1之间共有项，可知在第63个1的后面在跟的第4个就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为，即得解.【详解】当时，前个1之间共有项，当时，有项，在第63个1的后面在跟的第4个就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为，故该数列前2020项的和为解得故答案为：4【点睛】本题考查了数列求和的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．（2021·上海市复兴高级中学高二月考）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第次“扩展”后得到的数列为.并记，其中，，则数列的通项公式________．【答案】()()()551210112122919299S a a a x x x x x x =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()()()210018119222312229222382114337=++++⨯+⨯++⨯=-+⨯+= 1,,1,,,1,,,,1,,,,,1,,,x x x x x x x x x x x n 1n +n x x =2n ≥n ()()112 (12)n n n n +++++-=⎡⎤⎣⎦x x 2n ≥n ()()112 (12)n n n n +++++-=⎡⎤⎣⎦63n =636420162⨯=x x ()6312020637891x ⨯+-=4x =n 121,,,,,2t x x x ()212log 12n t a x x x =⋅⋅⋅⋅ 21n t =-*n N ∈{}n a n a =312n +【分析】先由，结合题意得到，再设求出，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据，可得，设，即，可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，故，所以.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.四、解答题22．（2021·江苏苏州·高二期中）在①，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知数列的前项和为，且满足___________.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n 个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】()212log 12n t a x x x =⋅⋅⋅⋅ 131n n a a +=-13()n n a t a t ++=+12t =-12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭13222-=3()212log 12n t a x x x =⋅⋅⋅⋅ ()1211122log 1(1)((2)2)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3333312212log 312n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭13()n n a t a t ++=+132n n a a t +=+12t =-12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭13222-=3113322n n a --=∙31,2n n a n N ++=∈312n +21n n S a =-11a =121n n S S +=+11a =11n n S a +=-{}n a n n S {}n a n a 1n a +2n +n d {}n d m d k d p d m k p（1）（2）不存在，理由见解析【分析】（1）利用与的关系即可得出中后一项与前一项的关系；（2）假设存在，得出、、的关系，即可判断是否符合题意.（1）解：如选①：由于，当时，有，两式作差得，即，即，又时，有，所以，所以，所以，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.如选②：由于，当时，有，两式作差得，又时，有且，所以，有，所以，且，所以，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.如选③：由于，当时，有，两式作差得，即，又时，有且，所以，有，所以，且，12n n a -=n S n a {}n a k m p 21n n S a =-2n ≥1121n n S a --=-1122n n n n S S a a ---=-122n n n a a a -=-12n n a a -=1n =11121S a a ==-110a =≠10n a -≠12nn a a -={}n a 12n n a -=121n n S S +=+2n ≥121n n S S -=+()122n n a a n +=≥1n =11a =212211121213S a a a S a =+=+=+=+=22a =212a a =()121n n a a n +=≥110a =≠12n na a +={}n a 12n n a -=11n n S a +=-2n ≥11n n S a -=-1n n n a a a +=-()122n n a a n +=≥1n =11a =11211S a a ===-22a =212a a =()121n n a a n +=≥110a =≠所以，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.（2）解：不存在，理由如下由（1）可知，.因为，所以.假设在数列中存在三项，，（其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列，则，即，化简得（*），因为m ，k ，p 成等差数列，所以，从而（*）可以化简为.联立可得，这与题设矛盾.所以在数列中不存在三项，，（其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列.23．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n 项和为，且对任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）设（），对每个正整数k ，在与之间插入个1，得到一个新的数列，记数列的前m 项和为.求使得成立的所有正整数m 的值.【答案】（1）（）；（2）.【分析】第（1）问，由，把条件代入得与的关系，从而求得的通项公式；第（2）问是探究性问题，可采用二项展开式及不等式放缩的技巧进行探究，以寻找正整数m 的值是否存在.