22等差数列(共41张PPT,全课时)

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41
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29
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2
C．4
D．6
解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d， 则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，
解得a＝4且d＝ 又{an}递增， ±2， ∴d>0，即d＝2， ∴a1＝2.
问题情景
1+2+3+···+100=?
高斯，(1777— 1855） 德国著 名数学家。
得到数列 1，2，3，4， … ，100 高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛 顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是 近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿 基15:米32 德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。 1
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
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10 等差数列的图象3
9 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
5
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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26
10
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37
4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那
么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14
B．21
C．28
D．35
解析 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12， ∴a4＝4. ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7 ＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4
＝7a4＝28.
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＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
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22
例3 已知数列{an}的通项公式为 an pn q，其中p,q
为常数，且 p 0 ，那么这个数列一定是等差数
列吗？
解：取数列 {an} 中的任意相邻两项an与an1(n 1)
则
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
A．18
B．9
C．12
D．15
解析 设这7个数分别为a1，a2，…，a7， 公差为d，则27＝3＋8d，d＝3.
故a4＝3＋4×3＝15.
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32
练习：课本39页 3 练习：课本39页 4
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33
探究2
已知an 是等差数列。
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？a4 a6 a3 a7呢？为什么？
8844.43米
高度 (km)
1 2 3 4 5 减… 少6.5 9
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2 …
-24
(2) 15:32 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. 3
思考：以上数列有什么共同特点？
从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
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4
2.2 等差数列
探究1
●
9
8
●
7 (1)在直角坐标系中，画出通项公式为 an 2n 4
6 的数列的图象与函数● y=2x-4的图象，你发现了
5 什么？
4 (2)等差数列的● an pn q图象与一次函数
3 y=px+q的图象之间有什么关系？
2
●
1
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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●
27
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5
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列 的公差，通常用字母d表示。
①1，2，3,…,100；
公差d=1
②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000
公差d=500
1
公差d= 2
解：由题意可得
a1+5d=12 a1+17d=36
∴ d = 2 ，a1 =2 ∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
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18
例 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an
思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？
解法二：∵ a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d
38
解析：由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π， ∴tan(a2＋a12) ＝tan(2a7)
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39
探究：等差数列的有关性质
1.若m n p （q m、n、p、q N*），则 am an ap aq；
2.等差数列{an}中，下标成等差数列的项： ak，akm，ak2m，ak3m，ak4m， 仍成等差数列；
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an a1 (n 1)d
14
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) –401是否是等差数列 -5，-9，-13，…，的 项？如果是，是第几项 ？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
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20
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5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4 ＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等 于( )
A．－182
B．－
78
82C解．析－14a83＋a6＋a9＋…＋a99
D．－
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
（2）2an1 an an2是否成立？据此你能得 出什么 结论？
(等差数列判定）
2an1 an an2 an是等差数列
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3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋
a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12
B．8
C．6
D．4
解析
由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13 ＝(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
3.若{an}是等差数列，则{an +b}（，b为常数）
仍为等差数列；
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4.若{an}和{bn}是等差数列，则{an bn} 也是等差数列；
5.若{an}是等差数列，公差是d，则 （1）d>0时,{an}为递增数列; (2)d<0时,{an}为递减数列; (3)d=0时,{an}为常数数列.
A ab 2
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an1
an
an2 2
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问题情景
观察数列：1，3，5，7，…
思 考： 在数列中a100=？我 们该如何求解呢？
如何求一般等 差数列的通项 公式？
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12
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，
则
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
（2）若m n p q(m, n, p, q N*),则aman ap aq成立
吗？为什么？
(等差数列性质）
an是等差数列，则
m n p q(m, n, p, q N*) aman ap aq
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探究3
练习：课本39页 5
已知an 是等差数列。
(1）2a5 a3 a7是否成立？2a5 a1 a9呢？为什么？
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
n=1时亦适合
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13
等差数列的通项公式
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
…
迭加得
an an1 d
an a1 (n 1)d
pn q ( pn p q)
p
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
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等差数列的图象1
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6 5
●
an f (n)
4
●
3
2
●
1
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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●
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等差数列的图象2
10
7
等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列 的公差，通常用字母d表示。
数学语言： an-an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
或an+1－ an = d （ d是常数, n∈N*）
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8
小结： 1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定
a3 a2 d 7 ( 5) 2, a4 a3 d 2 ( 5) 3, a5 a4 d 3 ( 5) 8.
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思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数 就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
( 3 ) a, (
), b
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A， b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。