最新-高中数学 22《等差数列(2)》课件 新人教A版必修5 精品

an1 an d (是与n无关的数或式子）
练习
1、判断下列数列是否为等差数列？如果是请说出公差d
a2=a1 + d， 常数列 （1）1，2，4，6，8，10，12，… 不是 a （ a +d ） a 3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d， （2）0， 1，2，3，4，5，6，… 是 d=1 a 3 + d = （a1+2 + d= a + a = 3 d， 4 1 （3）3，3，3，3， 3，3，3，… 是 d=0 d ） a （ a1+3 + d= a + 4 d， 4 + d = a = 5 2，4，7，11，16，… 1 （ 4） 不是 d ） …… （5）－8，－6，－4，0，2，4，… 不是 （n-1） a3n，－ = 6，－ a1 9 + d． （6）3，0，－ ，… 是 d=-3
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ， 3 ， 4 （2）-1， 2 ，5 （3）-12， -6 ，0 （4）0，
0
，0
例题
例4
已知一个等差数列的第3项是5，第8项 是20，求它的第25项． an=a1+(n-1)d 解 因为a3=5，a8=20，根据通项公式得
2、已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何 求出它的任意项an呢？
等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
例题
例1
求等差数列8，5，2，…的通项公式 和第20项． an=a1+(n-1)d 解：∵a1 =8 d=5-8=-3

an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0

3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.

a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?

1
2
3
(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个:其一是强 调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (2)公差 d∈R,当 d=0 时,数列为常数列;当 d>0 时,数列为递增数列;当 d<0
时,数列为递减数列.
【做一做 1】 等差数列 4,7,10,13,16 的公差是
.
答案:3
1
2
3
2.通项公式 等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则通项公式是 an=a1+(n-1)d.
(1)如果数列{an}的通项公式是 an=pn+q(p,q 是常数),那么数列 {an}是等差数列. (2)如果数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n>1,n∈N*),那么数列{an}是等差数列.
正解:因为 an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以 an+1=10+(n+1)lg 2.
所以 an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*).所以数列{an}为等
差数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
要说明一个数列为等差数列,必须说明从第 2 项起所有的项与其前 一项之差为同一常数,即 an+1-an=d 或 an-an-1=d(n≥2)恒成立,而不能只验证 有限个相邻两项之差相等.
(2)作差 an+1-an(或 an-an-1),将差变形; (3)当差 an+1-an(或 an-an-1)是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 差 an+1-an(或 an-an-1)不是常数,是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数 列.

本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)

人教版数学必修5
2.2.1等差数列的定义 及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念 一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 3.数列的分类： （1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律 在（ ）内填上合适的 数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）

例4、若数列{an}的通项公式为an=42n，求证数列{an}为等差数列。
知识：
1. 概念：等差数列的概念 2. 公式：等差数列的通项公式
数学思想、方法：
特殊到一般的思想、递推思想 、方程思想 等；
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

D ）既不充分也不必要条
（ 3） a 1 , a 2 , a 3 , , a 2 n 1 成等差数列，奇数项之 偶数项之和为
( 4 ) 等差数列共
和为 60 ，
和。
45 ，求此数列的项数
.
15 项，第 8 项是 3，求这数列的奇数 ) 设 a n 是等差数列，
, S 100 145 , 求 :
a 1 a 3 a 5 a 99 的值
( 3 ) 一等差数列前 与奇数项和之比为
12 项的和为 354 ，前 12 项中偶数项 32 : 27 求公差 d 的值
( 4 ) 设等差数列的项数 与偶数项之和的比为
a n 9 a n 8 a n q 则前 n 项和 S n
( 4 ) 等差数列 紧接在后面的 再紧接后面
a n 的前
n 项和等于 2， 12 ,
2 n 项的和等于
3 n 项和为 S ，求出 S .
例 2。 （1）项数为奇数 2 n 1的等差数列
d 1 2
( 2 ) 在等差数列中，
2 . 1）如果数列 （
d 1, S 98 137 , 求 a 2 a 4 a 6 a 98 的值
a 1 25 ， b1 75
a n 、b n 都是等差数列，且

a 2 b 2 100 .，求 a 37 b 37 的值 （ 2） a n 2 a n 2 a n 1 ( n N ) 是数列成等差数列的 （ A ）充分非必要条件；（ （ C ）充要条件；（ B ）必要非充分条件； 件。
等差数列性质应用（2）
1 .在等差数列中，有： （1） a1 a n a 2 a n 1 a n r a r 1 ( 2 )若 m n p q , 则 a m a n a p a q （ 3） a n a n k a n k 2 ( 4 )当项数为 2 n 时 , 则 s 奇 s 偶 s 2 n , s 偶 s 奇 nd ( 5 )当项数为 2 n 1时，则 s 奇 s 偶 s 2 n 1 , s 奇 s 偶 a n a中 s 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n ( 2 n 1 ) a中 s 偶 na , s 奇 ( n 1) a中

∴|m－n|＝12.
明目标、知重点
探究点二 等差数列与一次函数的关系
思考 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d整理成an 关于n的函数后，其相应的一次函数图象的斜率及在y轴上 的截距各是什么？ 答 等差数列{an}的通项公式变形为an＝dn＋a1－d，其图 象为一条直线上孤立的一系列点，d为直线的斜率，在y轴 上的截距为a1－d.
探要点·究所然 情境导学 在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式 an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的 通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们继续探讨.
明目标、知重点
探究点一 等差数列通项公式的推广
{c·an} {an＋an＋k}
公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an} 为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列.
明目标、知重点
明目标、知重点
小结 (1)等差数列的第二通项公式：an＝am＋(n－m)d； (2)对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等 差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.
明目标、知重点
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公 差及通项公式. 解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
明目标、知重点