【详解】12n na a +={}n a 12n n a -=12n n a -=12nn a +=()121n n n a a n d +=++-11211n n n n a a d n n -+-==++{}n d m d k d p d 2k m p d d d =2111222111k m p k m p ---⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭()()()2222111km p m p k +=+++2m p k +=2k mp =22,,m p k k mp +=⎧⎨=⎩k m p =={}n d m d k d p d {}n a n S *n N ∈21142n n n S a a =+{}n a 2nn b =*n N ∈k b 1k b +k a {}n c {}n c m T 12m m T c +=2n a n =*n N ∈1m =1n n n a S S -=-n a 1n a -{}n a（1）当时，由及为正整数，得；当时，由得，∵，∴.故是首项和公差均为2的等差数列.∴（）.（2）当时，，，满足要求.当时，若，则，不满足要求；若，则必为数列中的某一项，不妨设（），于是.由，得，即（）.（*）显然，不满足（*），则当时，有，∴方程（*）无正整数解.综上所述，满足条件的正整数m 只有一个，即.24．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三月考）已知等差数列的首项为，公差为，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设数列的首项为，公差为d ，根据在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列，求得首项和公差，即可得解；1n =211111142a S a a ==+1a 12a =2n …2211111114242n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=+-+ ⎪⎝⎭()()1120n n n n a a a a --+--=10n n a a ->+12n n a a --={}n a 2(1)22n a n n =+-⋅=*n ∈N 1m =1112T c b ===22212c =⨯=2n …11m c +=2132m m T T c +=>…11m c +≠1m c +{}n b 112k m c ++=*k ∈N ()()1212m k k T b b b a a a =+++++++ ()212222(242)22k k k k k +=+++++++=++- 12m m T c +=1212222k k k k ++++-=⨯1222k k k +=+-*k ∈N 1k =2k …()()1010122222(11)2C C C 2C C C 22k k k k k k k k k k k k k +=+=+++++=++>+- …1m ={}n A 1A 46{}n A {}n a {}n a 1k a 2k a n k a {}n a 11k =25k =22n n b nk n =+{}n b n n T 22n a n =+()2131n n T n =-⋅+{}n a 1a {}n A {}n a（2）根据题意可求得等比数列的公比，从而得到，又，即可求得，从而可求得数列的通项，再利用错位相减法即可得出答案.【详解】解：（1）设数列的首项为，公差为d ，则，所以，所以；（2）由，，则，，所以等比数列的公比为3，所以，又因是等差数列的第项，所以，所以，所以，所以，则，，两式相减得所以.25．（2020·北京·模拟预测）在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“扩展”．已知数列：1，2，3，该数列经过次“扩展”后得到数列：1，，，…，，3，数列的所有项之和为．（1）写出数列，；（2）求，的值；{}n k a 143n n k a -=⋅22n k n a k =+1231n n k -=⋅-{}n b {}n a 1a 11244,10a A A a ====41241a a d -==-22n a n =+11k =25k =114k a a ==2512k a a =={}n k a 143n n k a -=⋅n k a {}n a n k 22n k n a k =+14322n n k -⋅=+1231n n k -=⋅-12243n n n b nk n n -=+=⋅()214123333n n T n -=+⨯+⋅++⋅ ()2313432333133n nn T n n -⎡⎤=+⨯+⋅++-⋅+⋅⎣⎦ ()211324133334313n n nn n T n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭()2131nn T n =-⋅+Ω0A n Ωn A 1x 2x m x n A n S 1A 2A 1S 2S（3）求数列的前项和公式．【答案】（1）数列：1，-3，2，-5，3，数列：1，2，-3，1，2，3，-5，2，3；（2），；（3）．【分析】（1）由题意，求和再求相反数，从而得到数列：1，-3，2，-5，3，数列：1，2，-3，1，2，3，-5，2，3；（2）由（1）求和即可；（3）由题意化简与的关系，从而写出．再求其前项和即可．【详解】（1）∵数列：1，2，3，而且，，∴数列：1，-3，2，-5，3，同理，数列：1，2，-3，1，2，3，-5，2，3；（2），；（3）由题意知，，，故，故．记数列的前项和为，当为偶数时，，当为奇数时，；故．n S n 1A 2A 12S =-26S =2,2,24,21,n n n k k N T n n k k N **⎧=∈=⎨-=-∈⎩1A 2A n S 1n S +14n n S S ++=2,21,6,2,n n k k N S n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩n 0A 123+=235+=1A 2A 1132532S =-+-+=-21231235236S =+-+++-++=1213n m S x x x =+++⋅⋅⋅++()()()()()112112231313n m m S x x x x x x x x x +=+++⋅⋅⋅++-+++++⋅⋅⋅++()124m n x x x S =-++⋅⋅⋅+=-+14n n S S ++=2,21,6,2,n n k k N S n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩n S n n T n 422n nT n =⋅=n ()1621624n n T T n n +=-=+-=-2,2,24,21,n n n k k N T n n k k N **⎧=∈=⎨-=-∈⎩26．（2020·浙江诸暨·高一期末）已知公差大于零的等差数列的前项和是，满足，；数列的前项和是，满足.（1）求数列、的通项公式；（2）在之间插入一个项，使得成等差数列，在之间插入两个项，使得成等差数列，，在之间插入个项，使得成等差数列.