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直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
直线的一般式方程例题及答案直线的一般式方程是一种描述直线位置关系的方程形式。
对于
给定直线，一般式方程可以唯一地确定它的位置和方向。
在这篇
文章中，我们将会讲解一些常见的直线方程例题以及它们的答案，希望能对大家理解直线的一般式方程有所帮助。
例题1：给出点P(-3, 4)和直线L: 3x + 4y + 5 = 0，求P到L的
距离。
解法：我们需要用到一个公式，即点到直线的距离公式。
该公
式为：
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)
其中，(x0, y0)为点P的坐标，Ax + By + C = 0为直线L的一般
式方程。
将点P和直线L的值代入公式中，可得：
d = |3(-3) + 4(4) + 5| / √(3^2 + 4^2) = 25 / 5 = 5
因此，点P到直线L的距离为5。
例题2：求过点A(1, 2)且与直线L1: 2x - 3y + 1 = 0垂直的直线
L2的一般式方程。
解法：由于直线L2与直线L1垂直，所以它们的斜率乘积为-1。
因此，我们需要先求出直线L1的斜率，然后求出直线L2的斜率。
将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：
y = (2/3)x + 1/3
因此，L1的斜率为2/3。
由于L2与L1垂直，所以L2的斜率
为-3/2。
因此，直线L2的一般式方程为：
3x + 2y + c = 0
需要求出常数c。
将点A的坐标代入该方程中，可得：
3(1) + 2(2) + c = 0
解出c，可得c = -9。
因此，直线L2的一般式方程为：
3x + 2y - 9 = 0
例题3：求直线L1: 2x - y + 3 = 0和直线L2: 3x + ky - 1 = 0的交点坐标。
解法：我们可以将L1的一般式方程转化为y = 2x + 3的斜截式方程。
然后将该方程代入L2中，得到一个只含有x的方程。
解出x之后，再代入y = 2x + 3，即可求出交点坐标。
将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：
y = 2x + 3
将该方程代入L2中，可得：
3x + k(2x + 3) - 1 = 0
化简得到：
(3 + 2k)x + 3k - 1 = 0
因为L1和L2有交点，所以该方程有解。
解出x，可得：x = (1 - 3k) / (2k + 3)
将x代入y = 2x + 3，可得：
y = 2(1 - 3k) / (2k + 3) + 3
化简得到：
y = (4 - 6k) / (2k + 3)
因此，交点坐标为：
((1 - 3k) / (2k + 3), (4 - 6k) / (2k + 3))
以上是一些常见的直线方程例题及其解法。
直线的一般式方程对于描述直线的位置关系非常有用，尤其是在计算距离、交点等问题时。
希望本文能帮助大家更好地理解这一方程形式。
