13第十三讲 CMF2

《康复功能评定学》第二章人体形态评定重点内容概述一、人体形态评定的发展：人体形态评定是人体测量学的一部分，最先出现于人类学。

随着现代科学技术的发展，各学术领域的相互渗透，人类对健康需求和美学要求的提高，人体测量学不断与临床医学、整形外科学、人体工程学、体育保健学、心理学等相结合，成为这些学科的一部分，同时也成为康复功能评定学的重要组成内容二、人体形态评定内容：（一）、身体姿势评定在人体形态评定中，通常用直立姿势作为人体形态评定的基本姿势。

直立姿势测量法要求被测者两足跟靠拢，两臂自然下垂，挺胸收颌，两眼平视前方，使头部保持眼眶下缘与耳屏点成水平的“耳眼平面”姿势。

耳眼平面是国际上通用的标准平面，已被各国人体测量工作者广为采用。

采用这种方法测量的优点是，所需测量器械相对比较简单轻便，测量所需的时间也较短，适宜于大面积测量或流动性的工作。

但是，在直立状态下进行测量，被测者的稳定性较差，也难以根据测量的要求，对姿势做精确的矫正。

（二）、体格评定在一般的人体形态评定中，体格评定的内容常用身高、体重、胸围、肢体长度和围度等指标来表示。

、体型评定体型是指人体在某个阶段由于受遗传、营养、环境及疾病等因素影响而形成的身体外形特征。

通过对体型的研究，探讨体型与某些疾病的关系，了解不同体型人的性格和行为特点。

体型评定多采用定性的评定方法对人体体型进行分类，目前有几十种有关体型分类方法。

1）谢尔顿体型分类法：美国临床心理学家谢尔顿按照个体在胚胎发育中的三个胚层，将人的体型分为三种类型：内胚型（肥胖型）：这种类型的人体体型特点是身体圆胖、头大、颈短而粗、胸厚而宽，腹部隆起，腰部粗壮，四肢短粗。