①求所有插入的数之和：；②求所有使得等式成立的正整数对.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式求出数列的通项公式，再根据前项和与第项之间的关系求出的通项公式；（2）①根据等差中项的性质，结合错位相减法进行求解即可；②写出的表达式，结合做差比较法判断函数的单调性，结合单调性进行求解即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，因为，所以，由，可得，所以；因为，所以，当时，有，而，得：，所以数列是以为公比的等比数列，所以，所以；（2） ：由等差数列的性质可知：{}n a n n S 235a a a +=105310S S =+{}n b n n T 1n n T b =-+{}n a {}n b 12,b b 11c 1112,,b c b 23,b b 2122,c c 221223,,,b c c b 1,n n b b +n 12,,,n n nn c c c 121,,,,,n n n nn n b c c c b + 11212212()()n n n nn Q c c c c c c =+++++++ 3m n a Q =(),m n 1,(2nn n a n b ==312(2)42nn ⎡⎤⎛⎫-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(8,1),(4,2)n {}n a n n {}n b m {}n a (0)d d >235a a a +=111124(1)a d a d a d a d +++=+⇒=105310S S =+11111101093(554)1032(2)22a d a d d a +⨯⨯=+⨯⨯+⇒-=(1),(2)11a d ==1(1)1n a n n =+-⋅=2,n n N *≥∈112b =2,n n N *≥∈111(4)n n T b --=-+1(3)n n T b =-+(3)(4)-1112n n n n n b b b b b --=-+⇒={}n b 121111(()222n nn b -=⋅=1,(2nn n a n b ==令，则，得：，：因为，所以，所以，记，则，又，所以当时，；当时，.所有正整数对为．【点睛】关键点睛：由得到不等式是解题的关键.27．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且，其中．（1）求数列的通项公式；12231111()1()2()222n n n Q b b b b b b n +=+⋅++⋅+++⋅ 23111124222nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211112(5)222nn M n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 231111112(6)2222n n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)(6)-121111122111111122222212nn n n n M n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 11122222n n n M n +⎛⎫⎛⎫⇒=-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭312(2)42nn Q n ⎡⎤⎛⎫=-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3m n a Q =3142(2)44212(2)2nnm n m n ⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+=⇒=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦-⋅+ ⎪⎝⎭21122(2)22(2)2(2)n n n n m n n ++++⇒==+-+-+12(2)2(2)n n n +-+≤+1()23(2)n f n n +=-+1(1)()230(1)n f n f n n ++-=-≥≥(1)0,(2)0,(3)0f f f <<>1,2n =1n =8m =2n =4m =(8,1),(4,2)12(2)22(2)n n m n ++=+-+12(2)2(2)n n n +-+≤+{}n a n n S 12n n a S +-=*n N ∈{}n a（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（解法一）利用数列的和与项的一般关系项和得到项的递推关系，从而求得等比数列的公比为，在中令，并利用转化,可求得，进而得到等比数列的通项公式；（解法二）设等比数列的公比为，已知，取，，并利用等比数列的通项公式和求和公式得到关于首项和公比的方程组，求解后，即可写出等比数列的通项公式；（2）根据题意，利用等差数列通项公式得到，得，进而，然后直接利用错位相减求和法求得数列前项的和,或者先利用错位相减求和法求得数列前项的和,再写出数列前项的和.【详解】解：（1）（解法一）设等比数列的公比为，已知，当时，，两式相减可得，即，则，当时，得，即，解得，故等比数列的通项公式为．（解法二）设等比数列的公比为，已知，当时，得，即，当时，得，即，两式相除可得，因为，所以，，故等比数列的通项公式为．（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，n a 1n a +n 2n +n d 1n d ⎧⎫⎨⎩⎭1n +1n T +*2,n n a n N =∈11432n n n T +++=-{}n a q 12n n a S +-=1n =21a a q =12a ={}n a {}n a q 12n n a S +-=1n =2n ={}n a 1(21)n n n a a n d +=++-21n n d n =+112n n n d +=1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n +1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n +{}n a q 12n n a S +-=2n …12n n a S --=11()0n n n n a a S S +----=12n n a a +=2q =1n =212a a -=112a q a -=12a ={}n a *2,n n a n N =∈{}n a q 12n n a S +-=1n =212a a -=112a q a -=2n =322a s -=21112a q a q a --=220q q -=0q ≠2q =12a ={}n a *2,n n a n N =∈n a 1n a +n 2n +n d则，即为，整理得，所以，，即，，两式相减得：，所以，故数列前项的和．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查错位相减求和法，属中档题，关键是错位相减法求和中要做到准确运算.28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【分析】(1)利用给定递推公式变形可得是等比数列，再求出的表达式，然后用累加法即可作答；(2)利用已知并结合(1)的结论求出，再利用错位相减法即可得的前项和.【详解】（1），即，又，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，此时有，1(21)n n n a a n d +=++-122(1)n n n n d +-=+21nn d n =+112n n n d +=123111111n n nT d d d d d -=+++⋅⋅⋅++1231234122222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅++234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++211111(1)1131122112222212n n n n n n n T -++-++=+-=---332n nn T +=-1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n +11432n n n T +++=-{}n a 11a =23a =21122(*)n n n n a a a a n N +++-=-∈1{}n n a a +-{}n a n a 1n a +n n a 1n a +2n +n c 1{}nc n n T 21nn a =-332n nn T +=-1{}n n a a +-1n n a a +-n c 1{}nc n n T 21122(*)n n n n a a a a n N +++-=-∈2112()n n n n a a a a +++-=-2120a a -=≠1{}n n a a +-12nn n a a +-=当时，，而也满足，所以；（2）由(1)及已知可得，，即，从而有，，，两式相减得=，所以．29．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等差数列满足:，，成等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项和.【答案】（1）；（2）477.【分析】（1）根据等差中项的性质，可求得d 值，根据等比中项的性质，可求得，代入公式，即可得答案.（2）分析可得新数列中，前面（包括）共有项，令，，可解得k 的范围，分析可得所以前面包括共有133项，所以后面（不包括）还有67个2.利用分组求和法，代入对应的求和公式，即可求得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为.由题意得，即，解得，2n ≥112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+1211222212112nn n n ---=++⋅⋅⋅++==--11a =21nn a =-21nn a =-1(1)2nn n n n c a a ++=-=12nn c n =+112n nn c +=2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++231111(1)11111112211222222212n n n n n n n T ++-++=+++⋅⋅⋅+-=+--113113322222n n n n n ++++--=-332n nn T +=-{}n a 13a +3a 4a 1a 3a 8a {}n a k a ()11,2,...k a k +=2k {}n b {}n b 200T 31n a n =+1a {}n b 1k a +1k a +()2312222121k k k k +++++++=+- 121200k k ++-≤()1,2,k = 7a 7a 7a 7a {}n a d 14332a a a ++=1123324a d a d ++=+3d =又，即，解得，所以.（2）在新数列中，前面（包括）共有项，令，，则，所以，，，，，，出现在新数列的前200项中，当时，，所以前面包括）共有133项，所以后面（不包括）还有67个2.所以.注：，，，，，，出现在新数列的前200项中，实际上表明：数列的前200项中，有7项是，，，，，，其余193项都是2.【点睛】解题的关键是熟练掌握等差、等比数列的性质，并灵活应用，难点在于，需读懂题意，分析可得数列的前200项中，有7项是，，，，，，其余193项都是2.再代入公式，求解即可，属中档题.30．（2021·江苏·常熟中学三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知数列的前n 项和为，且满足___________.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为的等差数列，试比较与的大小关系，并说明理由.【答案】答案见解析【分析】（1）选①由与的关系判断出为等比数列，直接求出通项公式；选②用累加法求出通项公式；选③由与的关系判断出为等比数列，求出通项公式；（2）先求出公差，再由作差法比较大小2183a a a ⋅=()()21117323a a a ⋅+⨯=+⨯14a =31n a n =+{}n b 1k a +1k a +()2312222121k k k k +++++++=+- 121200k k ++-≤()1,2,k = 6k ≤1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a {}n b 6k =121133k k ++-=7a 7a 7a 7a ()()2362004722222226791386477T =+++++++++=+= 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a {}n b {}n b 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a {}n b 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 122n n S S +=+12nn n a a +-=12n n S a +=-{}n a 1,2n S a ={}n a n a 1n a +n d n d 2nn S n a {}n a n S n a {}n a n d【详解】（1）选①：由，当时，，即，解得：当时，由得：，两式相减得；，即而，，∴也满足，∴，∴为等比数列，且首项为，公比为2，所以；选②：由，得：，累加得：，即，又也适合，所以；选③：由可得：当n =1时，，所以；当时，由可得：，两式相减得：，而，，∴也满足，∴，∴为等比数列，且首项为，公比为2，所以；（2）与之间插入n 个数构成公差为的等差数列，∴令，∴令，∴，∴单调递增，∴，∴，而，∴，∴.