中胚型（健壮型）：这种类型的人体体型特点是身体魁伟高大，肌肉结实粗壮，肩宽胸厚，腰腹较小，身体有一定线条。

外胚型（瘦小型）：这种类型的人体体型特点是瘦小、软弱无力，肌肉不发达，四肢细小。

2）国内常用分类：国内学者基于谢尔顿体型分类法，将成年人的体型分为以下三种。

2020年人教新版八年级（上）《第13章轴对称》名校试题套卷（2）一、选择题（共10小题）1．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定3．在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川A80808，川A22222，川A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．500个B．300个C．100个D．50个4．如图，点A（2，1），点P在坐标轴上，若△OP A是等腰三角形，则这样的点P共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个5．线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离P A＝5，则点P到B点的距离PB等于（）A．PB＝5B．PB＞5C．PB＜5D．无法确定6．某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（）A．12：01B．10：51C．10：21D．15：107．在平面直角坐标系中，若点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M关于x轴对称点N的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）8．在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（，），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）9．已知一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣…﹣2+…﹣1…+1…y…﹣2+…﹣2﹣…+1…﹣1…如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（）A．x轴B．y轴C．直线x＝1D．直线y＝x10．已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△P AB是直角三角形时BP长为（）A．4B．2或3C．3或4D．3二、填空题（共10小题）11．在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝70°，则∠A＝度．12．若点P（a﹣2，3）与Q（1，b+1）关于x轴对称，则a+b＝．13．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．15．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n＝（用含n 的代数式表示）．所剪次数1234…n正三角形个数471013…a n16．AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为．17．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝°．18．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN 经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是cm．20．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△P AB为等边三角形，则2（a﹣b）＝．三、解答题（共10小题）21．如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连接BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．22．如图，直线BD∥EF，点C在直线BD上，AB＝AC，G、H、M在直线EF上，且CM 平分∠ACD，若∠A＝40°，求∠CMF的度数．23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，当两点运动中使∠BQD ＝30°时，求此时AP的长．24．如图所示，已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n等分（n为大于2的整数），并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形．（1）当n＝5时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积和为；（用含S的式子表示）（2）当n＝k时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积和为；（用含k和S的式子表示）（3）若大等边三角形的面积为100，则当n＝10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？25．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．26．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．（1）求∠EBC的度数；（2）求证△ABC为等边三角形．27．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．28．如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．29．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．30．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝，AE＝；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．2020年人教新版八年级（上）《第13章轴对称》名校试题套卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：如图：共3个，故选：B．2．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定【解答】解：作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直，故选：B．3．在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川A80808，川A22222，川A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．500个B．300个C．100个D．50个【解答】解：∵以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，即牌照是9ABA9，则A有0﹣9共10种可能，B有0﹣9共10种可能，所以9开头的组合最多是10×10＝100个．故选：C．4．如图，点A（2，1），点P在坐标轴上，若△OP A是等腰三角形，则这样的点P共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【解答】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故选：C．5．线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离P A＝5，则点P到B点的距离PB等于（）A．PB＝5B．PB＞5C．PB＜5D．无法确定【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝P A＝5，故选：A．6．某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（）A．12：01B．10：51C．10：21D．15：10【解答】解：从镜子中看到的是12：01，则真实时间应该是将此读数倒看：10：51．故选：B．7．在平面直角坐标系中，若点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M关于x轴对称点N的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）【解答】解：∵点M在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，∴M（﹣2，﹣3），∴点M关于x轴对称点N的坐标为：（﹣2，3）．故选：B．8．在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（，），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣，）．故选：A．9．已知一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣…﹣2+…﹣1…+1…y…﹣2+…﹣2﹣…+1…﹣1…如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（）A．x轴B．y轴C．直线x＝1D．直线y＝x【解答】解：由表格可得：y＝，故可得这个函数图象是轴对称图形，对称轴是y＝x．故选：D．10．已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△P AB是直角三角形时BP长为（）A．4B．2或3C．3或4D．3【解答】解：当∠APB＝90°时，如图1，∵AB＝AC，BC＝6，∴BP＝CP＝BC＝3；∵∠B＝30°，∴AB＝2AP，由勾股定理得：（2AP）2＝AP2+32，解得：AP＝，AB＝2AP＝2，当∠BAP＝90°，如图2，∵∠B＝30°，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，（2）2+AP2＝（2AP）2，解得：AP＝2，BP＝2AP＝4；所以BP＝3或4，故选：C．二、填空题（共10小题）11．在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝70°，则∠A＝40度．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠C＝70°∵∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°．故填40．12．若点P（a﹣2，3）与Q（1，b+1）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．【解答】解：∵点P（a﹣2，3）与点Q（1，b+1）关于x轴对称，∴a﹣2＝1，b+1＝﹣3，∴a＝3，b＝﹣4，即a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为6cm．【解答】解：∵l垂直平分BC，AB+AC＝6cm，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6cm．故答案为：6．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为10°．【解答】解：由题意得：∠CA′D＝∠A＝50°，∠B＝40°，由外角定理可得：∠CA′D＝∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB＝10°．故答案为：10°．15．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n＝3n+1（用含n的代数式表示）．所剪次数1234…n正三角形个数471013…a n【解答】解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1．故答案为：3n+1．16．AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为相等．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD平分BC，∴AD和AE重合，∴AD＝AE．故答案为：相等．17．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝45°．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，∴∠PCD＝45°．故答案为：45°．18．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN 经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是15．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案为：15．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC ＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是8cm．【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠DBC＝∠D＝60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD＝DM＝BM＝5，∵DE＝3，∴EM＝2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM＝90°，∴∠NEM＝30°，∴NM＝1，∴BN＝4，∴BC＝2BN＝8（cm），故答案为8．20．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△P AB为等边三角形，则2（a﹣b）＝1﹣．【解答】解：过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵点P（a，b）在第一象限，∴OM＝PN＝a，ON＝PM＝b，∴AM＝a﹣4，BN＝b﹣3，∵△P AB是等边三角形，∴AB＝BP＝P A＝5，由PN2+BN2＝BP2＝P A2＝PM2+AM2得，b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2＝25，由b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2，整理得，8a+9＝6b+16，即，b＝①，将b＝代入a2+（b﹣3）2＝25，整理得，4a2﹣16a﹣11＝0，解得a＝，或a＝＜0（舍去），把a＝代入①得，b＝，∴2（a﹣b）＝4+3﹣4﹣3＝1﹣，故答案为：1﹣．三、解答题（共10小题）21．如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连接BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①∵C，C′关于AB对称，B，B′关于AC对称，∴∠CAB＝∠BAC′＝∠CAB′＝30°，∴∠B′AC′＝90°．②如图（1）中，设AC交BB′于J．△ABC'可以由△AB'C绕点A顺时针旋转60°得到．∵AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴∠AB′O＝∠ACO＝60°，∵∠AJB′＝∠OJC，∴∠BOC′＝∠B′OC＝∠B′AJ＝30°．（2）如图（2）中，结论：β＝2α．理由：由对称的性质可知：BC＝BC′，DC′＝DC，∠ABC′＝∠ABC，∵DC′∥BC，∴∠C′DB＝∠ABC＝∠C′BD，∴C′D＝C′B，∴BC＝BC′＝C′D＝DC，∴四边形BCDC′是菱形，∴CD∥BC′，同法可证，BE∥CB′，∴∠FCB+∠CBC′＝180°，即∠FCB+2∠ABC＝180°，同法可得，∠FBC+2∠ACB＝180°，∵∠BFD＝∠FBC+∠FCB，∴∠DFB＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC，∴β＝2α．22．如图，直线BD∥EF，点C在直线BD上，AB＝AC，G、H、M在直线EF上，且CM 平分∠ACD，若∠A＝40°，求∠CMF的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝＝70°，∴∠ACD＝110°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝55°，∵BD∥EF∴∠CMF＝125°，23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，当两点运动中使∠BQD ＝30°时，求此时AP的长．【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，∴AP＝2．24．如图所示，已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n等分（n为大于2的整数），并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形．（1）当n＝5时，共向外作出了9个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；（用含S的式子表示）（2）当n＝k时，共向外作出了3（k﹣2）个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；（用含k和S的式子表示）（3）若大等边三角形的面积为100，则当n＝10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？【解答】解：（1）当n＝5时，共有3×（5﹣2）＝9个小等边三角形，∴每个小三角形与大三角形边长的比＝，∵大三角形的面积是S，∴每个小三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；（2）由（1）可知，当n＝k时，共有3×（k﹣2）＝3（k﹣2），每个小等边三角形的面积为S，每个小三角形的面积和为S．故答案为：（1）9，S，S；（2）3（k﹣2），S，S；（3）当S＝100，n＝10时，3（n﹣2）＝3×（10﹣2）＝24（个），S＝×100＝24．即共向外作出了24个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为24．25．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．【解答】解：26．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．（1）求∠EBC的度数；（2）求证△ABC为等边三角形．【解答】解：（1）∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°．∵∠ECB＝∠CED+∠EDC，∴∠EDC＝30°，∵EB＝ED，∴∠EBC＝∠EDC＝30°．（2）证明∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°．∵BE⊥CE，AE＝CE，∴AB＝BC．∴△ABC是等边三角形．27．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵DE⊥BC于E，∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），∴∠EFC＝∠ADF，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形．28．如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．【解答】解：（1）△AOG是等腰三角形；证明：∵AC∥y轴，∴∠CAO＝∠AOG，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO＝∠GAO，∴∠GAO＝∠AOG，∴AG＝GO，∴△AOG是等腰三角形；（2）证明：连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，∴AN＝CK＝BK，在△ANG和△BKG中，，∴△ANG≌△BKG，（AAS）∴AG＝BG，∵AG＝OG，（1）中已证，∴AG＝OG＝BG，∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∴AO⊥BO．29．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在AB上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'．∵C和C′关于直线l对称，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点，理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'，∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′，∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA 于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′，∵C和M关于直线OA对称，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．30．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝75°，AE＝；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．【解答】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴BC＝AC，∴x+2＝x，解得x＝+1，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝45°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACE＝30°，∴AE＝AC＝，∵∠CPD＝∠ACP+∠CAP，∴∠CPD＝75°．故答案为75°，．（2）证明：如图2中，过点C作CJ⊥DF于J，交AB于T，设DF交AB于K．∵CF⊥AB，CT⊥DF，∠CFD＝45°，∴∠FEK＝∠CET＝∠CJF＝∠KJT＝90°，∴∠FKE＝∠TKJ＝∠KTJ＝∠ECT＝45°，∴CE＝ET，∵∠CAT+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCD＝90°，∴∠CAT＝∠FCD，∵AC＝CD，∠ATC＝∠CFD，∴△ACT≌△CDF（AAS），∴AT＝CF，∵ET＝CE，∴AE＝EF．解法二：过点D做DH⊥CE于点H，证明AE＝CH，EF＝CH即可．。