【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；（2）判断数列单调性的方法：①定义法；②作差法；③函数单调性法.31．（2021·全国·高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，，，122n n S S +=+1n =2122S S =+12122a a a +=+24a =2n ≥122n n S S +=+122n n S S -=+()112n n n n S S S S +--=-12(2)n n a a n +=≥12a =24a =212a a =12n n a a +=()12n na n N a *+=∈{}n a 12a =2n n a =12n n n a a +-=1223112222n n n a a a a a a ---=-=-= ，，()()1212212n n a a n --=≥-()22n nan =≥12a =2n n a =12n n S a +=-122S a =-24a =2n ≥12n n S a +=-12n n S a -=-12(2)n n a a n +=≥12a =24a =212a a =12n n a a +=()12n na n N a *+=∈{}n a 12a =2n n a =2n12n +n d 122211n n nn d n n +-==++12222122(1)n n n n n n n d n n +---=-=++122n n b n n +=--221212(1)(1)2n n n n b b n n n n+++-=-+-+-++()1222221n n n n +=--=--21nn c n =--112221210n n n n n c c n n ++-=---++=->{}n c 10n c c ≥=10n n b b +-≥12b =20n b ≥>2n n d >n S n a {}n a {}n b 1122b a ==523a a a =+.（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入n 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，（i ）求证；（ii ）对任意的正整数，设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）（i ）证明见解析；（ii ）.【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，结合题中所给的条件，列出等量关系式，求得首项、公差和公比，得到数列的通项公式；（2）（i ）根据题意，求得，之后利用作差比较法求得结果；（ii ）利用分组求和法和错位相减法求得数列的前项和.【详解】（1）为等差数列，，所以，，所以，即，所以；为等比数列，，因为，所以，解得，所以；（2）（i ），，()654323b b b =-{}n a {}n b n b 1n b +2n +n c 2*12,n n n c c c n N ++<∈n ()()()21451,11,n n n n n n nn b n b b d a a c n ++⎧--⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n d 2n n a n =123n n b -=⋅21231(388231n n n n ++-⋅-⋅+1431n n c n -⋅=+{}n d 2n {}n a 122a =11a =523a a a =+11142a d a d a d +=+++11d a ==1(1)n a a n d n =+-={}n b 12b =()654323b b b =-2690q q -+=3q =123n n b -=⋅1123234311n n n n c n n --⋅-⋅⋅==++112212434343()213n n n n n n c c c n n n -+++⋅⋅⋅-=-⋅+++2222216316311163[(2)(1)(3)(2)(1)(3)n n n n n n n n n ⋅⋅=-=⋅-++++++2211630(2)(1)(3)n n n n -=⋅⋅<+++所以；（ii ），所以，设的前项中，奇数项和为，偶数项和为，，，，两式相减得，所以，所以数列的前项和为.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据等差数列和等比数列的通项公式求相关量，之后确定其通项公式；（2）利用等差数列公差的相关公式求得，之后利用作差比较法求得结果；（3）利用分组求和法和错位相减法对数列求和.32．（2021·山东·模拟预测）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；2*12,n n n c c c n N ++<∈()()()21451,11,n n n n n n nn b n b b d a a c n ++⎧--⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数()111145231,(231)(231)43(1),1n n n n n n n d n n n n --+-⎧-⋅⋅-⎪⎪⋅+⋅⋅+=⎨⋅⎪⋅+⋅⎪+⎩为奇数为偶数()111145231,(231)(231)43,n n n n n n n n --+-⎧-⋅⋅-⎪=⋅+⋅⋅+⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数()111145231,(231)(231)43(1),1n n n n n n n n n n --+-⎧-⋅⋅-⎪⎪⋅+⋅⋅+=⎨⋅⎪⋅+⋅⎪+⎩为奇数为偶数111111(),223123143,n n n n n n n n -+--+⎧-⎪=⋅+⋅+⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数{}n d 2n n B n A 022422210224222(2231231231231231231n n n n nB --=-+-++-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+ 2212(0)2231231n n n n =-=-⋅+⋅+135214(23436323)n n A n -=⨯+⋅+⋅++⋅ 3572194(23436323)n n A n +=⨯+⋅+⋅++⋅ 2132121213(13)88(333)8388319n n n n n A n n -++--=+++-⋅=⋅-⋅- 21213338n n n A n ++-=+⋅{}n d 2n 21231(388231n n n n nA B n ++=+-⋅-⋅+n c {}n a 1343,,a a a +138,,a a a {}n a。