CMFW－2连续微滤中水回用装置中试研究- 中水回用简介：采用CMFW－2连续微滤中水回用装置对城市污水厂二级出水进行深度处理中试试验，运行结果表明该装置在技术上是可行的，其出水水质稳定，优于《污水回用设计规范》（征求意见稿）（2001年）中的城市杂用水水质标准。

并对该装置对膜污染的控制和清洗做了简要的分析。

关键字：CMFW－2连续微滤膜污染膜清洗污水回用Study on a Pilot-Scale of CMFW—2 Continuous Microfiltration Equipment on Wastewater ReuseHu Xinli1，Tao Tao1，Jin Zhenzhong2，Hu Jian3(1. School of Environmental Science & Engineering, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan Hubei 430074, China; 2. Wuhan Sunon Water Technology CO., LTD, Wuhan Hubei 430074, China;3. Wuhan Water Group CO., LTD, Wuhan Hubei 430034, China)Abstract：Advanced treatment of second class urban sewage by CMFW—2 Continuous Microfiltration Equipment on wastewater reuse has been studied on a pilot-scale, the results indicates that the equipment is feasible technically, the effluent water quality of the equipment is steady, and the effluent water quality excels the Water Quality Criteria of Urban Reclaimed Water in the 《Design Criterion for Wastewater Reuse》(the draft of wanting suggestions)(2001 year). And the membrane controlling and cleaning of the equipment is analyzed briefly.Key words：CMFW—2 continuous microfiltration；membrane pollution；membrane cleaning；wastewater reuse随着我国经济的发展和城市化进程的加快，城市缺水问题尤为突出。